コブ・ダグラス型効用関数のもとでの支出最小化問題
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとします。つまり、\(u\)がそれぞれの消費ベクトル\(x=\left(x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値は、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}です。ただし、\(k,\alpha_{1},\cdots ,\alpha _{N}\in \mathbb{R} \)は定数であり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ k>0 \\
&&\left( b\right) \ \alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right)
\end{eqnarray*}を満たします。
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は単調増加な連続関数であるとともに、\begin{equation*}u\left( 0\right) =k0^{\alpha _{1}}\cdots 0^{\alpha _{N}}=0
\end{equation*}であることを踏まえると、\(u\)の値域は、\begin{equation*}u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) =\mathbb{R} _{+}
\end{equation*}となります。価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{+}\)のもとでの支出最小化問題は、
$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & p\cdot x \\
s.t. & kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}\geq v \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$と定式化されます。コブダグラス型効用関数\(u\)は連続であるため、上の支出最小化問題には解が存在することが保証されます。
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。価格ベクトルと目標効用\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{+}\)のもとでの支出最小化問題は、
$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},x_{2}\right) } & p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2} \\
s.t. & kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\geq v \\
& x_{1}\geq 0 \\
& x_{2}\geq 0
\end{array}$$となります。
コブ・ダグラス型効用関数のもとでの補償需要関数
コブ・ダグラス型効用関数\(u\)のもとでの支出最小化問題には解が存在します。特に、目標効用が\(v=0\)である場合、価格ベクトル\(p\)がいかなるものであっても、ゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が明らかに\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解です。そこで以降では\(v>0\)の場合について考えます。
コブ・ダグラス型効用関数\(u\)は消費集合の内点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)において\(u\left( x\right) >0\)を満たす一方で境界点\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)において\(u\left( x\right) =0\)を満たすため、消費集合の境界点は\(v>0\)を満たす\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解になり得ず、したがって比較対象となる消費ベクトルを消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点に制限しても一般性は失われません。すると自然対数関数\(\ln \left( x\right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)との合成関数\(\ln \left( u\left(x\right) \right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能になり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}\ln \left( u\left( x\right) \right) &=&\ln \left( kx_{1}^{\alpha
_{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}\right) \\
&=&\ln \left( k\right) +\alpha _{1}\ln \left( x_{1}\right) +\cdots \alpha
_{N}\ln \left( x_{N}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。自然対数関数\(\ln \left( x\right) \)は単調増加関数であるため、合成関数\(\ln \left( u\left( x\right) \right) \)はもとの関数\(u\)の単調増加変換です。一般に、選好関係を表す効用関数の任意の単調増加変換もまた同じ選好関係を表す効用関数であるため、\(\ln\left( u\left( x\right) \right) \)は\(u\left( x\right) \)と同一の選好を表す効用関数です。したがって、消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)に属する消費ベクトルどうしを比較する場合、支出最小化問題の制約条件を規定する効用関数として\(u\left( x\right) \)のかわりに\(\ln\left( u\left( x\right) \right) \)を採用しても一般性は失われません。関数\(\ln \left( u\left( x\right) \right) \)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上で\(C^{1}\)級の凹関数であるとともに、\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上で狭義単調増加関数であるため、\(v>0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\exists \overline{x}\in \mathbb{R} _{++}^{N}:\ln \left( u\left( \overline{x}\right) \right) >v
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、この場合の支出最小化問題の解はスレーター条件を満たすため、クーン・タッカーの条件は費用最小化問題の解であるための必要十分条件になることに注意してください。
以上の方針のもとで問題を解くと以下を得ます。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。この場合、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在し、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}h_{n}^{\ast }\left( p,v\right) =\left( \frac{\alpha _{n}}{p_{n}}\right)
\left( \frac{v}{k}\right) ^{\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right)
^{-1}}\left( \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right) ^{-\alpha _{1}\left( \alpha
_{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) ^{-1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{p_{N}}\right) ^{-\alpha _{N}\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) ^{-1}}
\end{equation*}を定める。特に、\begin{equation*}
\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}=1
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
h_{n}^{\ast }\left( p,v\right) =\left( \frac{\alpha _{n}}{p_{n}}\right)
\left( \frac{v}{k}\right) \left( \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right) ^{-\alpha
_{1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{p_{N}}\right) ^{-\alpha _{N}}
\end{equation*}となる。
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。先の命題より、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left( \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right) \left( \frac{v}{k}\right) ^{\left(
\alpha _{1}+\alpha _{2}\right) ^{-1}}\left( \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right)
^{-\alpha _{1}\left( \alpha _{1}+\alpha _{2}\right) ^{-1}}\left( \frac{\alpha _{2}}{p_{2}}\right) ^{-\alpha _{2}\left( \alpha _{1}+\alpha
_{2}\right) ^{-1}} \\
\left( \frac{\alpha _{2}}{p_{2}}\right) \left( \frac{v}{k}\right) ^{\left(
\alpha _{1}+\alpha _{2}\right) ^{-1}}\left( \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right)
^{-\alpha _{1}\left( \alpha _{1}+\alpha _{2}\right) ^{-1}}\left( \frac{\alpha _{2}}{p_{2}}\right) ^{-\alpha _{2}\left( \alpha _{1}+\alpha
_{2}\right) ^{-1}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。特に、\begin{equation*}
\alpha _{1}+\alpha _{2}=1
\end{equation*}の場合には、\begin{equation*}
h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left( \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right) \left( \frac{v}{k}\right) \left(
\frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right) ^{-\alpha _{1}}\left( \frac{\alpha _{2}}{p_{2}}\right) ^{-\alpha _{2}} \\
\left( \frac{\alpha _{2}}{p_{2}}\right) \left( \frac{v}{k}\right) \left(
\frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right) ^{-\alpha _{1}}\left( \frac{\alpha _{2}}{p_{2}}\right) ^{-\alpha _{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。もしくは、\(0<\alpha <1\)を満たす\(\alpha \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left( \frac{\alpha }{p_{1}}\right) \left( \frac{v}{k}\right) \left( \frac{\alpha }{p_{1}}\right) ^{-\alpha }\left( \frac{1-\alpha }{p_{2}}\right)
^{\alpha -1} \\
\left( \frac{1-\alpha }{p_{2}}\right) \left( \frac{v}{k}\right) \left( \frac{\alpha }{p_{1}}\right) ^{-\alpha }\left( \frac{1-\alpha }{p_{2}}\right)
^{\alpha -1}\end{array}\right)
\end{equation*}と表すこともできます。
コブ・ダグラス型効用関数のもとでの支出関数
消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数として表される場合には補償需要関数が存在することが明らかになりました。したがって、補償需要関数を支出を表す式に代入することにより支出関数が以下のように特定されます。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。この場合、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}e\left( p,v\right) =\left( \frac{v}{k}\right) ^{\left( \alpha _{1}+\cdots
+\alpha _{N}\right) ^{-1}}\left( \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right) ^{-\alpha
_{1}\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) ^{-1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{p_{N}}\right) ^{-\alpha _{N}\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha
_{N}\right) ^{-1}}\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right)
\end{equation*}を定める。特に、\begin{equation*}
\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}=1
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
e\left( p,v\right) =\frac{v}{k}\left( \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right)
^{-\alpha _{1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{p_{N}}\right) ^{-\alpha _{N}}
\end{equation*}となる。
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。上の命題より、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left( \frac{v}{k}\right) ^{\left( \alpha
_{1}+\alpha _{2}\right) ^{-1}}\left( \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right)
^{-\alpha _{1}\left( \alpha _{1}+\alpha _{2}\right) ^{-1}}\left( \frac{\alpha _{2}}{p_{2}}\right) ^{-\alpha _{2}\left( \alpha _{1}+\alpha
_{2}\right) ^{-1}}\left( \alpha _{1}+\alpha _{2}\right)
\end{equation*}を定めます。特に、\begin{equation*}
\alpha _{1}+\alpha _{2}=1
\end{equation*}の場合には、\begin{equation*}
e\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left( \frac{v}{k}\right) \left( \frac{\alpha
_{1}}{p_{1}}\right) ^{-\alpha _{1}}\left( \frac{\alpha _{2}}{p_{2}}\right)
^{-\alpha _{2}}
\end{equation*}となります。もしくは、\(0<\alpha <1\)を満たす\(\alpha \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left( \frac{v}{k}\right) \left( \frac{\alpha
}{p_{1}}\right) ^{-\alpha }\left( \frac{1-\alpha }{p_{2}}\right) ^{\alpha -1}
\end{equation*}と表すこともできます。
演習問題
_{2}}x_{3}^{\alpha _{3}}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)かつ\(\alpha _{3}>0\)です。
- 支出最小化問題を定式化してください。
- 補償需要関数を求めてください。
- 支出関数を求めてください。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)です。本文中で明らかにしたように、この場合、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在し、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}h_{n}^{\ast }\left( p,v\right) =\left( \frac{\alpha _{n}}{p_{n}}\right)
\left( \frac{v}{k}\right) ^{\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right)
^{-1}}\left( \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right) ^{-\alpha _{1}\left( \alpha
_{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) ^{-1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{p_{N}}\right) ^{-\alpha _{N}\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) ^{-1}}
\end{equation*}を定めます。また、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}e\left( p,v\right) =\left( \frac{v}{k}\right) ^{\left( \alpha _{1}+\cdots
+\alpha _{N}\right) ^{-1}}\left( \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right) ^{-\alpha
_{1}\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) ^{-1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{p_{N}}\right) ^{-\alpha _{N}\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha
_{N}\right) ^{-1}}\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right)
\end{equation*}を定めます。以上を踏まえた上で、シェファードの補題が成立することを確認してください。
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