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消費者理論

コブ・ダグラス型効用関数

目次

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コブ・ダグラス型効用関数

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上に定義された効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの消費ベクトル\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値が、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(k,\alpha _{1},\cdots ,\alpha_{N}\in \mathbb{R} \)は定数であり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ k>0 \\
&&\left( b\right) \ \alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとします。このような効用関数\(u\)をコブ・ダグラス型効用関数(Cobb-Douglas utility function)と呼びます。

例(コブ・ダグラス型効用関数)
2財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。例えば、\(k=1\)かつ\(\alpha _{1}=\alpha _{2}=\frac{1}{2}\)であれば、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}となり、\(k=2\)かつ\(\alpha _{1}=\frac{1}{2}\)かつ\(\alpha _{2}=\frac{1}{3}\)であれば、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =2x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}となります。

例(コブ・ダグラス型効用関数)
3財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha
_{2}}x_{3}^{\alpha _{3}}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)かつ\(\alpha _{3}>0\)です。例えば、\(k=1\)かつ\(\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\frac{1}{3}\)であれば、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =x_{1}^{\frac{1}{3}}x_{2}^{\frac{1}{3}}x_{3}^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}となり、\(k=2\)かつ\(\alpha _{1}=\frac{1}{2}\)かつ\(\alpha _{2}=\frac{1}{3}\)かつ\(\alpha _{3}=\frac{1}{4}\)であれば、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =2x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}}x_{3}^{\frac{1}{4}}
\end{equation*}となります。

一般に、選好関係を表す効用関数が存在する場合、その選好関係は完備性と推移性を満たします。したがって、消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数によって表される場合、消費者の選好は完備性と推移性を満たします。

 

コブ・ダグラス型効用関数の連続性

コブ・ダグラス型効用関数は連続関数です。

命題(コブ・ダグラス型効用関数の連続性)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\(u\)は\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上において連続である。
証明

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例(コブ・ダグラス型効用関数の連続微分可能性)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。この\(u\)はコブ・ダグラス型効用関数であるため、先の命題より、\(u\)は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上で連続です。

一般に、選好関係を表す連続な効用関数が存在する場合、その選好は連続性を満たします。コブ・ダグラス型効用関数は連続であるため、消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数によって表される場合、消費者の選好は連続性を満たします。

 

コブ・ダグラス型効用関数の連続微分可能性

コブ・ダグラス型効用関数は定義域の内部において連続微分可能です。

命題(コブ・ダグラス型効用関数の連続微分可能性)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上において\(C^{1}\)級である。
証明

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例(コブ・ダグラス型効用関数の連続微分可能性)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。この\(u\)はコブ・ダグラス型効用関数です。定義域の内点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\frac{\partial u\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}} &=&\frac{1}{2}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}} \\
\frac{\partial u\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}} &=&\frac{1}{2}x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}であるとともに、これらはともに\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上で連続です。

 

コブ・ダグラス型効用関数のもとでの限界効用

コブ・ダグラス型効用関数のもとでの限界効用は以下の通りです。

命題(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの限界効用)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。商品\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)および点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}MU_{n}\left( x\right) &=&\frac{\alpha _{n}}{x_{n}}kx_{1}^{\alpha
_{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}} \\
&=&\frac{\alpha _{n}}{x_{n}}u\left( x\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立つ。

証明

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例(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの限界効用)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。この\(u\)はコブ・ダグラス型効用関数です。定義域の内点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{1}{2}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}} \\
MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{1}{2}x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}となります。

 

コブ・ダグラス型効用関数のもとでの限界代替率

コブ・ダグラス型効用関数のもとでの限界代替率は以下の通りです。

命題(コブ・ダグラス型効用関数の限界代替率)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。2つの商品\(i,j\in \left\{ 1,\cdots,N\right\} \)および点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}MRS_{ij}\left( x\right) =\frac{\alpha _{i}}{\alpha _{j}}\cdot \frac{x_{j}}{x_{i}}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの限界代替率)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{3}}x_{2}^{\frac{2}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。この\(u\)はコブ・ダグラス型効用関数です。定義域の内点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right)
}{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }\quad \because \text{限界代替率の定義} \\
&=&\frac{\frac{\partial u\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}}}{\frac{\partial u\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}}}\quad \because \text{限界効用の定義} \\
&=&\frac{\frac{1}{3}x_{1}^{-\frac{2}{3}}x_{2}^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}x_{1}^{\frac{1}{3}}x_{2}^{-\frac{1}{3}}}\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\frac{\frac{1}{3}x_{2}}{\frac{2}{3}x_{1}} \\
&=&\frac{x_{2}}{2x_{1}}
\end{eqnarray*}となります。

 

コブ・ダグラス型効用関数の単調性

コブ・ダグラス型効用関数\(u\)は単調増加関数です。つまり、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left[ y\geq x\Rightarrow u\left( y\right) \geq u\left( x\right) \right] \end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
y\geq x\Leftrightarrow \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{n}\geq
x_{n}
\end{equation*}です。消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、そこからすべての商品の消費量を減らさない場合には、消費者が得られる効用も低下しないということです。

命題(コブ・ダグラス型効用関数の単調性)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\(u\)は\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上において単調増加関数である。
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コブ・ダグラス型効用関数は狭義単調増加ではありません。以下の例より明らかです。

例(コブ・ダグラス型効用関数)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めます。以下の2つの点\begin{eqnarray*}
\left( 0,1,1,\cdots ,1\right) &\in &\mathbb{R} _{+}^{N} \\
\left( 0,2,1,\cdots ,1\right) &\in &\mathbb{R} _{+}^{N}
\end{eqnarray*}に注目すると、\begin{equation*}
\left( 0,2,1,\cdots ,1\right) >\left( 0,1,1,\cdots ,1\right)
\end{equation*}が成り立つ一方で、\begin{eqnarray*}
u\left( 0,1,1,\cdots ,1\right) &=&k0^{\alpha _{1}}1^{\alpha _{2}}1^{\alpha
_{3}}\cdots 1^{\alpha _{N}}\quad \because u\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&k0^{\alpha _{1}}2^{\alpha _{2}}1^{\alpha _{3}}\cdots 1^{\alpha _{N}} \\
&=&u\left( 0,2,1,\cdots ,1\right) \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}となり、\begin{equation*}
u\left( 0,2,1,\cdots ,1\right) >u\left( 0,1,1,\cdots ,1\right)
\end{equation*}が成り立たないからです。

コブ・ダグラス型効用関数\(u\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)に制限すれば、すなわち任意の商品の消費量が正の実数を値としてとる場合には、\(u\)は狭義単調増加になります。つまり、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} _{++}^{N}:\left[ y>x\Rightarrow u\left( y\right) >u\left( x\right) \right] \end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
y>x\Leftrightarrow \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{n}\geq
x_{n}\wedge \exists n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{n}>x_{n}
\end{equation*}です。消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、そこからすべての商品の消費量を減らさず、なおかつ少なくとも1つの商品の消費量を増やせば、消費者が得る効用が増加するということです。

命題(コブ・ダグラス型効用関数の狭義単調性)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上において狭義単調増加関数である。
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狭義単調増加な関数は局所非飽和性を満たすため、上の命題より、\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上に定義されたコブ・ダグラス型効用関数は局所非飽和性を満たします。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists y\in \mathbb{R} _{++}^{N}\cap N_{\varepsilon }\left( x\right) :u\left( y\right) >u\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)は中心が\(x\)であり半径が\(\varepsilon \)の開近傍です。\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上の消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、それにいくらでも近い所に\(x\)よりも大きな効用をもたらす消費ベクトル\(y\)が存在するということです。

命題(コブ・ダグラス型効用関数の局所非飽和性)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上において局所非飽和性を満たす。

 

コブ・ダグラス型効用関数の同次性

コブ・ダグラス型効用関数\(u\)は\(\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\)次同次関数です。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{+}^{N},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:u\left( \lambda x\right) =\lambda ^{\alpha _{1}+\cdots +\alpha
_{N}}u\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、すべての商品の消費量を\(\lambda >0\)倍すれば、消費者が得られる効用の水準は\(\lambda ^{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\)倍になるということです。

命題(コブ・ダグラス型効用関数の同次性)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\(u\)は\(\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\)次同次関数である。
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例(コブダグラス型効用関数の同次性)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)です。上の命題より、\begin{equation*}\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}=1
\end{equation*}が成り立つ場合、\(u\)は1次同次関数になります。

 

コブ・ダグラス型効用関数の対数変換

多くの場合、コブ・ダグラス効用関数を扱う際には分析を容易にするために自然対数関数との合成関数を利用します。具体的には、コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めますが、定義域の内点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}u\left( x\right) >0
\end{equation*}が成り立つため、\(u\)の定義域を内部に制限して\(u:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)とすれば、\(u\)の値域は、\begin{equation*}u\left( \mathbb{R} _{++}^{N}\right) =\mathbb{R} _{++}
\end{equation*}となります。すると自然対数関数\(\ln \left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)との合成関数\(\ln \left( u\left(x\right) \right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x=\left(x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}\ln \left( u\left( x\right) \right) &=&\ln \left( kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}\right) \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\ln \left( k\right) +\ln \left( x_{1}^{\alpha _{1}}\right) +\cdots +\ln
\left( x_{N}^{\alpha _{N}}\right) \\
&=&\ln \left( k\right) +\alpha _{1}\ln \left( x_{1}\right) +\cdots +\alpha
_{N}\left( \ln x_{N}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

繰り返しになりますが、自然対数関数\(\ln \left(x\right) \)は正の実数上において定義されているため\(\ln \left( 0\right) \)は存在しません。したがって、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の境界点、すなわち少なくとも1つの商品の消費量が\(0\)であるような消費ベクトル\(x\)において合成関数\(\ln \left(u\left( x\right) \right) \)定義されず、したがって\(\ln \left( u\left( x\right) \right) \)の定義域は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)です。

例(コブ・ダグラス型効用関数の対数変換)
2財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。この場合、合成関数\(\ln \left( u\left( x_{1},x_{2}\right) \right) :\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\ln \left( u\left( x_{1},x_{2}\right) \right) &=&\ln \left( kx_{1}^{\alpha
_{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\right) \\
&=&\ln \left( k\right) +\alpha _{1}\ln \left( x_{1}\right) +\alpha _{2}\ln
\left( x_{2}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

例(コブ・ダグラス型効用関数の対数変換)
3財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha
_{2}}x_{3}^{\alpha _{3}}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)かつ\(\alpha _{3}>0\)です。この場合、合成関数\(\ln \left( u\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \right) :\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}\ln \left( u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \right) &=&\ln \left(
kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}x_{3}^{\alpha _{3}}\right) \\
&=&\ln \left( k\right) +\alpha _{1}\ln \left( x_{1}\right) +\alpha _{2}\ln
\left( x_{2}\right) +\alpha _{3}\ln \left( x_{3}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)がコブ・ダグラス型効用関数\(u\)によって表現されるものとします。考察対象を消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)に制限した場合、自然数対数関数\(\ln \left( x\right) \)との合成関数\(\ln \left( u\left(x\right) \right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能ですが、自然対数関数は単調増加関数であるため、合成関数\(\ln \left( u\left( x\right) \right) \)はもとの関数\(u\)の単調増加変換です。一般に、選好関係を表す効用関数の任意の単調増加変換もまた同じ選好関係を表す効用関数であるため、\(\ln\left( u\left( x\right) \right) \)もまた\(\succsim \)を表す効用関数です。したがって、消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)に属する消費集合どうしを比較する場合、\(u\)の代わりに\(\ln \left(u\left( x\right) \right) \)を分析対象としても一般性は失われません。消費集合の境界にある消費集合については別途に考える必要があります。

命題(コブ・ダグラス型効用関数の対数変換)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。消費集合\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が\(u\)によって表現されるならば、関数\(\ln \left( u\left( x\right)\right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数である。

 

コブ・ダグラス型効用関数は準凹関数

繰り返しになりますが、コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから合成関数\(\ln \left(u\left( x\right) \right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が常に定義可能であり、これはそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{equation*}\ln \left( u\left( x\right) \right) =\ln \left( k\right) +\alpha _{1}\ln
\left( x_{1}\right) +\cdots +\alpha _{N}\ln \left( x_{N}\right)
\end{equation*}を定めます。この関数は凹関数です。

命題(コブ・ダグラス型効用関数の対数変換は凹関数)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。合成関数\(\ln \left( u\left( x\right)\right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は凹関数である。
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以上の命題を踏まえると、コブ・ダグラス型効用関数が準凹関数であることを示すことができます。

命題(コブ・ダグラス型効用関数は準凹関数)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上において準凹関数である。
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コブ・ダグラス型効用関数が凹関数であるための条件

コブ・ダグラス型効用関数が準凹であることが明らかになりました。凹関数は準凹関数ですが、準凹関数は凹関数であるとは限りません。コブ・ダグラス型効用関数は凹関数でしょうか。一定の条件のもとでは、コブ・ダグラス型効用関数は凹関数になります。

命題(コブ・ダグラス型効用関数が凹関数であるための条件)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\begin{equation*}\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\leq 1
\end{equation*}が成り立つ場合、\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上において凹関数である。
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例(コブ・ダグラス型効用関数が凹関数であるための条件)
関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}<1\)であるため、先の命題より\(u\)は凹関数です。実際、点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)におけるヘッセ行列は、\begin{equation*}H_{u}\left( x_{1},x_{2}\right) =\begin{pmatrix}
u_{x_{1}x_{1}}^{\prime \prime } & u_{x_{1}x_{2}}^{\prime \prime } \\
u_{x_{2}x_{1}}^{\prime \prime } & u_{x_{2}x_{2}}^{\prime \prime }\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-\frac{1}{4}x_{1}^{-\frac{3}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}} & \frac{1}{6}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{2}{3}} \\
\frac{1}{6}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{2}{3}} & -\frac{2}{9}x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{5}{3}}\end{pmatrix}\end{equation*}です。首座小行列式の値について、\begin{eqnarray*}
-\det \left( A_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) \right) &=&-\det \left( -\frac{1}{4}x_{1}^{-\frac{3}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}}\right) =\frac{1}{4}x_{1}^{-\frac{3}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}}>0 \\
\det \left( A_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) \right) &=&\det
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{4}x_{1}^{-\frac{3}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}} & \frac{1}{6}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{2}{3}} \\
\frac{1}{6}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{2}{3}} & -\frac{2}{9}x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{5}{3}}\end{pmatrix}=\frac{1}{36x_{1}x_{2}^{\frac{4}{3}}}>0
\end{eqnarray*}となるため\(u\)は凹関数です。
例(コブ・ダグラス型効用関数が凹関数であるための条件)
関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{3}}x_{2}^{\frac{2}{3}}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1\)であるため、先の命題より\(u\)は凹関数です。実際、点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)におけるヘッセ行列は、\begin{equation*}H_{u}\left( x_{1},x_{2}\right) =\begin{pmatrix}
u_{x_{1}x_{1}}^{\prime \prime } & u_{x_{1}x_{2}}^{\prime \prime } \\
u_{x_{2}x_{1}}^{\prime \prime } & u_{x_{2}x_{2}}^{\prime \prime }\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-\frac{2}{9}x_{1}^{-\frac{5}{3}}x_{2}^{\frac{2}{3}} & \frac{2}{9}x_{1}^{-\frac{2}{3}}x_{2}^{-\frac{1}{3}} \\
\frac{2}{9}x_{1}^{-\frac{2}{3}}x_{2}^{-\frac{1}{3}} & -\frac{2}{9}x_{1}^{\frac{1}{3}}x_{2}^{-\frac{4}{3}}\end{pmatrix}\end{equation*}です。首座小行列式の値について、\begin{eqnarray*}
-\det \left( A_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) \right) &=&-\det \left( -\frac{2}{9}x_{1}^{-\frac{5}{3}}x_{2}^{\frac{2}{3}}\right) =\frac{2}{9}x_{1}^{-\frac{5}{3}}x_{2}^{\frac{2}{3}}>0 \\
\det \left( A_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) \right) &=&\det
\begin{pmatrix}
-\frac{2}{9}x_{1}^{-\frac{5}{3}}x_{2}^{\frac{2}{3}} & \frac{2}{9}x_{1}^{-\frac{2}{3}}x_{2}^{-\frac{1}{3}} \\
\frac{2}{9}x_{1}^{-\frac{2}{3}}x_{2}^{-\frac{1}{3}} & -\frac{2}{9}x_{1}^{\frac{1}{3}}x_{2}^{-\frac{4}{3}}\end{pmatrix}=0
\end{eqnarray*}となるため\(u\)は凹関数です。