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不確実性下の意思決定

期待効用関数の定義とその性質

目次

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期待効用関数

何らかの行動を選択した場合、実際に起こり得る結果として複数の候補が存在し、なおかつ、その中のどの結果が実際に起こるかが完全に予測できない状況、すなわちランダムネスが成立している状況を想定した上で、そのような状況において意思決定主体が直面する個々の選択肢がクジとして定式化されているものとします。起こり得るすべての結果からなる集合\(X\)が有限集合や可算集合である場合、クジとは、それぞれの結果\(x\in X\)に対して、その結果が起こる確率\(L\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を特定する関数\begin{equation*}L:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表現されます。一方、結果集合\(X\)が数直線\(\mathbb{R} \)上の区間などの非可算集合である場合、クジ\(L\)は確率密度関数\begin{equation*}f_{L}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表現されます。主体が直面するすべてのクジからなる集合を\(\mathcal{L}\)で表記します。

クジどうしを比較する主体の評価体系がクジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されているものとします。つまり、2つのクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)を任意に選んだときに、以下の関係\begin{equation*}L\succsim L^{\prime }\Leftrightarrow \text{主体は}L\text{を}L^{\prime }\text{以上に好む}
\end{equation*}を満たす\(\mathcal{L}\)上の二項関係として\(\succsim \)が定義されているということです。

クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、ある関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意のクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}U\left( L\right) \geq U\left( L^{\prime }\right) \Leftrightarrow L\succsim
L^{\prime }
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、この関数\(U\)を選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数と呼びます。また、効用関数\(U\)がクジ\(L\)に対して定める値\(U\left( L\right) \)を\(L \)の効用と呼びます。効用関数を用いれば、クジの間の相対的な望ましさを、クジがもたらす効用の大小関係として表現できるということです。

特に、効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれのクジ\(L\in \mathcal{L}\)に対して定める値が、ある関数\begin{equation*}u:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を用いて、\begin{eqnarray*}
U\left( L\right) &=&L\left( x_{1}\right) \cdot u\left( x_{1}\right) +\cdots
+L\left( x_{N}\right) \cdot u\left( x_{N}\right) \\
&=&\sum_{n=1}^{N}\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot u\left( x_{n}\right) \right] \end{eqnarray*}という形で表される場合、このような効用関数\(U\)を期待効用関数(expected utility function)やフォン・ノイマン=モルゲンシュテルン期待効用関数(v.N-M expectedutility function)などと呼びます。また、期待効用関数\(U\)を構成する関数\(u \)をベルヌーイ効用関数(Bernoulli utility function)やフォン・ノイマン=モルゲンシュテルン関数(v.N-M function)などと呼びます。

一般に、結果集合\(X\)の要素である個々の結果\(x_{1},\cdots ,x_{N}\)は数値であるとは限りません。ベルヌーイ関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの結果\(x_{n}\in X\)に対して、それが確実に起こる場合に主体が得る満足度\(u\left(x_{n}\right) \in \mathbb{R} \)を特定する関数です。一方、期待効用関数\(U\)がそれぞれのクジ\(L \)に対して定める利得\(U\left( L\right) \)は、ベルヌーイ関数\(u\)がそれぞれの結果に対して定める値の期待値です。言い換えると、期待効用関数\(U\)がそれぞれのクジ\(L\)に対して定める利得\(U\left( L\right) \)は、主体がクジ\(L\)を選択した場合に、主体がそれぞれの結果から得られる満足度\(u\left( x\right) \)の期待値に相当します。このような事情を踏まえた上で、期待効用関数\(U\)がクジに\(L\)に対して定める効用\(U\left( L\right) \)については、これをクジ\(L\)の期待効用(expected utility)と呼びます。

ベルヌーイ関数の形状に応じて期待効用関数は様々な形をとり得ます。以下が具体例です。

例(期待効用関数)
結果集合が、\begin{equation*}
X=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)には以下の3つのクジ\begin{eqnarray*}L_{1} &=&\left( \frac{5}{10},\frac{4}{10},\frac{1}{10}\right) \\
L_{2} &=&\left( \frac{4}{10},\frac{4}{10},\frac{2}{10}\right) \\
L_{3} &=&\left( \frac{8}{10},0,\frac{2}{10}\right)
\end{eqnarray*}が含まれているものとします。ベルヌーイ関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの結果\(x\in X\)に対して、\begin{equation}u\left( x\right) =x \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。つまり、\(u\)は恒等関数です。この場合、期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれのクジ\(L_{n}\in \mathcal{L}\)に対して定める期待効用は、\begin{eqnarray*}U\left( L_{n}\right) &=&L_{n}\left( 1\right) \cdot u\left( 1\right)
+L_{n}\left( 2\right) \cdot u\left( 2\right) +L_{n}\left( 3\right) \cdot
u\left( 3\right) \quad \because \text{期待効用関数の定義} \\
&=&L_{n}\left( 1\right) \cdot 1+L_{n}\left( 2\right) \cdot 2+L_{n}\left(
3\right) \cdot 3\quad \because \left( 1\right) \\
&=&L_{n}\left( 1\right) +2L_{n}\left( 2\right) +3L_{n}\left( 3\right)
\end{eqnarray*}ですが、これはクジ\(L_{n}\)のもとでの結果の期待値に他なりません。つまり、クジのもとでの期待値を効用として定める効用関数は特別な期待効用関数であるということです。ちなみに、それぞれのクジの期待効用は、\begin{eqnarray*}U\left( L_{1}\right) &=&\frac{5}{10}+2\cdot \frac{4}{10}+3\cdot \frac{1}{10}=\frac{8}{5} \\
U\left( L_{2}\right) &=&\frac{4}{10}+2\cdot \frac{4}{10}+3\cdot \frac{2}{10}=\frac{9}{5} \\
U\left( L_{3}\right) &=&\frac{8}{10}+2\cdot 0+3\cdot \frac{2}{10}=\frac{7}{5}
\end{eqnarray*}となります。

例(期待効用関数)
先と同様に、結果集合が、\begin{equation*}
X=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)には以下の3つのクジ\begin{eqnarray*}L_{1} &=&\left( \frac{5}{10},\frac{4}{10},\frac{1}{10}\right) \\
L_{2} &=&\left( \frac{4}{10},\frac{4}{10},\frac{2}{10}\right) \\
L_{3} &=&\left( \frac{8}{10},0,\frac{2}{10}\right)
\end{eqnarray*}が含まれているものとします。ベルヌーイ関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの結果\(x\in X\)に対して、\begin{equation}u\left( x\right) =\ln \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。この場合、期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのクジ\(L_{n}\in \mathcal{L}\)に対して定める期待効用は、\begin{eqnarray*}U\left( L_{n}\right) &=&L_{n}\left( 1\right) \cdot u\left( 1\right)
+L_{n}\left( 2\right) \cdot u\left( 2\right) +L_{n}\left( 3\right) \cdot
u\left( 3\right) \quad \because \text{期待効用関数の定義} \\
&=&L_{n}\left( 1\right) \cdot \ln \left( 1\right) +L_{n}\left( 2\right)
\cdot \ln \left( 2\right) +L_{n}\left( 3\right) \cdot \ln \left( 3\right)
\quad \because \left( 1\right) \\
&=&L_{n}\left( 2\right) \cdot \ln \left( 2\right) +L_{n}\left( 3\right)
\cdot \ln \left( 3\right) \quad \because \ln \left( 1\right) =0
\end{eqnarray*}です。先の例とは異なり、これはクジ\(L_{n}\)のもとでの結果の期待値とは異なります。ちなみに、それぞれのクジの期待効用は、\begin{eqnarray*}U\left( L_{1}\right) &=&\frac{4}{10}\cdot \ln \left( 2\right) +\frac{1}{10}\cdot \ln \left( 3\right) =0.387 \\
U\left( L_{2}\right) &=&\frac{4}{10}\cdot \ln \left( 2\right) +\frac{2}{10}\cdot \ln \left( 3\right) =0.497 \\
U\left( L_{3}\right) &=&0\cdot \ln \left( 2\right) +\frac{2}{10}\cdot \ln
\left( 3\right) =0.219
\end{eqnarray*}となります。

 

期待効用関数の線型性(期待効用関数の特徴づけ)

自然数\(M\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、さらに\(M\)個のクジ\(L_{1},\cdots ,L_{M}\in \mathcal{L}\)を任意に選びます。その上で、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall m\in \left\{ 1,\cdots ,M\right\} :c_{m}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{m=1}^{M}c_{m}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(M\)個の実数\(c_{1},\cdots ,c_{M}\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。以上の条件が満たされる場合、\begin{equation*}\sum_{m=1}^{M}c_{m}L_{m}=c_{1}L_{1}+\cdots +c_{M}L_{M}
\end{equation*}は単純クジ\(L_{1},\cdots ,L_{M}\)の複合クジですが、結果主義の仮定のもとでは、この複合クジもまた単純クジとみなされるため、\begin{equation*}\sum_{m=1}^{M}c_{m}L_{m}\in \mathcal{L}
\end{equation*}であり、したがって効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)はこのクジに対しても効用\begin{equation*}U\left( \sum_{m=1}^{M}c_{m}L_{m}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めます。ただ、\(U\)が期待効用関数である場合には、上の値は、\begin{equation*}U\left( \sum_{m=1}^{M}c_{m}L_{m}\right) =\sum_{m=1}^{M}c_{m}U\left(
L_{m}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
U\left( c_{1}L_{1}+\cdots +c_{M}L_{M}\right) =c_{1}U\left( L_{1}\right)
+\cdots +c_{M}U\left( L_{M}\right)
\end{equation*}という形で表されることが保証されます。つまり、効用関数\(U\)が期待効用関数である場合には、任意個の単純クジを任意に選んだとき、それらの任意の複合クジの期待効用は、個々の単純クジの期待効用の期待値と一致するということです。期待効用関数\(U\)が満たす以上の性質を線型性(linearity)と呼びます。

命題(期待効用関数の線型性)
結果集合\(X\)が有限集合であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとする。自然数\(M\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、さらに\(M\)個のクジ\(L_{1},\cdots ,L_{M}\in \mathcal{L}\)を任意に選び、さらに、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall m\in \left\{ 1,\cdots ,M\right\} :c_{m}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{m=1}^{M}c_{m}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(M\)個の実数\(c_{1},\cdots ,c_{M}\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。\(U\)が期待効用関数であるならば、\begin{equation*}U\left( \sum_{m=1}^{M}c_{m}L_{m}\right) =\sum_{m=1}^{M}c_{m}U\left(
L_{m}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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実は、上の命題の逆もまた成立します。つまり、効用関数が線型性を満たす場合、その効用関数は期待効用関数であることが保証されます。

命題(期待効用関数の線型性)
結果集合\(X\)が有限集合であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとする。自然数\(M\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、さらに\(M\)個のクジ\(L_{1},\cdots ,L_{M}\in \mathcal{L}\)を任意に選び、さらに、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall m\in \left\{ 1,\cdots ,M\right\} :c_{m}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{m=1}^{M}c_{m}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(M\)個の実数\(c_{1},\cdots ,c_{M}\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。このとき、以下の関係\begin{equation*}U\left( \sum_{m=1}^{M}c_{m}L_{m}\right) =\sum_{m=1}^{M}c_{m}U\left(
L_{m}\right)
\end{equation*}が常に成り立つならば、\(U\)は期待効用関数である。
証明

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以上の2つの命題より、効用関数が線型性を満たすことと、その効用関数が期待効用関数であることは必要十分であることが明らかになりました。つまり、期待効用関数は線型性という性質によって特徴づけられるということです。

命題(期待効用関数の特徴づけ)
結果集合\(X\)が有限集合であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとする。自然数\(M\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、さらに\(M\)個のクジ\(L_{1},\cdots ,L_{M}\in \mathcal{L}\)を任意に選び、さらに、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall m\in \left\{ 1,\cdots ,M\right\} :c_{m}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{m=1}^{M}c_{m}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(M\)個の実数\(c_{1},\cdots ,c_{M}\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。このとき、以下の関係\begin{equation*}U\left( \sum_{m=1}^{M}c_{m}L_{m}\right) =\sum_{m=1}^{M}c_{m}U\left(
L_{m}\right)
\end{equation*}が常に成り立つことは、\(U\)が期待効用関数であるための必要十分条件である。

上の命題は、選好関係を表す効用関数が存在することを前提としたものであることに注意してください。効用関数が存在するための条件については後述します。

上の命題を以下のようにシンプルに表現することもできます。

命題(期待効用関数の特徴づけ)
結果集合\(X\)が有限集合であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとする。2つのクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)を任意に選び、さらに、以下の条件\begin{equation*}0\leq c\leq 1
\end{equation*}を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。このとき、以下の関係\begin{equation*}U\left( cL+\left( 1-c\right) L^{\prime }\right) =cU\left( L\right) +\left(
1-c\right) U\left( L^{\prime }\right)
\end{equation*}が常に成り立つことは、\(U\)が期待効用関数であるための必要十分条件である。
証明

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以上の命題より、2つの単純クジを任意に選んだとき、それらの任意の複合クジの期待効用が個々の単純クジの期待効用の期待値と一致することは、効用関数が期待効用関数であるための必要十分条件であることが明らかになりました。

 

期待効用関数の正アフィン変換

復習になりますが、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、両者の合成関数\(f\circ U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)をとると、この\(f\circ U\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数になることが保証されます。

期待効用関数もまた効用関数であるため同様の議論が成立します。つまり、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)との合成関数\(f\circ U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)をとると、この\(f\circ U\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数になることが保証されます。その一方で、この合成関数\(f\circ U\)は期待効用関数であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(期待効用関数の単調増加変換)
結果集合が、\begin{equation*}
X=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)には以下の3つのクジ\begin{eqnarray*}L_{1} &=&\left( 1,0\right) \\
L_{2} &=&\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \\
L_{3} &=&\left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}が含まれているものとします。ベルヌーイ関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの結果\(x\in X\)に対して、\begin{equation}u\left( x\right) =x \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。つまり、\(u\)は恒等関数です。この場合、期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれのクジ\(L_{n}\in \mathcal{L}\)に対して定める期待効用は、\begin{eqnarray*}U\left( L_{n}\right) &=&L_{n}\left( 1\right) \cdot u\left( 1\right)
+L_{n}\left( 2\right) \cdot u\left( 2\right) \quad \because \text{期待効用関数の定義} \\
&=&L_{n}\left( 1\right) +2L_{n}\left( 2\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}です。自然指数関数\(\ln\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は狭義単調増加関数であるため、以下の合成関数\begin{equation*}\left( \ln \circ U\right) :\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}もまた\(U\)と同様の選好を表す効用関数である一方、これは期待効用関数ではありません(演習問題)。

期待効用関数を単調増加変換して得られる関数は効用関数である一方で、期待効用関数であるとは限らないことが明らかになりました。では、期待効用関数を単調増加変換することで得られる関数が期待効用関数になることが保証されるような単調増加変換は存在するのでしょうか。

クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとき、正の実数\(\alpha \in \mathbb{R} _{++}\)と実数\(\beta \in \mathbb{R} \)を任意に選べば、それぞれの\(L\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}\left( \alpha U+\beta \right) \left( L\right) =\alpha U\left( L\right) +\beta
\end{equation*}を定める新たな関数\(\alpha U+\beta :\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。このような関数を生成する操作を\(U\)の正アフィン変換(positive affinetransformation)と呼びます。仮定より\(\alpha >0\)であるため、正アフィン変換は単調増加変換であることに注意してください。したがって、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U\)を正アフィン変換して得られる関数もまた\(\succsim \)を表す効用関数であることが保証されます。\(U\)が期待効用関数である場合も同様です。加えて、期待効用関数を正アフィン変換して得られる関数もまた期待効用関数になることが保証されます。

命題(期待効用関数の正アフィン変換)
結果集合\(X\)が有限集合であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとする。正の実数\(\alpha \in \mathbb{R} _{++}\)と実数\(\beta \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\(\alpha U+\beta :\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)をとると、この関数\(\alpha U+\beta \)もまた\(\succsim \)を表現する期待効用関数となる。
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同一の選好関係を表す2つの期待効用関数が存在する場合、一定の条件のもとでは、一方が他方の正アフィン変換として得られることが保証されます。

命題(期待効用関数の正アフィン変換)
結果集合\(X\)が有限集合であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が、\begin{equation*}\exists \overline{L}\in \mathcal{L},\ \exists \underline{L}\in \mathcal{L},\
\forall L\in \mathcal{L}:\overline{L}\succsim L\succsim \underline{L}
\end{equation*}を満たすものとする。\(\succsim \)を表す複数の期待効用関数\(U_{1},U_{2}:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、一方は他方の正のアフィン変換として表すことができる。すなわち、\begin{equation*}\exists \alpha \in \mathbb{R} _{++},\ \exists \beta \in \mathbb{R} ,\ \forall L\in \mathcal{L}:U_{2}\left( L\right) =\alpha U_{1}\left(
L\right) +\beta
\end{equation*}が成り立つ。

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以上の2つの命題を踏まえると以下を得ます。

命題(期待効用関数の正アフィン変換)
結果集合\(X\)が有限集合であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が、\begin{equation*}\exists \overline{L}\in \mathcal{L},\ \exists \underline{L}\in \mathcal{L},\
\forall L\in \mathcal{L}:\overline{L}\succsim L\succsim \underline{L}
\end{equation*}を満たすものとする。\(\succsim \)を表す期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとする。さらに、関数\(\overline{U}:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)に対して正の実数\(\alpha \in \mathbb{R} _{++}\)と実数\(\beta \in \mathbb{R} \)が存在して、\begin{equation*}\forall L\in \mathcal{L}:\overline{U}\left( L\right) =\alpha U\left(
L\right) +\beta
\end{equation*}が成り立つことは、\(\overline{U}\)もまた\(\succsim \)を表す期待効用関数であるための必要十分条件である。

この命題では選好関係\(\succsim \)を表す期待効用関数\(U\)が存在することが前提になっていることに注意してください。期待効用関数が存在するための条件については場を改めて解説します。

例(期待効用関数の正のアフィン変換)
結果集合が、\begin{equation*}
X=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)には以下の3つのクジ\begin{eqnarray*}L_{1} &=&\left( 1,0\right) \\
L_{2} &=&\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \\
L_{3} &=&\left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}が含まれているものとします。ベルヌーイ関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの結果\(x\in X\)に対して、\begin{equation}u\left( x\right) =x \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。つまり、\(u\)は恒等関数です。この場合、期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれのクジ\(L_{n}\in \mathcal{L}\)に対して定める期待効用は、\begin{eqnarray*}U\left( L_{n}\right) &=&L_{n}\left( 1\right) \cdot u\left( 1\right)
+L_{n}\left( 2\right) \cdot u\left( 2\right) \quad \because \text{期待効用関数の定義} \\
&=&L_{n}\left( 1\right) +2L_{n}\left( 2\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}です。\(U\)を正のアフィン変換して得られる関数\begin{equation*}\alpha U+\beta :\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( \alpha \in \mathbb{R} _{++},\beta \in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}がそれぞれのクジ\(L_{n}\in \mathcal{L}\)に対して定める期待効用は、\begin{eqnarray*}\left( \alpha U+\beta \right) \left( L_{n}\right) &=&\alpha U\left(
L_{n}\right) +\beta \\
&=&\alpha \left[ L_{n}\left( 1\right) +2L_{n}\left( 2\right) \right] +\beta
\end{eqnarray*}ですが、先の命題より、この関数\(\alpha U+\beta \)もまた\(U\)と同様の選好を表す効用関数であるだけでなく、これは期待効用関数でもあります。

 

期待効用の基数性

クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)と、それを任意の形で単調増加変換して得られる効用関数\(f\circ U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、単調増加変換の定義より\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は単調増加関数であるため、任意のクジ\(L,L^{\prime }\in \mathcal{L}\)に対して、\begin{equation*}U\left( L\right) \geq U\left( L^{\prime }\right) \Leftrightarrow (f\circ
U)(L)\geq (f\circ U)(L)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、それぞれのクジに対して割り当てられる効用の相対的な大小関係は、どの効用関数を採用した場合でも一定であるため、効用の相対的な大小関係には重要な意味があります。相対的な大小に注目した場合の効用を序数的効用と呼びます。序数的効用は重要です。

期待効用関数は効用関数であるため、期待効用関数に関しても同様の議論が成り立ちます。つまり、それぞれのクジに対して割り当てられる期待効用の相対的な大小関係は、どの期待効用関数を採用した場合でも一定であるため、期待効用の相対的な大小関係には重要な意味があります。

クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(U\)が与えられたとき、クジ\(L\)の効用\(U\left(L\right) \)がクジ\(L^{\prime }\)の効用\(U\left( L^{\prime }\right) \)の\(2\)倍の大きさであっても、主体は\(L\)を\(L^{\prime }\)よりも\(2\)倍好ましいと考えているとは言えません。なぜなら、\(U\)を単調増加変換して得られる関数\(f\circ U\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数であるにも関わらず、\((f\circ U)(L)\)の大きさは\((f\circ U)(L^{\prime })\)の大きさの\(2\)倍であるとは限らないからです。絶対的な水準に注目した場合の効用を基数的効用と呼びます。基数的効用は重要ではありません。

正アフィン変換は単調増加変換であるため、期待効用関数に関しても同様の議論が成立します。つまり、期待効用関数\(U\)がクジ\(L\)に対して定める期待効用\(U\left( L\right) \)の水準と、\(U\)を正アフィン変換して得られる期待効用関数\(\alpha U+\beta \)が同じクジ\(L\)に対して定める期待効用\(\alpha U\left( L\right) +\beta \)の水準は異なるため、期待効用の水準そのものは重要ではありません。

ただ、期待効用関数に対象を限定すると、期待効用の基数性に関する以下の主張が成立します。

命題(期待効用の基数性)
結果集合\(X\)が有限集合であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が、\begin{equation*}\exists \overline{L}\in \mathcal{L},\ \exists \underline{L}\in \mathcal{L},\
\forall L\in \mathcal{L}:\overline{L}\succsim L\succsim \underline{L}
\end{equation*}を満たすものとする。\(\succsim \)を表す期待効用関数\(U,\overline{U}:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとする。4つのクジ\(L_{1},L_{2},L_{3},L_{4}\in \mathcal{L}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}U\left( L_{1}\right) -U\left( L_{2}\right) >U\left( L_{3}\right) -U\left(
L_{4}\right) \Leftrightarrow \overline{U}\left( L_{1}\right) -\overline{U}\left( L_{2}\right) >\overline{U}\left( L_{3}\right) -\overline{U}\left(
L_{4}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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期待効用関数\(U\)とクジ\(L_{1},L_{2},L_{3},L_{4}\in \mathcal{L}\)が与えられたとき、\begin{equation*}U\left( L_{1}\right) -U\left( L_{2}\right) >U\left( L_{3}\right) -U\left(
L_{4}\right)
\end{equation*}が成り立つこととは、\(L_{1}\)と\(L_{2}\)の期待効用の差が\(L_{3}\)と\(L_{4}\)の期待効用の差よりも大きいという主張に相当します。差の大きさは基数的な性質であるため、上の不等式は期待効用の基数性に関する性質です。上の命題によると、\(U\)と同様の選好を表す期待効用関数\(\overline{U}\)を任意に選んだ場合にも、\begin{equation*}\overline{U}\left( L_{1}\right) -\overline{U}\left( L_{2}\right) >\overline{U}\left( L_{3}\right) -\overline{U}\left( L_{4}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、\(U\)とは異なる期待効用関数を採用した場合でも、\(L_{1}\)と\(L_{2}\)の期待効用の差が\(L_{3}\)と\(L_{4}\)の期待効用の差よりも大きいという基数的な性質が保存されるということです。期待効用の差の絶対的な水準には意味があります。

ベルヌーイ関数に関しても同様の主張が成り立ちます。

命題(ベルヌーイ関数の基数性)
結果集合\(X\)が有限集合であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が、\begin{equation*}\exists \overline{L}\in \mathcal{L},\ \exists \underline{L}\in \mathcal{L},\
\forall L\in \mathcal{L}:\overline{L}\succsim L\succsim \underline{L}
\end{equation*}を満たすものとする。\(\succsim \)を表す期待効用関数\(U,\overline{U}:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとする。具体的には、\(U\)がそれぞれのクジ\(L\in \mathcal{L}\)に対して定める期待効用は、ベルヌーイ\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}U\left( L\right) =\sum_{n=1}^{N}\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot u\left(
x_{n}\right) \right] \end{equation*}と表されるのに対し、\(\overline{U}\)がそれぞれのクジ\(L\in \mathcal{L}\)に対して定める期待効用は、ベルヌーイ関数\(\overline{u}:X\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\overline{U}\left( L\right) =\sum_{n=1}^{N}\left[ L\left( x_{n}\right) \cdot
\overline{u}\left( x_{n}\right) \right] \end{equation*}と表されるものとする。4つの結果\(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\in X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}u\left( x_{1}\right) -u\left( x_{2}\right) >u\left( x_{3}\right) -u\left(
x_{4}\right) \Leftrightarrow \overline{u}\left( x_{1}\right) -\overline{u}\left( x_{2}\right) >\overline{u}\left( x_{3}\right) -\overline{u}\left(
x_{4}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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期待効用がとり得る値の調節

結果集合\(X\)が有限集合であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)上の選好関係\(\succsim \)が、\begin{equation*}\exists \overline{L}\in \mathcal{L},\ \exists \underline{L}\in \mathcal{L},\
\forall L\in \mathcal{L}:\overline{L}\succsim L\succsim \underline{L}
\end{equation*}を満たすものとします。\(\succsim \)を表す期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、\begin{equation*}\forall L\in \mathcal{L}:U\left( \overline{L}\right) \geq U\left( L\right)
\geq U\left( \underline{L}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、期待効用\(U\left( L\right) \)がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}\left[ U\left( \overline{L}\right) ,U\left( \underline{L}\right) \right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}であるということです。

先の命題より、この期待効用関数\(U\)を任意の形で正アフィン変換することで得られる関数\(\overline{U}=\alpha U+\beta \)もまた\(\succsim \)を表す期待効用関数であることが保証されます。\(\alpha \)と\(\beta \)を適切に選択すれば、\begin{eqnarray*}\overline{U}\left( \overline{L}\right) &=&\alpha U\left( \overline{L}\right)
+\beta =1 \\
\overline{U}\left( \underline{L}\right) &=&\alpha U\left( \underline{L}\right) +\beta =0
\end{eqnarray*}とすることができるため、\begin{equation*}
\forall L\in \mathcal{L}:1\geq \overline{U}\left( L\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立ち、期待効用\(\overline{U}\left( L\right) \)がとり得る値の範囲を、\begin{equation*}\left[ 0,1\right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}とすることができます。\(\overline{U}\)もまた\(U\)と同一の選好を表す期待効用関数であるため、\(U\)の代わりに\(\overline{U}\)を採用しても一般性は失われません。つまり、このような変換を行うことにより、一般性を失わないまま、期待効用がとり得る値を好きな範囲に調節できます。

 

演習問題

問題(期待値と期待効用の違い)
結果集合が、\begin{equation*}
X=\left\{ 20,30,48,60,90\right\}
\end{equation*}であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)には以下の2つのクジ\begin{eqnarray*}L_{1} &=&\left( \frac{3}{5},0,0,\frac{3}{10},\frac{1}{10}\right) \\
L_{2} &=&\left( 0,\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0\right)
\end{eqnarray*}が含まれているものとします。以下の問いに答えてください。

  1. それぞれのクジのもとでの結果の期待値\(E\left( L_{1}\right) ,E\left( L_{2}\right) \)を計算してください。
  2. \(A\)さんのベルヌーイ関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの結果\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =\sqrt{x}\end{equation*}を定めるものとします。\(A\)さんはどちらのクジを好むでしょうか。議論してください。
  3. \(B\)さんのベルヌーイ関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの結果\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =x^{2}\end{equation*}を定めるものとします。\(B\)さんはどちらのクジを好むでしょうか。議論してください。
  4. \(C\)さんのベルヌーイ関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの結果\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =x\end{equation*}を定めるものとします。\(C\)さんはどちらのクジを好むでしょうか。議論してください。
  5. 得られた結果を解釈してください。
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問題(期待効用関数の単調増加変換)
結果集合が、\begin{equation*}
X=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であるとともに、クジ集合\(\mathcal{L}\)には以下の3つのクジ\begin{eqnarray*}L_{1} &=&\left( 1,0\right) \\
L_{2} &=&\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \\
L_{3} &=&\left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}が含まれているものとします。ベルヌーイ関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの結果\(x\in X\)に対して、\begin{equation}u\left( x\right) =x \quad \cdots (1)
\end{equation}を定める場合、期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれのクジ\(L_{n}\in \mathcal{L}\)に対して定める期待効用は、\begin{eqnarray*}U\left( L_{n}\right) &=&L_{n}\left( 1\right) \cdot u\left( 1\right)
+L_{n}\left( 2\right) \cdot u\left( 2\right) \quad \because \text{期待効用関数の定義} \\
&=&L_{n}\left( 1\right) +2L_{n}\left( 2\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}です。\(U\)を単調増加変換して得られる合成関数\(\left( \ln \circ U\right) :\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)は期待効用関数ではないことを示してください。
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問題(期待効用の最大化)
あなたは競馬場にいます。手持ちの資金は\(w>0\)円です。最終レースにおいてある馬\(A\)にいくら賭けるべきか考えています。掛け金\(b\in \mathbb{R} \)がとり得る値の範囲は\(\left[ 0,w\right] \subset \mathbb{R} \)です。勝てば掛け金が2倍になって戻り手持ちの資金が\(w+b\)円になる一方、負ければ掛け金を失い手落ちの資金は\(w-b\)円になるものとします。馬\(A\)が勝つ確率は\(p\in \left[ 0,1\right] \)であるものとします。

  1. 結果集合\(X\)とクジ\(L:X\rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれ定式化してください。
  2. ベルヌーイ関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =\ln \left( x\right)\end{equation*}を定めるものとします。以上の想定のもとで期待効用関数\(U:\mathcal{L}\rightarrow \mathbb{R} \)を明らかにしてください。
  3. 期待効用\(U\left( L\right) \)を最大化するような掛け金を、初期時点における手持ちの資金\(w\)と馬\(A\)が勝つ確率\(p\)を変数とする関数として表現してください。
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問題(期待効用関数の最大化)
\(A\)さんのベルヌーイ関数\(u_{A}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの所得水準\(w\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u_{A}\left( w\right) =\sqrt{w}
\end{equation*}を定めるものとします。\(A\)さんはある企業に対して\(36\)だけ貸していますが、その企業に問題が発生したため、\(\frac{1}{2}\)の確率で倒産することが分かっているものとします。その企業が倒産した場合、\(A\)さんが回収できる金額は\(4\)だけです。今、別の企業\(B\)が\(A\)さんに対してその債権を販売してくれないかと持ちかけてきました。ただし、企業\(B\)のベルヌーイ関数\(u_{B}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの所得水準\(w\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u_{B}\left( w\right) =w
\end{equation*}を定めるものとします。企業\(B\)が\(A\)さんに対して提示する金額を\(x\)で表記します。以下の問いに答えてください。

  1. \(A\)さんと企業\(B\)の間で債権の譲渡が行われるために\(x\)が満たすべき条件を特定してください。
  2. 企業\(B\)が\(A\)さんに対して金額\(x=20\)を提示した状況を想定します。その上で、\(A\)さんがお金を貸している企業の内部の人が、\(A\)さんに対して、その企業が実際に倒産するかどうかの情報をリークする見返りに金銭を要求してきました。その情報は信頼できるものとします。\(A\)さんはその情報に対して最大でいくらまで支払うことができるでしょうか。\(A\)さんの支払額を\(y\)で表記します。
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