ワルラスの需要対応
消費者の選好が消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されており、さらに、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する状況を想定します。また、消費者が直面する経済的制約が予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)として表現されているものとします。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が選択可能な消費ベクトルからなる集合は予算集合\begin{equation*}B(p,w)=\{x\in X\ |\ p\cdot x\leq w\}
\end{equation*}として定式化されるということです。価格ベクトルと所得\(\left(p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が解くべき効用最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{x\in X}\ u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad x\in B\left(
p,w\right)
\end{equation*}として定式化されます。一般に、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題には解は存在するとは限りませんし、解が存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そのような事情を踏まえた上で、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解であるような消費ベクトルからなる集合を\(X^{\ast }\left( p,w\right) \)で表記します。つまり、\begin{equation*}X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x\in B\left( p,w\right) \ |\ \forall
y\in B\left( p,w\right) :u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \right\}
\end{equation*}です。さらに、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して\(X^{\ast }\left( p,w\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*}X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を定義し、これを需要対応（demand correspondence）やワルラスの需要対応（Walrasian demand correspondence）などと呼びます。
\end{equation*}を定めるものとします。価格と所得\(\left( p,w\right)\in \mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題は、
$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{x} & x^{\frac{1}{2}} \\
s.t. & px\leq w \\
& x\geq 0\end{array}$$
となります。効用関数\(u\)は\(\mathbb{R} ^{+}\)上で狭義単調増加であるため、この問題の解は、\begin{equation*}x=\frac{w}{p}
\end{equation*}です。したがって、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} ^{+}\)がそれぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して定める集合は、\begin{equation*}X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ \frac{w}{p}\right\}
\end{equation*}です。
X=\left\{ 0,1,2,3\right\} \times \left\{ 0,1,2,3\right\}
\end{equation*}であり、効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+2x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。価格ベクトルと所得が、\begin{equation*}
\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left( 2,3,10\right)
\end{equation*}であるとき、そこでの効用最大化問題は、
$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( x_{1},x_{2}\right) } & x_{1}+2x_{2} \\
s.t. & 2x_{1}+3x_{2}\leq 10 \\
& x_{1}\in \left\{ 0,1,2,3\right\} \\
& x_{2}\in \left\{ 0,1,2,3\right\} \end{array}$$
となります。これを解くと、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( 0,3\right) ,\left( 2,2\right)
\end{equation*}という2つの解が得られるため（確認してください）、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)は、\begin{equation*}X^{\ast }\left( 2,3,10\right) =\left\{ \left( 0,3\right) ,\left( 2,2\right)
\right\}
\end{equation*}を満たします。また、価格ベクトルと所得の組が\begin{equation*}
\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left( 3,4,5\right)
\end{equation*}であるとき、そこでの効用最大化問題は、
$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( x_{1},x_{2}\right) } & x_{1}+2x_{2} \\
s.t. & 3x_{1}+4x_{2}\leq 5 \\
& x_{1}\in \left\{ 0,1,2,3\right\} \\
& x_{2}\in \left\{ 0,1,2,3\right\} \end{array}$$
となります。これを解くと、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( 0,1\right)
\end{equation*}という1つの解が得られるため（確認してください）、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)は、\begin{equation*}X^{\ast }\left( 3,4,5\right) =\left\{ \left( 0,1\right) \right\}
\end{equation*}を満たします。
需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が与えられたとき、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して\begin{equation*}X^{\ast }\left( p,w\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(X^{\ast }\)が\(\left( p,w\right) \)において非空値をとることは、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題に解が存在することを意味します。さらに、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:X^{\ast }\left( p,w\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(X^{\ast }\)が非空値をとることは、価格ベクトルと所得の水準に関わらず、効用最大化問題には必ず解が存在することを意味します。では、どのような条件のもとで\(X^{\ast }\)は非空値をとるのでしょうか。ベルジュの最大値定理を用いることにより以下の命題が導かれます。
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在する場合、\(\succsim \)が合理性の仮定を満たすことが保証されます。また、\(u\)が連続関数である場合には\(\succsim \)が連続性の仮定を満たすことが保証されます。したがって、選好関係\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u\)が存在する場合には上の命題が要求する条件がすべて満たされるため、需要対応が非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になることが保証されます。以下が具体例です。
\end{equation*}を定めるものとします。この効用関数\(u\)は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上で連続であることを示します。具体的には、消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだ上で、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)へ収束する\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \left( p_{n},q_{n}\right)\right\} \)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }p_{n}=x_{1} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }q_{n}=x_{2}
\end{eqnarray*}をともに満たす\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の点列\(\left\{ \left( p_{n},q_{n}\right)\right\} \)を任意に選ぶということです。そのような点列と効用関数\(u\)から新たな数列\(\left\{ u\left(p_{n},q_{n}\right) \right\} \)を構成したとき、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }u\left( p_{n},q_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( p_{n}^{\frac{1}{2}}q_{n}^{\frac{1}{3}}\right) \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }p_{n}^{\frac{1}{2}}\cdot \lim_{n\rightarrow
\infty }q_{n}^{\frac{1}{3}} \\
&=&\left( \lim_{n\rightarrow \infty }p_{n}\right) ^{\frac{1}{2}}\cdot \left(
\lim_{n\rightarrow \infty }q_{n}\right) ^{\frac{1}{3}} \\
&=&x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}}\quad \because \left( a\right)
,\left( b\right) \\
&=&u\left( x_{1},x_{2}\right) \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}を満たすため、\(u\)は点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)において連続です。\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の任意の点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \)において同様の議論が成立するため、\(u\)は連続関数であることが明らかになりました。したがって先の命題より、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になります。
ワルラスの需要関数
需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が非空値をとるとともに、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:\left\vert X^{\ast }\left( p,w\right) \right\vert =1
\end{equation*}を満たす場合には、価格と所得の水準に関わらず、効用最大化問題には必ず解が1つずつ存在することを意味します。この場合、集合\(X^{\ast }\left( p,w\right) \)とその唯一の要素を同一視することにより、需要対応\(X^{\ast }\)を\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)から\(X\)への写像とみなすことができます。そこで、改めてそのような写像を、\begin{equation*}x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X
\end{equation*}で表記し、これを需要関数（demand function）やワルラスの需要関数（Walrasian demand function）などと呼びます。定義より、需要対応\(X^{\ast }\)と需要関数\(x^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x^{\ast }\left( p,w\right) \right\}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
需要関数\(x^{\ast }\)がそれぞれの\(\left( p,w\right) \)に対して定める像\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)は消費ベクトルであるため、その成分を明示的に表現したい場合には、
\begin{equation*}
x^{\ast }\left( p,w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) \\
\vdots \\
x_{N}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{array}\right) \in X
\end{equation*}と表記します。多くの場合、これを行ベクトル\begin{equation*}
x^{\ast }\left( p,w\right) =\left( x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) ,\cdots
,x_{N}^{\ast }\left( p,w\right) \right) \in X
\end{equation*}として表記することもできるものとします。本来、列ベクトルと行ベクトルは数学的には互いに区別されるべき概念ですが、ここでは特に断りのない限り両者を同一視し、両者は交換可能であるものとします。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この場合、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} ^{+}\)がそれぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して定める集合は、\begin{equation*}X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ \frac{w}{p}\right\}
\end{equation*}です。この集合は1点集合であるため、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} ^{+}\)が存在して、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{w}{p}
\end{equation*}を定めます。
需要対応\(X^{\ast }\)が非空値をとるための条件は先に明らかにしました。では、どのような条件のもとで需要関数\(x^{\ast }\)が存在するのでしょうか。消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u\)が存在するとともに需要対応\(X^{\ast }\)が非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になることは先に指摘した通りです。加えて、選好\(\succsim \)が狭義凸性を満たすものとします。これは、\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が狭義準凹関数であることと必要十分です。\(u\)の狭義準凹性を利用すると、それぞれの\(\left(p,w\right) \)に対して効用最大化問題の解が一意的になることが示されるため（演習問題）、需要対応\(X^{\ast }\)がそれぞれの\(\left( p,w\right) \)に対して定める集合が1点集合であること、すなわち需要関数\(x^{\ast }\)が存在することが保証されます。加えて、需要対応\(X^{\ast }\)が上半連続であることと需要関数\(x^{\ast }\)が連続であることは必要十分であるため（演習問題）、需要関数\(x^{\ast }\)が連続であることも保証されます。
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在する場合には\(\succsim \)は合理性を満たします。また、\(u\)が連続関数である場合には\(\succsim \)は連続性を満たし、\(u\)が狭義準凹関数である場合には\(\succsim \)は狭義凸性を満たします。したがって、選好関係\(\succsim \)を表す連続かつ狭義準凹な効用関数\(u\)が存在する場合には上の命題が要求する条件がすべて満たされるため、この場合にも連続な需要関数\(x^{\ast }\)が存在することが保証されます。なお、狭義凹関数は狭義準凹であることが保証されるため（逆は成り立つとは限らない）、効用関数が連続な狭義凹関数である場合にも上の命題が要求する条件が満たされます。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(u\)は連続関数です。消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の境界点\(x\)において\(u\left( x\right) =0\)である一方で内部\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)の点\(x\)において\(u\left(x\right) >0\)です。加えて、\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上において\(C^{2}\)級であるとともに、点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)におけるヘッセ行列は、\begin{equation*}H_{u}\left( x_{1},x_{2}\right) =\begin{pmatrix}
-\frac{1}{4}x_{1}^{-\frac{3}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}} & \frac{1}{6}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{2}{3}} \\
\frac{1}{6}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{2}{3}} & -\frac{2}{9}x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{5}{3}}\end{pmatrix}\end{equation*}であり、首座小行列式の値について、\begin{eqnarray*}
-\det \left( A_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) \right) &=&-\det \left( -\frac{1}{4}x_{1}^{-\frac{3}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}}\right) =\frac{1}{4}x_{1}^{-\frac{3}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}}>0 \\
\det \left( A_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) \right) &=&\det
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{4}x_{1}^{-\frac{3}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}} & \frac{1}{6}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{2}{3}} \\
\frac{1}{6}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{2}{3}} & -\frac{2}{9}x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{5}{3}}\end{pmatrix}=\frac{1}{36x_{1}x_{2}^{\frac{4}{3}}}>0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上で狭義凹関数です。したがって先の命題より連続な需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}^{2}\)が存在します。需要関数の具体的な導出方法については後ほど解説しますが、結論だけ述べると、需要関数\(x^{\ast }\)はそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{3w}{5p_{1}} \\
\frac{2w}{5p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。それぞれの商品の需要関数\(x_{1}^{\ast },x_{2}^{\ast }\)は多変数の有理関数であるため連続であり、したがって需要関数\(x^{\ast }\)は連続ですが、これは先の命題の主張と整合的です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、連続な需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}^{2}\)が存在することを示してください。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha_{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)です。このような\(u\)をコブ・ダグラス型効用関数と呼びます。消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数によって表される場合、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題には解が必ず存在することを示してください。
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\alpha _{n}>0\ \left(n=1,\cdots ,N\right) \)です。このような\(u\)をレオンチェフ型効用関数と呼びます。消費者の選好がレオンチェフ型効用関数によって表される場合、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題には解が必ず存在することを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\alpha _{n}>0\ \left(n=1,\cdots ,N\right) \)です。このような\(u\)を線型効用関数と呼びます。消費者の選好が線型効用関数によって表される場合、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題には解が必ず存在することを示してください。
\end{equation*}と表されるものとします。このような\(v\)を商品\(i\)に関する準線型効用関数と呼びます。\(v\)は\(\mathbb{R} _{+}^{N-1}\)上で連続であるものとします。消費者の選好が準線型効用関数によって表される場合、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題には解が必ず存在することを示してください。
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