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CONSUMER THEORY

効用最大化問題の端点解

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効用最大化問題の端点解

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合にはワルラスの法則が成り立つため、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題は、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & u\left( x\right) \\
s.t. & p\cdot x=w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$
と定式化されます。この問題に最適解\(x^{\ast }\)が存在する場合、それは消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の内点すなわち\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合と、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の境界点すなわち\(\mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合の2通りが起こり得ます。特に、最適解\(x^{\ast }\)が端点解(corner solution)である場合、すなわち\(\mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合には、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ p\cdot x^{\ast }=w \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\ast
}\geq 0 \\
&&\left( c\right) \ \exists n\in \{1,\cdots ,N\}:x_{n}^{\ast }=0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。条件\(\left( a\right) \)は最適解\(x^{\ast }\)において所得\(w\)をすべて使い切ることを意味し、条件\(\left( b\right) ,\left( c\right) \)は最適解\(x^{\ast }\)において少なくとも1つの商品の需要がゼロであることを意味します。

例(効用最大化問題の端点解)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\(p_{1}\geq p_{2}\)の場合には、\begin{equation}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{w}{p_{2}}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定め、\(p_{1}<p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{p_{1}} \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます(確認してください)。\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \)を任意に選んだとき、\(p_{1}\geq p_{2}\)の場合には、\begin{eqnarray*}p_{1}x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) +p_{2}x_{2}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) &=&p_{1}\cdot 0+p_{2}\cdot \frac{w}{p_{2}}\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&0+w \\
&=&w
\end{eqnarray*}となるためワルラスの法則が成立しています。さらに、\begin{eqnarray*}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&0 \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{w}{p_{2}}>0
\end{eqnarray*}が成り立つため\(x^{\ast }\left(p_{1},p_{2},w\right) \)は端点解です。\(p_{1}<p_{2}\)の場合も同様です。

 

効用最大化問題の端点解であるための必要条件

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすならば\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとります。さらに、\(u\)が\(C^{1}\)級であるならば、任意の\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と任意の\(x^{\ast }\in X\left( p,w\right) ^{{}}\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \nabla u(x^{\ast })\leq \lambda ^{\ast }p \\
&&\left( B\right) \ \lambda ^{\ast }(w-p\cdot x^{\ast })=0 \\
&&\left( C\right) \ \left[ \nabla u\left( x^{\ast }\right) -\lambda ^{\ast }p\right] \cdot x^{\ast }=0 \\
&&\left( D\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在します。さらに、\(\succsim \)が局所非飽和性を満たすとともに、\(x^{\ast }\)が端点解であるとしましょう。\(\succsim \)の局所非飽和性よりワルラスの法則\begin{equation*}p\cdot x^{\ast }=w
\end{equation*}が成り立つため\(\left( B\right) \)が成立します。さらに\(x^{\ast }\)が端点解であることから\(x_{i}^{\ast }=0\)を満たす商品\(i\)と\(x_{j}^{\ast }>0\)を満たす商品\(j\)がそれぞれ存在するため、\(\left( A\right) ,\left(C\right) \)より、商品\(i\)については、\begin{equation*}\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}\leq \lambda ^{\ast
}p_{i}
\end{equation*}が成り立ち、商品\(j\)については、\begin{equation*}\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}=\lambda ^{\ast
}p_{j}
\end{equation*}が成り立ちます。商品の価格\(p_{i},p_{j}\)が正の実数であることを踏まえると、このとき、\begin{equation*}\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{p_{i}}\leq
\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}{p_{j}}
\end{equation*}を得ます。特に、\(\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}>0\)である場合には、\begin{equation*}\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}\leq \frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \leq \frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(限界代替率と相対価格にもとづく端点解の解釈)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性、さらに局所非飽和性を満たすならば\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとる。さらに、\(u\)が\(C^{1}\)級であるならば、任意の\(\left(p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と端点解\(x^{\ast }\in X\left( p,w\right) \)、そして\(x_{i}^{\ast }=0\)かつ\(x_{j}^{\ast }>0\)を満たす任意の商品\(i,j\in \{1,\cdots ,N\}\)について、\begin{equation*}\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{p_{i}}\leq
\frac{\dfrac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}{p_{j}}
\end{equation*}という関係が成り立つ。特に、\(\frac{\partial u\left( x^{\ast}\right) }{\partial x_{j}}>0\)ならば、\begin{equation*}MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \leq \frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}が成り立ち、\(\frac{\partial u\left(x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}>0\)ならば、\begin{equation*}MRS_{ji}\left( x^{\ast }\right) \geq \frac{p_{j}}{p_{i}}
\end{equation*}が成り立つ。

例(限界代替率と相対価格にもとづく端点解の解釈)
先と同様、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\(p_{1}\geq p_{2}\)の場合には、\begin{equation}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{w}{p_{2}}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定め、\(p_{1}<p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{p_{1}} \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。先に確認したように\(\left( 1\right) \)は端点解です。この端点解において、\begin{eqnarray*}MRS_{12}\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) &=&\frac{\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) }{\partial
x_{1}}}{\frac{\partial u\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right)
}{\partial x_{2}}}\quad \because MRS\text{の定義} \\
&=&\frac{2\cdot 0}{2\cdot \frac{w}{p_{2}}}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0 \\
&<&\frac{p_{1}}{p_{2}}
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。\(p_{1}\geq p_{2}\)を満たす\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \)についても同様です。

復習になりますが、効用最大化問題の解\(x^{\ast }\)が内点解である場合、任意の商品\(i,j\)について限界代替率\(MRS_{ij}\left(x^{\ast }\right) \)と相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は一致します。一方、上の命題によると、\(x^{\ast }\)が端点解である場合には、そこで消費されない商品\(i\)と消費される商品\(j\)の間の限界代替率\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \)は相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)以下になります。つまり、端点解\(x^{\ast }\)においては\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成り立つ場合を排除することができません。これにはどのような意味があるのでしょうか。

消費ベクトル\(x\)における限界代替率\(MRS_{ij}\left( x\right) \)とは、\(x\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(1\)単位変化させてもなお、効用水準を\(u(x)\)に保つために変化させる必要のある商品\(j\)の量を表しています。言い換えると、消費者が\(x\)を選択しているとき、消費者にとって\(1\)単位の商品\(i\)の主観的な価値は、\(MRS_{ij}\left(x\right) \)単位の商品\(j\)と一致するということです。一方、相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)とは、商品\(i\)の価格が商品\(j\)の価格の何倍であるかを表す指標です。言い換えると、市場において\(1\)単位の商品\(i\)と\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)単位の商品\(j\)が交換可能であるということです。

消費ベクトル\(x\)において\(MRS_{ij}\left( x\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成り立つ場合について考えます。このとき消費者にとって、\(1\)単位の商品\(i\)をそのまま保有するのと、それを市場において商品\(j\)と交換するのとでは、どちらの方がより望ましいでしょうか。消費者は\(1\)単位の商品\(i\)の価値を\(MRS_{ij}\left( x\right) \)単位の商品\(j\)と同じ程度に評価しています。一方、\(1\)単位の商品\(i\)を市場で販売すれば、それと引き換えに商品\(j\)を\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)単位だけ得られます。したがって、\(MRS_{ij}\left( x\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成り立つ場合、消費者の立場からは市場が財\(j\)を過小評価しているように見えるため、市場において商品\(i\)を売って商品\(j\)を買った方が得であり、そのような取引を通じて、消費者は\(\frac{p_{i}}{p_{j}}-MRS_{ij}(x)\ \left( >0\right) \)単位の商品\(j\)の分だけ得をします。限界代替率逓減の法則が成り立つ場合、商品\(i\)の消費量\(x_{i}\)が減少して商品\(j\)の消費量\(x_{j}\)が増加すると\(MRS_{ij}\left( x\right) \)が大きくなるため、先の取引の結果、\(MRS_{ij}\left( x\right) \)と\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)の差が縮小します。

端点解\(x^{\ast }\)において\(x_{i}^{\ast }=0\)かつ\(x_{j}^{\ast }>0\)かつ\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成り立つ場合、やはり市場において商品\(i\)を売って商品\(j\)を買った方が得ですが、\(x_{i}^{\ast }=0\)ゆえに消費者は商品\(i\)をそれ以上減らすことはできません。したがって、内点解の場合とは異なり、端点解\(x^{\ast }\)においては\(MRS_{ij}\left(x^{\ast }\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)という事態が起こり得ます。効用最大化問題の端点解\(x^{\ast }\)において任意の2つの商品\(i,j\)の間の限界代替率\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \)と相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が一致するとは限らないことの背景にはこのような理由があります。

 

端点解の図解

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、局所非飽和性、狭義凸性を満たす場合には、\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u\)や、連続な需要関数\(x^{\ast }\)が存在するとともにワルラスの法則が成り立ちます。したがって、価格ベクトルと所得の組\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)における需要\(x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \)が端点解であるならば、\(x_{1}^{\ast }\left(p_{1},p_{2},w\right) >0\)かつ\(x_{2}^{\ast }\left(p_{1},p_{2},w\right) =0\)である場合、先の命題より、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ p_{1}x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
+p_{2}x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =w \\
&&\left( b\right) \ MRS_{12}\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\right) \geq \frac{p_{1}}{p_{2}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

図:効用最大化問題の端点解
図:効用最大化問題の端点解

上図のグレーの領域が無差別集合\(B\left(p_{1},p_{2},w\right) \)に相当しますが、点\(x^{\ast }\)はその境界である予算線上の点であるため、先の条件\(\left( a\right) \)を満たします。また、\(MRS_{12}\left( x^{\ast }\right) \)は無差別曲線\(I\left( x^{\ast }\right) \)上の点\(x^{\ast }\)における接線の傾きの絶対値に相当し、価格比\(\frac{p_{1}}{p_{2}}\)は予算線の傾きの絶対値に相当します。上図中の点\(x^{\ast }\)において、無差別曲線\(I\left( x^{\ast }\right) \)の点\(x^{\ast }\)における接線は点線で表されていますが、その傾きの絶対値は予算線の傾きの絶対値よりも大きいため、点\(x^{\ast }\)は先の条件\(\left( b\right) \)を満たします。したがって、上図の点\(x^{\ast }\)は端点解を図示したものになっています。

 

演習問題

問題(効用最大化問題の端点解)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\(p_{1}\geq p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{w}{p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、\(p_{1}<p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{p_{1}} \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。本文中では\(p_{1}\geq p_{2}\)について分析しましたが、ここでは\(p_{1}<p_{2}\)について同様の分析を行います。具体的には、\(p_{1}<p_{2}\)を満たす場合、ワルラスの法則が成り立つとともに、\begin{equation*}MRS_{21}\left( x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) <\frac{p_{2}}{p_{1}}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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