選好関係を表す効用関数が存在する条件を、消費集合が有限である場合、可算である場合、非可算である場合のそれぞれについて解説します。特に、ドブリューの定理が重要です。
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有限な消費集合上の効用関数

一般に、選好関係を表現する効用関数は存在するとは限りません。では、効用関数はどのような条件のもとで存在することが保証されるのでしょうか。

まず、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)が有限集合であるとともに、選好関係\(\succsim \)が合理性を満たすものとします。このとき、関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}
u\left( x\right) =\#L\left( x\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(L\left( x\right) \)は消費ベクトル\(x\)の劣位集合であり、\begin{equation*}
L\left( x\right) =\{y\in X\ |\ x\succsim y\}
\end{equation*}と定義されます。\(\#L\left( x\right) \)は集合\(L\left( x\right) \)に属する要素の個数です。\(X\)が有限集合であることから、その部分集合\(L\left( x\right) \)もまた有限集合です。したがって、\(\#L\left( x\right) \)は自然数となります。以上のように定義された関数\(u\)は、\(\succsim \)を表す効用関数であることが示されます。

命題(有限集合上の効用関数)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\text{は有限集合である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。
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可算な消費集合上の効用関数

消費集合が可算集合である場合にも同様の命題が成立します。

命題(可算集合上の効用関数)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\text{は可算集合である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。
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ドブリューの定理

消費集合が可算集合である場合には、合理的な選好関係を表現する効用関数が常に存在することが明らかになりました。では、可算集合とは限らないより一般的な消費集合上に定義された選好関係について、それを表現する効用関数の存在を保証できるでしょうか。

消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとき(正確には、消費集合が\(\mathbb{R} ^{N}\)上の凸集合であるとき)、選好関係\(\succsim \)が合理性に加えて連続性を満たす場合には、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)の存在を保証できます。これをドブリューの定理(Debreu’s theorem)と呼びます。

一般に、連続な効用関数によって表現される選好関係は連続性を満たしますが、その逆は成立しません。つまり、連続性を満たす選好関係を表現する効用関数は連続関数であるとは限りません。しかし、ドブリューの定理は、連続性を満たす選好関係を表現する連続な効用関数の存在も保証します。

命題(ドブリューの定理)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X=\mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性と連続性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。
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消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)は合理性を満たすものとします。このとき、\(\succsim \)が連続性を満たすならば、ドブリューの定理より、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u\)が存在します。逆に、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u\)が存在するならば、\(\succsim \)は連続性を満たします。したがって、以下の命題を得ます。

命題(連続性の重要性)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X=\mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合、\(\succsim \)が連続性を満たすことは、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するための必要十分条件である。
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上の命題は、連続な効用関数の存在を保証する上で選好関係の連続性が重要な役割を果たすことを示唆しています。ただ、効用関数が連続であることを要求しなくてもよいのであれば、選好の連続性とは異なる仮定のもとで、選好関係の存在を保証できる可能性は排除されていません。

例えば、選好の単調性はそのような条件になり得るでしょうか。つまり、消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)は合理性と単調性を満たす場合には、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)の存在を保証できるでしょうか。ただ、\(u\)は連続関数である必要はありません。

復習になりますが、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上に定義された選好関係\(\succsim \)が辞書式選好である場合、\(\succsim \)は合理性と強単調性を満たしますが、連続性を満たしません。また、一般に、辞書式選好を表現する効用関数は存在しません。したがって、選好関係に関する単調性は、効用関数の存在を保証する上で十分な条件であるとは言えません。

次回は限界効用と呼ばれる概念について解説します。

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