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効用最大化問題の端点解

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効用最大化問題の端点解

消費者の選好が消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されており、さらに、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する状況を想定します。また、消費者が直面する経済的制約が予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が解くべき効用最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}\ u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad x\in B\left( p,w\right)
\end{equation*}として定式化されます。効用最大化を目指す消費者の意思決定がワルラスの需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題の解からなる集合は、\begin{equation*}X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x\in B\left( p,w\right) \ |\ \forall
y\in B\left( p,w\right) :u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \right\}
\end{equation*}です。以上の条件のもとで需要対応\(X^{\ast }\)は非空値をとるため、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\begin{equation*}x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}が存在することが保証されるため、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left(p,w\right) \)をとることができます。

効用最大化問題に解\(x^{\ast }\)が存在する場合、それは消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の内点すなわち\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合と、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の境界点すなわち\(\mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合の2通りが起こり得ます。特に、最適解\(x^{\ast }\)が端点解(corner solution)である場合、すなわち\(\mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合には、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\ast
}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \exists n\in \{1,\cdots ,N\}:x_{n}^{\ast }=0
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。つまり、端点解において少なくとも1つの商品の需要がゼロになります。

例(効用最大化問題の端点解)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\(p_{1}\geq p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{w}{p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、\(p_{1}<p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{p_{1}} \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます(確認してください)。いずれの場合にも\(x^{\ast }\left(p_{1},p_{2},w\right) \)は端点解です。

 

効用最大化問題の端点解であるための必要条件

効用最大化問題の解が満たすべき条件をクーン・タッカーの定理より明らかにしました。結果を復習します。

命題(効用最大化問題の解であるための必要条件)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすならば\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとる。さらに、\(u\)が\(C^{1}\)級であるものとする。価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ上で、さらに、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }\in X\left( p,w\right) \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \nabla u(x^{\ast })\leq \lambda ^{\ast }p \\
&&\left( B\right) \ \lambda ^{\ast }(w-p\cdot x^{\ast })=0 \\
&&\left( C\right) \ \left[ \nabla u\left( x^{\ast }\right) -\lambda ^{\ast }p\right] \cdot x^{\ast }=0 \\
&&\left( D\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在する。

加えて、選好関係\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合にはワルラスの法則が成立することを確認しました。具体的には以下の通りです。

命題(ワルラスの法則)

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性の仮定を満たす場合、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとる。さらに、\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合には、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) :p\cdot x^{\ast }=w
\end{equation*}が成り立つ。

以上を踏まえると、ワルラスの法則を認める場合に、効用最大化問題の端点解が満たすべき条件が以下のように定まります。

命題(効用最大化問題の端点解であるための必要条件)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性、さらに局所非飽和性を満たすならば\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとる。さらに、\(u\)が\(C^{1}\)級であるならば、任意の\(\left(p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と端点解\(x^{\ast }\in X\left( p,w\right) ^{{}}\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\left(
x_{n}^{\ast }>0\Rightarrow \frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{n}}=\lambda ^{\ast }p_{n}\right) \\
&&\left( B\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\left(
x_{n}^{\ast }=0\Rightarrow \frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{n}}\leq \lambda ^{\ast }p_{n}\right) \\
&&\left( C\right) \ w-p\cdot x^{\ast }=0 \\
&&\left( D\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在する。
証明

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例(効用最大化問題の端点解であるための必要条件)
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性、さらに局所非飽和性を満たすならば\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)は非空値をとります。さらに、\(u\)が\(C^{1}\)級であるならば、先の命題より、任意の\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)と端点解\(\left( x_{1}^{\ast },x_{2}^{\ast}\right) \in X\left( p_{1},p_{2},w\right) ^{{}}\)に対して、\(x_{1}^{\ast }>0\)かつ\(x_{2}^{\ast }=0\)であるならば、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \frac{\partial u\left( x_{1}^{\ast },x_{2}^{\ast
}\right) }{\partial x_{1}}=\lambda ^{\ast }p_{1} \\
&&\left( B\right) \ \frac{\partial u\left( x_{1}^{\ast },x_{2}^{\ast
}\right) }{\partial x_{2}}\leq \lambda ^{\ast }p_{2} \\
&&\left( C\right) \ w-p_{1}x_{1}^{\ast }-p_{2}x_{2}^{\ast }=0 \\
&&\left( D\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在します。
例(効用最大化問題の端点解であるための必要条件)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\(p_{1}\geq p_{2}\)の場合には、\begin{equation}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{w}{p_{2}}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定め、\(p_{1}<p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{p_{1}} \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。いずれの場合にも\(x^{\ast }\left(p_{1},p_{2},w\right) \)は端点解であるため、先の命題の主張が成り立つはずです。実際、\(p_{1}\geq p_{2}\)の場合には、\begin{eqnarray*}p_{1}x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) +p_{2}x_{2}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) &=&p_{1}\cdot 0+p_{2}\cdot \frac{w}{p_{2}}\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&0+w \\
&=&w
\end{eqnarray*}であるためワルラスの法則に相当する条件\(\left( B\right) \)が成立しています。さらに、\begin{eqnarray*}\nabla u\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) &=&\left( \frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) }{\partial
x_{1}},\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) }{\partial x_{2}}\right) \\
&=&\left( \left. \frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{1}}\right\vert _{x=x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) },\left. \frac{\partial
u\left( x\right) }{\partial x_{2}}\right\vert _{x=x^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) }\right) \\
&=&\left( \left. 2x_{1}\right\vert _{x=x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
},\left. 2x_{2}\right\vert _{x=x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }\right)
\\
&=&\left( 0,\frac{2w}{p_{2}}\right) \\
&\leq &\frac{2w}{p_{2}^{2}}\left( p_{1},p_{2}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lambda ^{\ast }=\frac{2w}{p_{2}^{2}}>0
\end{equation*}をとることにより条件\(\left( A\right) ,\left( B\right) ,\left( D\right) \)が成立します。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。\(p_{1}<p_{2}\)の場合も同様です。

 

限界代替率と相対価格にもとづく端点解の解釈

先の命題より、任意の\(\left( p,w\right) \)と端点解\(x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right) \)において、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\left(
x_{n}^{\ast }>0\Rightarrow \frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{n}}=\lambda ^{\ast }p_{n}\right) \\
&&\left( B\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\left(
x_{n}^{\ast }=0\Rightarrow \frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{n}}\leq \lambda ^{\ast }p_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\geq 0\)が存在します。

まずは、\(x_{i}^{\ast }>0\)かつ\(x_{j}^{\ast }>0\)を満たす2つの商品\(i,j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}} &=&\lambda ^{\ast }\quad \because x_{i}^{\ast }>0\text{および}\left( A\right) \\
&=&\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}\cdot \frac{1}{p_{j}}\quad \because x_{j}^{\ast }>0\text{および}\left(
A\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{p_{i}}=\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}{p_{j}}
\end{equation*}を得ます。特に、\(\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}>0\)である場合には、\begin{equation*}\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}=\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}が成り立ちます。

続いて、\(x_{i}^{\ast }=0\)かつ\(x_{j}^{\ast }>0\)を満たす2つの商品\(i,j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{1}{p_{i}} &\leq &\lambda ^{\ast }\quad \because x_{i}^{\ast }=0\text{および}\left( B\right) \\
&=&\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}\cdot \frac{1}{p_{j}}\quad \because x_{j}^{\ast }>0\text{および}\left(
A\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{p_{i}}\leq
\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}{p_{j}}
\end{equation*}を得ます。特に、\(\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}>0\)である場合には、\begin{equation*}\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}\leq \frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \leq \frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(限界代替率と相対価格にもとづく端点解の解釈)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性、さらに局所非飽和性を満たすならば\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとる。さらに、\(u\)が\(C^{1}\)級であるならば、任意の\(\left(p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と端点解\(x^{\ast }\in X\left( p,w\right) \)および任意の商品\(i,j\in\left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x_{i}^{\ast }>0\wedge x_{j}^{\ast }>0\Rightarrow \frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{p_{i}}=\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}{p_{j}} \\
&&\left( b\right) \ x_{i}^{\ast }=0\wedge x_{j}^{\ast }>0\Rightarrow \frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{p_{i}}\leq \frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}{p_{j}}
\end{eqnarray*}が成り立つ。特に、\(\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}>0\)である場合には、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x_{i}^{\ast }>0\wedge x_{j}^{\ast }>0\Rightarrow
MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{p_{i}}{p_{j}} \\
&&\left( b\right) \ x_{i}^{\ast }=0\wedge x_{j}^{\ast }>0\Rightarrow
MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \leq \frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

例(限界代替率と相対価格にもとづく端点解の解釈)
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性、さらに局所非飽和性を満たすならば\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)は非空値をとります。さらに、\(u\)が\(C^{1}\)級であるならば、先の命題より、任意の\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)と端点解\(\left( x_{1}^{\ast },x_{2}^{\ast}\right) \in X\left( p_{1},p_{2},w\right) ^{{}}\)に対して、\(x_{1}^{\ast }=0\)かつ\(x_{2}^{\ast }>0\)であるならば、\begin{equation*}\frac{\dfrac{\partial u\left( x_{1}^{\ast },x_{2}^{\ast }\right) }{\partial
x_{1}}}{p_{1}}\leq \frac{\dfrac{\partial u\left( x_{1}^{\ast },x_{2}^{\ast
}\right) }{\partial x_{2}}}{p_{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。特に、\begin{equation*}
\dfrac{\partial u\left( x_{1}^{\ast },x_{2}^{\ast }\right) }{\partial x_{2}}>0
\end{equation*}ならば、\begin{equation*}
MRS_{12}\left( x_{1}^{\ast },x_{2}^{\ast }\right) \leq \frac{p_{1}}{p_{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(限界代替率と相対価格にもとづく端点解の解釈)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\(p_{1}\geq p_{2}\)の場合には、\begin{equation}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{w}{p_{2}}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定め、\(p_{1}<p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{p_{1}} \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。特に、\(p_{1}\geq p_{2}\)の場合には、この端点解\(x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \)において、\begin{eqnarray*}MRS_{12}\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) &=&\frac{\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) }{\partial
x_{1}}}{\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right)
}{\partial x_{2}}}\quad \because MRS\text{の定義} \\
&=&\frac{0}{2\frac{w}{p_{2}}} \\
&=&0 \\
&<&\frac{p_{1}}{p_{2}}
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。\(p_{1}<p_{2}\)の場合も同様です。

効用最大化問題の解\(x^{\ast }\)が内点解である場合、任意の商品\(i,j\)について限界代替率\(MRS_{ij}\left(x^{\ast }\right) \)と相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は一致します。一方、上の命題によると、\(x^{\ast }\)が端点解である場合には、そこで消費されない商品\(i\)と消費される商品\(j\)の間の限界代替率\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \)は相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)以下になります。つまり、端点解\(x^{\ast }\)においては\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成り立つ可能性を排除することができません。これにはどのような意味があるのでしょうか。

消費ベクトル\(x\)における限界代替率\(MRS_{ij}\left( x\right) \)とは、\(x\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(1\)単位変化させてもなお、効用水準を\(u(x)\)に保つために変化させる必要のある商品\(j\)の量を表しています。言い換えると、消費者が\(x\)を選択しているとき、消費者にとって\(1\)単位の商品\(i\)の主観的な価値は、\(MRS_{ij}\left(x\right) \)単位の商品\(j\)と一致するということです。一方、相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)とは、商品\(i\)の価格が商品\(j\)の価格の何倍であるかを表す指標です。言い換えると、市場において\(1\)単位の商品\(i\)と\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)単位の商品\(j\)が交換可能であるということです。

消費ベクトル\(x\)において\(MRS_{ij}\left( x\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成り立つ場合について考えます。このとき消費者にとって、\(1\)単位の商品\(i\)をそのまま保有するのと、それを市場において商品\(j\)と交換するのとでは、どちらの方がより望ましいでしょうか。消費者は\(1\)単位の商品\(i\)の価値を\(MRS_{ij}\left( x\right) \)単位の商品\(j\)と同じ程度に評価しています。一方、\(1\)単位の商品\(i\)を市場で販売すれば、それと引き換えに商品\(j\)を\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)単位だけ得られます。したがって、\(MRS_{ij}\left( x\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成り立つ場合、消費者の立場からは市場が財\(j\)を過小評価しているように見えるため、市場において商品\(i\)を売って商品\(j\)を買った方が得であり、そのような取引を通じて、消費者は\(\frac{p_{i}}{p_{j}}-MRS_{ij}(x)\ \left( >0\right) \)単位の商品\(j\)の分だけ得をします。限界代替率逓減の法則が成り立つ場合、商品\(i\)の消費量\(x_{i}\)が減少して商品\(j\)の消費量\(x_{j}\)が増加すると\(MRS_{ij}\left( x\right) \)が大きくなるため、先の取引の結果、\(MRS_{ij}\left( x\right) \)と\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)の差が縮小します。

端点解\(x^{\ast }\)において\(x_{i}^{\ast }=0\)かつ\(x_{j}^{\ast }>0\)かつ\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成り立つ場合、やはり市場において商品\(i\)を売って商品\(j\)を買った方が得ですが、\(x_{i}^{\ast }=0\)ゆえに消費者は商品\(i\)をそれ以上減らすことはできません。したがって、内点解の場合とは異なり、端点解\(x^{\ast }\)においては\(MRS_{ij}\left(x^{\ast }\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)という事態が起こり得ます。効用最大化問題の端点解\(x^{\ast }\)において任意の2つの商品\(i,j\)の間の限界代替率\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \)と相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が一致するとは限らないことの背景にはこのような理由があります。

 

端点解の図解

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、局所非飽和性、狭義凸性を満たす場合には、\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u\)や、連続な需要関数\(x^{\ast }\)が存在するとともにワルラスの法則が成り立ちます。したがって、価格ベクトルと所得の組\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)における需要\(x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \)が端点解であるならば、\(x_{1}^{\ast }\left(p_{1},p_{2},w\right) >0\)かつ\(x_{2}^{\ast }\left(p_{1},p_{2},w\right) =0\)である場合、先の命題より、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ p_{1}x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
+p_{2}x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =w \\
&&\left( b\right) \ MRS_{12}\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\right) \geq \frac{p_{1}}{p_{2}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

図:効用最大化問題の端点解
図:効用最大化問題の端点解

上図のグレーの領域が無差別集合\(B\left(p_{1},p_{2},w\right) \)に相当しますが、点\(x^{\ast }\)はその境界である予算線上の点であるため、先の条件\(\left( a\right) \)を満たします。また、\(MRS_{12}\left( x^{\ast }\right) \)は無差別曲線\(I\left( x^{\ast }\right) \)上の点\(x^{\ast }\)における接線の傾きの絶対値に相当し、価格比\(\frac{p_{1}}{p_{2}}\)は予算線の傾きの絶対値に相当します。上図中の点\(x^{\ast }\)において、無差別曲線\(I\left( x^{\ast }\right) \)の点\(x^{\ast }\)における接線は点線で表されていますが、その傾きの絶対値は予算線の傾きの絶対値よりも大きいため、点\(x^{\ast }\)は先の条件\(\left( b\right) \)を満たします。したがって、上図の点\(x^{\ast }\)は端点解を図示したものになっています。

 

演習問題

問題(効用最大化問題の端点解)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\(p_{1}\geq p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{w}{p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、\(p_{1}<p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{p_{1}} \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。本文中では\(p_{1}\geq p_{2}\)について分析しましたが、ここでは\(p_{1}<p_{2}\)について同様の分析を行います。具体的には、\(p_{1}<p_{2}\)を満たす場合、ワルラスの法則が成り立つとともに、\begin{equation*}MRS_{21}\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) <\frac{p_{2}}{p_{1}}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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問題(線型効用関数のもとでの需要関数)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =\alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{N}x_{N}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\alpha _{n}>0\ \left(n=1,\cdots ,N\right) \)です。このような\(u\)を線型効用関数と呼びます。需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)を特定してください。
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