消費者が直面する効用最大化問題は価格ベクトルと所得に応じて変化します。そこで、価格ベクトルと所得のそれぞれの組に対して、そのときの効用最大化問題の解集合を定める対応を需要対応と呼びます。
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最適選択対応

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)から定義される選好最大化問題について考えます。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選ぶと、それに対応する選好最大化問題に解は存在するとは限りませんし、解が存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そのような事情を踏まえた上で、それぞれの値\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、それに対応する選好最大化問題の解集合\begin{equation*}
X^{\ast }\left( p,w\right) =\{x\in B\left( p,w\right) \ |\ \forall y\in
B\left( p,w\right) :x\succsim y\}
\end{equation*}を定める対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)を定義します。これを最適選択対応(optimal choice correspondence)と呼びます。

最適選択対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が非空値をとるのであれば、すなわち、\begin{equation*}
\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:X^{\ast }\left( p,w\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、価格ベクトル\(p\)と所得\(w\)がどのような値に変化した場合でも、選好最大化問題には少なくとも1つの解が存在することを意味します。では、どのような条件のもとで最適選択対応は非空値をとるのでしょうか。

命題(最適選択対応が非空値をとる条件)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性と連続性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、最適選択対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)は非空値をとる。
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需要対応

選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)が存在する場合には、選好最大化問題は効用最大化問題に読み替え可能です。このとき、最適選択対応\(X^{\ast }\)がそれぞれの\(\left( p,w\right) \)に対して定める解集合は、\begin{equation*}
X^{\ast }\left( p,w\right) =\{x\in B\left( p,w\right) \ |\ \forall y\in
B\left( p,w\right) :u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \}
\end{equation*}となります。このように読み替えたとき、\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)を需要対応(demand correspondence)やワルラスの需要対応(Walrasian demand correspondence)などと呼びます。

価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題は、以下の様な制約付き最大化問題\begin{equation*}
\max_{x\in B\left( p,w\right) }\ u\left( x\right)
\end{equation*}として定式化されることを踏まえると、需要対応\(X^{\ast }\)が\(\left( p,w\right) \)に対して定める解集合を、\begin{equation*}
X^{\ast }\left( p,w\right) =\mathrm{arg}\max_{x\in B\left( p,w\right) }\
u\left( x\right)
\end{equation*}と表現することもできます。

繰り返しになりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)から定義される選好最大化問題において、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性と連続性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、最適選択対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)は非空値をとります。ただ、上の条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)はドブリューの定理が要求する条件と一致するため、選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)が存在することも保証されます。したがって、以下の命題が成り立ちます。

命題(需要対応が非空値をとる条件)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性と連続性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、需要対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)は非空値をとる。
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需要対応の性質

実は、上の命題中の条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)のもとではベルジュの最大値定理が要求する条件が満たされるため、同定理を利用することにより、需要対応についてもう少し踏み込んだことが言えます。

具体的には、まず、予算集合に関する条件\(\left( a\right) \)のもとでは、予算対応\(B\)は非空値かつコンパクト値をとるとともに、連続対応になることは以前に示した通りです。また、条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)のもとでは、ドブリューの定理より、効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、それが連続関数であることが保証されます。したがって、ベルジュの最大値定理より、需要対応\(X^{\ast }\)は非空値かつコンパクト値をとるとともに、優半連続対応になります。

命題(需要対応の性質)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性と連続性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、需要対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)は非空値かつコンパクト値をとるとともに、優半連続対応になる。
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次回は需要関数について学びます。

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