消費者厚生の変化を測る指標としての効用の問題点
消費者の選好が消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されており、さらに、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する状況を想定します。また、消費者が直面する経済的制約が予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が解くべき効用最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}\ u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad x\in B\left( p,w\right)
\end{equation*}として定式化されます。特に、選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、そして狭義凸性を満たす場合にはワルラスの需要関数\begin{equation*}x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}が存在することが保証されます。ただし、需要関数\(x^{\ast }\)が価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値\begin{equation*}x^{\ast }\left( p,w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) \\
\vdots \\
x_{N}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}は、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の唯一の解に相当する\(N\)次元ベクトルであり、これを\(\left( p,w\right) \)のもとでの需要と呼びます。同様の条件のもとでは間接効用関数\begin{equation*}v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在することが保証されます。ただし、間接効用関数\(v\)が価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値は\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解において消費者が得る効用であり、したがって需要関数\(x^{\ast }\)と間接効用関数\(v\)の間には以下の関係\begin{equation*}v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}が成立します。
一方、価格ベクトルと目標効用\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に直面した消費者が解くべき支出最小化問題は、以下のような制約付き最小化問題\begin{equation*}\min_{x\in X}\ p\cdot x\quad \text{s.t.}\quad u\left( x\right) \geq v
\end{equation*}として定式化されます。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。特に、選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、そして狭義凸性を満たす場合にはヒックスの補償需要関数\begin{equation*}h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}が存在することが保証されます。ただし、補償需要関数\(h^{\ast }\)が価格ベクトルと目標効用の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して定める値\begin{equation*}h^{\ast }\left( p,v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p,v\right) \\
\vdots \\
h_{N}^{\ast }\left( p,v\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}は、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の唯一の解に相当する\(N\)次元ベクトルであり、これを\(\left( p,v\right) \)のもとでの補償需要と呼びます。同様の条件のもとでは支出関数\begin{equation*}e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在することが保証されます。ただし、支出関数\(e\)が価格ベクトルと目標効用の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して定める値は\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解において消費者が直面する支出であり、したがって補償需要関数\(x^{\ast }\)と支出関数\(e\)の間には以下の関係\begin{equation*}e\left( p,v\right) =p\cdot h^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}が成立します。
さて、消費者による効用最大化を前提とした場合、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が得る効用は、\begin{equation*}v\left( p,w\right)
\end{equation*}です。所得\(w\)を固定したまま価格ベクトルだけが\(\Delta p\)だけ変化して\(p+\Delta p\)となった場合、消費者が得る効用は、\begin{equation*}v\left( p+\Delta p,w\right)
\end{equation*}へと変化します。したがって、価格が変化する前後において消費者の効用は、\begin{equation*}
v\left( p+\Delta p,w\right) -v\left( p,w\right)
\end{equation*}だけ変化します。ただ、実際の話はもう少し複雑であり、価格変化がもたらす消費者厚生の変化を測る指標としてこの値を採用することはできません。順番に説明します。
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、狭義の単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で両者の合成関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R} \)をとると、この合成関数\(f\circ u\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数であることが保証されるため、効用関数として\(u\)と\(f\circ u\)のどちらを採用しても一般性は失われません。その反面、\(f\)は狭義の単調増加関数であることから、それぞれの消費ベクトル\(x\in X\)がもたらす効用の大きさについて、\begin{equation}u\left( x\right) \not=\left( f\circ u\right) \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成立します。つまり、消費ベクトルがもたらす効用の大きさは採用する効用関数に応じて変化してしまいます。効用関数として\(u\)と\(f\circ u\)のどちらを採用する場合でも、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)は変わりません。しかし、その解から消費者が得る効用\(v\left( p,w\right) \)については、効用関数として\(u\)を採用した場合には、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}である一方、効用関数として\(f\circ u\)を採用した場合には、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =\left( f\circ u\right) \left( x^{\ast }\left( p,w\right)
\right)
\end{equation*}であるため、\(\left( 1\right) \)より、両者は異なります。つまり、効用最大化問題の解において消費者が得る効用の大きさは採用する効用関数に依存して変化してしまいます。このような事情を踏まえると、価格が変化する前後における消費者の効用の変化量\begin{equation*}v\left( p+\Delta p,w\right) -v\left( p,w\right)
\end{equation*}の大きさもまた採用する効用関数に依存して変化してしまうため、価格変化がもたらす消費者厚生の変化を測る指標としてこの値を採用することはできません。
\end{equation*}として与えられているものとします。この場合の需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{w}{p}
\end{equation*}であるため、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}v\left( p,w\right) &=&u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right) \\
&=&\frac{w}{p}
\end{eqnarray*}となります。一方、別の関数\(w:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}w\left( x\right) =10x
\end{equation*}で与えられているものとします。\(w\)は\(u\)の単調増加変換であるため、\(w\)もまた\(\succsim \)を表す効用関数です。この場合の需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)もまた、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{w}{p}
\end{equation*}である一方、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}v\left( p,w\right) &=&w\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right) \\
&=&10\frac{w}{p}
\end{eqnarray*}となります。所得\(w\)を\(10\)に固定したまま価格\(p\)が\(1\)から\(2\)へ変化した状況を想定します。効用関数として\(u\)を採用する場合、価格が変化する前後における消費者の効用の変化量は、\begin{eqnarray*}v\left( 2,10\right) -v\left( 1,10\right) &=&\frac{10}{2}-\frac{10}{1} \\
&=&-5
\end{eqnarray*}である一方、効用関数として\(w\)を採用する場合、価格が変化する前後における消費者の効用の変化量は、\begin{eqnarray*}v\left( 2,10\right) -v\left( 1,10\right) &=&10\frac{10}{2}-10\frac{10}{1} \\
&=&-50
\end{eqnarray*}であり、両者は異なります。したがって、価格上昇がもたらす消費者厚生の損失を測る指標として効用の変化を採用できません。
価格変化がもたらす消費者厚生の変化を測る指標として効用の変化量\begin{equation*}
v\left( p+\Delta p,w\right) -v\left( p,w\right)
\end{equation*}を採用する場合、その大きさは採用する効用関数に依存してしまうことが明らかになりました。採用する効用関数によって得られる値が変化してしまうということは、その値の絶対的な水準は重要ではないことを意味します。このような事情を踏まえると、価格変化がもたらす消費者厚生の変化を測る代替的な指標が要請されます。
補償変分
消費者による効用最大化を前提とした場合、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が得る効用は、\begin{equation*}v\left( p,w\right)
\end{equation*}です。所得\(w\)を固定したまま価格ベクトル\(p\)だけが\(\Delta p\)だけ変化して\(p+\Delta p\)となった場合、消費者が得る効用は、\begin{equation*}v\left( p+\Delta p,w\right)
\end{equation*}へと変化します。価格変化がもたらす消費者厚生の変化を測る指標として効用の変化量\begin{equation*}
v\left( p+\Delta p,w\right) -v\left( p,w\right)
\end{equation*}には欠点があることは先に指摘した通りです。そこで、この効用の変化量を所得に換算して表現します。
具体的には、所得\(w\)が一定のまま価格ベクトル\(p\)だけが\(\Delta p\)だけ変化した後の時点において、新たな価格体系\(p+\Delta p\)のもとで消費者の所得を\(\Delta w\)だけ変化させれば価格変化前と同じ効用水準を得られるのであれば、すなわち、\begin{equation}v\left( p+\Delta p,w+\Delta w\right) =v\left( p,w\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(\Delta w\)を特定できるのであれば、\(\Delta w\)の大きさは価格変化\(\Delta p\)がもたらす消費者厚生の変化の大きさを所得に換算して表現したものであると言えます。そこで、\(\left( 1\right) \)を満たす\(\Delta w\)に負の記号をつけたものを、\begin{equation*}CV=-\Delta w
\end{equation*}で表記し、これを補償変分（compensating variation）と呼びます。つまり、補償変分とは以下の関係\begin{equation*}
v\left( p+\Delta p,w-CV\right) =v\left( p,w\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。補償変分の値は出発点とする価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)および価格変化後の価格ベクトル\(p+\Delta p\)に依存するため、そのことを明示したい場合には、\begin{equation*}CV=CV\left( p,p+\Delta p,w\right)
\end{equation*}で表記します。
通常、何らかの商品の価格が上昇した場合（\(\Delta p>0\)）、以前と同じ効用を得るためには所得を増やす必要があるため（\(\Delta w>0\)）、この場合の補償変分\(CV\)は負になります。逆に、何らかの商品の価格が下落した場合（\(\Delta p<0\)）、以前と同じ効用を得るためには所得を減らす必要があるため（\(\Delta w<0\)）、この場合の補償変分\(CV\)は正になります。つまり、価格の変化が消費者にとって不利であれば補償変分は負として評価され、価格の変化が消費者にとって有利であれば補償変分は正として評価されます。
補償変分の値は効用関数の序数的性質
価格変化がもたらす消費者厚生の変化を測る指標として効用の変化量\begin{equation*}
v\left( p+\Delta p,w\right) -v\left( p,w\right)
\end{equation*}を採用する場合、その大きさは採用する効用関数に依存してしまうため、代替的な指標として補償変分を定義しました。実際、補償変分の大きさは採用する効用関数に依存せず一定です。
\end{equation*}が存在する場合、両者の値は等しい。
\end{equation*}として与えられているものとします。この場合の需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{w}{p}
\end{equation*}であるため、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}v\left( p,w\right) &=&u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right) \\
&=&\frac{w}{p}
\end{eqnarray*}となります。一方、別の関数\(w:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}w\left( x\right) =10x
\end{equation*}で与えられているものとします。\(w\)は\(u\)の単調増加変換であるため、\(w\)もまた\(\succsim \)を表す効用関数です。この場合の需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)もまた、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{w}{p}
\end{equation*}である一方、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}v\left( p,w\right) &=&w\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right) \\
&=&10\cdot \frac{w}{p}
\end{eqnarray*}となります。所得\(w\)を\(10\)に固定したまま価格\(p\)が\(1\)から\(2\)へ変化した状況を想定します。効用関数として\(u\)を採用する場合の補償変分\begin{equation*}CV=CV\left( 1,2,10\right)
\end{equation*}は、\begin{equation*}
v\left( 2,10-CV\right) =v\left( 1,10\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{10-CV}{2}=\frac{10}{1}
\end{equation*}を満たす\(CV\)として定義されるため、これを解くと、\begin{equation*}CV=-20
\end{equation*}を得ます。一方、効用関数として\(u\)を採用する場合には、\begin{equation*}v\left( 2,10-CV\right) =v\left( 1,10\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
10\cdot \frac{10-CV}{2}=10\cdot \frac{10}{1}
\end{equation*}を満たす\(CV\)として定義されるため、これを解くと、\begin{equation*}CV=-20
\end{equation*}を得ます。どちらの効用関数を採用する場合でも補償変分の値は一定ですが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
支出関数を用いた補償変分の表現
補償変分は支出関数を用いて以下のように表現できます。
\end{equation*}である。以上の条件のもとでは、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)および価格の変化量\(\Delta p\)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}CV\left( p,p+\Delta p,w\right) &=&w-e\left( p+\Delta p,v\left( p,w\right)
\right) \\
&=&e\left( p,v\left( p,w\right) \right) -e\left( p+\Delta p,v\left(
p,w\right) \right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
補償需要関数を用いた補償変分の表現
これまではすべての商品の価格が変化し得る状況を想定しましたが、以下では1つの商品の価格のみが変化する状況を想定します。
価格ベクトルと所得の組\(\left( p_{n},p_{-n},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を出発点として、商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)以外の商品の価格\(p_{-n}\)と所得\(w\)を固定したまま商品\(n\)の価格\(p_{n}\)だけを\(\Delta p_{n}\)だけ変化させる状況を想定した場合の補償変分\begin{equation*}CV=CV\left( p,\left( p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n}\right) ,w\right)
\end{equation*}は、\begin{equation*}
v\left( p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n},w-CV\right) =v\left( p,w\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。
特に、シェファードの補題が要求する条件が成り立つ場合には以下を得ます。
\end{equation*}である。さらに、\(u,h^{\ast},e\)はいずれも\(C^{1}\)級であるものとする。加えて、\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial u\left( h^{\ast
}\left( p,v\right) \right) }{\partial x_{i}}\not=0
\end{equation*}が成り立つものとする。以上の条件のもとでは、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)および商品\(n\in \left\{ 1,\cdots,N\right\} \)とその変化量\(\Delta p_{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}CV\left( p,\left( p_{n}+\Delta p_{n},p_{-n}\right) ,w\right)
&=&\int_{p_{n}+\Delta p_{n}}^{p_{n}}\frac{\partial e\left( x,p_{-n},v\left(
p,w\right) \right) }{\partial x}dx \\
&=&\int_{p_{n}+\Delta p_{n}}^{p_{n}}h_{n}^{\ast }\left( x,p_{-n},v\left(
p,w\right) \right) dx
\end{eqnarray*}が成り立つ。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。所得\(w\)を\(7\)に固定した上で、商品の価格\(p\)が\(1\)から\(4\)まで上昇した場合の補償変分を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。商品\(2\)の価格\(p_{2}\)を\(1\)に固定し、所得\(w\)を\(100\)に固定した上で、商品\(1\)の価格\(p_{1}\)が\(4\)から\(2\)へ下落した場合の補償変分を求めてください。
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