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CONSUMER THEORY

ワルラスの需要関数

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ワルラスの需要対応

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B:\mathbb{R}_{++}^{N}\times \mathbb{R}_{++}\twoheadrightarrow X\)が与えられているものとします。さらに、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在する場合、価格と所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times \mathbb{R}_{++}\)のもとでの効用最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}
\max_{x\in X}\ u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad x\in B\left(
p,w\right)
\end{equation*}として定義されます。一般に、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題には解は存在するとは限りませんし、解が存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そのような事情を踏まえた上で、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解であるような消費ベクトルからなる集合を\(X^{\ast }\left( p,w\right) \)で表記します。つまり、\begin{equation*}
X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x\in B\left( p,w\right) \ |\ \forall
y\in B\left( p,w\right) :u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \right\}
\end{equation*}です。さらに、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times \mathbb{R}_{++}\)に対して\(X^{\ast }\left( p,w\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*}
X^{\ast }:\mathbb{R}_{++}^{N}\times
\mathbb{R}_{++}\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を需要対応(demand correspondence)やワルラスの需要対応(Walrasian demand correspondence)などと呼びます。

例(ワルラスの需要対応)
2財モデルにおいて消費集合が\(X=\left\{ 0,1,2,3\right\} \times \left\{ 0,1,2,3\right\} \)であり、効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+2x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。価格ベクトルと所得の組が\begin{equation*}
\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left( 2,3,10\right)
\end{equation*}で与えられているとき、そこでの効用最大化問題は、
$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( x_{1},x_{2}\right) } & x_{1}+2x_{2} \\
s.t. & 2x_{1}+3x_{2}\leq 10 \\
& x_{1}\in \left\{ 0,1,2,3\right\} \\
& x_{2}\in \left\{ 0,1,2,3\right\} \end{array}$$となります。これを解くと、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( 0,3\right) ,\left( 2,2\right)
\end{equation*}という2つの解が得られるため(確認してください)、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R}_{++}^{2}\times \mathbb{R}_{++}\twoheadrightarrow X\)は、\begin{equation*}
X^{\ast }\left( 2,3,10\right) =\left\{ \left( 0,3\right) ,\left( 2,2\right)
\right\}
\end{equation*}を満たします。また、価格ベクトルと所得の組が\begin{equation*}
\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left( 3,4,5\right)
\end{equation*}で与えられているとき、そこでの効用最大化問題は、
$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( x_{1},x_{2}\right) } & x_{1}+2x_{2} \\
s.t. & 3x_{1}+4x_{2}\leq 5 \\
& x_{1}\in \left\{ 0,1,2,3\right\} \\
& x_{2}\in \left\{ 0,1,2,3\right\} \end{array}$$となります。これを解くと、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( 0,1\right)
\end{equation*}という1つの解が得られるため(確認してください)、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R}_{++}^{2}\times \mathbb{R}_{++}\twoheadrightarrow X\)は、\begin{equation*}
X^{\ast }\left( 3,4,5\right) =\left\{ \left( 0,1\right) \right\}
\end{equation*}を満たします。

需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R}_{++}^{N}\times \mathbb{R}_{++}\twoheadrightarrow X\)が与えられたとき、\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times \mathbb{R}_{++}\)に対して\begin{equation*}
X^{\ast }\left( p,w\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(X^{\ast }\)が\(\left( p,w\right) \)において非空値をとることは、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題に解が存在することを意味します。さらに、\begin{equation*}
\forall \left( p,w\right) \in
\mathbb{R}_{++}^{N}\times
\mathbb{R}_{++}:X^{\ast }\left( p,w\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(X^{\ast }\)が非空値をとることは、価格ベクトルと所得の水準に関わらず、効用最大化問題には必ず解が存在することを意味します。では、どのような条件のもとで\(X^{\ast }\)は非空値をとるのでしょうか。ベルジュの最大値定理を用いることにより以下の命題が導かれます。

命題(効用最大化問題に解が存在するための条件)
消費集合\(\mathbb{R}_{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R}_{++}^{N}\times \mathbb{R}_{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R}_{+}^{N}\)は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応である。
証明
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消費集合\(\mathbb{R}_{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R}_{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R}\)が存在する場合には\(\succsim \)は合理性を満たします。また、\(u\)が連続関数である場合には\(\succsim \)は連続性を満たします。したがって、選好関係\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u\)が存在する場合には上の命題が要求する条件がすべて満たされるため、この場合にも需要対応が非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応であることが保証されます。以下が具体例です。

例(効用最大化問題に解が存在するための条件)
2財モデルにおいて消費集合\(\mathbb{R}_{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R}_{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)が存在するとともに、これはそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この効用関数\(u\)は連続であるため(演習問題にします)、上の命題より、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R}_{++}^{2}\times \mathbb{R}_{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R}_{+}^{2}\)は非空値かつコンパクト値をとる連続対応であることが保証されます。非空値をとることに関して言えば、価格ベクトルと所得の組\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R}_{++}^{2}\times \mathbb{R}_{++}\)を選んだとき、そこでの効用最大化問題は、
$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( x_{1},x_{2}\right) } & x_{1}+x_{2} \\
s.t. & p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& x_{2}\geq 0\end{array}$$と表現されますが、\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)の水準に依らず、上の問題に解が必ず存在することが保証されるということです。上の問題の解を導出する具体的な方法については場を改めて解説します。

 

ワルラスの需要関数

需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R}_{++}^{N}\times \mathbb{R}_{++}\twoheadrightarrow X\)が非空値をとるとともに、\begin{equation*}
\forall \left( p,w\right) \in
\mathbb{R}_{++}^{N}\times
\mathbb{R}_{++}:\left\vert X^{\ast }\left( p,w\right) \right\vert =1
\end{equation*}を満たす場合には、価格と所得の水準に関わらず、効用最大化問題には必ず解が1つずつ存在することを意味します。この場合、集合\(X^{\ast }\left( p,w\right) \)とその唯一の要素を同一視することにより、需要対応\(X^{\ast }\)を\(\mathbb{R}_{++}^{N}\times \mathbb{R}_{++}\)から\(X\)への写像とみなすことができます。そこで、改めてそのような写像を、\begin{equation*}
x^{\ast }:\mathbb{R}_{++}^{N}\times
\mathbb{R}_{++}\rightarrow X
\end{equation*}と表記し、これを需要関数(demand function)やワルラスの需要関数(Walrasian demand function)などと呼びます。定義より、需要対応\(X^{\ast }\)と需要関数\(x^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}
\forall \left( p,w\right) \in
\mathbb{R}_{++}^{N}\times
\mathbb{R}_{++}:X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x^{\ast }\left( p,w\right) \right\}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

需要関数\(x^{\ast }\)がそれぞれの\(\left( p,w\right) \)に対して定める像\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)は消費ベクトルであるため、その成分を明示的に表現する場合には、

\begin{equation*}
x^{\ast }\left( p,w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) \\
\vdots \\
x_{N}^{\ast }\left( p,w\right)\end{array}\right) \in X
\end{equation*}と表記します。ただ、多くの場合、スペースの制約を考慮した上で、これを行ベクトル\begin{equation*}
x^{\ast }\left( p,w\right) =\left( x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) ,\cdots
,x_{N}^{\ast }\left( p,w\right) \right) \in X
\end{equation*}として表記することもできるものとします。本来、列ベクトルと行ベクトルは数学的には互いに区別されるべき概念ですが、ここでは特に断りのない限り両者を同一視し、両者は交換可能であるものとします。

需要対応\(X^{\ast }\)が非空値をとるための条件は先に明らかにしましたが、では、どのような条件のもとで需要関数\(x^{\ast }\)は存在するのでしょうか。消費集合\(\mathbb{R}_{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u\)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }\)が非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になることは先に指摘した通りです。加えて、選好\(\succsim \)が狭義凸性を満たすものとします。これは、\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が狭義準凹関数であるための必要十分条件です。\(u\)の狭義準凹性を利用すると、それぞれの\(\left( p,w\right) \)に対して効用最大化問題の解が一意的であることが示されるため(演習問題にします)、需要対応\(X^{\ast }\)がそれぞれの\(\left( p,w\right) \)に対して定める集合が1点集合であること、すなわち需要関数\(x^{\ast }\)が存在することが保証されます。加えて、需要対応\(X^{\ast }\)が上半連続であることと需要関数\(x^{\ast }\)が連続であることは必要十分であるため(演習問題にします)、需要関数\(x^{\ast }\)が連続であることも保証されます。

命題(需要関数が存在するための条件)
消費集合\(\mathbb{R}_{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、狭義凸性を満たす場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R}_{++}^{N}\times \mathbb{R}_{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R}_{+}^{N}\)が存在するとともに、\(x^{\ast }\)は連続関数になる。
証明
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消費集合\(\mathbb{R}_{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在する場合には\(\succsim \)は合理性を満たします。また、\(u\)が連続関数である場合には\(\succsim \)は連続性を満たし、\(u\)が狭義準凹関数である場合には\(\succsim \)は狭義凸性を満たします。したがって、選好関係\(\succsim \)を表す連続かつ狭義準凹な効用関数\(u\)が存在する場合には上の命題が要求する条件がすべて満たされるため、この場合にも連続な需要関数\(x^{\ast }\)が存在することが保証されます。以下が具体例です。

例(需要関数が存在するための条件)
2財モデルにおいて消費集合\(\mathbb{R}_{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R}_{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)が存在するとともに、これはそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(u\)は連続かつ狭義準凹であるため(演習問題にします)、上の命題より連続な需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R}_{++}^{2}\times \mathbb{R}_{++}\rightarrow \mathbb{R}_{+}^{2}\)が存在します。つまり、価格ベクトルと所得の組\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R}_{++}^{2}\times \mathbb{R}_{++}\)を選んだとき、そこでの効用最大化問題は、
$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( x_{1},x_{2}\right) } & x_{1}x_{2} \\
s.t. & p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& x_{2}\geq 0\end{array}$$と表現されますが、\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)の水準に依らず、上の問題に一意的な解が必ず存在することが保証されます。解の導出方法は場を改めて解説しますが、結論を述べると、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R}_{++}^{2}\times \mathbb{R}_{++}\rightarrow \mathbb{R}_{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R}_{++}^{2}\times \mathbb{R}_{++}\)に対して、\begin{equation*}
x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めますが、これは連続関数です(確認してください)。

 

演習問題

問題(需要対応)
2財モデルにおいて消費集合\(\mathbb{R}_{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R}_{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)が存在するとともに、これはそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R}_{++}^{2}\times \mathbb{R}_{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R}_{+}^{2}\)は非空値かつコンパクト値をとる連続対応であることを証明してください。
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問題(需要関数)
2財モデルにおいて消費集合\(\mathbb{R}_{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R}_{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)が存在するとともに、これはそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、連続な需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R}_{++}^{2}\times \mathbb{R}_{++}\rightarrow \mathbb{R}_{+}^{2}\)が存在することを証明してください。
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問題(需要対応が凸値をとるための条件)
消費集合\(\mathbb{R}_{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性と凸性を満たす場合、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R}_{++}^{N}\times \mathbb{R}_{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R}_{+}^{N}\)は非空値かつコンパクト値かつ凸値をとる上半連続対応であることを証明してください。
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次回は需要関数の0次同次性について学びます。

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