消費ベクトル x 以上に望ましい消費ベクトル y,z を任意に選んだとき、それらを任意の割合で混ぜることで得られる消費ベクトルもまた x 以上に望ましいことが保証されるのであれば、選好は凸性を満たすと言います。凸性を満たす選好は準凹な効用関数によって特徴づけられます。

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凸性を満たす選好関係

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、任意の消費ベクトル\(x\in X\)の優位集合\begin{equation*}
U\left( x\right) =\{x\in X\ |\ y\succsim x\}
\end{equation*}が\(X\)上の凸集合であるならば、\(\succsim \)は凸性(convexity)を満たすと言います。ただし、\(U\left( x\right) \)が凸集合であるとは、\begin{equation*}
\forall y,z\in U\left( x\right) ,\ \forall \alpha \in \left[ 0,1\right] :\alpha y+\left( 1-\alpha \right) z\in U\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(U\left( x\right) \)に属する消費ベクトル\(y,z\)を任意に選んだとき、それらを任意の割合\(\alpha \)で組み合わせて得られるベクトル\(\alpha y+\left( 1-\alpha \right) z\)もまた\(U\left( x\right) \)に属する消費ベクトルになるということです。言い換えると、\(x\)以上に望ましい消費ベクトル\(y,z\)を任意の割合\(\alpha \)で組み合わせて得られる\(\alpha y+\left( 1-\alpha \right) z\)もまた\(x\)以上に望ましい消費ベクトルになるということです。

復習になりますが、それぞれの消費ベクトル\(x\in X\)に対して、その優位集合\(U\left( x\right) \subset X\)を像として定める対応\(U:X\twoheadrightarrow X\)を優位対応と呼びます。選好関係\(\succsim \)が凸性を満たすことは、任意の\(x\in X\)に対する像\(U\left( x\right) \)が\(X\)上の凸集合であることとして定義されますが、これは優位対応\(U\)が凸値をとることを意味します。

例(選好の凸性)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が凸性を満たすものとします。2つの消費ベクトル\(\left( 30,3\right) ,\left( 6,15\right) \)は無差別であるものとします。このとき、\(\alpha =\frac{1}{3}\)について、\begin{equation*}
\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y=\frac{1}{3}\left( 30,3\right) +\frac{2}{3}\left(
6,15\right) =\left( 14,11\right)
\end{equation*}となりますが、\(\succsim \)の凸性より、これは\(\left( 30,3\right) \)や\(\left( 6,15\right) \)以上に望ましい消費ベクトルです。凸性を満たす選好を持つ消費者は、特定の商品に偏った消費\(\left( 30,3\right) ,\left( 6,15\right) \)以上に、複数の商品を適度な割合で消費する\(\left( 14,11\right) \)を望ましいと考えているということです。

選好の凸性は、それぞれの消費ベクトル\(x\)に関する優位集合\(U\left( x\right) \)が凸集合であることを要求しますが、さらに条件を強めて、\(U\left( x\right) \)が狭義凸集合であることを仮定することもあります。具体的には、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、任意の消費ベクトル\(x\in X\)の優位集合\begin{equation*}
U\left( x\right) =\{x\in X\ |\ y\succsim x\}
\end{equation*}が\(X\)上の狭義凸集合であるならば、\(\succsim \)は狭義凸性(strict convexity)を満たすと言います。ただし、\(U\left( x\right) \)が狭義凸集合であるとは、\begin{equation*}
\forall y\in U\left( x\right) ,\ \forall z\in U\left( x\right) \backslash
\{y\},\ \forall \alpha \in \left( 0,1\right) :\alpha y+\left( 1-\alpha
\right) z\in U_{s}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。\(U\left( x\right) \)が凸集合であることとの違いは以下の3点です。

  1. \(y\)と\(z\)は異なる消費ベクトルである。
  2. \(\alpha y+\left( 1-\alpha \right) z\)が属する集合は\(x\)の優位集合\(U\left( x\right) \)ではなく、その内部に相当する\(x\)の狭義優位集合\(U_{s}\left( x\right) \)である。ただしこれは、\begin{equation*}
    U_{s}\left( x\right) =\{x\in X\ |\ y\succ x\}
    \end{equation*}と定義される。
  3. \(\alpha \)が動く範囲は開区間\(\left( 0,1\right) \)であり、端点\(0,1\)を含まない。

つまり、\(U\left( x\right) \)が狭義凸集合であるとは、\(U\left( x\right) \)に属する異なる消費ベクトル\(y,z\)を任意に選んだとき、それらを任意の割合\(\alpha \)で組み合わせて得られるベクトル\(\alpha y+\left( 1-\alpha \right) z\)が\(U_{s}\left( x\right) \)に属する消費ベクトルになるということです。言い換えると、\(x\)以上に望ましい異なる消費ベクトル\(y,z\)を任意の割合\(\alpha \)で組み合わせて得られる\(\alpha y+\left( 1-\alpha \right) z\)は、\(x\)よりも望ましい消費ベクトルになります。

選好関係\(\succsim \)が狭義凸性を満たすことは、優位対応\(U:X\twoheadrightarrow X\)がそれぞれの消費ベクトル\(x\in X\)に対して定める像\(U\left( x\right) \)が\(X\)上の狭義凸集合であること、すなわち、\(U\)が狭義凸値をとる対応であることを意味します。

例(選好の狭義凸性)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が凸性を満たすものとします。先の例と同様に、消費ベクトル\(\left( 30,3\right) ,\left( 6,15\right) \)は無差別であるものとします。このとき、\(\alpha =\frac{1}{3}\)について、\begin{equation*}
\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y=\frac{1}{3}\left( 30,3\right) +\frac{2}{3}\left(
6,15\right) =\left( 14,11\right)
\end{equation*}となりますが、\(\succsim \)の狭義凸性より、これは\(\left( 30,3\right) \)や\(\left( 6,15\right) \)よりも望ましい消費ベクトルです。狭義凸性を満たす選好を持つ消費者は、特定の商品に偏った消費\(\left( 30,3\right) ,\left( 6,15\right)\)よりも、複数の商品を適度な割合で消費する\(\left( 14,11\right) \)を望ましいと考えているということです。

選好に関する凸性の仮定のもとでは、それぞれの消費ベクトルに関する優位集合が凸集合になりますが、狭義凸性の仮定のもとでは、それは狭義凸集合になります。一般に、狭義凸集合は凸集合でもありますが、その逆は必ずしも成り立たないことを踏まえると、狭義凸性は凸性よりも強い仮定であると言えます。

命題(凸性と狭義凸性の関係)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が狭義凸性を満たすならば、\(\succsim \)は凸性を満たす。
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合理的な選好が凸性を満たすことの特徴づけ

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と凸性をともに満たすものとします。\(x\succsim y\)を満たす消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選ぶと\(x\in U\left( y\right) \)が成り立ちます。また、\(\succsim \)の合理性より\(\succsim \)は反射律を満たすため\(y\succsim y\)すなわち\(y\in U\left( y\right) \)が成り立ちます。すると\(\succsim \)の凸性より、任意の\(\alpha \in \left[ 0,1\right] \)について\(\alpha x+\left( 1-\alpha \right) y\in U\left( y\right) \)すなわち\(\alpha x+\left( 1-\alpha \right) y\succsim y\)が成り立ちます。つまり、凸選好のもとでは、\(x\)が\(y\)以上に望ましい場合には、\(x\)と\(y\)を任意の割合で組み合わせてできる消費ベクトルもまた\(y\)以上に望ましくなることが保証されます。実は、この逆の関係もまた成立するため、以下の命題が得られます。

命題(合理的な選好が凸性を満たすことの特徴づけ)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性を満たすとき、\(x\succsim y\)を満たす任意の消費ベクトル\(x,y\in X\)について、\begin{equation*}
\forall \alpha \in \lbrack 0,1]:\alpha x+(1-\alpha )y\succsim y
\end{equation*}が成り立つことは、\(\succsim \)が凸性を満たすための必要十分条件である。
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狭義凸性についても同様の命題が成り立ちます。

命題(合理的な選好が狭義凸性を満たすことの特徴づけ)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性を満たすとき、\(x\succsim y\)を満たす任意の異なる消費ベクトル\(x,y\in X\)について、\begin{equation*}
\forall \alpha \in \left( 0,1\right) :\alpha x+(1-\alpha )y\succ y
\end{equation*}が成り立つことは、\(\succsim \)が狭義凸性を満たすための必要十分条件である。
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消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と凸性をともに満たすものとします。消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選ぶと、\(\succsim \)の合理性より\(x\succsim y\)と\(y\succsim x\)の少なくとも一方が成り立ちます。\(x\succsim y\)の場合には、先の命題より、\begin{equation*}
\forall \alpha \in \lbrack 0,1]:\alpha x+(1-\alpha )y\succsim y
\end{equation*}が成り立ち、\(y\succsim x\)の場合には、先の命題より、\begin{equation*}
\forall \alpha \in \lbrack 0,1]:\alpha x+(1-\alpha )y\succsim x
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、凸選好のもとでは、任意の消費ベクトル\(x,y\)について、\(x\)と\(y\)を任意の割合で組み合わせて得られる消費ベクトルが\(y\)または\(x\)の少なくとも一方以上に望ましくなることが保証されます。実は、この逆の関係もまた成立するため、以下の命題が得られます。

命題(合理的な選好が凸性を満たすことの特徴づけ)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性を満たすとき、任意の消費ベクトル\(x,y\in X\)について、\begin{equation*}
\forall \alpha \in \lbrack 0,1]:\left[ \alpha x+(1-\alpha )y\succsim y\ \vee
\ \alpha x+(1-\alpha )y\succsim x\right] \end{equation*}が成り立つことは、\(\succsim \)が凸性を満たすための必要十分条件である。
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狭義凸性についても同様の命題が成り立ちます。

命題(合理的な選好が狭義凸性を満たすことの特徴づけ)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性を満たすとき、任意の異なる消費ベクトル\(x,y\in X\)について、\begin{equation*}
\forall \alpha \in \left( 0,1\right) :\left[ \alpha x+(1-\alpha )y\succ y\
\vee \ \alpha x+(1-\alpha )y\succ x\right] \end{equation*}が成り立つことは、\(\succsim \)が狭義凸性を満たすための必要十分条件である。
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凸選好のもとでの無差別集合

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と凸性をともに満たすものとします。消費ベクトル\(x\)を任意に選ぶと、合理性のもとでは、\(X\)は\(x\)の狭義優位集合\(U_{s}\left( x\right) \)、無差別集合\(I\left( x\right) \)、狭義劣位集合\(L_{s}\left( x\right) \)に分割されます。また、凸性のもとでは、\(x\)の優位集合\(U\left( x\right)\)は凸集合になりますが、これは\(U_{s}\left( x\right) \)と\(I\left( x\right) \)の和集合です。したがって、\(U_{s}\left( x\right) \)や\(I\left( x\right) \)に属する任意の2つの点\(y,z\)を結んで得られる線分上の任意の点は、その両端の点である\(y,z\)を含めて、やはり\(U_{s}\left( x\right) \)もしくは\(I\left( x\right) \)に属する点となります。

では、凸性の代わりに狭義凸性を仮定するとどうなるでしょうか。この場合、\(x\)の優位集合\(U\left( x\right) \)は狭義凸集合になりますが、これは、\(U_{s}\left( x\right) \)や\(I\left( x\right) \)に属する任意の2つの点\(y,z\)を結んで得られる線分上の任意の点は\(U_{s}\left( x\right) \)に属する点となります。\(y\)と\(z\)については何も言っていません。

以上を踏まえた上で、消費集合が\(X=\mathbb{R} _{+}^{2}\)である場合について考えます。まず、下図のように、無差別曲線が原点に向かって狭義凸である場合、選好は凸性や狭義凸性を満たすでしょうか。\(I\left( x\right) \)もしくは\(U_{s}\left( x\right) \)に属する2つの点\(y,z\)を結んで得られる線分上の任意の点は、その両端の点である\(y,z\)を含めて、やはり\(U_{s}\left( x\right) \)もしくは\(I\left( x\right) \)に属するため、これは凸性を満たす選好を表しています。同様に考えると、狭義凸性を満たしていることも確認できます。

図:凸性と狭義凸性をともに満たす
図:凸性と狭義凸性をともに満たす

続いて、下図のように、無差別曲線が直線である場合について考えます。\(I\left( x\right) \)もしくは\(U_{s}\left( x\right) \)に属する2つの点\(y,z\)を結んで得られる線分上の任意の点は、その両端の点である\(y,z\)を含めて、やはり\(U_{s}\left( x\right) \)もしくは\(I\left( x\right) \)に属するため、これは凸性を満たす選好を表しています。一方、これは狭義凸性を満たしません。実際、下図の\(y\)と\(z\)を結んで得られる線分上の点は\(U_{s}\left( x\right) \)の点ではないからです。

図:凸性を満たすが狭義凸性を満たさない
図:凸性を満たすが狭義凸性を満たさない

最後に、下図のように、無差別曲線が原点に向かって狭義凹である場合について考えます。下図の\(y\)と\(z\)を結んで得られる線分上の点の中には、\(U_{s}\left( x\right) \)と\(I\left( x\right) \)のいずれの点でもないものが存在しないため、これは凸性を満たしません。したがって、狭義凸性も満たしません。

図:凸性と狭義凸性をともに満たさない
図:凸性と狭義凸性をともに満たさない

結論を整理しましょう。選好が凸性を満たすことは、無差別曲線が原点に向かって狭義凸もしくは直線であることを意味しますが、これは原点に向かって凸であることを意味します。一方、選好が狭義凸性を満たすことは、無差別曲線が原点に向かって狭義凸であることを意味します。

 

効用関数の準凹性

選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在する場合には、効用関数の定義より、\(\succsim \)の凸性は、\(u\)が準凹関数であることとして表現することができます。ただし、効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が準凹関数であることとは、\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)が非空の凸集合であるとともに、\begin{equation*}
\forall x,y\in X,\ \forall \alpha \in \left[ 0,1\right] :\min \left\{
u\left( x\right) ,u\left( y\right) \right\} \leq u\left( \alpha x+\left(
1-\alpha \right) y\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、任意の2つの消費ベクトル\(x,y\)について、それらを任意の割合\(\alpha \)で混ぜて得られる消費ベクトルからの効用が、\(x\)からの効用や\(y\)からの効用を下回らないということです。準凹な効用関数は、非空な凸集合である消費集合\(X\)上に定義される点に注意する必要があります。\(X=\mathbb{R} _{+}^{N}\)は典型例です。

命題(効用関数の準凹性)
非空かつ凸集合であるような消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとき、\(u\)が準凹関数であることは、\(\succsim \)が凸性を満たすための必要十分条件である。
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同様に、選好関係\(\succsim \)の狭義凸性は、それを表す効用関数\(u\)が狭義準凹関数であることとして表現することができます。ただし、ただし、効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が準凹関数であることとは、\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)が非空の凸集合であるとともに、\begin{equation*}
\forall x\in X,\ \forall y\in X\backslash \{x\},\ \forall \alpha \in \left(
0,1\right) :\min \left\{ u\left( x\right) ,u\left( y\right) \right\}
<u\left( \alpha x+\left( 1-\alpha \right) y\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。\(u\)が凹関数であることとの違いは以下の3点です。

  1. \(y\)と\(z\)は異なる消費ベクトルである。
  2. 結論部分の不等号は通常の不等号\(\leq \)ではなく狭義の不等号\(<\)である。
  3. \(\alpha \)が動く範囲は開区間\(\left( 0,1\right) \)であり、端点\(0,1\)を含まない。

つまり、\(u\)が狭義凹関数であるとは、任意の異なる2つの消費ベクトル\(x,y\)について、それらを任意の割合\(\alpha \)で混ぜて得られる消費ベクトルからの効用が、\(x\)からの効用や\(y\)からの効用を上回るということです。狭義準凹な効用関数もまた、非空な凸集合である消費集合\(X\)上に定義されます。

命題(効用関数の狭義準凹性)
非空かつ凸集合であるような消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとき、\(u\)が狭義準凹関数であることは、\(\succsim \)が狭義凸性を満たすための必要十分条件である。
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以上の議論は、選好関係を表現する効用関数が存在することを前提とした上でのものですが、そもそも、選好関係の凸性から、効用関数の存在について何らかのことを言えるのでしょうか。選好関係が凸性を満たす場合、その選好関係を表現する効用関数は存在するのでしょうか。効用関数が存在するための条件については、場を改めて詳しく解説します。

次回は選好関係に関する相似拡大性と呼ばれる仮定について解説します。

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