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CONSUMER THEORY

予算対応の連続性

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予算対応の上半連続性

復習になりますが、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)とは価格ベクトルと所得からなるそれぞれの組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、そのときの予算集合\begin{equation*}
B\left( p,w\right) =\{x\in X\ |\ p\cdot x\leq w\}
\end{equation*}を像として定める対応です。予算対応\(B\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{N+1}\)の部分集合であり、終集合である消費集合\(X\)はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{N}\)の部分集合であるため、\(B\)の定義域や終集合にはそれぞれ位相が導入されています。以上を踏まえた上で、消費者理論では予算対応が上半連続(upper hemi-continuous)であるものと仮定することがあります。対応の上半連続性は写像(関数)の連続性を一般化した概念であり、具体的には以下のように定義されます

位相が導入された集合\(A,B\)と対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、定義域上の点\(a\in A\)を任意に選んだ上で、\(f\)によるその像\(f\left( a\right) \subset B\)をとります。その上で、\(f\left( a\right) \)の開近傍を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}
f\left( a\right) \subset U
\end{equation*}を満たす\(B\)上の開集合\(U\)を任意に選ぶということです。このとき、点\(a\)の開近傍であるとともに、その任意の要素の\(f\)による像が\(U\)の部分集合になるものが存在するならば、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( 1\right) \ a\in V \\
&&\left( 2\right) \ \forall v\in V:f\left( v\right) \subset U
\end{eqnarray*}をともに満たす\(A\)上の開集合\(V\)が存在する場合には、対応\(f\)は点\(a\)において上半連続であるといいます。また、\(f\)が定義域上の任意の点において上半連続であるとき、\(f\)は上半連続であるといいます。

例(対応の上半連続性)
対応\(f:\mathbb{R} \twoheadrightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left\{ 0\right\} & if\ x<1 \\
\left[ 0,1\right] & if\ x=1 \\
\left\{ 0\right\} & if\ x>1\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この対応のグラフは下図の太線として表されています。
図:対応
図:対応

\(a<1\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\(f\left( a\right) \subset U\)すなわち、\begin{equation}
\left\{ 0\right\} \subset U \quad\cdots (1)
\end{equation}を満たす\(\mathbb{R} \)上の開集合\(U\)を任意に選びます。\(a+\varepsilon <1\)を満たす\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、有界な開区間\(\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \)を作ります。この開区間は\(a\)を要素として持つ\(\mathbb{R} \)上の開集合であるとともに、\(f\)の定義より、\begin{equation*}
\forall x\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) :f\left( x\right)
=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}が成り立ちます。これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}
\forall x\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) :f\left( x\right)
\subset U
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(a\)において上半連続であることが示されました。\(a\geq 1\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)においても\(f\)は上半連続です(確認してください)。したがって、\(f\)は上半連続な対応です。

以上を踏まえると、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が上半連続であることは以下のように定義されます。すなわち、予算対応\(B\)の定義域上の点である価格と消費の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ上で、\(f\)によるその像である予算集合\(B\left( \overline{p},\overline{w}\right) \subset X\)をとります。その上で、\(B\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)の開近傍を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}
B\left( \overline{p},\overline{w}\right) \subset U
\end{equation*}を満たす\(X\)上の開集合\(U\)を任意に選ぶということです。このとき、点\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)の開近傍であるとともに、その任意の要素の\(B\)による像が\(U\)の部分集合になるものが存在するならば、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \left( \overline{p},\overline{w}\right) \in V \\
&&\left( b\right) \ \forall \left( p,w\right) \in V:B\left( p,w\right)
\subset U
\end{eqnarray*}をともに満たす\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)上の開集合\(V\)が存在する場合には、予算対応\(B\)は点\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)において上半連続であると言います。また、予算対応\(B\)が定義域\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)上の任意の点において上半連続であるとき、\(B\)は上半連続であるといいます。

予算対応\(B\)が上半連続であることを天下り的に仮定してもよいのですが、よりシンプルな仮定をもとに、予算対応\(B\)が上半連続であることを保証することもできます。具体的には、消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)である場合には予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が上半連続であることが保証されます。

命題(予算対応が上半連続であるための条件)
消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるならば、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は上半連続である。
証明

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予算対応の下半連続性

消費者理論では予算対応が下半連続(lower hemi-continuous)であるものと仮定することがあります。対応の下半連続性もまた写像(関数)の連続性を一般化した概念であり、具体的には以下のように定義されます

位相が導入された集合\(A,B\)と対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、定義域上の点\(a\in A\)を任意に選んだ上で、\(f\)によるその像\(f\left( a\right) \subset B\)をとります。その上で、\(f\left( a\right) \)と交わる開集合を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}
f\left( a\right) \cap U\not=\phi
\end{equation*}を満たす\(B\)上の開集合\(U\)を任意に選ぶということです。このとき、点\(a\)の開近傍であるとともに、その任意の要素の\(f\)による像が\(U\)と交わるものが存在するならば、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( 1\right) \ a\in V \\
&&\left( 2\right) \ \forall v\in V:f\left( v\right) \cap U\not=\phi
\end{eqnarray*}をともに満たす\(A\)上の開集合\(V\)が存在する場合には、対応\(f\)は点\(a\)において下半連続であるといいます。また、\(f\)が定義域上の任意の点において下半連続であるとき、\(f\)は下半連続であるといいます。

例(対応の下半連続性)
対応\(f:\mathbb{R} \twoheadrightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left[ 0,1\right] & if\ x<1 \\
\left\{ 0\right\} & if\ x\geq 1\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この対応のグラフは下図のグレーの領域と太線として表されています(点線を含まない)。
図:対応
図:対応

\(a<1\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\(f\left( a\right) \cap U\not=\phi \)すなわち、\begin{equation}
\left[ 0,1\right] \cap U\not=\phi \quad\cdots (1)
\end{equation}を満たす\(\mathbb{R} \)上の開集合\(U\)を任意に選びます。\(a+\varepsilon <1\)を満たす\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、有界な開区間\(\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \)を作ります。この開区間は\(a\)を要素として\(\mathbb{R} \)上の開集合であるとともに、\begin{equation*}
\forall x\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) :f\left( x\right) =
\left[ 0,1\right] \end{equation*}であることから、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}
\forall x\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) :f\left( x\right)
\cap U\not=\phi
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(a\)において下半連続であることが示されました。\(a\geq 1\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)においても\(f\)は下半連続です(確認してください)。したがって、\(f\)は下半連続な対応です。

以上を踏まえると、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が下半連続であることは以下のように定義されます。すなわち、予算対応\(B\)の定義域上の点である価格と消費の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ上で、\(B\)によるその像である予算集合\(B\left( \overline{p},\overline{w}\right) \subset X\)をとります。その上で、\(B\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)と交わる開近傍を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}
B\left( \overline{p},\overline{w}\right) \cap U\not=\phi
\end{equation*}を満たす\(X\)上の開集合\(U\)を任意に選ぶということです。このとき、点\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)の開近傍であるとともに、その任意の要素の\(B\)による像が\(U\)と交わるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( 1\right) \ \left( \overline{p},\overline{w}\right) \in V \\
&&\left( 2\right) \ \forall \left( p,w\right) \in V:B\left( p,w\right) \cap
U\not=\phi
\end{eqnarray*}をともに満たす\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)上の開集合\(V\)が存在する場合には、予算対応\(B\)は点\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)において下半連続であると言います。また、予算対応\(B\)が定義域\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)上の任意の点において下半連続であるとき、\(B\)は下半連続であるといいます。

予算対応\(B\)が下半連続であることを天下り的に仮定してもよいのですが、よりシンプルな仮定をもとに、予算対応\(B\)が下半連続であることを保証することもできます。具体的には、消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)である場合には予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が下半連続であることが保証されます。

命題(予算対応が下半連続であるための条件)
消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるならば、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は下半連続である。
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予算対応の連続性

予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が上半連続かつ下半連続である場合には連続(continuous)であるといいます。先の2つの命題より、消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)である場合、予算対応\(B\)は連続になります。

命題(予算対応が連続であるための条件)
消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるならば、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は連続である。

予算対応が連続であることをなぜ要求する必要があるのでしょうか。消費者理論では、消費者は自身が直面する予算集合の中から自身にとって最も望ましい消費ベクトルを選ぶものと仮定します。このような形で消費者の意思決定を最適化問題として定式化したとき、その解がいくつかの望ましい性質を持つことを保証するためにベルジュの最大値定理(Berge maximum theorem)を利用するのですが、この定理を利用する際に必要な条件の1つが予算対応の連続性です。この点については場を改めて詳しく解説します

次回は予算集合が0次同次であることの意味を解説します。

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位相が設定された集合A,Bの間に定義された対応f:A→Bについて、それが定義域上の点において上連続であること、下連続であること、そして連続であることの意味をそれぞれ定義します。これらは写像の連続性を一般化した概念です。

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