結果の期待値
ある行動を選択した場合、実際に起こり得る結果として複数の候補が存在し、なおかつ、その中のどの結果が実際に起こるかが完全に予測できない状況、すなわちランダムネスが成立している状況を想定した上で、そのような状況において意思決定主体が直面する選択肢をクジと呼ばれる概念として定式化しました。続いて問題になるのは、主体はどのような基準をもとにクジどうしを比較するか、という点です。古典的な考え方は、意思決定主体は期待値（expected value）を最大化するようなクジを選択する、というものです。そこで、以下では期待値の概念を定義するとともに、その欠点について解説します。
結果集合\(X\)が有限集合である場合、その要素を明示的に表現する形で、\begin{equation*}X=\left\{ x_{1},\cdots ,x_{N}\right\}
\end{equation*}と表記します。ただし、個々の結果\(x_{1},\cdots ,x_{N}\)はいずれも実数であるものとします。クジ\(L:X\rightarrow \mathbb{R} \)とは、それぞれの結果\(x_{n}\in X\)に対して、その結果が選ばれる確率\begin{equation*}L\left( x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を特定する確率関数です。これを以下のようなベクトル\begin{equation*}
L=\left( L\left( x_{1}\right) ,\cdots ,L\left( x_{N}\right) \right) \in \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}と同一視できます。クジ\(L\)のもとで実現する結果の期待値（expected value）は、\begin{eqnarray*}E\left( x\right) &=&x_{1}L\left( x_{1}\right) +\cdots +x_{N}L\left(
x_{N}\right) \\
&=&\sum_{n=1}^{N}\left[ x_{n}L\left( x_{n}\right) \right]
\end{eqnarray*}と定義される指標です。つまり、結果に相当する値\(x_{n}\)と、クジ\(L\)のもとで結果\(x_{n}\)が選ばれる確率\(L\left( x_{n}\right) \)の積をそれぞれとった上で、得られた積の総和をとれば期待値になります。仮定より結果\(x_{1},\cdots ,x_{N}\)はいずれも実数であるため、期待値もまた1つの実数として定まることに注意してください。
a_{2} &=&\text{株に投資する} \\
a_{3} &=&\text{仮想通貨を購入する}
\end{eqnarray*}が選択肢として与えられているものとします。行動\(a_{1}\)を選択した場合には以下の1通りの結果\begin{equation*}1010\text{万円（利子として}10\text{万円を得る）}
\end{equation*}が起こり得るものとします。つまり、\begin{equation*}
X_{1}=\left\{ 1010\right\}
\end{equation*}です。行動\(a_{2}\)を選択した場合には以下の3通りの結果\begin{eqnarray*}&&1200\text{万円（株価が上昇し}200\text{万円を得る）} \\
&&1000\text{万円（株価はそのまま）} \\
&&800\text{万円（株価が下落し}200\text{万円を失う）}
\end{eqnarray*}が起こり得るものとします。つまり、\begin{equation*}
X_{2}=\left\{ 1200,1000,800\right\}
\end{equation*}です。行動\(a_{3}\)を選択した場合には以下の3通りの結果\begin{eqnarray*}&&2000\text{万円（暗号通貨が暴騰し}1000\text{万円を得る）} \\
&&1000\text{万円（暗号通貨の価格はそのまま）} \\
&&0\text{万円（暗号通貨が暴落し}1000\text{万円を失う）}
\end{eqnarray*}が起こり得るものとします。つまり、\begin{equation*}
X_{3}=\left\{ 2000,1000,0\right\}
\end{equation*}です。結果集合は、\begin{eqnarray*}
X &=&X_{1}\cup X_{2}\cup X_{3} \\
&=&\left\{ 2000,1200,1010,1000,800,0\right\}
\end{eqnarray*}となります。国債からは確実に利子を得られる場合、行動\(a_{1}\)にともなうクジは\(L_{1}:X\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}L_{1}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=1010\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となるため、このクジ\(L_{1}\)のもとで実現する結果の期待値は、\begin{eqnarray*}E_{1}\left( x\right) &=&1010\cdot L_{1}\left( 1010\right) \\
&=&1010\cdot 1 \\
&=&1010
\end{eqnarray*}です。株を購入した場合に株価の値上がり・そのまま・値下がりが等確率で起こるならば、行動\(a_{2}\)にともなうクジは\(L_{2}:X\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}L_{2}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{3} & \left( if\ x=1200,1000,800\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となるため、このクジ\(L_{2}\)のもとで実現する結果の期待値は、\begin{eqnarray*}E_{2}\left( x\right) &=&1200\cdot L_{2}\left( 1200\right) +1000\cdot
L_{2}\left( 1000\right) +800\cdot L_{3}\left( 800\right) \\
&=&1200\cdot \frac{1}{3}+1000\cdot \frac{1}{3}+800\cdot \frac{1}{3} \\
&=&1000
\end{eqnarray*}です。暗号通貨を購入した場合に暗号通貨の値上がり・そのまま・値下がりが等確率で起こるならば、行動\(a_{3}\)にともなうクジは\(L_{3}:X\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}L_{2}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{3} & \left( if\ x=2000,1000,0\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となるため、このクジ\(L_{3}\)のもとで実現する結果の期待値は、\begin{eqnarray*}E_{3}\left( x\right) &=&2000\cdot L_{3}\left( 2000\right) +1000\cdot
L_{3}\left( 1000\right) +0\cdot L_{3}\left( 0\right) \\
&=&2000\cdot \frac{1}{3}+1000\cdot \frac{1}{3}+0\cdot \frac{1}{3} \\
&=&1000
\end{eqnarray*}です。期待値を最大化するクジは\(L_{1}\)であるため、期待値を基準に意思決定をするのであれば\(L_{1}\)を選ぶことになります。
結果集合が可算集合である場合の期待値
結果集合が可算集合\begin{equation*}
X=\left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}である場合のクジは結果集合\(X\)上の確率関数\begin{equation*}L:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として定義されます。つまり、クジ\(L\)のもとで結果\(x_{n}\in X\)が選ばれる確率は、\begin{equation*}L\left( x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}です。この場合のクジは以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :L\left( x_{n}\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }L\left( x_{n}\right) =1
\end{eqnarray*}を満たします。クジ\(L\)のもとで実現する結果の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( x\right) &=&x_{1}L\left( x_{1}\right) +x_{2}L\left( x_{2}\right)
+\cdots \\
&=&\sum_{n=1}^{\infty }\left[ x_{n}L\left( x_{n}\right) \right]
\end{eqnarray*}と定義されます。ただし、これは部分和\begin{equation*}
s_{n}=\sum_{v=1}^{n}\left[ x_{v}L\left( x_{v}\right) \right]
\end{equation*}を項とする数列\(\left\{s_{n}\right\} \)の極限として定義されます。つまり、この場合の期待値を正確に表現すると、\begin{equation*}E\left( x\right) =\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty
}\sum_{v=1}^{n}\left[ x_{v}L\left( x_{v}\right) \right]
\end{equation*}となります。
結果集合が非可算集合である場合の期待値
結果集合\(X\)が数直線\(\mathbb{R} \)上の区間であったり、もしくは互いに素な区間の和集合である場合などには、クジは確率密度関数\begin{equation*}L:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として定義されます。つまり、クジ\(L\)のもとで結果\(x\in X\)が区間\(I\subset \mathbb{R} \)に属する確率が、\begin{equation*}\int_{I}L\left( x\right) dx
\end{equation*}として定まるということです。確率密度関数の定義より、この場合のクジは以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :L\left( x\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \int_{-\infty }^{+\infty }L\left( x\right) dx=1
\end{eqnarray*}を満たします。クジ\(L\)のもとで実現する結果の期待値は、\begin{equation*}E\left( x\right) =\int_{-\infty }^{+\infty }xL\left( x\right) dx
\end{equation*}と定義されます。
期待値最大化原理の妥当性
意思決定主体は期待値を最大化するようなクジを選択するという仮定は妥当でしょうか。以下の例が示唆するように、この仮定は必ずしも妥当ではありません。
\end{equation*}です。「自分でクジを引く」という選択肢は、以下のクジ\begin{eqnarray*}
L_{1} &=&\left( L_{1}\left( 1\text{億}\right) ,L_{1}\left( 4999\text{万}\right) ,L_{1}\left( 0\right) \right) \\
&=&\left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}として表現されるため、その場合の結果の期待値は、\begin{eqnarray*}
E_{1}\left( x\right) &=&1\text{億}\times L_{1}\left( 1\text{億}\right) +4999\text{万}\times L_{1}\left( 4999\text{万}\right)
+0\times L_{1}\left( 0\right) \\
&=&1\text{億}\times \frac{1}{2}+4999\text{万}\times 0+0\times
\frac{1}{2} \\
&=&5000\text{万}
\end{eqnarray*}です。「クジを\(4999\)万円で売る」という選択肢は、以下のクジ\begin{eqnarray*}L_{2} &=&\left( L_{2}\left( 1\text{億}\right) ,L_{2}\left( 4999\text{万}\right) ,L_{2}\left( 0\right) \right) \\
&=&\left( 0,1,0\right)
\end{eqnarray*}として表現されるため、その場合の結果の期待値は、\begin{eqnarray*}
E_{2}\left( x\right) &=&1\text{億}\times L_{2}\left( 1\text{億}\right) +4999\text{万}\times L_{2}\left( 4999\text{万}\right)
+0\times L_{2}\left( 0\right) \\
&=&1\text{億}\times 0+4999\text{万}\times 1+0\times 0 \\
&=&4999\text{万}
\end{eqnarray*}です。したがって、期待値を最大化するのであれば、自分でクジを引いた方がよいということになります。ただし、多くの人にとって、これは合理的な選択肢ではありません。多くの人にとって、\(4999\)万円もらえるはずであったのに\(0\)円になってしまった場合に感じる絶望は、\(1\)億円もらえるチャンスがあったにも関わらず\(4999\)万円で妥協してしまった悔しさよりも大きいため、自分でクジを引かず、クジを引く権利を売却します。
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