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CONSUMER THEORY

コブ・ダグラス型効用関数

目次

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コブ・ダグラス型効用関数

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上に定義された効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの消費ベクトル\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値が、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(k,\alpha _{1},\cdots ,\alpha_{N}\in \mathbb{R} \)は定数であり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ k>0 \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\alpha _{n}>0
\\
&&\left( c\right) \ \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}=1
\end{eqnarray*}を満たすものとします。このような効用関数\(u\)をコブ・ダグラス型効用関数(Cobb-Douglas utility function)と呼びます。

例(コブ・ダグラス型効用関数)
2財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha }x_{2}^{1-\alpha }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(0<\alpha <1\)です。例えば、\(k=1\)かつ\(\alpha =\frac{1}{2}\)であれば、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}となり、\(k=2\)かつ\(\alpha =\frac{1}{3}\)であれば、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =2x_{1}^{\frac{1}{3}}x_{2}^{\frac{2}{3}}
\end{equation*}となります。

例(コブ・ダグラス型効用関数)
3財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }x_{3}^{1-\alpha
-\beta }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(0<\alpha <1\)かつ\(0<\beta <1\)です。例えば、\(k=1\)かつ\(\alpha =\beta =\frac{1}{3}\)であれば、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =x_{1}^{\frac{1}{3}}x_{2}^{\frac{1}{3}}x_{3}^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}となり、\(k=2\)かつ\(\alpha =\frac{1}{2}\)かつ\(\alpha =\frac{1}{3}\)であれば、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =2x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}}x_{3}^{\frac{1}{6}}
\end{equation*}となります。

 

コブ・ダグラス型効用関数の連続微分可能性

コブ・ダグラス型効用関数\(u\)は定義域の内点において連続微分可能です。つまり、変数\(x_{i}\)を任意に選んだとき、偏導関数\(\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\)が\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上に定義されるとともに\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上で連続です。

命題(コブ・ダグラス型効用関数の連続微分可能性)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上において\(C^{1}\)級である。
証明

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例(コブ・ダグラス型効用関数の連続微分可能性)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。この\(u\)はコブ・ダグラス型効用関数です。定義域の内点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\frac{\partial u\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}} &=&\frac{1}{2}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}} \\
\frac{\partial u\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}} &=&\frac{1}{2}x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}であるとともに、これらはともに\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上で連続です。

 

コブ・ダグラス型効用関数の単調性

コブ・ダグラス型効用関数\(u\)は単調増加関数です。つまり、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left[ y\geq x\Rightarrow u\left( y\right) \geq u\left( x\right) \right] \end{equation*}が成り立ちます。消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、そこからすべての商品の消費量を減らさない場合には、消費者が得られる効用も低下しないということです。

命題(コブ・ダグラス型効用関数の単調性)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は単調増加関数である。
証明

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コブ・ダグラス型効用関数は狭義単調増加ではありません。以下の例より明らかです。

例(コブ・ダグラス型効用関数)
コブダグラス型\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の2つの点\begin{eqnarray*}\left( 0,1,1,\cdots ,1\right) &\in &\mathbb{R} _{+}^{N} \\
\left( 0,2,1,\cdots ,1\right) &\in &\mathbb{R} _{+}^{N}
\end{eqnarray*}に注目すると、\begin{equation*}
\left( 0,2,1,\cdots ,1\right) >\left( 0,1,1,\cdots ,1\right)
\end{equation*}が成り立つ一方で、\begin{eqnarray*}
u\left( 0,1,1,\cdots ,1\right) &=&k0^{\alpha _{1}}1^{\alpha _{2}}1^{\alpha
_{3}}\cdots 1^{\alpha _{N}}\quad \because u\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&k0^{\alpha _{1}}2^{\alpha _{2}}1^{\alpha _{3}}\cdots 1^{\alpha _{N}} \\
&=&u\left( 0,2,1,\cdots ,1\right) \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}となり、\begin{equation*}
u\left( 0,2,1,\cdots ,1\right) >u\left( 0,1,1,\cdots ,1\right)
\end{equation*}が成り立たないからです。

コブ・ダグラス型効用関数\(u\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)に制限すれば、すなわち任意の商品の消費量が正の実数を値としてとる場合には、\(u\)は狭義単調増加になります。つまり、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} _{++}^{N}:\left[ y>x\Rightarrow u\left( y\right) >u\left( x\right) \right] \end{equation*}が成り立ちます。消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、そこからすべての商品の消費量を減らさず、なおかつ少なくとも1つの商品の消費量を増やせば、消費者が得る効用が増加するということです。

命題(コブ・ダグラス型効用関数の狭義単調性)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上において狭義単調増加関数である。
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一般に、狭義単調増加な関数は局所非飽和性を満たすため、上の命題より、\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上に定義されたコブダグラス型効用関数は局所非飽和性を満たします。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists y\in \mathbb{R} _{++}^{N}\cap C_{\varepsilon }\left( x\right) :u\left( y\right) >u\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(C_{\varepsilon }\left( x\right) \)は中心が\(x\)であり半径が\(\varepsilon \)の閉近傍です。\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上の消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、それにいくらでも近い所に\(x\)よりも大きな効用をもたらす消費ベクトル\(y\)が存在するということです。

命題(コブ・ダグラス型効用関数の局所非飽和性)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上において局所非飽和性を満たす。

局所非飽和な効用関数のもとではワルラスの法則が成立します。したがって、コブ・ダグラス型効用関数を分析対象とする場合、効用最大化問題の解が消費集合の内点解である場合には、すなわち\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合には、消費者は解において所得を使い切ることが保証されます。

 

コブ・ダグラス型効用関数の1次同次性

コブ・ダグラス型効用関数\(u\)は1次同次関数です。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{+}^{N},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:u\left( \lambda x\right) =\lambda u\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、すべての商品の消費量を\(\lambda >0\)倍すれば、消費者が得られる効用の水準もまた\(\lambda \)倍になるということです。

命題(コブ・ダグラス型効用関数の1次同次性)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は1次同次関数である。
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以上の命題は、コブ・ダグラス型効用関数のもとでの限界代替率は、それぞれの商品の消費量の相対的なバランスにのみ依存することを意味します。

命題(コブ・ダグラス型効用関数の限界代替率)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の2つの商品\(i,j\in \left\{1,\cdots ,N\right\} \)および任意の点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)において、\begin{equation*}MRS_{ij}\left( x\right) =\frac{\alpha _{i}}{\alpha _{j}}\cdot \frac{x_{j}}{x_{i}}
\end{equation*}が成り立つ。

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コブ・ダグラス型効用関数の対数変換

多くの場合、コブ・ダグラス効用関数を扱う際には分析を容易にするために自然対数関数との合成関数を利用します。具体的には、コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めますが、定義より\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\)かつ\(x_{n}\geq 0\)であるため、消費集合のそれぞれの内点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)について、\begin{equation*}u\left( x\right) >0
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(u\)の定義域を消費集合の内部に制限して\(u:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)とすればその値域は、\begin{equation*}u\left( \mathbb{R} _{++}^{N}\right) =\mathbb{R} _{++}
\end{equation*}となります。すると自然対数関数\(\ln \left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)との合成関数\(\ln u\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能になり、この合成関数はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}\ln u\left( x\right) &=&\ln \left( kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha
_{N}}\right) \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\ln \left( k\right) +\ln \left( x_{1}^{\alpha _{1}}\right) +\cdots +\ln
\left( x_{N}^{\alpha _{N}}\right) \\
&=&\ln \left( k\right) +\alpha _{1}\ln \left( x_{1}\right) +\cdots +\alpha
_{N}\left( \ln x_{N}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

繰り返しになりますが、自然対数関数\(\ln \left(x\right) \)は正の実数上において定義されているため\(\ln \left( 0\right) \)は存在しません。したがって、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の境界点、すなわち少なくとも1つの商品の消費量が\(0\)であるような消費ベクトル\(x\)において上の合成関数\(\ln u\left( x\right) \)定義されないことに注意する必要があります。

例(コブ・ダグラス型効用関数の対数変換)
2財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha }x_{2}^{1-\alpha }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(0<\alpha <1\)です。この場合、関数\(\ln u\left(x_{1},x_{2}\right) :\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\ln u\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\ln \left( kx_{1}^{\alpha
}x_{2}^{1-\alpha }\right) \\
&=&\ln \left( k\right) +\alpha \ln \left( x_{1}\right) +\left( 1-\alpha
\right) \ln \left( x_{2}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

例(コブ・ダグラス型効用関数の対数変換)
3財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =kx_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta
}x_{3}^{1-\alpha -\beta }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(0<\alpha <1\)かつ\(0<\beta <1\)です。この場合、関数\(\ln u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) :\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\ln u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) &=&\ln \left( kx_{1}^{\alpha
}x_{2}^{\beta }x_{3}^{1-\alpha -\beta }\right) \\
&=&\ln \left( k\right) +\alpha \ln \left( x_{1}\right) +\beta \ln \left(
x_{2}\right) +\left( 1-\alpha -\beta \right) \ln \left( x_{3}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)がコブ・ダグラス型効用関数\(u\)によって表現されるものとします。考察対象を消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)に制限した場合、自然数対数関数\(\ln \left( x\right) \)との合成関数\(\ln u\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能ですが、自然対数関数は単調増加関数であるため、合成関数\(\ln u\left( x\right) \)はもとの関数\(u\)の単調増加変換です。一般に、選好関係を表す効用関数の任意の単調増加変換もまた同じ選好関係を表す効用関数であるため、\(\ln u\left(x\right) \)もまた\(\succsim \)を表す効用関数です。したがって、消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)に属する消費集合どうしを比較する場合、\(u\)の代わりに\(\ln u\left(x\right) \)を分析対象としても一般性は失われません。消費集合の境界にある消費集合については別途で考える必要があります。

命題(コブ・ダグラス型効用関数の対数変換)
消費集合\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)がコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されるとき、関数\(\ln u\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数である。

 

コブ・ダグラス型効用関数は準凹関数

繰り返しになりますが、コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから合成関数\(\ln u\left(x\right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が常に定義可能であり、これはそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{equation*}\ln u\left( x\right) =\ln \left( k\right) +\alpha _{1}\ln \left(
x_{1}\right) +\cdots +\alpha _{N}\ln \left( x_{N}\right)
\end{equation*}を定めます。

自然対数関数は凹関数であること、凹関数の正の定数倍は凹関数であること、さらに凹関数どうしの和もまた凹関数であることを踏まえると、上の関数\(\ln u\left( x\right) \)が凹関数であることが保証されます。

命題(コブ・ダグラス型効用関数の対数変換は凹関数)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それと自然数対数との合成関数\(\ln u\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は凹関数である。

凹関数は準凹関数であることと上の命題を踏まえると関数\(\ln u\left(x\right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は準凹関数でもあります。ここで、自然対数関数\(\exp :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)との合成関数\(\exp \left( \ln u\left(x\right) \right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}\exp \left( \ln u\left( x\right) \right) &=&\exp \left( \ln \left( k\right)
+\alpha _{1}\ln \left( x_{1}\right) +\cdots +\alpha _{N}\ln \left(
x_{N}\right) \right) \\
&=&kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{eqnarray*}となり、これはコブ・ダグラス型効用関数と一致します。自然対数関数\(\exp \)は単調増加関数です。準凹関数と単調増加関数の合成関数は準凹関数であるため、上の関数\(\exp \left( \ln u\left( x\right) \right) \)もまた準凹関数であり、したがってそれと一致するコブ・ダグラス型効用関数もまた準凹関数です。

命題(コブ・ダグラス型効用関数は準凹関数)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上において準凹関数である。

効用関数が\(C^{1}\)級の準凹関数である場合、ある消費ベクトルがクーンタッカーの条件を満たすことは、その消費ベクトルが効用最大化問題の解であるための必要十分条件となります。これまでの議論から明らかになったように、コブ・ダグラス型効用関数は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上において\(C^{1}\)級の準凹関数です。したがって、コブ・ダグラス型効用関数のもとでの効用最大化問題において、比較対象を\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上の消費ベクトルに制限した場合、クーンタッカーの条件を満たす消費ベクトルはそのまま効用最大化問題の解になります。加えて、消費集合\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の境界点においてコブ・ダグラス型効用関数の値は\(0\)になるため、消費集合の境界点が効用最大化問題の解になることはありません。したがって、比較対象を\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の消費ベクトルとした場合においても、クーンタッカーの条件を満たす消費ベクトルは効用最大化問題の解になります。

次回はコブ・ダグラス型効用関数のもとでの効用最大化問題について解説します。

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