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凸性を満たす選好関係

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、任意の消費ベクトル\(x\in X\)の上方位集合\begin{equation*}U\left( x\right) =\{x\in X\ |\ y\succsim x\}
\end{equation*}が\(X\)上の凸集合であることが保証される場合、\(\succsim \)は凸性(convexity)を満たすと言います。ただし、\(U\left( x\right) \)が凸集合であることとは、\begin{equation*}\forall y,z\in U\left( x\right) ,\ \forall \alpha \in \left[ 0,1\right] :\alpha y+\left( 1-\alpha \right) z\in U\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。\(U\left( x\right) \)の定義より、これは、任意の\(y,z\in X\)について、\begin{equation*}\left( y\succsim x\wedge z\succsim x\right) \Rightarrow \forall \alpha \in
\left[ 0,1\right] :\alpha y+\left( 1-\alpha \right) z\succsim x
\end{equation*}が成り立つこととして表現可能です。つまり、\(\succsim \)が凸性を満たすこととは、消費ベクトル\(x\)を任意に選んだ上で、さらに\(x\)以上に望ましい2つの消費ベクトル\(y,z\)を任意に選んだとき、それらを任意の割合で組み合わせて得られる消費ベクトル\(\alpha y+\left( 1-\alpha \right) z\)もまた\(x\)以上に望ましいことが保証されることを意味します。

選好関係が合理的である場合には、選好関係の凸性を以下の形で表現することもできます。

命題(凸性を満たす選好関係)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性を満たすとき、任意の消費ベクトル\(x,y\in X\)について、\begin{equation*}x\succsim y\Rightarrow \forall \alpha \in \left[ 0,1\right] :\alpha
x+(1-\alpha )y\succsim y
\end{equation*}が成り立つことは、\(\succsim \)が凸性を満たすための必要十分条件である。
証明

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以上の命題より、選好関係が凸性を満たすことは、消費ベクトル\(x,y\)について\(x\)が\(y\)以上に望ましい場合に、\(x\)と\(y\)を任意の割合で組み合わせて得られる消費ベクトルもまた\(y\)以上に望ましいことと必要十分になります。

例(凸性を満たす選好関係)
選好関係\(\succsim \)が凸性を満たすものとします。無差別な消費集合\(x,y\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}x\sim y
\end{equation*}を満たす\(x,y\)を任意に選ぶということです。無差別関係の定義より、これは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x\succsim y \\
&&\left( b\right) \ y\succsim x
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。\(\left(a\right) \)および上の命題より、\begin{equation*}\alpha x+\left( 1-\alpha \right) y\succsim y
\end{equation*}が成り立ち、\(\left( b\right) \)および上の命題より、\begin{equation*}\alpha x+\left( 1-\alpha \right) y\succsim x
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、選好関係が凸性を満たす場合には、無差別な消費ベクトル\(x,y\)が与えられたとき、それらを任意の割合で混ぜて得られる消費ベクトルが\(x\)や\(y \)以上に望ましいことが保証されます。この事実の意味を具体例を通じて確認しましょう。消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が凸性を満たすものとします。2つの消費ベクトル\(\left( 20,2\right) ,\left( 2,20\right) \)は無差別であるものとします。これを\(1:1\)の割合で混ぜると、\begin{equation*}\frac{1}{2}\left( 20,2\right) +\frac{1}{2}\left( 2,20\right) =\left(
11,11\right)
\end{equation*}となりますが、先の考察より、これは\(\left(20,2\right) \)や\(\left( 2,20\right) \)以上に望ましい消費ベクトルです。凸性を満たす選好を持つ消費者は特定の商品に偏った消費である\(\left( 20,2\right) \)や\(\left(2,20\right) \)以上に複数の商品を適度な割合で消費する\(\left( 11,11\right) \)を望ましいと考えているということです。

 

狭義凸性を満たす選好関係

選好関係が凸であるという仮定は任意の消費ベクトル\(x\)に関する上方位集合\(U\left( x\right) \)が凸集合であることを要求しますが、さらに要求を厳しくして、任意の消費ベクトル\(x\)に関する上方位集合\(U\left( x\right) \)が狭義凸集合であることを仮定することもあります。これを狭義凸性(strict convexity)の仮定と呼びます。ただし、\(U\left( x\right) \)が狭義凸集合であることとは、\begin{equation*}\forall y\in U\left( x\right) ,\ \forall z\in U\left( x\right) \backslash
\left\{ z\right\} ,\ \forall \alpha \in \left( 0,1\right) :\alpha y+\left(
1-\alpha \right) z\in U_{s}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。なお、\(U_{s}\left(x\right) \)は消費ベクトル\(x\)の狭義上方位集合であり、\begin{equation*}U_{s}\left( x\right) =\{x\in X\ |\ y\succ x\}
\end{equation*}と定義されることを踏まえると、狭義凸性の仮定は、任意の\(y,z\in X\)について、\begin{equation*}\left( y\succsim x\wedge z\succsim x\wedge y\not=z\right) \Rightarrow
\forall \alpha \in \left( 0,1\right) :\alpha y+\left( 1-\alpha \right)
z\succ x
\end{equation*}が成り立つこととして表現可能です。つまり、\(\succsim \)が狭義凸性を満たすこととは、消費ベクトル\(x\)を任意に選んだ上で、さらに\(x\)以上に望ましい異なる2つの消費ベクトル\(y,z\)を任意に選んだとき、それらを任意の割合で組み合わせて得られる消費ベクトル\(\alpha y+\left( 1-\alpha \right) z\)が\(x\)よりも望ましいことが保証されることを意味します。

選好関係が合理的である場合には、選好関係の狭義凸性を以下の形で表現することもできます。

命題(狭義凸性を満たす選好関係)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性を満たすとき、任意の消費ベクトル\(x,y\in X\)について、\begin{equation*}x\succsim y\wedge x\not=y\Rightarrow \forall \alpha \in \left( 0,1\right)
:\alpha x+(1-\alpha )y\succ y
\end{equation*}が成り立つことは、\(\succsim \)が狭義凸性を満たすための必要十分条件である。
証明

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以上の命題より、選好関係が狭義凸性を満たすことは、消費ベクトル\(x,y\)が異なるとともに\(x\)が\(y\)以上に望ましい場合に、\(x\)と\(y\)を任意の割合で組み合わせて得られる消費ベクトルもまた\(y\)より望ましいことと必要十分になります。

例(狭義凸性を満たす選好関係)
選好関係\(\succsim \)が狭義凸性を満たすものとします。無差別かつ異なる消費集合\(x,y\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}x\sim y\wedge x\not=y
\end{equation*}を満たす\(x,y\)を任意に選ぶということです。無差別関係の定義より、これは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x\succsim y\wedge x\not=y \\
&&\left( b\right) \ y\succsim x\wedge y\not=x
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。\(\left(a\right) \)および上の命題より、\begin{equation*}\alpha x+\left( 1-\alpha \right) y\succ y
\end{equation*}が成り立ち、\(\left( b\right) \)および上の命題より、\begin{equation*}\alpha x+\left( 1-\alpha \right) y\succ x
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、選好関係が狭義凸性を満たす場合には、無差別かつ異なる消費ベクトル\(x,y\)が与えられたとき、それらを任意の割合で混ぜて得られる消費ベクトルが\(x\)や\(y\)より望ましいことが保証されます。この事実の意味を具体例を通じて確認しましょう。消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が狭義凸性を満たすものとします。2つの消費ベクトル\(\left( 20,2\right) ,\left(2,20\right) \)は無差別であるものとします。これを\(1:1\)の割合で混ぜると、\begin{equation*}\frac{1}{2}\left( 20,2\right) +\frac{1}{2}\left( 2,20\right) =\left(
11,11\right)
\end{equation*}となりますが、先の考察より、これは\(\left(20,2\right) \)や\(\left( 2,20\right) \)より望ましい消費ベクトルです。狭義凸性を満たす選好を持つ消費者は特定の商品に偏った消費である\(\left( 20,2\right) \)や\(\left( 2,20\right) \)よりも複数の商品を適度な割合で消費する\(\left( 11,11\right) \)を望ましいと考えているということです。

 

凸性と狭義凸性の関係

選好に関する狭義凸性の仮定は、それぞれの消費ベクトルに関する上方位集合が狭義凸集合であることを要求します。一般に、狭義凸集合が凸集合でもあるため、狭義凸な選好のもとでは、それぞれの消費ベクトルに関する上方位集合は凸集合になります。つまり、狭義凸性の仮定は凸性を含意します。

命題(凸性と狭義凸性の関係)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が狭義凸性を満たすならば、\(\succsim \)は凸性を満たす。
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上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、狭義凸性を満たす選好は凸性を満たすとはかぎりません。実際、凸集合は狭義凸集合であるとは限らないからです。

 

凸選好のもとでの無差別曲線の形状

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と凸性をともに満たすものとします。消費ベクトル\(x\)を任意に選ぶと、合理性な選好のもとでは、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)は\(x\)の狭義上方位集合\(U_{s}\left( x\right) \)と無差別集合\(I\left( x\right) \)および狭義下方位集合\(L_{s}\left( x\right) \)に分割されます。さらに、凸性のもとでは上方位集合\(U\left( x\right) \)が凸集合になりますが、これは\(U_{s}\left( x\right) \)と\(I\left( x\right) \)の和集合です。したがって、\(U_{s}\left( x\right) \)や\(I\left( x\right) \)に属する任意の2つの点\(y,z\)を結んで得られる線分上の任意の点は、その両端の点である\(y,z\)を含めて、やはり\(U_{s}\left( x\right) \)もしくは\(I\left( x\right) \)に属する点であることが保証されます。

凸性のかわりに狭義凸性を仮定するとどうなるでしょうか。狭義凸性のもとでは上方位集合\(U\left( x\right) \)が狭義凸集合になりますが、これは\(U_{s}\left( x\right) \)と\(I\left( x\right) \)の和集合です。したがって、\(U_{s}\left( x\right) \)や\(I\left( x\right) \)に属する任意の2つの点\(y,z\)を結んで得られる線分から両端を除いた任意の点は\(U_{s}\left( x\right) \)に属する点であることが保証されます。ちなみに、線分の端点である\(y\)と\(z \)については何も言っていません。

図:凸性と狭義凸性をともに満たす
図:凸性と狭義凸性をともに満たす

以上の議論を踏まえたとき、上図のように無差別曲線が原点に向かって狭義凸である場合、選好は凸性や狭義凸性を満たすでしょうか。\(I\left( x\right) \)もしくは\(U_{s}\left( x\right) \)に属する2つの点\(y,z\)を結んで得られる線分上の任意の点は、その両端の点である\(y,z\)を含めて\(U_{s}\left( x\right) \)もしくは\(I\left(x\right) \)に属するため、これは凸性を満たす選好を表しています。同様に考えると、狭義凸性を満たしていることも確認できます。

図:凸性を満たすが狭義凸性を満たさない
図:凸性を満たすが狭義凸性を満たさない

上図のように、無差別曲線が直線である場合はどうでしょうか。\(I\left( x\right) \)もしくは\(U_{s}\left( x\right) \)に属する2つの点\(y,z\)を結んで得られる線分上の任意の点は、その両端の点である\(y,z\)を含めて\(U_{s}\left( x\right) \)もしくは\(I\left( x\right) \)に属するため、これは凸性を満たす選好を表しています。一方、これは狭義凸性を満たしません。実際、上図の\(y\)と\(z\)を結んで得られる線分から両端を除いた部分の点はいずれも\(U_{s}\left( x\right) \)の点ではないからです。

図:凸性と狭義凸性をともに満たさない
図:凸性と狭義凸性をともに満たさない

上図のように、無差別曲線が原点に向かって狭義凹である場合はどうでしょうか。上図の\(y\)と\(z\)を結んで得られる線分上の点の中には\(U_{s}\left( x\right) \)と\(I\left( x\right) \)のいずれの点でもないものが存在するため、これは凸性を満たしません。したがって、狭義凸性も満たしません。

結論を整理しましょう。選好が凸性を満たすことは無差別曲線が原点に向かって狭義凸もしくは直線であることを意味します。一方、選好が狭義凸性を満たすことは、無差別曲線が原点に向かって狭義凸であることを意味します。

 

準凹な効用関数

効用関数は消費ベクトルを変数として持つ多変数関数であるため、それが準凹関数であるか検討できます。具体的には、効用関数\(u:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が準凹関数であることとは、定義域である消費集合\(X\)が非空の凸集合であるとともに、\begin{equation*}\forall x,y\in X,\ \forall \alpha \in \left[ 0,1\right] :\min \left\{
u\left( x\right) ,u\left( y\right) \right\} \leq u\left( \alpha x+\left(
1-\alpha \right) y\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。繰り返しになりますが、準凹な効用関数の定義域\(X\)は非空な凸集合である必要があります。\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)は典型的な凸集合です。

例(準凹な効用関数)
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上に定義された効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)は凸集合です。さらに、消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)とスカラー\(\alpha \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\min \left\{ u\left( x_{1},x_{2}\right) ,u\left( y_{1},y_{2}\right) \right\}
&=&\min \left\{ x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&\leq &\alpha \left( x_{1}+x_{2}\right) +\left( 1-\alpha \right) \left(
y_{1}+y_{2}\right) \\
&=&\alpha x_{1}+\left( 1-\alpha \right) y_{1}+\alpha x_{2}+\left( 1-\alpha
\right) y_{2} \\
&=&u\left( \alpha x_{1}+\left( 1-\alpha \right) y_{1},\alpha x_{2}+\left(
1-\alpha \right) y_{2}\right) \quad \because u\text{の定義}
\\
&=&u\left( \alpha \left( x_{1},x_{2}\right) +\left( 1-\alpha \right) \left(
y_{1},y_{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}となるため、\(u\)が準凹関数であることが示されました。

効用関数\(u:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、効用\(u\left( x\right) \)の値がある実数\(v\in \mathbb{R} \)以上になるような消費ベクトル\(x\in X\)からなる集合を、\begin{equation*}U\left( v\right) =\left\{ x\in X\ |\ u\left( x\right) \geq v\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(u\)の\(v\)に関する上方位集合と呼びます。効用関数\(u\)が準凹関数であることは、定義域である消費集合\(X\)が凸集合であるとともに、任意の実数\(v\)に関する\(u\)の上方位集合が凸集合であることと必要十分です。

例(準凹な効用関数)
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上に定義された効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)は凸集合です。実数\(v\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その上方位集合は、\begin{eqnarray*}U\left( v\right) &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ u\left( x_{1},x_{2}\right) \geq v\right\} \quad \because \text{上方位集合の定義} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x_{1}+x_{2}\geq v\right\} \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、これは明らかに凸集合であるため、\(u\)が準凹関数であることが示されました。

偏微分を用いて準凹関数を表現することもできます。つまり、効用関数\(u:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)が非空の凸な開集合であるとともに、\(u\)が\(C^{1}\)級の関数である場合、\begin{equation*}\forall x,y\in X:\left[ u\left( y\right) \geq u\left( x\right) \Rightarrow
\left( y-x\right) \cdot \nabla f\left( x\right) \geq 0\right] \end{equation*}が成り立つことは、\(u\)が準凹関数であるための必要十分条件です。

例(準凹な効用関数)
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上に定義された効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)は凸集合です。\(u\)は多変数の多項式関数であるため\(C^{1}\)級です。そこで、\begin{equation*}u\left( y_{1},y_{2}\right) \geq u\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
y_{1}+y_{2}\geq x_{1}+x_{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選びます。このとき、\begin{eqnarray*}\left[ \left( y_{1},y_{2}\right) -\left( x_{1},x_{2}\right) \right] \cdot
\nabla f\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\left( y_{1}-x_{1},y_{2}-x_{2}\right)
\cdot \left( 1,1\right) \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\left( y_{1}-x_{1}\right) +\left( y_{2}-x_{2}\right) \\
&=&\left( y_{1}+y_{2}\right) -\left( x_{1}+x_{2}\right) \\
&\geq &0\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(u\)が準凹関数であることが示されました。

効用関数\(u:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)が非空の凸な開集合であるとともに、\(u\)が\(C^{2}\)級の関数である場合、\(u\)が準凹関数であるならば、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \forall k\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\left( -1\right)
^{k}\det \left( A_{k}\left( x\right) \right) \geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。逆に、\begin{equation*}
\forall x\in X,\ \forall k\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\left( -1\right)
^{k}\det \left( A_{k}\left( x\right) \right) >0
\end{equation*}が成り立つならば、\(u\)は準凹関数です。ただし、\(A_{k}\left( x\right) \)は\(u\)の点\(x\)における縁付きヘッセ行列\begin{equation*}D_{u}\left( x\right) =\begin{pmatrix}
0 & u_{x_{1}}^{\prime }\left( x\right) & u_{x_{2}}^{\prime }\left( x\right)
& \cdots & u_{x_{N}}^{\prime }\left( x\right) \\
u_{x_{1}}^{\prime }\left( x\right) & u_{x_{1}x_{1}}^{\prime \prime }\left(
x\right) & u_{x_{1}x_{2}}^{\prime \prime }\left( x\right) & \cdots &
u_{x_{1}x_{N}}^{\prime \prime }\left( x\right) \\
u_{x_{2}}^{\prime }\left( x\right) & u_{x_{2}x_{1}}^{\prime \prime }\left(
x\right) & u_{x_{2}x_{2}}^{\prime \prime }\left( x\right) & \cdots &
u_{x_{2}x_{N}}^{\prime \prime }\left( x\right) \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
u_{x_{N}}^{\prime }\left( x\right) & u_{x_{N}x_{1}}^{\prime \prime }\left(
x\right) & u_{x_{N}x_{2}}^{\prime \prime }\left( x\right) & \cdots &
u_{x_{N}x_{N}}^{\prime \prime }\left( x\right)
\end{pmatrix}\end{equation*}の\(k\)次首座小行列式であり、具体的には、\begin{equation*}A_{k}\left( x\right) =\begin{pmatrix}
0 & u_{x_{1}}^{\prime }\left( x\right) & u_