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CONSUMER THEORY

コブ・ダグラス型効用関数のもとでの支出最小化

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コブ・ダグラス型効用関数のもとでの支出最小化問題

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)がコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとします。つまり、\(u\)がそれぞれの消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める効用が、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}であるということです。ただし、定数\(\alpha_{1},\cdots ,\alpha _{N},k\)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\alpha _{n}>0
\\
&&\left( b\right) \ \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}=1 \\
&&\left( c\right) \ k>0
\end{eqnarray*}を満たします。

コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は単調増加な連続関数であるとともに、\begin{equation*}u\left( 0\right) =k0^{\alpha _{1}}\cdots 0^{\alpha _{N}}=0
\end{equation*}であることを踏まえると、\(u\)の値域は、\begin{equation*}u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) =\mathbb{R} _{+}
\end{equation*}となります。価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{+}\)のもとでの支出最小化問題は、

$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & p\cdot x \\
s.t. & kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}\geq v \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0\end{array}$$

と定式化されます。コブダグラス型効用関数\(u\)は連続であるため、上の支出最小化問題には解が存在することが保証されます。

 

コブ・ダグラス型効用関数のもとでの補償需要関数

価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、目標効用水準が\(v=0\)である場合、ゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が支出最小化問題の解になります。そこで以降では\(v>0\)の場合について考えます。コブ・ダグラス型効用関数\(u\)は消費集合の内点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)において\(u\left( x\right) >0\)を満たす一方、境界点\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)において\(u\left( x\right) =0\)を満たします。したがって、消費集合の境界点は\(v>0\)を満たす\(\left(p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解になり得ないため、比較対象となる消費ベクトルを消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点に制限しても一般性は失われません。言い換えると、\(v>0\)を満たす\(\left( p,v\right) \)を前提としたとき、コブ・ダグラス型効用関数のもとでの支出最小化問題の解は内点解であることが保証されます。加えて、コブ・ダグラス型効用関数は連続であるため支出最小化問題の解において消費者は目標水準と等しい効用を得ます。以上を踏まえると、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題を、

$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & p\cdot x \\
s.t. & kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}=v \\
& x_{1}>0 \\
& \vdots \\
& x_{N}>0
\end{array}$$

と表現しても一般性は失われません。コブダグラス型効用関数\(u\)は消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)において準凹かつ\(C^{1}\)級であるとともに、任意の内点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)において、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\not=0
\end{equation*}が成り立つため、クーンタッカーの条件を満たす消費ベクトルはそのまま支出最小化問題の解になります。ただ、以下の要領で、問題をより扱いやすい形に変形することができます。

コブダグラス型効用関数\(u\)の定義域を消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)に制限すると、これと自然対数関数\(\ln :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)との合成関数\(\ln u:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能になり、この合成関数はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{equation*}\left( \ln u\right) \left( x\right) =\ln k+\alpha _{1}\ln x_{1}+\cdots
+\alpha _{N}\ln x_{N}
\end{equation*}を定めます。\(v>0\)ゆえに\(\ln v\)もまた存在します。以上を踏まえると、\(\left( p,w\right) \)のもとでの支出最小化問題を、

$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & p\cdot x \\
s.t. & \ln k+\alpha _{1}\ln x_{1}+\cdots +\alpha _{N}\ln x_{N}=\ln v \\
& x_{1}>0 \\
& \vdots \\
& x_{N}>0
\end{array}$$

と表現しても一般性は失われません。関数\(\ln u\)は消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)において連続かつ\(C^{1}\)級の凹関数であるとともに、任意の内点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)において、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial \ln u\left(
x\right) }{\partial x_{i}}\not=0
\end{equation*}が成り立つため、クーンタッカーの条件を満たす消費ベクトルはそのまま支出最小化問題の解になります。この問題を解くことにより以下が得られます。

命題(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの補償需要関数)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)がコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表される場合には、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}h_{n}^{\ast }\left( p,v\right) =\frac{v}{k}\frac{\alpha _{n}}{p_{n}}\left(
\frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right) ^{-\alpha _{1}}\cdots \left( \frac{\alpha
_{N}}{p_{N}}\right) ^{-\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。
証明

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例(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの補償需要関数)
2財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha }x_{2}^{1-\alpha }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(0<\alpha <1\)です。上の命題より、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{v}{k}\frac{\alpha }{p_{1}}\left( \frac{\alpha _{{}}}{p_{1}}\right)
^{-\alpha }\left( \frac{1-\alpha }{p_{2}}\right) ^{\alpha -1} \\
\frac{v}{k}\frac{1-\alpha }{p_{2}}\left( \frac{\alpha _{{}}}{p_{1}}\right)
^{-\alpha }\left( \frac{1-\alpha }{p_{2}}\right) ^{\alpha -1}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。
例(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの補償需要関数)
3財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }x_{3}^{1-\alpha
-\beta }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(0<\alpha <1\)かつ\(0<\beta <1\)です。上の命題より、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},p_{3},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},p_{3},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},p_{3},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},p_{3},v\right) \\
h_{3}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},p_{3},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{v}{k}\frac{\alpha }{p_{1}}\left( \frac{\alpha }{p_{1}}\right)
^{-\alpha }\left( \frac{\beta }{p_{2}}\right) ^{-\beta }\left( \frac{1-\alpha -\beta }{p_{3}}\right) ^{\alpha +\beta -1} \\
\frac{v}{k}\frac{\beta }{p_{2}}\left( \frac{\alpha }{p_{1}}\right) ^{-\alpha
}\left( \frac{\beta }{p_{2}}\right) ^{-\beta }\left( \frac{1-\alpha -\beta }{p_{3}}\right) ^{\alpha +\beta -1} \\
\frac{v}{k}\frac{1-\alpha -\beta }{p_{3}}\left( \frac{\alpha }{p_{1}}\right)
^{-\alpha }\left( \frac{\beta }{p_{2}}\right) ^{-\beta }\left( \frac{1-\alpha -\beta }{p_{3}}\right) ^{\alpha +\beta -1}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。

 

コブ・ダグラス型効用関数のもとでの支出関数

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)がコブ・ダグラス型効用関数として表される場合には補償関数が存在することが明らかになりました。したがって、補償需要関数を支出を表す式\(p\cdot x\)に代入することにより支出関数が得られます。

命題(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの支出関数)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)がコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表される場合には、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}e\left( p,v\right) =\frac{v}{k}\left( \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right)
^{-\alpha _{1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{p_{N}}\right) ^{-\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。
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例(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの支出関数)
2財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha }x_{2}^{1-\alpha }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(0<\alpha <1\)です。上の命題より、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =\frac{v}{k}\left( \frac{\alpha }{p_{1}}\right)
^{-\alpha }\left( \frac{1-\alpha }{p_{2}}\right) ^{\alpha -1}
\end{equation*}を定めます。
例(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの支出関数)
3財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }x_{3}^{1-\alpha
-\beta }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(0<\alpha <1\)かつ\(0<\beta <1\)です。上の命題より、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{3}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},p_{3},v\right)\in \mathbb{R} _{++}^{3}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}e\left( p_{1},p_{2},p_{3},v\right) =\frac{v}{k}\left( \frac{\alpha }{p_{1}}\right) ^{-\alpha }\left( \frac{\beta }{p_{2}}\right) ^{-\beta }\left( \frac{1-\alpha -\beta }{p_{3}}\right) ^{\alpha +\beta -1}
\end{equation*}を定めます。
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価格ベクトルと目標となる効用水準が与えられたとき、目標水準以上の効用をもたらす消費ベクトルの中から支出を最小化するようなものを特定することを支出最小化問題と呼びます。

コブ・ダグラス型効用関数

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