消費者が直面する効用最大化問題は価格ベクトルと所得に応じて変化します。そこで、価格ベクトルと所得のそれぞれの組に対して、そのときの効用最大化問題の解が一意的に定まる場合には、需要関数と呼ばれる関数が定義可能です。

< 前のページ

最適選択関数

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)から定義される選好最大化問題について考えます。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選ぶと、それに対応する選好最大化問題に常に一意的な解が存在する場合には、すなわち、最適選択対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が、\begin{equation}
\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:\left\vert X^{\ast }\left( p,w\right) \right\vert =1 \tag{1}
\end{equation}を満たす場合には、集合\(X^{\ast }\left( p,w\right) \)と、その唯一の要素を同一視することにより、最適選択対応\(X^{\ast }\)を\( \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)から\(X\)への写像とみなすことができます。そこで、改めてそのような写像を\(x^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)で表し、これを最適選択関数(optimal choice function)と呼びます。

最適選択関数\(x^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)がそれぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して定める消費ベクトル\(x^{\ast }\left( p,w\right) \in X\)は\(\left( p,w\right) \)のもとでの選好最大化問題の唯一の解であるため、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x^{\ast }\left( p,w\right) \in B(p,w) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in B(p,w):x^{\ast }\left( p,w\right) \succsim x
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。また、最適選択対応\(X^{\ast }\)と最適選択関数\(x^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}
\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x^{\ast }\left( p,w\right)
\right\}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

最適選択関数\(x^{\ast }\)がそれぞれの組\(\left( p,w\right) \)に対して定める像\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)は消費ベクトルであるため、その成分を明示的に表現する場合には、

\begin{equation*}
x^{\ast }(p,w)=\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }(p,w) \\
\vdots \\
x_{N}^{\ast }(p,w)\end{array}\right) \in X
\end{equation*}と表記します。ただ、多くの場合、スペースの制約を考慮した上で、これを行ベクトル\begin{equation*}
x^{\ast }(p,w)=\left( x_{1}^{\ast }(p,w),\cdots ,x_{N}^{\ast }(p,w)\right)
\in X
\end{equation*}として表記することもあります。本来、列ベクトルと行ベクトルは数学的には互いに区別されるべき概念ですが、ここでは特に断りのない限り両者を同一視し、両者は交換可能であるものとします。

消費集合が\( \mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとき、選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性、そして凸性を満たす場合には、最適選択対応\(X^{\ast }\)は非空値かつ凸値をとります。さらに、\(\succsim \)に関する凸性を狭義凸性に強めると、最適選択対応\(X^{\ast }\)が定める解集合\(X^{\ast }\left( p,w\right) \)が常に1点集合になることが示されるため、最適選択関数\(x^{\ast }\)が存在します。

命題(最適選択関数の存在条件)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性、連続性、狭義凸性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、最適選択関数\(x^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)が存在する。
証明を見る(プレミアム会員限定)

 

需要関数

選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)が存在する場合には、選好最大化問題は効用最大化問題に読み替え可能です。このとき、最適選択関数\(x^{\ast }\)がそれぞれの\(\left( p,w\right) \)に対して定める消費ベクトル\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)が満たすべき条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x^{\ast }\left( p,w\right) \in B(p,w) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in B(p,w):u\left( x^{\ast }\left( p,w\right)
\right) \geq u\left( x\right)
\end{eqnarray*}となります。このように読み替えたとき、\(x^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)を需要関数(demand function)やワルラスの需要関数(Walrasian demand function)などと呼びます。需要対応\(X^{\ast }\)と需要関数\(x^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}
\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x^{\ast }\left( p,w\right)
\right\}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

繰り返しになりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性、連続性、狭義凸性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、最適選択関数\(x^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)が存在します。ただ、上の条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)よりドブリューの定理が利用できるため、選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)が存在することも保証されます。したがって、以下の命題が成り立ちます。

命題(需要関数の存在条件)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性、連続性、狭義凸性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、需要関数\(x^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)が存在する。
証明を見る(プレミアム会員限定)

 

需要関数の性質

実は、上の命題中の条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)のもとではベルジュの最大値定理が要求する条件が満たされるため、同定理を利用することにより、需要関数についてもう少し踏み込んだことが言えます。

具体的には、まず、予算集合に関する条件\(\left( a\right) \)のもとでは、予算対応\(B\)は非空値かつコンパクト値をとるとともに、連続対応になることは以前に示した通りです。また、条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)のもとでは、ドブリューの定理など用いると、効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、それが連続関数かつ狭義準凹関数であることが保証されます。したがって、ベルジュの最大値定理などから、需要対応\(x^{\ast }\)が存在するとともに、それが連続関数になることが示されます。

命題(需要関数の性質)

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性、連続性、狭義凸性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、需要関数\(x^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)が存在して、それは連続関数になる。

証明を見る(プレミアム会員限定)

次回は需要関数の0次同次性について学びます。

次へ進む 質問・コメントを投稿する 演習問題(プレミアム会員限定)
Share on facebook
Share on twitter
Share on email
Share on print
< 前のページ

ワイズをさらに活用するための会員サービス

ユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。さらに、有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。
会員サービス

ディスカッションに参加しますか?

質問やコメントを投稿するためにはログインが必要です
ログイン

現在地
目次
アカウント
ログイン