消費者は予算集合に属する消費ベクトルの中から自身にとって最も望ましいものを選ぶ、という形で消費者が直面する問題を最適化問題として定式化したとき、その問題に解が常に存在することなど、いくつかの望ましい性質が成り立つことを保証するために、予算対応が連続であることを仮定することがあります。

予算対応が連続であることを仮定する必要性

復習になりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)と価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)、そして所得\(w\in \mathbb{R} _{++}\)が与えられると、予算集合は、\begin{equation*}
B\left( p,w\right) =\{x\in X\ |\ p\cdot x\leq w\}
\end{equation*}と定義されます。消費者理論では、消費者は自身が直面する予算集合\(B\left( p,w\right) \)の中から、自身にとって最も望ましい消費ベクトルを選ぶものと仮定します。

消費者行動を分析する際には、\(p\)や\(w\)の変化にともない、消費者による選択がどのように変化するかを考察することも重要になります。したがって、そのような分析を行うためには、特定の\(p,w\)に関する予算集合\(B\left( p,w\right) \)を考えるだけでなく、\(p,w\)が変化した後の予算集合\(B\left( p,w\right) \)についても考える必要があります。こうした事情もあり、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、そこでの予算集合\(B\left( p,w\right) \)を像として定める予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)と呼ばれる概念を導入しました。

予算集合・予算対応について復習する

自身にとって最も望ましい消費ベクトルを予算集合の中から選ぶ、という形で消費者が直面する問題を最適化問題として定式化したとき、その問題に解が常に存在することなど、いくつかの望ましい性質が成り立つことを保証するためには、ベルジュの最大値定理(Berge maximum theorem)と呼ばれる命題を利用することになります。詳細は場を改めて解説しますが、この命題を利用するためにはいくつか条件を満たす必要があり、その中の1つが予算対応の連続性(continuity)です。以下でその内容を簡単に説明しますが、ややテクニカルですので、詳細に興味がある場合には対応に関するテキストを参照してください。

対応について学ぶ

予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)の定義域である\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{N+1}\)の部分集合であり、\(B\)の終集合である消費集合\(X\)はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{N}\)の部分集合です。したがって、\(B\)の定義域や終集合にはそれぞれ位相が導入されています。

以上を踏まえたとき、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が点\(\left( p^{\ast },w^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において優半連続(upper hemi-continuous)であるとは、\begin{equation*}
\left( a\right) \ B\left( p^{\ast },w^{\ast }\right) \subset U
\end{equation*}を満たす\(X\)上の開集合\(U\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( b\right) \ \left( p^{\ast },w^{\ast }\right) \in V \\
&&\left( c\right) \ \forall \left( p,w\right) \in V:B\left( p,w\right)
\subset U
\end{eqnarray*}を満たす\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)上の開集合\(V\)が存在することを意味します。

また、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が点\(\left( p^{\ast },w^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において劣半連続(lower hemi-continuous)であるとは、\begin{equation*}
\left( a\right) \ B\left( p^{\ast },w^{\ast }\right) \cap U\not=\phi
\end{equation*}を満たす\(X\)上の開集合\(U\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( b\right) \ \left( p^{\ast },w^{\ast }\right) \in V \\
&&\left( c\right) \ \forall \left( p,w\right) \in V:B\left( p,w\right) \cap
U\not=\phi
\end{eqnarray*}を満たす\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)上の開集合\(V\)が存在することを意味します。

予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が点\(\left( p^{\ast },w^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において優半連続かつ劣半連続である場合には、\(B\)は\(\left( p^{\ast },w^{\ast }\right) \)において連続(continuous)であると言います。また、予算対応\(B\)が定義域\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)上の任意の点\(\left( p,w\right) \)において連続であるならば、\(B\)は連続であると言います。これは関数の連続性を一般化した概念です。

 

予算対応が連続であるための条件

予算対応が連続であるという条件はテクニカルで扱いづらい印象を受けます。ただ、よりシンプルな仮定をもとに、予算対応が連続であることを保証することもできます。

命題(予算対応が連続であるための条件)
消費集合が\(X=\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるならば、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)は連続である。
証明を見る(プレミアム会員限定)

次回は予算集合が0次同次であることの意味を解説します。

次へ進む 質問・コメントを投稿する 演習問題(プレミアム会員限定)
Share on facebook
Share on twitter
Share on email
Share on print

ワイズをさらに活用するための会員サービス

ユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。さらに、有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。
会員サービス

ディスカッションに参加しますか?

質問やコメントを投稿するためにはログインが必要です
ログイン

現在地
目次
アカウント
ログイン