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不確実性下の意思決定

複合クジと結果主義の仮定

目次

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複合クジ

選択肢として複数の行動を与えられた主体が、その中のどの行動を選択すべきか検討している状況を想定します。ただし、ある行動を選択した場合、実際に起こり得る結果として複数の候補が存在し、なおかつ、その中のどの結果が実際に起こるかが完全に予測できない状況、すなわちランダムネスが成立している状況を想定します。この場合、それぞれの結果がどの程度の確率で起こり得るかを予測した上で、その予測にもとづいて最適な行動を選択せざるを得ません。以上の問題意識のもと、不確実な状況において主体に与えられた個々の選択肢をクジと呼ばれる概念として定式化しました。簡単に復習します。

主体が選択可能なすべての行動からなる集合を\(A\)で表記し、行動集合\(A\)に属する何らかの行動\(a\)を選択することにより実現し得るすべての結果からなる集合を\(X_{a}\)で表記します。すると、行動集合\(A\)に属する何らかの行動を選択することにより実現し得るすべての結果からなる集合は、\begin{equation*}X=\bigcup_{a\in A}X_{a}
\end{equation*}となります。特に、結果集合\(X\)が有限集合である場合、その要素を明示的に表現する形で、\begin{equation*}X=\left\{ x_{1},\cdots ,x_{N}\right\}
\end{equation*}と表記します。

行動\(a\in A\)を選んだ場合に、結果集合の要素であるそれぞれの結果\(x_{n}\in X\)が起こる確率\begin{equation*}L_{a}\left( x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を特定する確率関数\begin{equation*}
L_{a}:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}をクジと呼びます。クジ\(L_{a}\)はそれぞれの結果\(x_{n}\in X\)に対して確率\(L_{a}\left( x_{n}\right) \)を1つずつ定めるため、これを以下のようなベクトル\begin{equation*}L_{a}=\left( L_{a}\left( x_{1}\right) ,\cdots ,L_{a}\left( x_{N}\right)
\right) \in \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}と同一視できます。

主体が選択する行動が変われば、その行動のもとでそれぞれの結果が起こる確率も変化します。言い換えると、クジ\(L_{a}\)は選択する行動\(a\)に依存して変化するということです。このような事情を踏まえた上で、主体が直面し得るすべてのクジからなる集合を、\begin{equation*}\mathcal{L}=\left\{ L_{a}\ |\ a\in A\right\}
\end{equation*}で表記します。それぞれの行動にはクジが1つずつ対応するため、行動とクジを同一視した上で、主体が直面する選択肢の集合として行動集合\(A\)の代わりにクジ集合\(\mathcal{L}\)を採用しても一般性は失われません。

例(クジ)
ある人が「洗濯物を屋外に干すべきか」を検討している状況を想定します。行動集合\(A\)には以下の2つの行動\begin{eqnarray*}a_{1} &=&\text{屋外に干す} \\
a_{2} &=&\text{屋外に干さない}
\end{eqnarray*}が含まれているものとします。行動\(a_{1}\)のもとでの結果集合\(X_{1}\)には以下の2つの結果\begin{eqnarray*}x_{1} &=&\text{晴れになり洗濯物が乾く} \\
x_{2} &=&\text{雨になり洗濯物が濡れる}
\end{eqnarray*}が含まれており、行動\(a_{2}\)のもとでの結果集合\(X_{2}\)には以下の2つの結果\begin{eqnarray*}x_{3} &=&\text{晴れになり洗濯物が乾かない} \\
x_{4} &=&\text{雨になり洗濯物が濡れない}
\end{eqnarray*}が含まれているものとします。結果集合\(X\)は、\begin{equation*}X=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right\}
\end{equation*}です。降雨確率が\(\frac{1}{2}\)である場合、行動\(a_{1}\)にともなうクジは\(L_{1}:X\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}L_{1} &=&\left( L_{1}\left( x_{1}\right) ,L_{1}\left( x_{2}\right)
,L_{1}\left( x_{3}\right) ,L_{1}\left( x_{4}\right) \right) \\
&=&\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0\right)
\end{eqnarray*}となります。降雨確率が\(\frac{1}{2}\)である場合、行動\(a_{2}\)にともなうクジは\(L_{2}:X\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}L_{2} &=&\left( L_{2}\left( x_{1}\right) ,L_{2}\left( x_{2}\right)
,L_{2}\left( x_{3}\right) ,L_{2}\left( x_{4}\right) \right) \\
&=&\left( 0,0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。クジ集合は、\begin{equation*}
\mathcal{L}=\left\{ L_{1},L_{2}\right\}
\end{equation*}です。

これまでは主体が行動集合\(A\)に属する1つの行動を確定的に選択する状況を想定してきました。言い換えると、クジ集合\(\mathcal{L}\)に属する1つのクジを確定的に選択する状況を想定してきたということです。ただ、主体が何らかの確率分布にもとづいて行動集合\(A\)の中から1つの行動をランダムに選択する状況も起こり得ます。言い換えると、何らかの確率分布にもとづいてクジ集合\(\mathcal{L}\)の中から1つのクジをランダムに選択する状況も起こり得るということです。以上の状況を定式化します。

主体は自身が直面するクジ集合\begin{equation*}
\mathcal{L}=\left\{ L_{1},\cdots ,L_{M}\right\}
\end{equation*}を把握しているものとします。その上で、何らかの確率関数\begin{equation*}
C:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}にもとづいてクジ集合\(\mathcal{L}\)の中から1つのクジをランダムに選択するものとします。つまり、確率関数\(C\)にもとづいて意思決定を行う場合、クジ集合の要素であるそれぞれのクジ\(L_{m}\in \mathcal{L}\)が選ばれる確率は、\begin{equation*}C\left( L_{m}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}であるということです。この確率関数\(C\)を複合クジ(compound lottery)や複合ギャンブル(compound gamble)などと呼びます。複合クジとの対比で、クジ集合\(\mathcal{L}\)の要素であるクジを単純クジ(simple lottery)と呼ぶ場合もあります。

複合クジ\(C\)はそれぞれのクジ\(L_{m}\in \mathcal{L}\)に対して確率\(C\left( L_{m}\right) \)を1つずつ定めるため、これを以下のようなベクトル\begin{equation*}C=\left( C\left( L_{1}\right) ,\cdots ,C\left( L_{M}\right) \right) \in \mathbb{R} ^{M}
\end{equation*}と同一視できます。ただし、確率関数の定義より、複合クジ\(C\)は以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall m\in \left\{ 1,\cdots ,M\right\} :C\left(
L_{m}\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{m=1}^{M}C\left( L_{m}\right) =1
\end{eqnarray*}を満たします。条件\(\left( a\right) \)は、複合クジ\(C\)のもとでそれぞれのクジが選ばれる確率は非負の実数であることを意味し、条件\(\left(b\right) \)は、複合クジ\(C\)のもとでそれぞれのクジが選ばれる確率の総和をとると\(1\)になることを意味します。

クジ集合\(\mathcal{L}\)が与えられたとき、個々の複合クジは\(\mathcal{L}\)上に定義された確率関数\(C:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されます。したがって、すべての複合クジからなる集合は、クジ集合\(\mathcal{L}\)上に定義されたすべての確率関数からなる集合\begin{equation*}\Delta \left( \mathcal{L}\right)
\end{equation*}です。

例(複合クジ)
ある人が「洗濯物を屋外に干すべきか」を検討している状況を想定します。行動集合\(A\)には以下の2つの行動\begin{eqnarray*}a_{1} &=&\text{屋外に干す} \\
a_{2} &=&\text{屋外に干さない}
\end{eqnarray*}が含まれており、結果集合\(X\)には以下の4つの結果\begin{eqnarray*}x_{1} &=&\text{晴れになり洗濯物が乾く} \\
x_{2} &=&\text{雨になり洗濯物が濡れる} \\
x_{3} &=&\text{晴れになり洗濯物が乾かない} \\
x_{4} &=&\text{雨になり洗濯物が濡れない}
\end{eqnarray*}が含まれているものとします。降雨確率が\(\frac{1}{2}\)である場合、行動\(a_{1}\)にともなうクジは\(L_{1}:X\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}L_{1}=\left( L_{1}\left( x_{1}\right) ,L_{1}\left( x_{2}\right) ,L_{1}\left(
x_{3}\right) ,L_{1}\left( x_{4}\right) \right) =\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0\right)
\end{equation*}であり、行動\(a_{2}\)にともなうクジは\(L_{2}:X\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}L_{2}=\left( L_{2}\left( x_{1}\right) ,L_{2}\left( x_{2}\right) ,L_{2}\left(
x_{3}\right) ,L_{2}\left( x_{4}\right) \right) =\left( 0,0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}です。クジ集合は、\begin{equation*}
\mathcal{L}=\left\{ L_{1},L_{2}\right\}
\end{equation*}です。続いて、この人が何らかの確率分布にもとづいて行動集合\(A\)の中から1つの行動をランダムに選ぶ状況を想定します。言い換えると、クジ集合\(\mathcal{L}\)の中から1つのクジをランダムに選ぶということです。この場合の選択肢は複合クジ\(C:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)として定式化されます。具体例を挙げると、「2つのクジ\(L_{1},L_{2}\)を等確率で選ぶ」という選択肢に相当する複合クジ\(C_{1}\)は、\begin{equation*}C_{1}=\left( C_{1}\left( L_{1}\right) ,C_{1}\left( L_{2}\right) \right)
=\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}です。また、「クジ\(L_{1}\)を確実に選ぶ」という選択肢に相当する複合クジ\(C_{2}\)は、\begin{equation*}C_{2}=\left( C_{2}\left( L_{1}\right) ,C_{2}\left( L_{2}\right) \right)
=\left( 1,0\right)
\end{equation*}です。この複合クジ\(C_{2}\)はクジ\(L_{1}\)と実質的に同じ意思決定です。逆に、「クジ\(L_{2}\)を確実に選ぶ」という選択肢に相当する複合クジ\(C_{3}\)は、\begin{equation*}C_{3}=\left( C_{3}\left( L_{1}\right) ,C_{3}\left( L_{2}\right) \right)
=\left( 0,1\right)
\end{equation*}です。この複合クジ\(C_{3}\)はクジ\(L_{2}\)と実質的に同じ意思決定です。

 

複合クジの単純化

複合クジはそれぞれのクジが選ばれる確率を指定しますが、個々のクジはそれぞれの結果が選ばれる確率を指定しているため、結局、複合クジが与えられればそこから個々の結果が選ばれる確率を計算できます。つまり、複合クジもまたクジであるということです。順番に解説します。

主体は自身が直面する結果集合\begin{equation*}
X=\left\{ x_{1},\cdots ,x_{N}\right\}
\end{equation*}に加えて、自身が直面するクジ集合\begin{equation*}
\mathcal{L}=\left\{ L_{1},\cdots ,L_{M}\right\}
\end{equation*}を把握しているものとします。以上の状況において主体が複合クジ\(C:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)を選んだ場合、それぞれのクジ\(L_{m}\in \mathcal{L}\)が確率\(C\left( L_{m}\right) \)で選ばれるとともに、そのクジ\(L_{m}\)は結果\(x_{n}\in X\)を確率\(L_{m}\left( x_{n}\right) \)で選ぶため、複合クジ\(C\)のもとで結果\(x_{n}\)が選ばれる確率は、\begin{equation*}\sum_{m=1}^{M}\left[ C\left( L_{m}\right) \cdot L_{m}\left( x_{n}\right) \right] \end{equation*}となります。それぞれの結果\(x_{n}\in X\)に対して同じ要領で上の確率を計算できるため、複合クジ\(C\)のもとでそれぞれの結果\(x_{n}\in X\)が選ばれる確率\begin{equation*}L_{c}\left( x_{n}\right) =\sum_{m=1}^{M}\left[ C\left( L_{m}\right) \cdot
L_{m}\left( x_{n}\right) \right] \end{equation*}を特定する確率関数\begin{equation*}
L_{c}:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。複合クジ\(C\)から以上の要領で得られるクジ\(L_{c}\)を複合クジ\(C\)に対応する単純化クジ(reduced lottery)と呼びます。

複合クジ\(C\)が与えられたとき、定義より、\begin{eqnarray*}\sum_{m=1}^{M}\left[ C\left( L_{m}\right) L_{m}\right] &=&\sum_{m=1}^{M}\left[ C\left( L_{m}\right) \left( L_{m}\left( x_{1}\right) ,\cdots
,L_{m}\left( x_{N}\right) \right) \right] \quad \because L_{m}\text{の定義} \\
&=&\left( \sum_{m=1}^{M}C\left( L_{m}\right) L_{m}\left( x_{1}\right)
,\cdots ,\sum_{m=1}^{M}C\left( L_{m}\right) L_{m}\left( x_{N}\right) \right)
\\
&=&\left( L_{c}\left( x_{1}\right) ,\cdots ,L_{c}\left( x_{N}\right) \right)
\quad \because L_{c}\text{の定義} \\
&=&L_{c}
\end{eqnarray*}となるため、複合クジ\(C\)の単純化クジ\(L_{c}\)を、\begin{equation*}L_{c}=\sum_{m=1}^{M}\left[ C\left( L_{m}\right) L_{m}\right] \end{equation*}という演算によって導出することができます。

例(単純化クジ)
結果集合が、\begin{equation*}
X=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right\}
\end{equation*}であるものとします。以下の2つのクジ\begin{eqnarray*}
L_{1} &=&\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0\right) \\
L_{2} &=&\left( 0,0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}に注目します。複合クジ\(C\)が、\begin{equation*}C=\left( C\left( L_{1}\right) ,C\left( L_{2}\right) \right) =\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}を満たす場合、その単純化クジ\(L_{c}\)は、\begin{eqnarray*}L_{c} &=&C\left( L_{1}\right) L_{1}+C\left( L_{2}\right) L_{2} \\
&=&\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0\right) +\frac{1}{2}\left(
0,0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \\
&=&\left( \frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(L_{c}\)もまた1つのクジです。

 

結果主義の仮定

異なる複合クジ\(C,C^{\prime }\)が与えられたとき、それぞれを単純化することにより単純クジ\(L_{c},L_{c^{\prime }}\)が得られますが、これらが確率関数として等しい状況は起こり得ます。つまり、\begin{equation*}\forall x\in X:L_{c}\left( x\right) =L_{c^{\prime }}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことがあるということです(演習問題)。このような場合には、意思決定主体にとって2つの複合クジ\(C,C^{\prime }\)は選択肢として等しいものと仮定します。つまり、複合クジどうしを比較する際には、単純クジとしての違いだけを問題にするということです。また、複合クジ\(C\)が与えられれば、それを単純化することにより1つの単純クジ\(L_{c}\)が得られますが、意思決定主体にとって複合クジ\(C\)とそれを単純化して得られる単純クジ\(L_{c}\)は選択肢として等しいものと仮定します。つまり、複合クジを単純クジとみなすということです。以上の仮定を結果主義の仮定(consequentialist premise)と呼びます。

単純クジ集合\(\mathcal{L}\)が与えられたとき、すべての複合クジからなる集合は、単純クジ集合\(\mathcal{L}\)上に定義されたすべての確率関数からなる集合\begin{equation*}\Delta \left( \mathcal{L}\right)
\end{equation*}です。単純クジ集合\(\mathcal{L}\)の要素である任意の単純クジ\(L\in \mathcal{L}\)は\(L\)に対してのみ確率\(1\)を割り当てる複合クジに他ならず、したがって\(L\in \Delta \left( \mathcal{L}\right) \)です。以上より、\begin{equation*}\mathcal{L}\subset \Delta \left( \mathcal{L}\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。任意の単純クジは複合クジであるということです。その一方で、結果主義の仮定のもとでは複合クジは単純クジとみなされるため、主体の選択対象を単純クジに限定しても一般性は失われず、なおかつ、選択対象となるすべての単純クジからなる集合は\(\Delta \left( \mathcal{L}\right) \)となります。このような事情を踏まえた上で、以降ではクジ集合と言うとき、それは\(\Delta \left( \mathcal{L}\right) \)を指すものと定めます。その上で、クジ集合すなわち\(\Delta \left( \mathcal{L}\right) \)を、\begin{equation*}\mathcal{L}
\end{equation*}とシンプルに表記できるものと定めます。

 

演習問題

問題(複合クジ)
結果集合が、\begin{equation*}
X=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3}\right\}
\end{equation*}であるものとします。以下の2つの単純クジ\begin{eqnarray*}
L_{1} &=&\left( \frac{1}{10},\frac{3}{10},\frac{6}{10}\right) \\
L_{2} &=&\left( 0,\frac{3}{10},\frac{7}{10}\right)
\end{eqnarray*}に注目します。複合クジ\(C\)が、\begin{equation*}C\left( L_{1}\right) =C\left( L_{2}\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}を満たす場合、\(C\)の単純化クジ\(L_{c}\)を求めてください。
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問題(複合クジ)
結果集合が、\begin{equation*}
X=\left\{ x_{1},x_{2}\right\}
\end{equation*}であるものとします。以下の単純クジ\begin{equation*}
L=\left( \frac{3}{10},\frac{7}{10}\right)
\end{equation*}に注目します。複合クジ\(C\)のもとでは単純クジ\(L\)が確率\(\frac{1}{2}\)で選ばれるとともに、結果\(x_{1}\)が確率\(\frac{1}{10}\)で、結果\(x_{2}\)が確率\(\frac{2}{5}\)でそれぞれ選ばれるものとします。\(C\)の単純化クジ\(L_{c}\)を求めてください。
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問題(結果主義の仮定)
結果集合が、\begin{equation*}
X=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3}\right\}
\end{equation*}であるものします。さらに、以下の4つの単純クジ\begin{eqnarray*}
L_{1} &=&\left( 1,0,0\right) \\
L_{2} &=&\left( \frac{1}{4},\frac{3}{8},\frac{3}{8}\right) \\
L_{3} &=&\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right) \\
L_{4} &=&\left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}に注目します。さらに、2つの複合クジ\(C_{1},C_{2}\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}C_{1} &=&\left( C_{1}\left( L_{1}\right) ,C_{1}\left( L_{2}\right)
,C_{1}\left( L_{3}\right) ,C_{1}\left( L_{4}\right) \right) =\left( \frac{1}{3},\frac{2}{3},0,0\right) \\
C_{2} &=&\left( C_{2}\left( L_{1}\right) ,C_{2}\left( L_{2}\right)
,C_{2}\left( L_{3}\right) ,C_{2}\left( L_{4}\right) \right) =\left( 0,0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとします。結果主義の仮定のもとでは、意思決定主体にとって\(C_{1}\)と\(C_{2}\)は選択肢として等しいことを示してください。
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