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不確実性下の意思決定

期待効用関数の定義とその性質

目次

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期待効用関数

ある行動を選択した場合、実際に起こり得る結果として複数の候補が存在し、なおかつ、その中のどの結果が実際に起こるかが完全に予測できない状況、すなわちランダムネスが成立している状況を想定します。結果集合\(X\)が有限集合である場合、その要素を明示的に表現する形で、\begin{equation*}X=\left\{ x_{1},\cdots ,x_{N}\right\}
\end{equation*}と表記します。クジ\(L:X\rightarrow \mathbb{R} \)とは、それぞれの結果\(x_{n}\in X\)に対して、その結果が選ばれる確率\begin{equation*}L\left( x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を特定する確率関数です。これを以下のようなベクトル\begin{equation*}
L=\left( L\left( x_{1}\right) ,\cdots ,L\left( x_{N}\right) \right) \in \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}と同一視できます。主体が直面するすべてのクジからなる集合を\(\mathcal{L}\)で表記します。

クジ集合\(\mathcal{L}\)に直面した主体は、\(\mathcal{L}\)の要素であるクジどうしを比較しながら、自身にとって最も望ましい何らかのクジを選択します。そこで、主体が持つ好みの体系を\(\mathcal{L}\)上の二項関係\(\succsim \)として定式化し、これを選好関係と呼びます。具体的には、2つのクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow \text{主体は}L\text{を}L^{\prime }\text{以上に好む}
\end{equation*}を満たすものとして\(\succsim \)を定義します。つまり、比較対象として2つのクジ\(L,L^{\prime }\)が提示されたとき、主体が\(L\)を\(L^{\prime }\)以上に好むとき、そしてその場合にのみ、\(L\succsim L^{\prime }\)が成り立つものとして\(\succsim \)を定義するということです。

クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、ある関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意のクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}U\left( L\right) \geq U\left( L^{\prime }\right) \Leftrightarrow L\succsim
L^{\prime }
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、この関数\(U\)を選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数と呼びます。また、効用関数\(U\)がクジ\(L\)に対して定める値\(U\left( L\right) \)を\(L\)の効用と呼びます。効用関数を用いれば、クジの間の相対的な望ましさを、クジがもたらす効用の大小関係として表現できるということです。

特に、効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれのクジ\(L\in \mathcal{L}\)に対して定める値が、ある関数\begin{equation*}u:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を用いて、\begin{eqnarray*}
U\left( L\right) &=&L\left( x_{1}\right) \cdot u\left( x_{1}\right) +\cdots
+L\left( x_{N}\right) \cdot u\left( x_{N}\right) \\
&=&\sum_{n=1}^{N}\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot u\left( x_{1}\right) \right] \end{eqnarray*}という形で表される場合、このような効用関数\(U\)を期待効用関数(expected utility function)やフォン・ノイマン=モルゲンシュテルン期待効用関数(v.N-M expectedutility function)などと呼びます。また、期待効用関数\(U\)を構成する関数\(u\)をベルヌーイ関数(Bernoulli function)やフォン・ノイマン=モルゲンシュテルン関数(v.N-M function)などと呼びます。

一般に、結果集合\(X\)の要素である個々の結果\(x_{1},\cdots ,x_{N}\)は数値であるとは限りません。ベルヌーイ関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの結果\(x_{n}\in X\)に対して、それが確実に起こる場合に主体が得る満足度\(u\left(x_{n}\right) \in \mathbb{R} \)を特定する関数です。一方、期待効用関数\(U\)がそれぞれのクジ\(L\)に対して定める利得\(U\left( L\right) \)は、ベルヌーイ関数\(u\)がそれぞれの結果に対して定める値の期待値です。言い換えると、期待効用関数\(U\)がそれぞれのクジ\(L\)に対して定める利得\(U\left( L\right) \)は、主体がクジ\(L\)を選択した場合に、主体がそれぞれの結果から得られる満足度\(u\left( x\right) \)の期待値に相当します。このような事情を踏まえた上で、期待効用関数\(U\)がクジに\(L\)に対して定める効用\(U\left( L\right) \)については、これをクジ\(L\)の期待効用(expected utility)と呼びます。

ベルヌーイ関数の形状に応じて期待効用関数は様々な形をとり得ます。以下が具体例です。

例(期待効用関数)
結果集合が、\begin{equation*}
X=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)には以下の3つのクジ\begin{eqnarray*}L_{1} &=&\left( \frac{5}{10},\frac{4}{10},\frac{1}{10}\right) \\
L_{2} &=&\left( \frac{4}{10},\frac{4}{10},\frac{2}{10}\right) \\
L_{3} &=&\left( \frac{8}{10},0,\frac{2}{10}\right)
\end{eqnarray*}が含まれているものとします。ベルヌーイ関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの結果\(x\in X\)に対して、\begin{equation}u\left( x\right) =x \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。つまり、\(u\)は恒等関数です。この場合、期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれのクジ\(L_{n}\in \mathcal{L}\)に対して定める期待効用は、\begin{eqnarray*}U\left( L_{n}\right) &=&L_{n}\left( 1\right) \cdot u\left( 1\right)
+L_{n}\left( 2\right) \cdot u\left( 2\right) +L_{n}\left( 3\right) \cdot
u\left( 3\right) \quad \because \text{期待効用関数の定義} \\
&=&L_{n}\left( 1\right) \cdot 1+L_{n}\left( 2\right) \cdot 2+L_{n}\left(
3\right) \cdot 3\quad \because \left( 1\right) \\
&=&L_{n}\left( 1\right) +2L_{n}\left( 2\right) +3L_{n}\left( 3\right)
\end{eqnarray*}ですが、これはクジ\(L_{n}\)のもとでの結果の期待値に他なりません。つまり、クジのもとでの期待値を効用として定める効用関数は特別な期待効用関数であるということです。ちなみに、それぞれのクジの期待効用は、\begin{eqnarray*}U\left( L_{1}\right) &=&\frac{5}{10}+2\cdot \frac{4}{10}+3\cdot \frac{1}{10}=\frac{8}{5} \\
U\left( L_{2}\right) &=&\frac{4}{10}+2\cdot \frac{4}{10}+3\cdot \frac{2}{10}=\frac{9}{5} \\
U\left( L_{3}\right) &=&\frac{8}{10}+2\cdot 0+3\cdot \frac{2}{10}=\frac{7}{5}
\end{eqnarray*}となります。

例(期待効用関数)
先と同様に、結果集合が、\begin{equation*}
X=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)には以下の3つのクジ\begin{eqnarray*}L_{1} &=&\left( \frac{5}{10},\frac{4}{10},\frac{1}{10}\right) \\
L_{2} &=&\left( \frac{4}{10},\frac{4}{10},\frac{2}{10}\right) \\
L_{3} &=&\left( \frac{8}{10},0,\frac{2}{10}\right)
\end{eqnarray*}が含まれているものとします。ベルヌーイ関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの結果\(x\in X\)に対して、\begin{equation}u\left( x\right) =\ln \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。この場合、期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのクジ\(L_{n}\in \mathcal{L}\)に対して定める期待効用は、\begin{eqnarray*}U\left( L_{n}\right) &=&L_{n}\left( 1\right) \cdot u\left( 1\right)
+L_{n}\left( 2\right) \cdot u\left( 2\right) +L_{n}\left( 3\right) \cdot
u\left( 3\right) \quad \because \text{期待効用関数の定義} \\
&=&L_{n}\left( 1\right) \cdot \ln \left( 1\right) +L_{n}\left( 2\right)
\cdot \ln \left( 2\right) +L_{n}\left( 3\right) \cdot \ln \left( 3\right)
\quad \because \left( 1\right) \\
&=&L_{n}\left( 2\right) \cdot \ln \left( 2\right) +L_{n}\left( 3\right)
\cdot \ln \left( 3\right) \quad \because \ln \left( 1\right) =0
\end{eqnarray*}です。先の例とは異なり、これはクジ\(L_{n}\)のもとでの結果の期待値とは異なります。ちなみに、それぞれのクジの期待効用は、\begin{eqnarray*}U\left( L_{1}\right) &=&\frac{4}{10}\cdot \ln \left( 2\right) +\frac{1}{10}\cdot \ln \left( 3\right) =0.387 \\
U\left( L_{2}\right) &=&\frac{4}{10}\cdot \ln \left( 2\right) +\frac{2}{10}\cdot \ln \left( 3\right) =0.497 \\
U\left( L_{3}\right) &=&0\cdot \ln \left( 2\right) +\frac{2}{10}\cdot \ln
\left( 3\right) =0.219
\end{eqnarray*}となります。

 

期待効用関数の線型性(期待効用関数の特徴づけ)

自然数\(M\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、さらに\(M\)個のクジ\(L_{1},\cdots ,L_{M}\in \mathcal{L}\)を任意に選びます。その上で、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall m\in \left\{ 1,\cdots ,M\right\} :c_{m}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{m=1}^{M}c_{m}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(M\)個の実数\(c_{1},\cdots ,c_{M}\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。以上の条件が満たされる場合、\begin{equation*}\sum_{m=1}^{M}c_{m}L_{m}=c_{1}L_{1}+\cdots +c_{M}L_{M}
\end{equation*}は単純クジ\(L_{1},\cdots ,L_{M}\)の複合クジですが、結果主義の仮定のもとでは、この複合クジもまた単純クジとみなされるため、\begin{equation*}\sum_{m=1}^{M}c_{m}L_{m}\in \mathcal{L}
\end{equation*}であり、したがって効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)はこのクジに対しても効用\begin{equation*}U\left( \sum_{m=1}^{M}c_{m}L_{m}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めます。ただ、\(U\)が期待効用関数である場合には、上の値は、\begin{equation*}U\left( \sum_{m=1}^{M}c_{m}L_{m}\right) =\sum_{m=1}^{M}c_{m}U\left(
L_{m}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
U\left( c_{1}L_{1}+\cdots +c_{M}L_{M}\right) =c_{1}U\left( L_{1}\right)
+\cdots +c_{M}U\left( L_{M}\right)
\end{equation*}という形で表されることが保証されます。つまり、効用関数\(U\)が期待効用関数である場合には、任意個の単純クジを任意に選んだとき、それらの任意の複合クジの期待効用は、個々の単純クジの期待効用の期待値と一致するということです。期待効用関数\(U\)が満たす以上の性質を線型性(linearity)と呼びます。

命題(期待効用関数の線型性)
結果集合\(X\)が有限集合であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとする。自然数\(M\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、さらに\(M\)個のクジ\(L_{1},\cdots ,L_{M}\in \mathcal{L}\)を任意に選び、さらに、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall m\in \left\{ 1,\cdots ,M\right\} :c_{m}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{m=1}^{M}c_{m}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(M\)個の実数\(c_{1},\cdots ,c_{M}\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。\(U\)が期待効用関数であるならば、\begin{equation*}U\left( \sum_{m=1}^{M}c_{m}L_{m}\right) =\sum_{m=1}^{M}c_{m}U\left(
L_{m}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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実は、上の命題の逆もまた成立します。つまり、効用関数が線型性を満たす場合、その効用関数は期待効用関数であることが保証されます。

命題(期待効用関数の線型性)
結果集合\(X\)が有限集合であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとする。自然数\(M\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、さらに\(M\)個のクジ\(L_{1},\cdots ,L_{M}\in \mathcal{L}\)を任意に選び、さらに、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall m\in \left\{ 1,\cdots ,M\right\} :c_{m}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{m=1}^{M}c_{m}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(M\)個の実数\(c_{1},\cdots ,c_{M}\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。このとき、以下の関係\begin{equation*}U\left( \sum_{m=1}^{M}c_{m}L_{m}\right) =\sum_{m=1}^{M}c_{m}U\left(
L_{m}\right)
\end{equation*}が常に成り立つならば、\(U\)は期待効用関数である。
証明

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以上の2つの命題より、効用関数が線型性を満たすことと、その効用関数が期待効用関数であることは必要十分であることが明らかになりました。つまり、期待効用関数は線型性という性質によって特徴づけられるということです。

命題(期待効用関数の特徴づけ)
結果集合\(X\)が有限集合であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとする。自然数\(M\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、さらに\(M\)個のクジ\(L_{1},\cdots ,L_{M}\in \mathcal{L}\)を任意に選び、さらに、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall m\in \left\{ 1,\cdots ,M\right\} :c_{m}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{m=1}^{M}c_{m}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(M\)個の実数\(c_{1},\cdots ,c_{M}\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。このとき、以下の関係\begin{equation*}U\left( \sum_{m=1}^{M}c_{m}L_{m}\right) =\sum_{m=1}^{M}c_{m}U\left(
L_{m}\right)
\end{equation*}が常に成り立つことは、\(U\)が期待効用関数であるための必要十分条件である。

上の命題は、選好関係を表す効用関数が存在することを前提としたものであることに注意してください。効用関数が存在するための条件については後述します。

上の命題を以下のようにシンプルに表現することもできます。

命題(期待効用関数の特徴づけ)
結果集合\(X\)が有限集合であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとする。2つのクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)を任意に選び、さらに、以下の条件\begin{equation*}0\leq c\leq 1
\end{equation*}を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。このとき、以下の関係\begin{equation*}U\left( cL+\left( 1-c\right) L^{\prime }\right) =cU\left( L\right) +\left(
1-c\right) U\left( L^{\prime }\right)
\end{equation*}が常に成り立つことは、\(U\)が期待効用関数であるための必要十分条件である。
証明

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以上の命題より、2つの単純クジを任意に選んだとき、それらの任意の複合クジの期待効用が個々の単純クジの期待効用の期待値と一致することは、効用関数が期待効用関数であるための必要十分条件であることが明らかになりました。

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