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CONSUMER THEORY

コブ・ダグラス型効用関数

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コブ・ダグラス型効用関数

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上に定義された効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの消費ベクトル\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値が、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\alpha _{n}>0
\\
&&\left( b\right) \ \sum_{n=1}^{N}\alpha _{n}=1 \\
&&\left( c\right) \ k>0
\end{eqnarray*}を満たす定数\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{N},k\)を用いて、\begin{eqnarray*}
u\left( x\right) &=&k\prod\limits_{n=1}^{N}x_{n}^{\alpha _{n}} \\
&=&kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{eqnarray*}
という形で表されるとき、このような効用関数\(u\)をコブ・ダグラス型効用関数(Cobb-Douglas utility function)と呼びます。

例(コブ・ダグラス型効用関数)
2財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha }x_{2}^{1-\alpha }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(0<\alpha <1\)です。例えば、\(k=1\)かつ\(\alpha =\frac{1}{2}\)であれば、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}となります。
例(コブ・ダグラス型効用関数)
3財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }x_{3}^{1-\alpha
-\beta }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(0<\alpha <1\)かつ\(0<\beta <1\)です。例えば、\(k=1\)かつ\(\alpha =\beta =\frac{1}{3}\)であれば、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =x_{1}^{\frac{1}{3}}x_{2}^{\frac{1}{3}}x_{3}^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}となります。

 

コブ・ダグラス型効用関数の単調増加変換

多くの場合、コブ・ダグラス効用関数を扱う際には分析を容易にするために自然対数関数との合成関数を利用します。具体的には、コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めますが、定義より\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\)かつ\(x_{n}\geq 0\)であるため、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)のそれぞれの内点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)について、\begin{equation*}
u\left( x\right) >0
\end{equation*}となります。つまり、コブ・ダグラス型効用関数の定義域を縮小して\(u:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)とすれば、これは正の実数を値としてとります。一方、自然対数関数\(\ln :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域は正の実数からなる集合であるため合成関数\(\ln\circ u:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)を構成できます。この合成関数はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}
\left( \ln\circ u\right) \left( x\right) &=&\ln u\left( x\right) \quad
\because \text{合成関数の定義} \\
&=&\ln \left( kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}\right) \quad
\because u\text{の定義} \\
&=&\ln k+\ln x_{1}^{\alpha _{1}}+\cdots +\ln x_{N}^{\alpha _{N}} \\
&=&\ln k+\alpha _{1}\ln x_{1}+\cdots +\alpha _{N}\ln x_{N}
\end{eqnarray*}を定めます。ちなみに、自然対数関数\(\ln x_{n}\)は狭義凹関数であるため、それを正の定数倍した\(\alpha _{n}\ln x_{n}\)もまた狭義凹関数です。加えて、狭義凹関数どうしの和もまた狭義凹関数であるため、上の関数\(\ln\circ u\)もまた狭義凹関数です。

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)がコブ・ダグラス型効用関数\(u\)によって表現されるものとします。自然対数関数\(\ln \)は単調増加関数であるため、合成関数\(\ln\circ u\)はもとの関数\(u\)の単調増変換です。一般に、選好関係を表す効用関数の任意の単調増加変換もまた同じ選好関係を表す効用関数であるため、\(\ln\circ u\)もまた\(\succsim \)を表す効用関数です。したがって、\(u\)の代わりに\(\ln\circ u\)を分析対象としても一般性は失われません。

自然対数関数\(\ln \)は正の実数上において定義されているため\(\ln 0\)は存在しません。したがって、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の境界点、すなわち少なくとも1つの商品の消費量が\(0\)であるような消費ベクトル(\(x_{n}=0\)を満たす\(n\)が存在するような\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\))おいて上の合成関数\(\ln\circ u\)は定義されません。ただ、消費集合の境界点を考察対象に含めるためには先の合成関数\(\ln\circ u\)の定義域を\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)へ拡張する必要があります。具体的には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \ln x\right) =-\infty
\end{equation*}であることを踏まえた上で、それぞれの境界点\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対しては、\begin{equation*}
\left( \ln\circ u\right) \left( x\right) =-\infty
\end{equation*}と定めることにより拡大実数値関数\(\ln\circ u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} ^{\ast }\)が得られます。つまり、この拡大実数値関数\(\ln\circ u\)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{equation*}
\left( \ln\circ u\right) \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\ln k+\alpha _{1}\ln x_{1}+\cdots +\alpha _{N}\ln x_{N} & \left( if\ x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\right) \\
-\infty & \left( if\ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

例(コブ・ダグラス型効用関数の単調増加変換)
2財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha }x_{2}^{1-\alpha }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(0<\alpha <1\)です。この関数\(u\)について考える代わりに、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
\left( \ln\circ u\right) \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\ln k+\alpha _{1}\ln x_{1}+\alpha _{2}\ln x_{2} & \left( if\ x\in \mathbb{R} _{++}^{2}\right) \\
-\infty & \left( if\ x\in \mathbb{R} _{+}^{2}\backslash \mathbb{R} _{++}^{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\ln\circ u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{\ast }\)について考えても一般性は失われません。
例(コブ・ダグラス型効用関数の単調増加変換)
3財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }x_{3}^{1-\alpha
-\beta }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(0<\alpha <1\)かつ\(0<\beta <1\)です。この関数\(u\)について考える代わりに、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\)に対して、\begin{equation*}
\left( \ln\circ u\right) \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\ln k+\alpha _{1}\ln x_{1}+\alpha _{2}\ln x_{2}+\alpha _{3}\ln x_{3} &
\left( if\ x\in \mathbb{R} _{++}^{3}\right) \\
-\infty & \left( if\ x\in \mathbb{R} _{+}^{3}\backslash \mathbb{R} _{++}^{3}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\ln\circ u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{\ast }\)について考えても一般性は失われません。

 

コブ・ダグラス型効用関数の基本性質

コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は単調増加関数です。実際、点\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)と変数\(x_{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{n}} &=&\frac{\partial }{\partial x_{n}}\left( k\prod\limits_{n=1}^{N}x_{n}^{\alpha _{n}}\right)
\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\alpha _{n}kx_{n}^{\alpha _{n}-1}\prod\limits_{m\not=n}x_{m}^{\alpha _{m}}
\\
&>&0\quad \because \alpha _{n}>0,\ k>0,\ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{eqnarray*}
が成り立つからです。

単調増加な効用関数は局所非飽和性を満たします。さらに、局所非飽和な効用関数のもとではワルラスの法則が成立します。以上より、コブ・ダグラス型効用関数を分析対象とする場合、効用最大化問題の解において消費者は所得を使い切ることが保証されます。

命題(コブ・ダグラス型効用関数の単調性)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は単調増加関数である。
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コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は1次同次関数です。実際、点\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \)と\(\lambda >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
u\left( \lambda x\right) &=&u\left( \lambda x_{1},\cdots ,\lambda
x_{N}\right) \\
&=&\left( k\prod\limits_{n=1}^{N}\lambda x_{n}^{\alpha _{n}}\right) \quad
\because u\text{の定義} \\
&=&\lambda \left( k\prod\limits_{n=1}^{N}x_{n}^{\alpha _{n}}\right) \\
&=&\lambda u\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つからです。つまり、コブ・ダグラス型効用関数のもとでは、任意の消費ベクトルを出発点としたとき、そこからすべての商品の消費量を\(\lambda \)倍すると、得られる効用の水準もまた\(\lambda \)倍になります。

命題(コブ・ダグラス型効用関数の1次同次性)
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は1次同次関数である。
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コブ・ダグラス型効用のもとでの効用最大化問題

繰り返しになりますが、コブ・ダグラス型効用関数を分析対象とする場合にはワルラスの法則が成立するため、効用最大化問題の解において消費者は所得をすべて使い切ることが保証されます。以上を踏まえると、コブ・ダグラス型効用関数を考察対象とするとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p_{1},\cdots ,p_{N},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題は、
$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}} \\
s.t. & p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}=w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0\end{array}$$
と定式化されます。ただし、先に確認したように、コブ・ダグラス型効用関数を分析対象とするかわりに、それぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{equation*}
\left( \ln\circ u\right) \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\ln k+\alpha _{1}\ln x_{1}+\cdots +\alpha _{N}\ln x_{N} & \left( if\ x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\right) \\
-\infty & \left( if\ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\ln\circ u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} ^{\ast }\)を分析対象としても一般性は失われません。つまり、上の問題の代わりに以下の問題
$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & \left( \ln\circ u\right) \left( x\right) \\
s.t. & p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N} \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0\end{array}$$
を考えても問題ありません。ただし、消費集合の内点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対しては\(\left( \ln\circ u\right) \left( x\right) >0\)であり、消費集合の境界点\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対しては\(\left( \ln\circ u\right) \left( x\right) =-\infty \)であるため、消費集合の境界点が上の問題の解になることはありません。以上を踏まえると、上の問題の代わりに以下の問題
$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & \ln k+\alpha _{1}\ln x_{1}+\alpha _{2}\ln x_{2} \\
s.t. & p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N} \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0\end{array}$$
を考えても問題ありません。

 

コブ・ダグラス型効用のもとでの需要関数

繰り返しになりますが、上の最適化問題の解は消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の境界点(\(\mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)上の点)ではなく、内点(\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上の点)であることが保証されます。加えて、目的関数は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上で\(C_{1}\)級であるため、解\(x^{\ast }=\left( x_{1}^{\ast },\cdots ,x_{N}^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\)においてある\(\lambda ^{\ast }\geq 0\)が存在して、任意の商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)について、\begin{equation*}
\left. \frac{\partial \left( \ln k+\alpha _{1}\ln x_{1}+\alpha _{2}\ln
x_{2}\right) }{\partial x_{n}}\right\vert _{x=x^{\ast }}=\lambda ^{\ast
}p_{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\frac{\alpha _{n}}{x_{n}^{\ast }}=\lambda ^{\ast }p_{n} \quad\cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。商品\(1\)とは異なる商品\(n\ \left( =2,\cdots ,N\right) \)を任意に選ぶと、\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}
\frac{\alpha _{1}}{x_{1}^{\ast }p_{1}}=\frac{\alpha _{n}}{x_{n}^{\ast }p_{n}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
x_{n}^{\ast }=\left( \frac{p_{1}}{\alpha _{1}}x_{1}^{\ast }\right) \frac{\alpha _{n}}{p_{n}} \quad\cdots (2)
\end{equation}を得ます。さらに、制約条件より、\begin{equation*}
p_{1}x_{1}^{\ast }+\cdots +p_{N}x_{N}^{\ast }=w
\end{equation*}が成立するため、これと\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}
p_{1}\left( \frac{p_{1}}{\alpha _{1}}x_{1}^{\ast }\right) \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}+\cdots +p_{N}\left( \frac{p_{1}}{\alpha _{1}}x_{1}^{\ast }\right)
\frac{\alpha _{N}}{p_{N}}=w
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( \frac{p_{1}}{\alpha _{1}}x_{1}^{\ast }\right) \left( \alpha
_{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) =w
\end{equation*}すなわち、\begin{eqnarray*}
x_{1}^{\ast } &=&\frac{\alpha _{1}}{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\frac{w}{p_{1}} \\
&=&\frac{\alpha _{1}w}{p_{1}}\quad \because \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}=1
\end{eqnarray*}を得ます。他の商品についても同様に考えることにより、それぞれの商品\(n\)について、\begin{equation*}
x_{n}^{\ast }=\frac{\alpha _{n}w}{p_{n}}
\end{equation*}となることが明らかになりました。

同様の議論は価格ベクトルと所得の任意の組\(\left( p,w\right) \)についても成立します。したがって、それぞれの商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)に関する需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}
x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\alpha _{n}w}{p_{n}}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。ちなみに、仮定より\(\alpha _{n},w,p_{n}\)はいずれも正の実数であるため\(x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) >0\)となります。任意の\(n\)について同様であるため、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)は内点解ですが、これは先の考察と整合的です。また、任意の\(\left( p,w\right) \)について同様の議論が成立します。

命題(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの需要関数)
消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表される場合には需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}
x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\alpha _{n}w}{p_{n}}
\end{equation*}を定める。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの需要関数)
2財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha }x_{2}^{1-\alpha }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(0<\alpha <1\)です。上の命題より、この場合の需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}
x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{\alpha _{1}w}{p_{1}} \\
\frac{\left( 1-\alpha \right) w}{p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。
例(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの需要関数)
3財モデルにおけるコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }x_{3}^{1-\alpha
-\beta }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(0<\alpha <1\)かつ\(0<\beta <1\)です。上の命題より、この場合の需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},p_{3},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}
x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},p_{3},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},p_{3},w\right) \\
x_{3}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},p_{3},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{\alpha w}{p_{1}} \\
\frac{\beta w}{p_{2}} \\
\frac{\left( 1-\alpha -\beta \right) w}{p_{3}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。

上の命題より、コブ・ダグラス型効用関数によって表現される選好を持つ消費者が価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題に直面した場合、商品\(n\)に対して、\begin{eqnarray*}
p_{n}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) &=&p_{n}\frac{\alpha _{n}w}{p_{n}} \\
&=&\alpha _{n}w
\end{eqnarray*}だけ支出します。仮定より、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\alpha _{n}>0
\\
&&\left( b\right) \ \sum_{n=1}^{N}\alpha _{n}=1
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、この事実は、消費者は全体の所得\(w\)の中の割合\(\alpha _{n}\)を商品\(n\)の消費に使うことを意味します。つまり、コブ・ダグラス型効用関数を構成する定数\(\alpha_{n}\)は最適な需要において消費者が商品\(n\)に使う所得の割合を表しています。したがって、この事実を覚えておけば、コブ・ダグラス型効用関数を構成するパラメータ\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{N}\)の水準と価格ベクトル\(p\)および所得\(w\)が外生的に与えられたとき、そこから需要\(x^{\ast }\left( p,w\right)\)を簡単に導出できます。

逆に、消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数によって表現されるものと仮定した場合、消費者がそれぞれの商品に対してどのような割合で支出を行っているかを観察すればパラメータ\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{N}\)の水準が得られるため、そこから需要関数を具体的に特定することができます。

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