消費者が直面する支出最小化問題は価格ベクトルと目標となる効用水準に応じて変化します。そこで、価格ベクトルと目標効用水準のそれぞれの組に対して、そのときの支出最小化問題の解が一意的に定まる場合には、補償需要関数と呼ばれる関数が定義可能です。

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最適選択関数

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)から定義される支出最小化問題について考えます。価格ベクトルと目標となる消費ベクトルの組\(\left( p,x\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times X\)を任意に選んだとき、それに対応する支出最小化問題に常に一意的な解が存在する場合には、すなわち、最適選択対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times X\twoheadrightarrow X\)が、\begin{equation}
\forall \left( p,x\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times X:\left\vert H^{\ast }\left( p,v\right) \right\vert =1
\tag{1}
\end{equation}を満たす場合には、集合\(H^{\ast }\left( p,x\right) \)と、その唯一の要素を同一視することにより、最適選択対応\(H^{\ast }\)を\( \mathbb{R} _{++}^{N}\times X\)から\(X\)への写像とみなすことができます。そこで、改めてそのような写像を\(h^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times X\rightarrow X\)で表し、これを最適選択関数(optimal choice function)と呼びます。

最適選択関数\(h^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times X\rightarrow X\)がそれぞれの\(\left( p,x\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times X\)に対して定める消費ベクトル\(h^{\ast }\left( p,x\right) \in X\)は\(\left( p,x\right) \)のもとでの支出最小化問題の唯一の解であるため、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ h^{\ast }\left( p,x\right) \succsim x \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in U\left( x\right) :p\cdot y\geq p\cdot
h^{\ast }\left( p,x\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。また、最適選択対応\(H^{\ast }\)と最適選択関数\(h^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}
\forall \left( p,x\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times X:H^{\ast }\left( p,x\right) =\left\{ h^{\ast }\left(
p,x\right) \right\}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

最適選択関数\(h^{\ast }\)がそれぞれの組\(\left( p,x\right) \)に対して定める像\(h^{\ast }\left( p,x\right) \)は消費ベクトルであるため、その成分を明示的に表現する場合には、

\begin{equation*}
h^{\ast }(p,x)=\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }(p,x) \\
\vdots \\
h_{N}^{\ast }(p,x)\end{array}\right) \in X
\end{equation*}と表記します。ただ、多くの場合、スペースの制約を考慮した上で、これを行ベクトル\begin{equation*}
h^{\ast }(p,x)=\left( h_{1}^{\ast }(p,x),\cdots ,h_{N}^{\ast }(p,x)\right)
\in X
\end{equation*}として表記することもあります。本来、列ベクトルと行ベクトルは数学的には互いに区別されるべき概念ですが、ここでは特に断りのない限り両者を同一視し、両者は交換可能であるものとします。

消費集合が\( \mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとき、選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性、そして凸性を満たす場合には、最適選択対応\(H^{\ast }\)は非空値かつ凸値をとります。さらに、\(\succsim \)に関する凸性を狭義凸性に強めると、最適選択対応\(H^{\ast }\)が定める解集合\(H^{\ast }\left( p,x\right) \)が常に 1 点集合になることが示されるため、最適選択関数\(h^{\ast }\)が存在します。

命題(最適選択関数の存在条件)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性、連続性、狭義凸性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、最適選択関数\(h^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times X\rightarrow X\)が存在する。
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補償需要関数

選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)が存在する場合には、支出最小化問題において目標となる消費ベクトルを選択することは、効用関数\(u\)の値域に属する何らかの効用水準\(v\in u\left( X\right) \)を選ぶことを意味します。このとき、最適選択関数\(h^{\ast }\)の定義域は\( \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \)となり、これがそれぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times u\left( X\right) \)に対して定める値\(h^{\ast }\left( p,v\right) \in X\)は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ h^{\ast }\left( p,x\right) \geq v \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in X:\left[ u\left( y\right) \geq v\
\Rightarrow \ p\cdot y\geq p\cdot h^{\ast }\left( p,x\right) \right] \end{eqnarray*}をともに満たす消費ベクトルとなります。このように読み替えたとき、\(h^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \rightarrow X\)を補償需要関数(compensated demand function)やヒックスの需要関数(Hicksian demand function)などと呼びます。補償需要対応\(H^{\ast }\)と補償需要関数\(h^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}
\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times u\left( X\right) :H^{\ast }\left( p,v\right) =\left\{
h^{\ast }\left( p,v\right) \right\}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

繰り返しになりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性、連続性、狭義凸性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、最適選択関数\(h^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times X\rightarrow X\)が存在します。ただ、上の条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)よりドブリューの定理が利用できるため、選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)が存在することも保証されます。したがって、最適選択関数を補償需要関数に読み替えることで以下の命題を得ます。

命題(補償需要関数の存在条件)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性、連続性、狭義凸性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在するとともに、補償需要関数\(h^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \rightarrow X\)が存在する。
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補償需要関数の性質

復習になりますが、支出最小化問題の制約条件を制約対応を用いたものに変換した場合、その前後において解集合は変化せず、なおかつ、制約対応はベルジュの最大値定理が要求する条件を満たすため、同定理を利用することにより、補償需要関数についてもう少し踏み込んだことが言えます。

具体的には、消費集合\( \mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合、\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u: \mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R}\)が存在します。そこで、支出最小化問題を規定する目標効用水準\(v\)がとり得る値の範囲を、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R}_{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}に制限した上で、制約対応\(S: \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R}_{+}^{N}\)を、\begin{equation*}
S\left( p,v\right) =\left\{ x\in \mathbb{R}_{+}^{N}\ |\ u\left( x\right) \geq v,\ p\cdot x\leq p\cdot \overline{x}\right\}
\end{equation*}と定義します。ただし、上の条件中の\(\overline{x}\in \mathbb{R}_{+}^{N}\)は、入力した\(v\in U\)に対して、\(u\left( \overline{x}\right) =v\)を満たす消費ベクトルです。\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times U\)を任意に選んだとき、以下の最適化問題\begin{equation*}
\min_{x\in \mathbb{R}_{+}^{N}}p\cdot x\quad s.t.\quad x\in S\left( p,v\right)
\end{equation*}の解集合は、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解集合\(H^{\ast }\left( p,v\right) \)と一致します。さらに、\(u\)の連続性から、制約対応\(S\)が非空値かつコンパクト値をとるとともに、優半連続対応であることが示されます。さらに、選好\(\succsim \)が狭義凸性を満たす場合、効用関数\(u\)は狭義準凹関数になります。したがって、ベルジュの最大値定理などから、補償需要関数\(h^{\ast }\)が存在するとともに、それが連続関数になることが示されます。

命題(補償需要関数の性質)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性、連続性、狭義凸性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在するとともに、補償需要\(x^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \rightarrow X\)が存在して、それは\( \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)上で連続になる。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( X\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。
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次回は補償需要関数の0次同次性について解説します。

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