コブ・ダグラス型効用関数のもとでの所得効果
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとします。つまり、\(u\)がそれぞれの消費ベクトル\(x=\left(x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値は、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}です。ただし、\(k,\alpha_{1},\cdots ,\alpha _{N}\in \mathbb{R} \)は定数であり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ k>0 \\
&&\left( b\right) \ \alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right)
\end{eqnarray*}を満たします。この場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在し、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\alpha _{n}}{\alpha _{1}+\cdots
+\alpha _{N}}\cdot \frac{w}{p_{n}}
\end{equation*}を定めます。特に、\begin{equation*}
\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}=1
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\alpha _{n}\cdot \frac{w}{p_{n}}
\end{equation*}となります。
商品\(n\)に関する需要関数\(x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) \)は所得\(w\)に関して偏微分可能であるため、所得効果が以下のようになります。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要への所得効果は、\begin{equation*}D_{w}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\alpha _{n}}{\alpha _{1}+\cdots
+\alpha _{N}}\cdot \frac{1}{p_{n}}
\end{equation*}である。したがって、\(\left( p,w\right) \)における所得効果行列は、\begin{equation*}D_{w}x^{\ast }\left( p,w\right) =\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{\alpha _{n}}{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\cdot \dfrac{1}{p_{1}}
\\
\vdots \\
\dfrac{\alpha _{n}}{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\cdot \dfrac{1}{p_{N}}\end{array}\right)
\end{equation*}である。
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。先の命題より、価格ベクトルと所得\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)における商品\(n\ \left( =1,2\right) \)の需要への所得効果は、\begin{eqnarray*}D_{w}x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{\alpha _{1}}{\alpha
_{1}+\alpha _{2}}\cdot \frac{1}{p_{1}} \\
D_{w}x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{\alpha _{2}}{\alpha
_{1}+\alpha _{2}}\cdot \frac{1}{p_{2}}
\end{eqnarray*}となります。したがって、特に、\begin{equation*}
\alpha _{1}+\alpha _{2}=1
\end{equation*}である場合には、\begin{eqnarray*}
D_{w}x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{\alpha _{1}}{p_{1}}
\\
D_{w}x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{\alpha _{2}}{p_{2}}
\end{eqnarray*}となります。
消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数によって表される場合、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要への所得効果は、\begin{equation*}D_{w}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\alpha _{n}}{\alpha _{1}+\cdots
+\alpha _{N}}\cdot \frac{1}{p_{n}}
\end{equation*}であることが明らかになりました。さらに、コブ・ダグラス型効用関数の定義より、\begin{equation*}
\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right)
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
D_{w}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) >0
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)および商品\(n\)を任意に選んだとき、消費者による効用最大化を前提とした場合、\(\left( p,w\right) \)を出発点に消費者の所得だけを増加させると商品\(n\)の需要は増加します。端的に表現すると、任意の\(\left( p,w\right) \)において任意の商品\(n\)は上級財であるということです。
コブ・ダグラス型効用関数のもとでの需要の所得弾力性
消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数によって表される場合、商品\(n\)に関する需要関数\(x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) \)は所得\(w\)に関して偏微分可能であるため、需要の所得弾力性が以下のようになります。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要の所得弾力性は、\begin{equation*}\varepsilon _{nw}\left( p,w\right) =1
\end{equation*}である。
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。先の命題より、価格ベクトルと所得\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)における商品\(n\ \left( =1,2\right) \)の需要の所得弾力性は、\begin{eqnarray*}\varepsilon _{1w}\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&1 \\
\varepsilon _{2w}\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&1
\end{eqnarray*}です。
消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数によって表される場合、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要の所得弾力性は、\begin{equation*}\varepsilon _{nw}\left( p,w\right) =1
\end{equation*}であることが明らかになりました。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)および商品\(n\)を任意に選んだとき、消費者による効用最大化を前提とした場合、\(\left( p,w\right) \)を出発点に消費者の所得が1パーセント変化すると、商品\(n\)の需要もまた1パーセント変化します。
コブ・ダグラス型効用関数のもとでの価格効果
消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数によって表される場合、商品\(n\)に関する需要関数\(x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) \)はそれぞれの商品の価格\(p_{n}\)に関して偏微分可能であるため、価格効果が以下のようになります。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要への自己価格効果は、\begin{equation*}D_{p_{n}}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =-\frac{\alpha _{n}}{\alpha
_{1}+\cdots +\alpha _{N}}\cdot \frac{w}{p_{n}^{2}}
\end{equation*}であり、他の任意の商品\(m\ \left( \not=n\right) \)の価格に関する交差価格効果は、\begin{equation*}D_{p_{m}}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =0
\end{equation*}である。したがって、\(\left( p,w\right) \)における価格効果行列は、\begin{eqnarray*}D_{p}x^{\ast }\left( p,w\right) &=&\begin{pmatrix}
D_{p_{1}}x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) & \cdots & D_{p_{N}}x_{1}^{\ast
}\left( p,w\right) \\
\vdots & & \vdots \\
D_{p_{1}}x_{N}^{\ast }\left( p,w\right) & \cdots & D_{p_{N}}x_{N}^{\ast
}\left( p,w\right)
\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
-\dfrac{\alpha _{1}}{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\cdot \dfrac{w}{p_{1}^{2}} & \cdots & 0 \\
\vdots & & \vdots \\
0 & \cdots & -\dfrac{\alpha _{N}}{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\cdot
\dfrac{w}{p_{N}^{2}}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}である。
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。先の命題より、価格ベクトルと所得\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)における商品\(n\ \left( =1,2\right) \)の需要への自己価格効果は、\begin{eqnarray*}D_{p_{1}}x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&-\frac{\alpha _{1}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}}\cdot \frac{w}{p_{1}^{2}} \\
D_{p_{2}}x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&-\frac{\alpha _{2}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}}\cdot \frac{w}{p_{2}^{2}}
\end{eqnarray*}であり、交差価格効果は、\begin{eqnarray*}
D_{p_{2}}x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&0 \\
D_{p_{1}}x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&0
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)における価格効果行列は、\begin{equation*}D_{p}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\begin{pmatrix}
-\dfrac{\alpha _{1}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}}\cdot \dfrac{w}{p_{1}^{2}} & 0
\\
0 & -\dfrac{\alpha _{2}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}}\cdot \dfrac{w}{p_{2}^{2}}\end{pmatrix}\end{equation*}となります。したがって、特に、\begin{equation*}
\alpha _{1}+\alpha _{2}=1
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
D_{p}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\begin{pmatrix}
-\dfrac{\alpha _{1}w}{p_{1}^{2}} & 0 \\
0 & -\dfrac{\alpha _{2}w}{p_{2}^{2}}\end{pmatrix}\end{equation*}となります。
消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数によって表される場合、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要への自己価格効果は、\begin{equation*}D_{p_{n}}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =-\frac{\alpha _{n}}{\alpha
_{1}+\cdots +\alpha _{N}}\cdot \frac{w}{p_{n}^{2}}
\end{equation*}であることが明らかになりました。さらに、コブ・ダグラス型効用関数の定義より、\begin{equation*}
\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right)
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
D_{w}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) <0
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)および商品\(n\)を任意に選んだとき、消費者による効用最大化を前提とした場合、\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(n\)の価格だけが上昇すると商品\(n\)の需要は減少します。端的に表現すると、任意の\(\left( p,w\right) \)において任意の商品\(n\)は普通財であるということです。
一方、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要への交差価格効果は、\begin{equation*}D_{p_{m}}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =0
\end{equation*}であることが明らかになりました。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)および商品\(n\)を任意に選んだとき、消費者による効用最大化を前提とした場合、\(\left( p,w\right) \)を出発点に他の任意の1つの商品\(m\)の価格だけが変化しても商品\(n\)の需要は変化しません。
コブ・ダグラス型効用関数のもとでの需要の価格弾力性
消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数によって表される場合、商品\(n\)に関する需要関数\(x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) \)はそれぞれの商品の価格\(p_{m}\)に関して偏微分可能であるため、需要の価格弾力性が以下のようになります。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要への自己価格弾力性は、\begin{equation*}\varepsilon _{nn}\left( p,w\right) =1
\end{equation*}であり、他の任意の商品\(m\ \left( \not=n\right) \)の価格に関する交差価格弾力性は、\begin{equation*}\varepsilon _{nm}\left( p,w\right) =0
\end{equation*}である。
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。先の命題より、価格ベクトルと所得\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)における商品\(n\ \left( =1,2\right) \)の需要への自己価格弾力性は、\begin{eqnarray*}\varepsilon _{11}\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&1 \\
\varepsilon _{22}\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&1
\end{eqnarray*}であり、交差価格弾力性は、\begin{eqnarray*}
\varepsilon _{12}\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&0 \\
\varepsilon _{21}\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&0
\end{eqnarray*}です。
消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数によって表される場合、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要の自己価格弾力性は、\begin{equation*}\varepsilon _{nn}\left( p,w\right) =1
\end{equation*}であることが明らかになりました。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)および商品\(n\)を任意に選んだとき、消費者による効用最大化を前提とした場合、\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(n\)の価格が1パーセント上昇すると、商品\(n\)の需要は1パーセント下落します。
一方、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要への交差価格弾力性は、\begin{equation*}\varepsilon _{nm}\left( p,w\right) =0
\end{equation*}であることが明らかになりました。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)および商品\(n\)と他の商品\(m\)を任意に選んだとき、消費者による効用最大化を前提とした場合、\(\left(p,w\right) \)を出発点に商品\(m\)の価格が変化しても商品\(n\)の需要は変化しません。
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