予算対応の連続性

予算対応の上半連続性

消費者が選択し得る消費ベクトルからなる集合が消費集合\begin{equation*}
X\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として定式化されているものとします。特に、消費者が直面する経済的に注目する場合、それは予算対応\begin{equation*}
B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X
\end{equation*}として表現されます。つまり、プライス・テイカーの仮定のもとでは、消費者にとって価格ベクトルと所得はいずれも外生的に与えられるパラメーターとみなされるため、価格ベクトルと所得\(\left( \boldsymbol{p},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が選択可能な消費ベクトルからなる集合は予算集合\begin{eqnarray*}B\left( \boldsymbol{p},w\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\
\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}\leq w\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in X\ |\ p_{1}x_{1}+\cdots
+p_{n}x_{N}\leq w\right\}
\end{eqnarray*}として表現されるということです。これは、消費集合\(X\)に属する消費ベクトルの中でも、消費者による支出が所得を超えないものからなる集合です。消費者は予算集合に属する何らかの消費ベクトルを選びます。

予算対応\(B\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{N+1}\)の部分集合であり、終集合である消費集合\(X\)はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{N}\)の部分集合であるため、\(B\)の定義域や終集合にはそれぞれ位相が導入されています。以上を踏まえた上で、消費者理論では予算対応が上半連続（upper hemi-continuous）であるものと仮定することがあります。対応の上半連続性は写像（関数）の連続性を一般化した概念であり、具体的には以下のように定義されます。

位相が導入された集合\(A,B\)と対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、定義域上の点\(a\in A\)を任意に選んだ上で、\(f\)によるその像\(f\left( a\right) \subset B\)をとります。その上で、\(f\left( a\right) \)の開近傍を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}f\left( a\right) \subset U
\end{equation*}を満たす\(B\)上の開集合\(U\)を任意に選ぶということです。このとき、点\(a\)の開近傍であるとともに、その任意の要素の\(f\)による像が\(U\)の部分集合になるものが存在するならば、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in V \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in V:f\left( v\right) \subset U
\end{eqnarray*}をともに満たす\(A\)上の開集合\(V\)が存在する場合には、対応\(f\)は点\(a\)において上半連続であるといいます。また、\(f\)が定義域上の任意の点において上半連続であるとき、\(f\)は上半連続であるといいます。

例（対応の上半連続性）

対応\(f:\mathbb{R} \twoheadrightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left\{ 0\right\} & if\ x<1 \\
\left[ 0,1\right] & if\ x=1 \\
\left\{ 0\right\} & if\ x>1\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この対応のグラフは下図の太線として表されています。

\(a<1\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)が点\(a\)において上半連続であることを示します。そこで、\begin{equation*}f\left( a\right) \subset U
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} \)上の開集合\(U\)を任意に選びます。\(a<1\)および\(f\)の定義より、これは、\begin{equation}\left\{ 0\right\} \subset U \quad \cdots (1)
\end{equation}を意味します。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ a\in V \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in V:f\left( v\right) \subset U
\end{eqnarray*}をともに満たす\(\mathbb{R} \)上の開集合\(V\)が存在することを示すことが目標です。\(a<1\)であるため、\begin{equation}a+\varepsilon <1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\varepsilon >0\)をとることができます。その上で、中心が\(a\)で半径が\(\varepsilon \)の有界開区間\(\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \)に注目します。有界な開区間は開集合であるため\(\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。これを\(V\)の候補とします。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
:f\left( v\right) \subset U
\end{eqnarray*}を示すことが目標です。\(\left( a\right) \)は明らかに成り立ちます。以下では\(\left( b\right) \)を示します。\(v\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \)を任意に選びます。すると\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}v<1
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)の定義より、\begin{equation*}f\left( v\right) =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}を得ます。これと\(\left(1\right) \)より、\begin{equation*}f\left( v\right) \subset U
\end{equation*}となるため\(\left( b\right) \)が成り立つことが示されました。以上より、\(f\)が点\(a\)において上半連続であることが示されました。\(a\geq 1\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)においても\(f\)は上半連続です（演習問題）。したがって、\(f\)は上半連続な対応です。

以上を踏まえると、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が上半連続であることは以下のように定義されます。

予算対応\(B\)の定義域上の点である価格と所得の組\(\left( \overline{\boldsymbol{p}},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ上で、\(f\)によるその像である予算集合\(B\left( \overline{\boldsymbol{p}},\overline{w}\right) \subset X\)をとります。その上で、\(B\left( \overline{\boldsymbol{p}},\overline{w}\right) \)の開近傍を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}B\left( \overline{\boldsymbol{p}},\overline{w}\right) \subset U
\end{equation*}を満たす\(X\)上の開集合\(U\)を任意に選ぶということです。このとき、点\(\left( \overline{\boldsymbol{p}},\overline{w}\right) \)の開近傍であるとともに、その任意の要素の\(B\)による像が\(U\)の部分集合になるものが存在するならば、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( \overline{\boldsymbol{p}},\overline{w}\right) \in
V \\
&&\left( b\right) \ \forall \left( \boldsymbol{p},w\right) \in V:B\left(
\boldsymbol{p},w\right) \subset U
\end{eqnarray*}をともに満たす\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)上の開集合\(V\)が存在する場合には、予算対応\(B\)は点\(\left( \overline{\boldsymbol{p}},\overline{w}\right) \)において上半連続であると言います。また、予算対応\(B\)が定義域\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)上の任意の点において上半連続であるとき、\(B\)は上半連続であるといいます。

予算対応\(B\)が上半連続であることを天下り的に仮定してもよいのですが、よりシンプルな仮定をもとに、予算対応\(B\)が上半連続であることを保証することもできます。具体的には、消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)である場合には予算対応\(B\)が上半連続になることが保証されます。

予算対応の下半連続性

消費者理論では予算対応が下半連続（lower hemi-continuous）であるものと仮定することがあります。対応の下半連続性もまた写像（関数）の連続性を一般化した概念であり、具体的には以下のように定義されます。

位相が導入された集合\(A,B\)と対応\(f:A\twoheadrightarrow B\)が与えられたとき、定義域上の点\(a\in A\)を任意に選んだ上で、\(f\)によるその像\(f\left( a\right) \subset B\)をとります。その上で、\(f\left( a\right) \)と交わる開集合を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}f\left( a\right) \cap U\not=\phi
\end{equation*}を満たす\(B\)上の開集合\(U\)を任意に選ぶということです。このとき、点\(a\)の開近傍であるとともに、その任意の要素の\(f\)による像が\(U\)と交わるものが存在するならば、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in V \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in V:f\left( v\right) \cap U\not=\phi
\end{eqnarray*}をともに満たす\(A\)上の開集合\(V\)が存在する場合には、対応\(f\)は点\(a\)において下半連続であるといいます。また、\(f\)が定義域上の任意の点において下半連続であるとき、\(f\)は下半連続であるといいます。

例（対応の下半連続性）

対応\(f:\mathbb{R} \twoheadrightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left[ 0,1\right] & if\ x<1 \\
\left\{ 0\right\} & if\ x\geq 1\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この対応のグラフは下図のグレーの領域と太線として表されています（点線を含まない）。

\(a<1\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)が点\(a\)において下半連続であることを示します。そこで、\begin{equation*}f\left( a\right) \cap U\not=\phi
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} \)上の開集合\(U\)を任意に選びます。\(a<1\)および\(f\)の定義より、これは、\begin{equation}\left[ 0,1\right] \cap U\not=\phi \quad \cdots (1)
\end{equation}を意味します。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ a\in V \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in V:f\left( v\right) \cap U\not=\phi
\end{eqnarray*}をともに満たす\(\mathbb{R} \)上の開集合\(V\)が存在することを示すことが目標です。\(a<1\)であるため、\begin{equation}a+\varepsilon <1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\varepsilon >0\)をとることができます。その上で、中心が\(a\)で半径が\(\varepsilon \)の有界開区間\(\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \)に注目します。有界な開区間は開集合であるため\(\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。これを\(V\)の候補とします。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
:f\left( v\right) \cap U\not=\phi
\end{eqnarray*}を示すことが目標です。\(\left( a\right) \)は明らかに成り立ちます。以下では\(\left( b\right) \)を示します。\(v\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \)を任意に選びます。すると\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}v<1
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)の定義より、\begin{equation*}f\left( v\right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}を得ます。これと\(\left(1\right) \)より、\begin{equation*}f\left( v\right) \cap U\not=\phi
\end{equation*}となるため\(\left( b\right) \)が成り立つことが示されました。以上より、\(f\)は点\(a\)において下半連続であることが示されました。\(a\geq 1\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)においても\(f\)は下半連続です（演習問題）。したがって、\(f\)は下半連続な対応です。

以上を踏まえると、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が下半連続であることは以下のように定義されます。

予算対応\(B\)の定義域上の点である価格と所得の組\(\left( \overline{\boldsymbol{p}},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ上で、\(B\)によるその像である予算集合\(B\left( \overline{\boldsymbol{p}},\overline{w}\right) \subset X\)をとります。その上で、\(B\left( \overline{\boldsymbol{p}},\overline{w}\right) \)と交わる開近傍を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}B\left( \overline{\boldsymbol{p}},\overline{w}\right) \cap U\not=\phi
\end{equation*}を満たす\(X\)上の開集合\(U\)を任意に選ぶということです。このとき、点\(\left( \overline{\boldsymbol{p}},\overline{w}\right) \)の開近傍であるとともに、その任意の要素の\(B\)による像が\(U\)と交わるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( \overline{\boldsymbol{p}},\overline{w}\right) \in
V \\
&&\left( b\right) \ \forall \left( \boldsymbol{p},w\right) \in V:B\left(
\boldsymbol{p},w\right) \cap U\not=\phi
\end{eqnarray*}をともに満たす\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)上の開集合\(V\)が存在する場合には、予算対応\(B\)は点\(\left( \overline{\boldsymbol{p}},\overline{w}\right) \)において下半連続であると言います。また、予算対応\(B\)が定義域\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)上の任意の点において下半連続であるとき、\(B\)は下半連続であるといいます。

予算対応\(B\)が下半連続であることを天下り的に仮定してもよいのですが、よりシンプルな仮定をもとに、予算対応\(B\)が下半連続であることを保証することもできます。具体的には、消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)である場合には予算対応\(B\)が下半連続になることが保証されます。

予算対応の連続性

予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が上半連続かつ下半連続である場合には連続（continuous）であるといいます。先の2つの命題より、消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)である場合、予算対応\(B\)は連続になります。

予算対応が連続であることをなぜ要求する必要があるのでしょうか。消費者理論では、消費者は自身が直面する予算集合の中から自身にとって最も望ましい消費ベクトルを選ぶものと仮定します。このような形で消費者の意思決定を最適化問題として定式化したとき、その解がいくつかの望ましい性質を持つことを保証するためにベルジュの最大値定理（Berge maximum
theorem）を利用するのですが、この定理を利用する際に必要な条件の1つが予算対応の連続性です。この点については場を改めて詳しく解説します。

演習問題

問題（対応の上半連続性）

対応\(f:\mathbb{R} \twoheadrightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\left\{ 0\right\} & \left( if\ x<1\right) \\
\left[ 0,1\right] & \left( if\ x=1\right) \\
\left\{ 0\right\} & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この対応のグラフは下図の太線として表されています。

この対応\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で上半連続であることを示してください。

問題（対応の下半連続性）

対応\(f:\mathbb{R} \twoheadrightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\left[ 0,1\right] & \left( if\ x<1\right) \\
\left\{ 0\right\} & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この対応のグラフは下図のグレーの領域と太線として表されています（点線を含まない）。

この対応\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で下半連続であることを示してください。