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1対1のマッチング問題

1対1のマッチング問題におけるコア選択メカニズム

目次

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狭義コア

1対1のマッチング問題私的価値モデルにおいて状態\(\succsim _{M\cup W}\in \mathcal{R}_{M\cup W}\)を任意に選びます。このとき、マッチング\(\mu \in \mathcal{M}\)に対して、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T:\mu ^{\prime }\left( i\right) \in T \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:\mu ^{\prime }\left( i\right) \succsim
_{i}\mu \left( i\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:\mu ^{\prime }\left( i\right) \succ
_{i}\mu \left( i\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たすマッチング\(\mu ^{\prime }\in \mathcal{M}\)とエージェント集合\(T\subset M\cup W\)が存在する場合、\(\succsim_{M\cup W}\)においてマッチング\(\mu \)は提携\(T\)によってマッチング\(\mu^{\prime }\)を通じて広義にブロックされる(\(\mu \) isweakly blocked by \(T\) via \(\mu ^{\prime }\) at \(\succsim _{M\cup W}\))と言います。

条件\(\left( a\right) \)は、提携\(T\)に属するそれぞれのエージェント\(i\)がマッチング\(\mu ^{\prime }\)においてマッチする相手\(\mu ^{\prime }\left(i\right) \)が、同じ提携\(T\)に属するエージェントであることを意味します。したがって\(\left( a\right) \)が成り立つことは、提携\(T\)に属するエージェントたちが内部でマッチする相手を交換することを通じて局所的なマッチング\(\mu^{\prime }\left( T\right) =\left( \mu ^{\prime }\left( i\right) \right) _{i\in T}\)を自力で達成できることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は、提携\(T\)に属するすべてのエージェントにとって\(\mu^{\prime }\)が\(\mu \)以上に望ましいことを意味し、条件\(\left( c\right) \)は、提携\(T\)に属する少なくとも1人のエージェントにとって\(\mu ^{\prime }\)が\(\mu \)よりも望ましいことを意味します。以上を踏まえると、状態\(\succsim _{M\cup W}\)においてマッチング\(\mu \)が提携\(T\)によってマッチング\(\mu ^{\prime }\)を通じて広義にブロックされることとは、エージェントたちが\(\mu \)に直面した場合に、提携\(T\)に属するエージェントたちが提携の内部でマッチする相手を交換して局所的なマッチング\(\mu ^{\prime }\left( T\right) \)を実現することにより、提携の内部で広義にパレート改善可能であることを意味します。この場合、提携\(T\)に属するエージェントたちはマッチング\(\mu \)を受け入れる道理がありません。このような意味において、何らかの提携によって広義ブロックされるマッチングは望ましくありません。

状態\(\succsim _{M\cup W}\in \mathcal{R}_{M\cup W}\)においてマッチング\(\mu \in \mathcal{M}\)がいかなる提携\(T\subset M\cup W\)とマッチング\(\mu^{\prime }\in \mathcal{M}\)によっても広義にブロックされない場合には、すなわち、マッチング\(\mu \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T:\mu ^{\prime }\left( i\right) \in T \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:\mu ^{\prime }\left( i\right) \succsim
_{i}\mu \left( i\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:\mu ^{\prime }\left( i\right) \succ
_{i}\mu \left( i\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\)とマッチング\(\mu ^{\prime }\)の組が存在しない場合、\(\succsim _{M\cup W}\)において\(\mu \)は狭義コア(strict core)であると言います。狭義コアなマッチングは状態\(\succsim _{M\cup W}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\succsim _{M\cup W}\)において狭義コアであるようなマッチングが別の状態\(\succsim _{M\cup W}^{\prime }\)においても狭義コアであるとは限りません。

状態\(\succsim _{M\cup W}\)においてマッチング\(\mu \)が狭義コアであるものとします。これに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T:\mu ^{\prime }\left( i\right) \in T \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in T:\mu ^{\prime }\left( i\right) \succ
_{i}\mu \left( i\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす提携\(T\)とマッチング\(\mu ^{\prime }\)の組を任意に選びます。つまり、提携\(T\)に属するエージェントたちは内部においてマッチする相手を交換することにより局所的なマッチング\(\mu ^{\prime}\left( T\right) \)を実現でき、なおかつ、そのような交換により提携\(T\)に属する少なくとも1人のエージェント\(j\)の満足度が高まるということです。さて、狭義コアの定義よりマッチング\(\mu \)は提携\(T\)によってマッチング\(\mu ^{\prime }\)を通じて広義にブロックされないため、\begin{equation*}\forall i\in T:\mu ^{\prime }\left( i\right) \succsim _{i}\mu \left( i\right)
\end{equation*}は成り立ちません。完備性が成り立つ場合、上の条件が成り立たないことは、\begin{equation*}
\exists i\in T:\mu \left( i\right) \succ _{i}\mu ^{\prime }\left( i\right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。つまり、狭義コアなマッチング\(\mu \)を出発点に、提携\(T\)に属するあるエージェント\(j\)の満足度を高める形で別のマッチング\(\mu ^{\prime }\)へ移行しようとすると、提携\(T\)に属する少なくとも1人の満足度が低下してしまいます。狭義コアなマッチングが与えられたとき、任意の提携はその内部で広義パレート改善を実現するのは不可能であるため、狭義コアなマッチングは目指すべき目標になり得ます。

例(狭義コア)
1対1のマッチング問題の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が、\begin{eqnarray*}
M &=&\left\{ m_{1},m_{2}\right\} \\
W &=&\left\{ w_{1},w_{2}\right\}
\end{eqnarray*}であるとともに、任意のエージェント\(i\in M\cup W\)の選好関係\(\succsim _{i}\)は完備性と推移性に加えて狭義選好の仮定を満たすものとします。具体的には、エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\)が以下の表によって与えられているものとします。

$$\begin{array}{cccc}\hline
エージェント\diagdown 順位 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
m_{1} & w_{1} & w_{2} & m_{1} \\ \hline
m_{2} & w_{1} & w_{2} & m_{2} \\ \hline
w_{1} & m_{1} & m_{2} & w_{1} \\ \hline
w_{2} & m_{1} & m_{2} & w_{2} \\ \hline
\end{array}$$

表:エージェントの選好

以下のマッチング\begin{equation*}
\mu =\begin{pmatrix}
m_{1} & m_{2} \\
w_{1} & w_{2}\end{pmatrix}\end{equation*}は先の選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで狭義コアです。実際、\(\mu \)においてすべてのエージェントは自分自身よりも望ましい相手とマッチしているため、1人からなる提携はいずれも\(\mu \)を広義ブロックしません。また、\(m_{1},w_{1}\)は\(\mu \)において自身にとって最も望ましい相手とマッチしているため、彼らがマッチする相手を変更する形での提携内の取引を通じた提携内での広義パレート改善は不可能です。仮に2人以上からなる提携が\(\mu \)を広義にブロックするのであれば、その提携には\(m_{2}\)と\(w_{2}\)の少なくとも一方が含まれます。\(m_{2}\)や\(w_{2}\)の状態を向上させるためには\(m_{1}\)や\(w_{1}\)がマッチする相手が変化するため矛盾です。したがって、2人以上からなる任意の提携もまた\(\mu \)を広義にブロックせず、ゆえに\(\mu \)は\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで狭義コアであることが明らかになりました。以下のマッチング\begin{equation*}\mu ^{\prime }=\begin{pmatrix}
m_{1} & m_{2} \\
w_{2} & w_{1}\end{pmatrix}\end{equation*}もまた先の選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで狭義コアです。実際、\(\mu ^{\prime }\)においてすべてのエージェントは自分自身よりも望ましい相手とマッチしているため、1人からなる提携はいずれも\(\mu ^{\prime }\)を広義ブロックしません。また、\(m_{2},w_{2}\)は\(\mu ^{\prime }\)において自身にとって最も望ましい相手とマッチしているため、彼らがマッチする相手を変更する形での提携内の取引を通じた提携内での広義パレート改善は不可能です。仮に2人以上からなる提携が\(\mu ^{\prime }\)を広義にブロックするのであれば、その提携には\(m_{1}\)と\(w_{1}\)の少なくとも一方が含まれます。\(m_{1}\)や\(w_{1}\)の状態を向上させるためには\(m_{2}\)や\(w_{2}\)がマッチする相手が変化するため矛盾です。したがって、2人以上からなる任意の提携もまた\(\mu ^{\prime }\)を広義にブロックせず、ゆえに\(\mu ^{\prime }\)は\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで狭義コアであることが明らかになりました。以下のマッチング\begin{equation*}\mu ^{\prime \prime }=\begin{pmatrix}
m_{1} & m_{2} & w_{1} & w_{2} \\
m_{1} & m_{2} & w_{1} & w_{2}\end{pmatrix}\end{equation*}は先の選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで狭義コアではありません。実際、例えば、提携\(\left\{ m_{1},w_{1}\right\} \)について、\begin{eqnarray*}w_{1} &\succ &_{m_{1}}m_{1}=\mu ^{\prime \prime }\left( m_{1}\right) \\
m_{1} &\succ &_{w_{1}}w_{1}=\mu ^{\prime \prime }\left( w_{1}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つからです。

 

広義コア

1対1のマッチング問題の私的価値モデルにおいて状態\(\succsim _{M\cup W}\in \mathcal{R}_{M\cup W}\)を任意に選びます。このとき、マッチング\(\mu \in \mathcal{M}\)に対して、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T:\mu ^{\prime }\left( i\right) \in T \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:\mu ^{\prime }\left( i\right) \succ
_{i}\mu \left( i\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすマッチング\(\mu ^{\prime }\in \mathcal{M}\)とエージェント集合\(T\subset M\cup W\)が存在する場合、\(\succsim_{M\cup W}\)においてマッチング\(\mu \)は提携\(T\)によってマッチング\(\mu^{\prime }\)を通じて狭義にブロックされる(\(\mu \) isstrictly blocked by \(T\) via \(\mu ^{\prime }\) at \(\succsim _{M\cup W}\))と言います。

条件\(\left( a\right) \)は、提携\(T\)に属するそれぞれのエージェント\(i\)がマッチング\(\mu ^{\prime }\)においてマッチする相手\(\mu ^{\prime }\left(i\right) \)が、同じ提携\(T\)に属するエージェントであることを意味します。したがって\(\left( a\right) \)が成り立つことは、提携\(T\)に属するエージェントたちが内部でマッチする相手を交換することを通じて局所的なマッチング\(\mu^{\prime }\left( T\right) =\left( \mu ^{\prime }\left( i\right) \right) _{i\in T}\)を自力で達成できることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は、提携\(T\)に属するすべてのエージェントにとって\(\mu^{\prime }\)が\(\mu \)よりも望ましいことを意味します。以上を踏まえると、状態\(\succsim _{M\cup W}\)においてマッチング\(\mu \)が提携\(T\)によってマッチング\(\mu^{\prime }\)を通じて狭義にブロックされることとは、エージェントたちが\(\mu \)に直面した場合に、提携\(T\)に属するエージェントたちが提携の内部でマッチする相手を交換して局所的なマッチング\(\mu^{\prime }\left( T\right) \)を実現することにより、提携の内部で狭義にパレート改善可能であることを意味します。この場合、提携\(T\)に属するエージェントたちはマッチング\(\mu \)を受け入れる道理がありません。このような意味において、何らかの提携によって狭義ブロックされるマッチングは望ましくありません。

状態\(\succsim _{M\cup W}\in \mathcal{R}_{M\cup W}\)においてマッチング\(\mu \in \mathcal{M}\)がいかなる提携\(T\subset M\cup W\)とマッチング\(\mu^{\prime }\in \mathcal{M}\)によっても狭義にブロックされない場合には、すなわち、マッチング\(\mu \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T:\mu ^{\prime }\left( i\right) \in T \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:\mu ^{\prime }\left( i\right) \succ
_{i}\mu \left( i\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす提携\(T\)とマッチング\(\mu ^{\prime }\)の組が存在しない場合、\(\succsim _{M\cup W}\)において\(\mu \)は広義コア(weak core)であると言います。広義コアなマッチングは状態\(\succsim _{M\cup W}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\succsim _{M\cup W}\)において広義コアであるようなマッチングが別の状態\(\succsim _{M\cup W}^{\prime }\)においても広義コアであるとは限りません。

状態\(\succsim _{M\cup W}\)においてマッチング\(\mu \)が広義コアであるものとします。これに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T:\mu ^{\prime }\left( i\right) \in T \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in T:\mu ^{\prime }\left( i\right) \succ
_{i}\mu \left( i\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす提携\(T\)とマッチング\(\mu ^{\prime }\)の組を任意に選びます。つまり、提携\(T\)に属するエージェントたちは内部においてマッチする相手を交換することにより局所的なマッチング\(\mu ^{\prime}\left( T\right) \)を実現でき、なおかつ、そのような交換により提携\(T\)に属する少なくとも1人のエージェント\(j\)の満足度が高まるということです。さて、広義コアの定義よりマッチング\(\mu \)は提携\(T\)によってマッチング\(\mu ^{\prime }\)を通じて狭義にブロックされないため、\begin{equation*}\forall i\in T\backslash \left\{ i\right\} :\mu ^{\prime }\left( i\right)
\succ _{i}\mu \left( i\right)
\end{equation*}は成り立ちません。完備性が成り立つ場合、上の条件が成り立たないことは、\begin{equation*}
\exists i\in T\backslash \left\{ i\right\} :\mu \left( i\right) \succsim
_{i}\mu ^{\prime }\left( i\right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。つまり、広義コアなマッチング\(\mu \)を出発点に、提携\(T\)に属するあるエージェント\(j\)の満足度を高める形で別のマッチング\(\mu ^{\prime }\)へ移行しようとすると、提携\(T\)に属する少なくとも1人の満足度が低下する可能性があります。広義コアなマッチングが与えられたとき、任意の提携はその内部で狭義パレート改善を実現するのは不可能であるため、広義コアなマッチングは目指すべき目標になり得ます。

例(広義コア)
1対1のマッチング問題の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が、\begin{eqnarray*}
M &=&\left\{ m_{1},m_{2}\right\} \\
W &=&\left\{ w_{1},w_{2}\right\}
\end{eqnarray*}であるとともに、任意のエージェント\(i\in M\cup W\)の選好関係\(\succsim _{i}\)は完備性と推移性に加えて狭義選好の仮定を満たすものとします。具体的には、エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\)が以下の表によって与えられているものとします。

$$\begin{array}{cccc}\hline
エージェント\diagdown 順位 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
m_{1} & w_{1} & w_{2} & m_{1} \\ \hline
m_{2} & w_{1} & w_{2} & m_{2} \\ \hline
w_{1} & m_{1} & m_{2} & w_{1} \\ \hline
w_{2} & m_{1} & m_{2} & w_{2} \\ \hline
\end{array}$$

表:エージェントの選好

以下のマッチング\begin{equation*}
\mu =\begin{pmatrix}
m_{1} & m_{2} \\
w_{1} & w_{2}\end{pmatrix}\end{equation*}は先の選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで広義コアです。実際、\(\mu \)においてすべてのエージェントは自分自身よりも望ましい相手とマッチしているため、1人からなる提携はいずれも\(\mu \)を狭義ブロックしません。また、\(m_{1}\)と\(w_{1}\)は\(\mu \)において自身にとって最も望ましい相手とマッチしているため、彼らがマッチする相手を変更する形での提携内の取引を通じた提携内での狭義パレート改善は不可能です。仮に2人以上からなる提携が\(\mu \)を狭義にブロックするのであれば、その提携には\(m_{2}\)と\(w_{2}\)の少なくとも一方が含まれます。\(m_{2}\)や\(w_{2}\)の状態を向上させるためには\(m_{1}\)や\(w_{1}\)がマッチする相手が変化するため矛盾です。したがって、2人以上からなる任意の提携もまた\(\mu \)を狭義にブロックせず、ゆえに\(\mu \)は\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで広義コアであることが明らかになりました。以下のマッチング\begin{equation*}\mu ^{\prime }=\begin{pmatrix}
m_{1} & m_{2} \\
w_{2} & w_{1}\end{pmatrix}\end{equation*}もまた先の選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで広義コアです。実際、\(\mu ^{\prime }\)においてすべてのエージェントは自分自身よりも望ましい相手とマッチしているため、1人からなる提携はいずれも\(\mu ^{\prime }\)を狭義ブロックしません。また、\(m_{2},w_{2}\)は\(\mu ^{\prime }\)において自身にとって最も望ましい相手とマッチしているため、彼らがマッチする相手を変更する形での提携内の取引を通じた提携内での狭義パレート改善は不可能です。仮に2人以上からなる提携が\(\mu ^{\prime }\)を狭義にブロックするのであれば、その提携には\(m_{1}\)と\(w_{1}\)の少なくとも一方が含まれます。\(m_{1}\)や\(w_{1}\)の状態を向上させるためには\(m_{2}\)や\(w_{2}\)がマッチする相手が変化するため矛盾です。したがって、2人以上からなる任意の提携もまた\(\mu ^{\prime }\)を狭義にブロックせず、ゆえに\(\mu ^{\prime }\)は\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで広義コアであることが明らかになりました。以下のマッチング\begin{equation*}\mu ^{\prime \prime }=\begin{pmatrix}
m_{1} & m_{2} & w_{1} & w_{2} \\
m_{1} & m_{2} & w_{1} & w_{2}\end{pmatrix}\end{equation*}は先の選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで広義コアではありません。実際、例えば、提携\(\left\{ m_{1},w_{1}\right\} \)について、\begin{eqnarray*}w_{1} &\succ &_{m_{1}}m_{1}=\mu ^{\prime \prime }\left( m_{1}\right) \\
m_{1} &\succ &_{w_{1}}w_{1}=\mu ^{\prime \prime }\left( w_{1}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つからです。

 

狭義コア選択メカニズム

1対1のマッチング問題におけるメカニズム\(\phi \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。状態が\(\succsim _{M\cup W}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)のもとではエージェントたちは正直戦略にもとづいて\(\succsim _{M\cup W}\)を申告し、その申告に対してメカニズムはマッチング\(\phi \left( \succsim _{M\cup W}\right) \)を定めますが、このマッチングが\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで狭義コアであることが保証される場合、このメカニズム\(\phi \)は狭義コア選択メカニズム(strict coleselecting mechanism)であると言います。

メカニズムを設計する段階において、制度設計者はどの状態が真の状態であるか分からないため、誘因両立的なメカニズムが狭義コア選択であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態において、そこでの均衡マッチングが狭義コア選択であることを保証する必要があります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が狭義コア選択であることとは、状態\(\succsim _{M\cup W}\in \mathcal{R}_{M\cup W}\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T:\mu \left( i\right) \in T \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:\mu \left( i\right) \succsim _{i}\phi
_{i}\left( \succsim _{M\cup W}\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:\mu \left( i\right) \succ _{i}\phi
_{i}\left( \succsim _{M\cup W}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\subset M\cup W\)とマッチング\(\mu \in \mathcal{M}\)の組が存在しないことを意味します。

メカニズム\(\phi \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\phi \)が狭義コア選択であることとは、エージェントたちが申告する選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\in \mathcal{R}_{M\cup W}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\phi \)が定めるマッチング\(\phi \left(\succsim _{M\cup W}\right) \)が\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで狭義コアであること、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T:\mu \left( i\right) \in T \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:\mu \left( i\right) \succsim _{i}\phi
_{i}\left( \succsim _{M\cup W}\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:\mu \left( i\right) \succ _{i}\phi
_{i}\left( \succsim _{M\cup W}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\subset M\cup W\)とマッチング\(\mu \in \mathcal{M}\)の組が存在しないことを意味します。これは誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が狭義コア選択であるための条件と同様です。ただし、この場合、メカニズム\(\phi \)は誘因両立的であるとは限らないため、メカニズムが定めるマッチングはエージェントたちが申告する選好のもとで狭義コアである一方で、エージェントたちの真の選好のもとで狭義コアであるとは限りません。つまり、真の意味での狭義コアを遂行するためには、メカニズムは狭義コア選択であるとともに誘因両立的である必要があるということです。

 

広義コア選択メカニズム

1対1のマッチング問題におけるメカニズム\(\phi \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。状態が\(\succsim _{M\cup W}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)のもとではエージェントたちは正直戦略にもとづいて\(\succsim _{M\cup W}\)を申告し、その申告に対してメカニズムはマッチング\(\phi \left( \succsim _{M\cup W}\right) \)を定めますが、このマッチングが\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで広義コアであることが保証される場合、このメカニズム\(\phi \)は広義コア選択メカニズム(weak coleselecting mechanism)であると言います。

メカニズムを設計する段階において、制度設計者はどの状態が真の状態であるか分からないため、誘因両立的なメカニズムが広義コア選択であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態において、そこでの均衡マッチングが広義コア選択であることを保証する必要があります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が広義コア選択であることとは、状態\(\succsim _{M\cup W}\in \mathcal{R}_{M\cup W}\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T:\mu \left( i\right) \in T \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:\mu \left( i\right) \succ _{i}\phi
_{i}\left( \succsim _{M\cup W}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす提携\(T\subset M\cup W\)とマッチング\(\mu \in \mathcal{M}\)の組が存在しないことを意味します。

メカニズム\(\phi \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\phi \)が広義コア選択であることとは、エージェントたちが申告する選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\in \mathcal{R}_{M\cup W}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\phi \)が定めるマッチング\(\phi \left(\succsim _{M\cup W}\right) \)が\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで広義コアであること、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T:\mu \left( i\right) \in T \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:\mu \left( i\right) \succ _{i}\phi
_{i}\left( \succsim _{M\cup W}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす提携\(T\subset M\cup W\)とマッチング\(\mu \in \mathcal{M}\)の組が存在しないことを意味します。これは誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が広義コア選択であるための条件と同様です。ただし、この場合、メカニズム\(\phi \)は誘因両立的であるとは限らないため、メカニズムが定めるマッチングはエージェントたちが申告する選好のもとで広義コアである一方で、エージェントたちの真の選好のもとで広義コアであるとは限りません。つまり、真の意味での広義コアを遂行するためには、メカニズムは広義コア選択であるとともに誘因両立的である必要があるということです。

 

狭義コアと広義コアの関係

状態が与えられたとき、あるマッチングが狭義コアであるならば、そのマッチングは広義コアでもあります。したがって、狭義コア選択メカニズムは広義コア選択メカニズムでもあります。

命題(狭義コアは広義コア)
1対1のマッチング問題の私的価値モデルにおいて、状態\(\succsim _{M\cup W}\in \mathcal{R}_{M\cup W}\)のもとでマッチング\(\mu \in \mathcal{M}\)が狭義コアであるならば、\(\succsim_{M\cup W}\)のもとで\(\mu \)は広義コアである。したがって、メカニズム\(\phi \)が狭義コア選択メカニズムであるならば、\(\phi \)は広義コア選択メカニズムである。
証明

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先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、状態が与えられたとき、広義コアは狭義コアであるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(狭義コアではない広義コア)
1対1のマッチング問題の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が、\begin{eqnarray*}
M &=&\left\{ m_{1},m_{2}\right\} \\