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1対1のマッチング問題

1対1のマッチング問題におけるパレート効率的メカニズム

目次

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狭義パレート効率的なマッチング

1対1のマッチング問題において、何らかの均衡を遂行できるようなマッチングメカニズムを設計する場合、そもそもどのような均衡を目指すべきかという問題が発生します。マッチメイカーが何らかの意味において社会的に望ましい均衡を遂行しようとする場合、望ましさの基準として何を採用すべきであるかが問題になります。代表的な基準は効率性(efficiency)です。

1対1のマッチング問題において状態\(\succsim _{M\cup W}\in \mathcal{R}_{M\cup W}\)を任意に選びます。このとき、2つのマッチング\(\mu ,\mu ^{\prime }\in \mathcal{M}\)の間に、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in M\cup W:\mu ^{\prime }\succsim _{i}^{\mathcal{M}}\left[ \succsim _{M\cup W}\right] \ \mu \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in M\cup W:\mu ^{\prime }\succ _{i}^{\mathcal{M}}\left[ \succsim _{M\cup W}\right] \ \mu
\end{eqnarray*}という条件がともに成り立つ場合、\(\succsim _{M\cup W}\)において\(\mu \)は\(\mu ^{\prime }\)を広義パレート支配する(weakly Pareto dominate)と言います。同じことを、\(\mu \)は\(\mu ^{\prime }\)によって広義パレート支配される(weakly Pareto dominated)と言うこともできます。

条件\(\left( a\right) \)は、任意のエージェントにとって\(\mu ^{\prime }\)が\(\mu \)以上に望ましいことを意味し、条件\(\left( b\right) \)は、少なくとも1人のエージェントにとって\(\mu ^{\prime }\)が\(\mu \)よりも望ましいことを意味します。したがって、\(\succsim _{M\cup W}\)において\(\mu ^{\prime }\)が\(\mu \)を広義パレートする場合、\(\mu \)から\(\mu ^{\prime }\)へ移行することにより、全員の満足度を低下させることなく少なくとも1人の満足度を高めることができます。そのような意味において、\(\mu \)から\(\mu ^{\prime }\)へ移行することを広義のパレート改善(weaklyPareto improvement)と呼びます。誰かの犠牲を伴わずに誰かの満足度を高めることができるのであれば、それは明らかに望ましい変化です。したがって、広義のパレート改善は目標とすべき指標の1つとして位置付けられます。

例(私的価値モデルの場合)
1対1のマッチング問題の私的価値モデルにおいては、任意のエージェント\(i\in M\cup W\)および任意のマッチング\(\mu,\mu ^{\prime }\in \mathcal{M}\)に対して、\begin{equation*}\mu \succsim _{i}^{\mathcal{M}}\left[ \succsim _{M\cup W}\right] \ \mu
^{\prime }\Leftrightarrow \mu \left( i\right) \succsim _{i}\mu ^{\prime
}\left( i\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、エージェント\(i\)がマッチングどうしを比較する選好\(\succsim_{i}^{\mathcal{M}}\left[ \succsim _{M\cup W}\right] \)について考えるかわりに、エージェント\(i\)がマッチし得る相手どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)について考えても一般性は失われません。したがって、状態\(\succsim _{M\cup W}\)においてマッチング\(\mu ^{\prime }\)がマッチング\(\mu \)を広義パレート支配することとは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in M\cup W:\mu ^{\prime }\left( i\right)
\succsim _{i}\mu \left( i\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in M\cup W:\mu ^{\prime }\left( i\right) \succ
_{i}\mu \left( i\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つこととして表現されます。つまり、任意のエージェントにとって\(\mu ^{\prime }\)のもとでマッチする相手が\(\mu \)のもとでマッチする相手以上に望ましく、なおかつ、少なくとも1人のエージェントにとって\(\mu ^{\prime }\)のもとでマッチする相手が\(\mu \)のもとでマッチする相手よりも望ましいということです。

状態\(\succsim _{M\cup W}\in \mathcal{R}_{M\cup W}\)においてマッチング\(\mu \in \mathcal{M}\)が他のいかなるマッチングによっても広義パレート支配されない場合、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in M\cup W:\mu ^{\prime }\succsim _{i}^{\mathcal{M}}\left[ \succsim _{M\cup W}\right] \ \mu \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in M\cup W:\mu ^{\prime }\succ _{i}^{\mathcal{M}}\left[ \succsim _{M\cup W}\right] \ \mu
\end{eqnarray*}をともに満たすマッチング\(\mu ^{\prime }\in \mathcal{M}\)が存在しない場合、\(\succsim _{M\cup W}\)において\(\mu \)は狭義パレート効率的(strictlyPareto efficient)であると言います。狭義パレート効率的なマッチングは状態\(\succsim _{M\cup W}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\succsim _{M\cup W}\)において狭義パレート効率的なマッチングが別の状態\(\succsim _{M\cup W}^{\prime }\)においても狭義パレート効率的であるとは限りません。

状態\(\succsim _{M\cup W}\)においてマッチング\(\mu \)が狭義パレート効率的であるものとします。これに対して、\begin{equation*}\exists j\in M\cup W:\mu ^{\prime }\succ _{j}^{\mathcal{M}}\left[ \succsim
_{M\cup W}\right] \ \mu
\end{equation*}を満たすマッチング\(\mu^{\prime }\)を任意に選びます。\(\mu \)から\(\mu ^{\prime }\)へ移行すると、少なくとも1人のエージェント\(j\)の満足度が高まるということです。さて、狭義パレート効率性の定義より\(\mu ^{\prime }\)は\(\mu \)を広義パレート支配しないため、このとき、\begin{equation*}\forall i\in M\cup W:\mu ^{\prime }\succsim _{i}^{\mathcal{M}}\left[
\succsim _{M\cup W}\right] \ \mu
\end{equation*}は成り立たず、したがって、\begin{equation*}
\exists i\in M\cup W:\mu \succ _{i}^{\mathcal{M}}\left[ \succsim _{M\cup W}\right] \ \mu ^{\prime }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、狭義パレート効率的なマッチング\(\mu \)を出発点に、あるエージェント\(j\)の満足度を高める形へ別のマッチング\(\mu ^{\prime }\)へ移行しようとすると、少なくとも1人のエージェント\(i\)の満足度が下がってしまいます。狭義パレート効率的なマッチングが与えられたとき、そこから広義パレート改善を実現するのは不可能であるため、狭義パレート効率的なマッチングは目指すべき目標になり得ます。

例(私的価値モデルの場合)
1対1のマッチング問題の私的価値モデルにおいては、任意のエージェント\(i\)について、マッチし得る相手どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)とマッチングどうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{\mathcal{M}}\left[ \succsim _{M\cup W}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、状態\(\succsim _{M\cup W}\)においてマッチング\(\mu \)が狭義パレート効率的であることとは、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in M\cup W:\mu ^{\prime }\left( i\right)
\succsim _{i}\mu \left( i\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in M\cup W:\mu ^{\prime }\left( i\right) \succ
_{i}\mu \left( i\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすマッチング\(\mu ^{\prime }\)が存在しないことを意味します。
例(狭義パレート効率的なマッチング)
1対1のマッチング問題の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が、\begin{eqnarray*}
M &=&\left\{ m_{1},m_{2}\right\} \\
W &=&\left\{ w_{1},w_{2}\right\}
\end{eqnarray*}であるとともに、任意のエージェント\(i\in M\cup W\)の選好関係\(\succsim _{i}\)は完備性と推移性に加えて狭義選好の仮定を満たすものとします。具体的には、エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\)が以下の表によって与えられているものとします。

$$\begin{array}{cccc}\hline
エージェント\diagdown 順位 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
m_{1} & w_{1} & w_{2} & m_{1} \\ \hline
m_{2} & w_{1} & w_{2} & m_{2} \\ \hline
w_{1} & m_{1} & m_{2} & w_{1} \\ \hline
w_{2} & m_{1} & m_{2} & w_{2} \\ \hline
\end{array}$$

表:エージェントの選好

以下のマッチング\begin{equation*}
\mu =\begin{pmatrix}
m_{1} & m_{2} \\
w_{1} & w_{2}\end{pmatrix}\end{equation*}は先の選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで狭義パレート効率的です。\(m_{1}\)と\(w_{1}\)は互いに最も望ましい相手とマッチしているため、このペアを解消する形での広義パレート改善は不可能です。その一方で、\(m_{2}\)や\(w_{2}\)をより望ましい相手とマッチさせようとすると\(m_{1}\)と\(w_{1}\)のペアを解消せざるを得ません。したがって、\(\mu \)は\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで狭義パレート効率的であることが明らかになりました。以下のマッチング\begin{equation*}\mu ^{\prime }=\begin{pmatrix}
m_{1} & m_{2} \\
w_{2} & w_{1}\end{pmatrix}\end{equation*}もまた先の選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで狭義パレート効率的です。\(w_{2}\)は最も望ましい相手\(m_{1}\)とマッチしているため、このペアを解消する形での広義パレート改善は不可能です。また、\(m_{2}\)は最も望ましい相手\(w_{1}\)とマッチしているため、このペアを解消する形での広義パレート改善も不可能です。したがって、\(\mu ^{\prime }\)は\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで狭義パレート効率的であることが明らかになりました。以下のマッチング\begin{equation*}\mu ^{\prime \prime }=\begin{pmatrix}
m_{1} & m_{2} & w_{1} & w_{2} \\
m_{1} & m_{2} & w_{1} & w_{2}\end{pmatrix}\end{equation*}は先の選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで狭義パレート効率的ではありません。実際、先の\(\mu \)や\(\mu ^{\prime }\)へ移行することにより広義パレート改善が可能だからです。

 

広義パレート効率的なマッチング

1対1のマッチング問題において状態\(\succsim _{M\cup W}\in \mathcal{R}_{M\cup W}\)を任意に選びます。このとき、2つのマッチング\(\mu ,\mu ^{\prime }\in \mathcal{M}\)の間に、\begin{equation*}\forall i\in M\cup W:\mu ^{\prime }\succ _{i}\left[ \succsim _{M\cup W}\right] \ \mu
\end{equation*}という条件が成り立つ場合、\(\succsim _{M\cup W}\)において\(\mu \)は\(\mu ^{\prime }\)を狭義パレート支配する(strictly Pareto dominate)と言います。同じことを、\(\mu \)は\(\mu^{\prime }\)によって狭義パレート支配される(strictly Pareto dominated)と言うこともできます。

上の条件は、任意のエージェントにとって\(\mu ^{\prime }\)が\(\mu \)よりも望ましいことを意味します。したがって、\(\succsim _{M\cup W}\)において\(\mu ^{\prime }\)が\(\mu \)を狭義パレートする場合、\(\mu \)から\(\mu ^{\prime }\)へ移行することにより全員の満足度を高めることができます。そのような意味において、\(\mu \)から\(\mu ^{\prime }\)へ移行することを狭義のパレート改善(strictly Pareto improvement)と呼びます。全員の満足度を高めることができるのであれば、それは明らかに望ましい変化です。したがって、狭義のパレート改善は目標とすべき指標の1つとして位置付けられます。

例(私的価値モデルの場合)
1対1のマッチング問題の私的価値モデルにおいては、任意のエージェント\(i\)について、マッチし得る相手どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)とマッチングどうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{\mathcal{M}}\left[ \succsim _{M\cup W}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、状態\(\succsim _{M\cup W}\)においてマッチング\(\mu ^{\prime }\)がマッチング\(\mu \)を狭義パレート支配することとは、\begin{equation*}\forall i\in M\cup W:\mu ^{\prime }\left( i\right) \succ _{i}\mu \left(
i\right)
\end{equation*}が成り立つこととして表現されます。つまり、任意のエージェントにとって\(\mu ^{\prime }\)のもとでマッチする相手が\(\mu \)のもとでマッチする相手よりも望ましいということです。

状態\(\succsim _{M\cup W}\in \mathcal{R}_{M\cup W}\)においてマッチング\(\mu \in \mathcal{M}\)が他のいかなるマッチングによっても狭義パレート支配されない場合、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in M\cup W:\mu ^{\prime }\left( i\right) \succ _{i}\mu \left(
i\right)
\end{equation*}を満たすマッチング\(\mu^{\prime }\in \mathcal{M}\)が存在しない場合、\(\succsim _{M\cup W}\)において\(\mu \)は広義パレート効率的(weakly Pareto efficient)であると言います。広義パレート効率的なマッチングは状態\(\succsim_{M\cup W}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\succsim _{M\cup W}\)において広義パレート効率的なマッチングが別の状態\(\succsim _{M\cup W}^{\prime }\)においても広義パレート効率的であるとは限りません。

状態\(\succsim _{M\cup W}\)においてマッチング\(\mu \)が広義パレート効率的であるものとします。これに対して、\begin{equation*}\exists j\in M\cup W:\mu ^{\prime }\succ _{j}^{\mathcal{M}}\left[ \succsim
_{M\cup W}\right] \ \mu
\end{equation*}を満たすマッチング\(\mu^{\prime }\)を任意に選びます。\(\mu \)から\(\mu ^{\prime }\)へ移行すると、少なくとも1人のエージェント\(j\)の満足度が高まるということです。さて、広義パレート効率性の定義より\(\mu ^{\prime }\)は\(\mu \)を狭義パレート支配しないため、このとき、\begin{equation*}\forall i\in M\cup W:\mu ^{\prime }\succ _{i}^{\mathcal{M}}\left[ \succsim
_{M\cup W}\right] \ \mu
\end{equation*}は成り立たず、したがって、\begin{equation*}
\exists i\in M\cup W:\mu \succsim _{i}^{\mathcal{M}}\left[ \succsim _{M\cup
W}\right] \ \mu ^{\prime }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、広義パレート効率的なマッチング\(\mu \)を出発点に、あるエージェント\(j\)の満足度を高める形へ別のマッチング\(\mu ^{\prime }\)へ移行しようとすると、少なくとも1人のエージェント\(i\)の満足度は向上しません(悪化する可能性もある)。広義パレート効率的なマッチングが与えられたとき、そこから狭義パレート改善を実現するのは不可能であるため、広義パレート効率的なマッチングは目指すべき目標になり得ます。

例(私的価値モデルの場合)
1対1のマッチング問題の私的価値モデルにおいては、任意のエージェント\(i\)について、マッチし得る相手どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)とマッチングどうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{\mathcal{M}}\left[ \succsim _{M\cup W}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、状態\(\succsim _{M\cup W}\)においてマッチング\(\mu \)が広義パレート効率的であることとは、それに対して、\begin{equation*}\forall i\in M\cup W:\mu ^{\prime }\left( i\right) \succ _{i}\mu \left(
i\right)
\end{equation*}を満たすマッチング\(\mu^{\prime }\)が存在しないことを意味します。
例(広義パレート効率的なマッチング)
1対1のマッチング問題の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が、\begin{eqnarray*}
M &=&\left\{ m_{1},m_{2}\right\} \\
W &=&\left\{ w_{1},w_{2}\right\}
\end{eqnarray*}であるとともに、任意のエージェント\(i\in M\cup W\)の選好関係\(\succsim _{i}\)は完備性と推移性に加えて狭義選好の仮定を満たすものとします。具体的には、エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\)が以下の表によって与えられているものとします。

$$\begin{array}{cccc}\hline
エージェント\diagdown 順位 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
m_{1} & w_{1} & w_{2} & m_{1} \\ \hline
m_{2} & w_{1} & w_{2} & m_{2} \\ \hline
w_{1} & m_{1} & m_{2} & w_{1} \\ \hline
w_{2} & m_{1} & m_{2} & w_{2} \\ \hline
\end{array}$$

表:エージェントの選好

以下のマッチング\begin{equation*}
\mu =\begin{pmatrix}
m_{1} & m_{2} \\
w_{1} & w_{2}\end{pmatrix}\end{equation*}は先の選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで広義パレート効率的です。\(m_{1}\)と\(w_{1}\)は互いに最も望ましい相手とマッチしているため狭義パレート改善が不可能だからです。以下のマッチング\begin{equation*}\mu ^{\prime }=\begin{pmatrix}
m_{1} & m_{2} \\
w_{2} & w_{1}\end{pmatrix}\end{equation*}もまた先の選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで広義パレート効率的です。\(w_{2}\)や\(m_{2}\)は最も望ましい相手とマッチしているため狭義パレート改善が不可能だからです。以下のマッチング\begin{equation*}\mu ^{\prime \prime }=\begin{pmatrix}
m_{1} & m_{2} & w_{1} & w_{2} \\
m_{1} & m_{2} & w_{1} & w_{2}\end{pmatrix}\end{equation*}は先の選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで広義パレート効率的ではありません。実際、先の\(\mu \)や\(\mu ^{\prime }\)へ移行することにより狭義パレート改善が可能だからです。

 

狭義事後効率的なメカニズム

1対1のマッチング問題におけるメカニズム\(\phi \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。状態が\(\succsim _{M\cup W}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)のもとではエージェントたちは正直戦略にもとづいて\(\succsim _{M\cup W}\)を申告し、その申告に対してメカニズムはマッチング\(\phi \left( \succsim _{M\cup W}\right) \)を定めますが、このマッチングが\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで狭義パレート効率的であることが保証される場合、このメカニズム\(\phi \)は狭義事後効率的(strictly ex-post efficient)であると言います。

メカニズムを設計する段階において、制度設計者はどの状態が真の状態であるか分からないため、誘因両立的なメカニズムが狭義事後効率的であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態において、そこでの均衡マッチングが狭義パレート効率的であることを保証する必要があります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が狭義事後効率的であることとは、状態\(\succsim _{M\cup W}\in \mathcal{R}_{M\cup W}\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in M\cup W:\mu \succsim _{i}^{\mathcal{M}}\left[ \succsim _{M\cup W}\right] \ \phi \left( \succsim _{M\cup W}\right)
\\
&&\left( b\right) \ \exists i\in M\cup W:\mu \succ _{i}^{\mathcal{M}}\left[
\succsim _{M\cup W}\right] \ \phi \left( \succsim _{M\cup W}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすマッチング\(\mu \in \mathcal{M}\)が存在しないことを意味します。

メカニズム\(\phi \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\phi \)が狭義事後効率的であることとは、エージェントたちが申告する選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\in \mathcal{R}_{M\cup W} \)を任意に選んだとき、それに対して\(\phi \)が定めるマッチング\(\phi \left(\succsim _{M\cup W}\right) \)が\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで狭義パレート効率的であること、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in M\cup W:\mu \succsim _{i}^{\mathcal{M}}\left[ \succsim _{M\cup W}\right] \ \phi \left( \succsim _{M\cup W}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in M\cup W:\mu \succ _{i}^{\mathcal{M}}\left[
\succsim _{M\cup W}\right] \ \phi \left( \succsim _{M\cup W}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすマッチング\(\mu \in \mathcal{M}\)が存在しないことを意味します。これは誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が狭義事後効率的であるための条件と同様です。ただし、この場合、メカニズム\(\phi \)は誘因両立的であるとは限らないため、メカニズムが定めるマッチングはエージェントたちが申告する選好のもとで狭義パレート効率的である一方で、エージェントたちの真の選好のもとで狭義パレート効率的であるとは限らないため注意が必要です。

例(私的価値モデルの場合)
1対1のマッチング問題の私的価値モデルにおいては、任意のエージェント\(i\)について、マッチし得る相手どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)とマッチングどうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{\mathcal{M}}\left[ \succsim _{M\cup W}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が狭義事後効率的であることとは、\(\succsim _{M\cup W}\in \mathcal{R}_{M\cup W}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in M\cup W:\mu \left( i\right) \succsim
_{i}\phi _{i}\left( \succsim _{M\cup W}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in M\cup W:\mu \left( i\right) \succ _{i}\phi
_{i}\left( \succsim _{M\cup W}\right)
\end{eqnarray*}を満たすマッチング\(\mu\in \mathcal{M}\)が存在しないことを意味します。メカニズム\(\phi \)が均衡を持つことを前提としない場合にも、\(\phi \)が狭義事後効率的であることは同様にして定義されます。

 

広義事後効率的なメカニズム

1対1のマッチング問題におけるメカニズム\(\phi \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。状態が\(\succsim _{M\cup W}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)のもとではエージェントたちは正直戦略にもとづいて\(\succsim _{M\cup W}\)を申告し、その申告に対してメカニズムはマッチング\(\phi \left( \succsim _{M\cup W}\right) \)を定めますが、このマッチングが\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで広義パレート効率的であることが保証される場合、このメカニズム\(\phi \)は広義事後効率的(weakly ex-post efficient)であると言います。

メカニズムを設計する段階において、制度設計者はどの状態が真の状態であるか分からないため、誘因両立的なメカニズムが広義事後効率的であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態において、そこでの均衡マッチングが広義パレート効率的であることを保証する必要があります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が広義事後効率的であることとは、状態\(\succsim _{M\cup W}\in \mathcal{R}_{M\cup W}\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\forall i\in M\cup W:\mu \succ _{i}^{\mathcal{M}}\left[ \succsim _{M\cup W}\right] \ \phi \left( \succsim _{M\cup W}\right)
\end{equation*}をともに満たすマッチング\(\mu \in \mathcal{M}\)が存在しないことを意味します。

メカニズム\(\phi \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\phi \)が広義事後効率的であることとは、エージェントたちが申告する選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\in \mathcal{R}_{M\cup W} \)を任意に選んだとき、それに対して\(\phi \)が定めるマッチング\(\phi \left(\succsim _{M\cup W}\right) \)が\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで狭義パレート効率的であること、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in M\cup W:\mu \succ _{i}^{\mathcal{M}}\left[ \succsim _{M\cup W}\right] \ \phi \left( \succsim _{M\cup W}\right)
\end{equation*}をともに満たすマッチング\(\mu \in \mathcal{M}\)が存在しないことを意味します。これは誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が広義事後効率的であるための条件と同様です。ただし、この場合、メカニズム\(\phi \)は誘因両立的であるとは限らないため、メカニズムが定めるマッチングはエージェントたちが申告する選好のもとで広義パレート効率的である一方で、エージェントたちの真の選好のもとで広義パレート効率的であるとは限らないため注意が必要です。

例(私的価値モデルの場合)
1対1のマッチング問題の私的価値モデルにおいては、任意のエージェント\(i\)について、マッチし得る相手どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)とマッチングどうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{\mathcal{M}}\left[ \succsim _{M\cup W}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が広義事後効率的であることとは、\(\succsim _{M\cup W}\in \mathcal{R}_{M\cup W}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\forall i\in M\cup W:\mu \left( i\right) \succ _{i}\phi _{i}\left( \succsim
_{M\cup W}\right)
\end{equation*}を満たすマッチング\(\mu\in \mathcal{M}\)が存在しないことを意味します。メカニズム\(\phi \)が均衡を持つことを前提としない場合にも、\(\phi \)が広義事後効率的であることは同様にして定義されます。

 

狭義パレート効率性と広義パレート効率性の関係

状態が与えられたとき、あるマッチングが狭義パレート効率的であるならば、そのマッチングは広義パレート効率的でもあります。したがって、狭義事後効率的なメカニズムは広義事後効率的でもあります。

命題(狭義パレート効率的なマッチングは広義パレート効率的)
1対1のマッチング問題において、状態\(\succsim _{M\cup W}\in \mathcal{R}_{M\cup W}\)のもとでマッチング\(\mu \in \mathcal{M}\)が狭義パレート効率的であるならば、\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで\(\mu \)は広義パレート効率的である。したがって、メカニズム\(\phi \)が狭義事後効率的であるならば、\(\phi \)は広義事後効率的である。
証明

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上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、状態が与えられたとき、広義パレート効率的なマッチングは狭義パレート効率的であるとは限りません。以下の例より明らかです。したがって、広義事後効率的なメカニズムは狭義事後効率的であるとは限りません。

例(広義パレート効率的だが狭義パレート効率的ではないマッチング)
1対1のマッチング問題の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が、\begin{eqnarray*}
M &=&\left\{ m_{1},m_{2}\right\} \\
W &=&\left\{ w_{1},w_{2}\right\}
\end{eqnarray*}であるとともに、任意のエージェント\(i\in M\cup W\)の選好関係\(\succsim _{i}\)は完備性と推移性に加えて狭義選好の仮定を満たすものとします。具体的には、エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\)が以下の表によって与えられているものとします。

$$\begin{array}{cccc}\hline
プレイヤー\diagdown 順位 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
m_{1} & w_{1} & w_{2} & m_{1} \\ \hline
m_{2} & w_{1} & w_{2} & m_{2} \\ \hline
w_{1} & m_{1} & m_{2} & w_{1} \\ \hline
w_{2} & m_{1} & m_{2} & w_{2} \\ \hline
\end{array}$$

表:エージェントの選好

以下のマッチング\begin{equation*}
\mu =\begin{pmatrix}
m_{1} & m_{2} & w_{2} \\
w_{1} & m_{2} & w_{2}\end{pmatrix}\end{equation*}は先の選好プロファイル\(\succsim _{M\cup W}\)のもとで広義パレート効率的です。\(m_{1}\)と\(w_{1}\)は互いに最も望ましい相手とマッチしているため狭義パレート改善が不可能だからです。その一方で、\(\mu \)は\(\succsim_{M\cup W}\)のもとで狭義パレート効率的ではありません。実際、以下のマッチング\begin{equation*}\mu ^{\prime }=\begin{pmatrix}
m_{1} & m_{2} \\
w_{1} & w_{2}\end{pmatrix}\end{equation*}へ移行することにより広義パレート改善が可能だからです。

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