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CONSUMER THEORY

ドブリューの定理(効用関数の存在条件)

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一般の消費集合上に定義された選好関係を表す効用関数の候補

復習になりますが、消費集合が可算集合\(X=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3},\cdots \right\} \subset \mathbb{R}^{n}\)であるとともに\(X\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性を満たす場合には、\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在します。具体的には、それぞれの\(x_{n}\in \)に対して、\begin{equation}
u\left( x_{n}\right) =\sum_{m\in \mathbb{N} \ \text{s.t.}\ x_{m}\in L\left( x_{n}\right) }\left( \frac{1}{2}\right) ^{m}
\quad \cdots (1)
\end{equation}を定める関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)はそのような関数の一例です。では、可算集合とは限らない一般的な消費集合上に定義された選好関係についても、それを表現する効用関数が存在することを保証できるのでしょうか。

可算集合とは限らない消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{n}\)上に定義された合理的な選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、\(X\)の可算な部分集合\(Y\)を任意にとれば、\(\succsim \)は\(Y\)上においても合理性を満たすため、\(Y\)上においてこの\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:Y\rightarrow \mathbb{R}\)が存在します。具体的には\(\left( 1\right) \)がそのような関数の一例です。その上で、\(Y\)上に定義されたこの関数\(u\)の定義域を何らかの方法を通じて\(X\)へ拡張することにより\(X\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数を得られるのであれば目標は達成されます。以上の方針を踏まえた場合に問題になるのは以下の2点です。1つ目は\(X\)の可算な部分集合\(Y\)をどのように選ぶべきかという点であり、2つ目は\(Y\)上の効用関数の定義域をどのように\(X\)へ拡張すべきかという点です。

例(一般の集合上に定義された効用関数)
消費集合が\(\mathbb{R} \)上の有界な閉区間\(X=\left[ 0,1\right] \)であるものとします。つまり、1財モデルにおいて消費者はその商品を\(0\)以上\(1\)以下の任意の数量だけ消費できるということです。この消費集合\(\left[ 0,1\right] \)は明らかに可算集合ではありません。消費集合\(\left[ 0,1\right] \)の部分集合\begin{equation*}
Y=\left\{ x_{n}=\frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}に注目します。\(Y\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性を満たすとともに、消費量がより多いほどより望ましいという好みの体系を表しているものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall n,m\in \mathbb{N} :\left( x_{n}\succsim x_{m}\Leftrightarrow x_{n}\geq x_{m}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(Y\)は可算集合であるため効用関数\(v:Y\rightarrow \mathbb{R}\)が存在します。具体的には、それぞれの\(x_{n}\in Y\)に対して、\begin{equation*}
v\left( x_{n}\right) =\sum_{m\in \mathbb{N} \ \text{s.t.}\ x_{m}\in L\left( x_{n}\right) }\left( \frac{1}{2}\right) ^{m}=\frac{1}{2^{n-1}}
\end{equation*}を定める関数\(v:Y\rightarrow \mathbb{R}\)はそのような関数です。実際、消費ベクトル\(x_{n},x_{m}\in Y\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x_{m}\succsim x_{n}\Leftrightarrow v\left( x_{n}\right) \geq v\left(
x_{m}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます(確認してください)。この関数\(v\)の定義域を\(Y\)から\(X\)へ拡張したいところですが、どのように拡張するのが自然でしょうか。消費ベクトル\(x\in X\)が与えられたとき、\(x\)より望ましくない\(Y\)の要素をすべて特定できますが、\(v\)がそれらの\(Y\)の要素に対して定める効用の中での最大値を\(x\)の効用とするのは自然な考え方です。つまり、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x\right) =\max \left\{ v\left( y\right) \ |\ y\in Y\wedge x\succ
y\right\}
\end{equation*}を定める関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)を導入するということです。この関数\(u\)は\(Y\)上の選好を表す効用関数になっているため(確認してください)\(u\)は\(v\)の拡張になっていますが、\(u\)は\(X\)上の選好を表す効用関数にはなっていません。例えば、\(x_{1},x_{2}\in Y\)に関しては\(x_{1}\succ x_{2}\)が成り立ちますが、これに対して、\begin{equation*}
x_{1}\succ x\succ x^{\prime }\succ x_{2}
\end{equation*}を満たす消費ベクトル\(x,x^{\prime }\in X\)をとることができる一方で、\(u\)の定義より、\begin{eqnarray*}
u\left( x\right) &=&\max \left\{ v\left( y\right) \ |\ y\in Y\wedge x\succ
y\right\} =v\left( x_{2}\right) \\
u\left( x^{\prime }\right) &=&\max \left\{ v\left( y\right) \ |\ y\in
Y\wedge x^{\prime }\succ y\right\} =v\left( x_{2}\right)
\end{eqnarray*}すなわち\(u\left( x\right) =u\left( x^{\prime }\right) \)が成り立ちますが、これは\(x\succ x^{\prime }\)と整合的ではありません。したがって\(u\)は\(X\)上において効用関数ではありません。

可算集合\(Y\)上に定義された効用関数\(v\)の定義域を自然な形で一般の集合\(X\)上へ拡張したにも関わらず、そうして得られる関数\(u\)は必ずしも\(X\)上の効用関数にならないことを例を通じて確認しました。なぜこのような問題が生じるのでしょうか。仮に、上の例において、\begin{equation*}
x_{1}\succ x\succ x_{i}\succ x^{\prime }\succ x_{2}
\end{equation*}を満たす\(x_{i}\in Y\)が存在する場合には、\(u\)の定義より、\begin{eqnarray*}
u\left( x\right) &=&\max \left\{ v\left( y\right) \ |\ y\in Y\wedge x\succ
y\right\} =v\left( x_{i}\right) \\
u\left( x^{\prime }\right) &=&\max \left\{ v\left( y\right) \ |\ y\in
Y\wedge x^{\prime }\succ y\right\} =v\left( x_{2}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、\(v\)は\(Y\)上の効用関数であるため、\(Y\)の要素である\(x_{i}\)と\(x_{2}\)について\(x_{i}\succ x_{2}\)であることは\(v\left( x_{i}\right) >v\left( x_{2}\right) \)と必要十分です。すると\(u\left( x\right) >u\left( x^{\prime }\right) \)が成り立ち、これは\(x\succ x^{\prime }\)であることと整合的です。以上の議論を踏まえると、\(x\succ x^{\prime }\)を満たす消費ベクトル\(x,x^{\prime }\in X\)を任意に選んだとき、それらに挟まれる\(Y\)の要素、すなわち\(x\succ y\succ x^{\prime }\)を満たす\(y\in Y\)が存在することを保証できれば、先のような問題を回避できそうです。言い換えると、そのような性質を満たす\(X\)の可算部分集合\(Y\)をとることができれば、先のように定義された関数\(u\)が\(X\)上の効用関数になることが予想されます。\(X\)の可算部分集合\(Y\)が満たすべきこのような性質は\(Y\)が\(X\)上で稠密であることと深い関係があります。以降では、\(X\)上で稠密な可算部分集合\(Y\)が必ず存在することを示した上で、\(Y\)上に定義された効用関数\(v\)の定義域を適切な形で\(X\)に拡張することにより、その新たな関数が\(X\)上の効用関数になることを示します。

 

消費集合上で稠密な可算部分集合

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)の要素であるすべての消費ベクトルが無差別である場合、すなわち、\begin{equation*}
\forall x,y\in X:x\sim y
\end{equation*}が成り立つ場合には、すべての消費ベクトルに対して同じ効用を割り当てる関数を導入すれば、すなわち、\begin{equation*}
\forall x,y\in X:u\left( x\right) =u\left( y\right)
\end{equation*}を満たす関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)を導入すれば、これは明らかに\(\succsim \)を表す効用関数になります。そこで以下では無差別ではない複数の消費ベクトルを要素として持つ消費集合\(X\)を分析対象とします。

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすものとします。\(\succsim \)の連続性より、消費ベクトル\(x\in X\)を任意に選んだとき、\(x\)の狭義方位集合\begin{eqnarray*}
U_{s}\left( x\right) &=&\left\{ y\in X\ |\ y\succ x\right\} \\
L_{s}\left( x\right) &=&\left\{ y\in X\ |\ x\succ y\right\}
\end{eqnarray*}はともに開集合になります。仮定より消費集合\(X\)には無差別ではない複数の消費ベクトルが含まれます。しかも\(\succsim \)は完備性を満たすため、消費ベクトル\(x\in X\)を任意に選んだとき、それに対して\(y\succ x\)か\(x\succ y\)のどちらか一方を満たす消費ベクトル\(y\in X\)が存在します。\(y\succ x\)であることは\(x\in L_{s}\left( y\right) \)であることを意味しますが、\(L_{s}\left( y\right) \)は開集合であるため、\(L_{s}\left( y\right) \)の部分集合であるような\(x\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)が存在します。\(L_{s}\left( y\right) \)は\(X\)の部分集合であるため、この近傍\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)は\(X\)の部分集合でもあります。\(x\succ y\)の場合にも同様の議論が成立するため、結局、\(X\)の要素\(x\)を任意に選んだとき、\(X\)の部分集合であるような\(x\)の近傍が存在することになりますが、これは\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることを意味します。

以上を踏まえた上で、共通部分\(X\cap \mathbb{Q} ^{n}\)について考えます。共通部分の定義より\(X\cap \mathbb{Q} ^{n}\)は\(X\)の部分集合です。\(\mathbb{Q} ^{n}\)は可算集合であるため、それと\(X\)の共通部分として定義される\(X\cap \mathbb{Q} ^{n}\)もまた可算集合です。しかも\(X\cap \mathbb{Q} ^{n}\)は\(X\)上で稠密です。実際、点\(x\in X\)を任意にとったとき、有理数の稠密性より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists q\in \mathbb{Q} ^{n}:q\in N_{\varepsilon }\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。さらに先に示したように\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることから、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( x\right) \subset X
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(q\in X\)を満たす\(q\in \mathbb{Q} ^{n}\)が存在することが明らかになりました。以上より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( x\right) \cap X\cap \mathbb{Q} ^{n}\not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。\(X\)の任意の点\(x\)について同様の議論が成立するため、\(X\cap \mathbb{Q} ^{n}\)は\(X\)上で稠密であることが示されました。

命題(消費集合の稠密な可算部分集合)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすならば、\(X\)上で稠密であるとともに可算集合であるような\(X\)の部分集合が存在する。
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消費集合\(X\)上で稠密な\(X\)の可算部分集合\(Y\)が存在することを確認しましたが、先に例を通じて確認したように、\(Y\)上の効用関数\(u\)の定義域を\(X\)に拡張したときに\(u\)が\(X\)上の効用関数になるためには、\(x\succ x^{\prime }\)を満たす消費ベクトル\(x,x^{\prime }\in X\)を任意に選んだとき、それらに挟まれる\(Y\)の要素、すなわち\(x\succ y\succ x^{\prime }\)を満たす\(y\in Y\)が存在することを保証する必要があります。\(Y\)がこのような性質を満たすことを保証するためには、選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすということに加えて、消費集合\(X\)が凸集合であることを仮定する必要があります。まず、以上の仮定のもとで以下の補題が示されます(証明は演習問題にします)。

命題(凸性の含意)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)が凸集合であり、\(X\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には、\begin{equation*}
\forall x,y\in X:\left( x\succ y\Rightarrow \exists z\in X:x\succ z\succ
y\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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先に示したように、消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には、\(X\)上で稠密であるとともに可算集合であるような\(X\)の部分集合が存在します。稠密の定義より、\begin{equation*}
\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( x\right) \cap
Y\not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。さらに消費集合\(X\)が凸集合であるならば、上の命題より、\begin{equation*}
\forall x,y\in X:\left( x\succ y\Rightarrow \exists z\in X:x\succ z\succ
y\right)
\end{equation*}が成り立ちます。狭義の方位集合を用いてこれを言い換えると、\begin{equation*}
\forall x,y\in X:\left( x\succ y\Rightarrow \exists z\in X:z\in L_{s}\left(
x\right) \cap U_{s}\left( y\right) \right)
\end{equation*}となります。\(\succsim \)の連続性より\(L_{s}\left( x\right) \)と\(U_{s}\left( y\right) \)はともに開集合です。開集合どうしの共通部分は開集合であるため\(L_{s}\left( x\right) \cap U_{s}\left( y\right) \)は開集合です。したがって、\(z\)がその要素であるとき、\(z\)を中心とする近傍の中に\(L_{s}\left( x\right) \cap U_{s}\left( y\right) \)の要素であるようなものが存在します。つまり、\begin{equation}
\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( z\right) \subset L_{s}\left(
x\right) \cap U_{s}\left( y\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。\(z\in X\)であるため、\(Y\)の稠密性より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( z\right) \cap Y\not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。これと\(\left( 1\right) \)より、\(L_{s}\left( x\right) \cap U_{s}\left( y\right) \)の要素である\(Y\)の点が存在することが明らかになりました。つまり、\begin{equation*}
\exists y\in Y:x\succ z\succ y
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(凸性と稠密性の含意)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)が凸集合であり、\(X\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすならば、\(X\)上で稠密であるとともに可算集合であるような\(X\)の部分集合が存在するとともに、\begin{equation*}
\forall x,y\in X:\left( x\succ y\Rightarrow \exists z\in Y:x\succ z\succ
y\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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ドブリューの定理

以上を踏まえた上で、\(\succsim \)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数の候補となるような関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)を以下のように定義します。消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすものとします。すると上の命題より、\(X\)上で稠密かつ可算集合であるような\(X\)の部分集合\(Y\)が存在します。一般に、可算集合上に定義された選好関係が合理性と連続性を満たす場合にはその選好を表す効用関数が存在するため、可算集合\(Y\)上の選好\(\succsim \)を表す効用関数が存在します。具体的には、可算集合\(Y=\left\{ y_{1},y_{2},y_{3},\cdots \right\} \)のそれぞれの要素\(y_{n}\in Y\)に対して、\begin{equation*}
v\left( y_{n}\right) =\sum_{m\in \mathbb{N} \ \text{s.t.}\ y_{m}\in L\left( y_{n}\right) }\left( \frac{1}{2}\right) ^{m}
\end{equation*}を定める関数\(v:Y\rightarrow \mathbb{R}\)はそのような関数です。以上を踏まえた上で、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x\right) =\sup \left\{ v\left( y\right) \ |\ y\in Y\wedge x\succ
y\right\}
\end{equation*}を定める関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)を定義します。

先の例とは異なり、なぜここでは関数\(u\)を定義する際に最大値\(\max \)ではなく上限\(\sup \)を採用したのでしょうか。その理由を理解するために、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation}
u\left( x\right) =\max \left\{ v\left( y\right) \ |\ y\in Y\wedge x\succ
y\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとして\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)を定義した際に生じ得る問題について説明します。このような定義のもと、ある消費ベクトル\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x\right) =v\left( y_{n}\right)
\end{equation*}と定まったものとします。\(y_{n}\in Y\)です。つまり、\(x\)より望ましくない\(Y\)上の消費ベクトルの中で最も望ましいものが\(y_{n}\)であるということです。すると先の命題より、この\(x\in X\)と\(y_{n}\in Y\)に対して\(x\succ y_{m}\succ y_{n}\)を満たす\(y_{m}\in Y\)が必ず存在します。\(v\)は\(Y\)上の効用関数であるためこのとき\(v\left( y_{m}\right) >v\left( y_{n}\right) \)が成り立ちます。つまり、\(x\)より望ましくなく、なおかつ\(y_{n}\)よりの望ましい\(Y\)上の消費ベクトル\(y_{m}\)が存在することになり矛盾です。つまり、\(Y\)が\(X\)上で稠密であることを踏まえると、関数\(u\)を最大値\(\max \)を用いて\(\left( 1\right) \)のように定義したのでは\(u\left( x\right) \)の値が存在しない状況が起こり得ます。一方、\(v\left( y\right) \)がとり得る値の範囲は有界であるため、\(u\)の定義として最大値\(\max \)ではなく上限\(\sup \)を採用すれば\(u\left( x\right) \)の値が常に存在することを保証できます。

最後に、上のように定義された関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が\(X\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数であることを証明します。まず、\(x\sim y\)を満たす消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選びます。この場合、任意の消費ベクトル\(z\in X\)に対して、\begin{equation}
x\succ z\Leftrightarrow y\succ z \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立つため、\begin{eqnarray*}
u\left( x\right) &=&\sup \left\{ v\left( y_{n}\right) \ |\ y_{n}\in Y\wedge
x\succ y_{n}\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\sup \left\{ v\left( y_{n}\right) \ |\ y_{n}\in Y\wedge y\succ
y_{n}\right\} \quad \because \left( 1\right) \\
&=&u\left( y\right) \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
u\left( x\right) =u\left( y\right)
\end{equation*}となります。\(u\)および\(v\)の定義より逆も成立します。続いて、\(x\succ y\)を満たす消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選びます。この場合、先の命題を繰り返し適用することにより、\begin{equation}
\exists z_{1},z_{2}\in Y:x\succ z_{1}\succ z_{2}\succ y \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
u\left( x\right) &=&\sup \left\{ v\left( y_{n}\right) \ |\ y_{n}\in Y\wedge
x\succ y_{n}\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&\geq &\sup \left\{ v\left( y_{n}\right) \ |\ y_{n}\in Y\wedge z_{1}\succ
y_{n}\right\} \quad \because \left( 2\right) \text{と}v\text{の定義} \\
&>&\sup \left\{ v\left( y_{n}\right) \ |\ y_{n}\in Y\wedge z_{2}\succ
y_{n}\right\} \quad \because \left( 2\right) \text{と}v\text{の定義} \\
&\geq &\sup \left\{ v\left( y_{n}\right) \ |\ y_{n}\in Y\wedge y\succ
y_{n}\right\} \quad \because \left( 2\right) \text{と}v\text{の定義} \\
&=&u\left( y\right) \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
u\left( x\right) \geq u\left( y\right)
\end{equation*}となります。\(u\)および\(v\)の定義より逆も成立します。以上で証明は完了しました。

命題(ドブリューの定理)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)が凸集合であり、\(X\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすならば、\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在する。
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次回から効用最大化問題について解説します。

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DISCUSSION

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