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CONSUMER THEORY

支出最小化問題

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支出最小化問題

これまで考えてきた選好最大化(効用最大化問題)では、消費者は経済的な制約に直面する中で、自身の選好に照らし合わせて最も望ましい消費ベクトルを選ぶものと仮定しました。その上で、消費者が直面する意思決定問題を、予算集合に属する消費ベクトルの中から自身の選好に照らし合わせて最も望ましいものを特定する最適化問題として定式化しました。具体的には、消費者の評価体系が消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現され、消費者が直面する経済的制約が予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)として表現されているとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が解くべき選好最大化問題は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x^{\ast }\in B(p,w) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in B(p,w):x^{\ast }\succsim x
\end{eqnarray*}をともに満たす消費ベクトル\(x^{\ast }\in X\)を特定することとして定式化されます。本節では異なる角度から消費者の意思決定を考えます。

具体的には、まず、消費者にとって目標となる消費ベクトル\(x\in X\)を任意に選びます。つまり、消費者は自身の選好に照らし合わせて\(x\)以上に望ましい消費ベクトルを選択しようとしている状況を想定するということです。プライステイカーの仮定より価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)は外生的に与えられるため、消費者が何らかの消費ベクトル\(y\in X\)を選ぶと支出額が\(p\cdot y\)として定まります。以上の状況のもとで、消費者は\(x\)以上に望ましく、なおかつ支出\(p\cdot y\)を最小化するような消費ベクトル\(y\in X\)を選ぶものと仮定します。消費者の行動原理に関するこのような仮定を支出最小化(expenditure minimization)の仮定と呼びます。

消費者の評価体系が消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されているものとします。消費者にとっての目標となる消費ベクトル\(x\in X\)が与えられたとき、\(x\)以上の望ましい消費ベクトル集合は\(x\)の上方位集合\begin{equation*}
U\left( x\right) =\left\{ y\in X\ |\ y\succsim x\right\}
\end{equation*}として表現されます。支出最小化の仮定を認めるとき、価格ベクトルと目標となる消費ベクトルの組\(\left( p,x\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times X\)に直面した消費者が解くべき問題は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x^{\ast }\in U\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in U\left( x\right) :p\cdot y\geq p\cdot
x^{\ast }
\end{eqnarray*}をともに満たす消費ベクトル\(x^{\ast }\in X\)を特定することとして定式化されます。これを\(\left( p,x\right) \)のもとでの支出最小化問題(expenditure minimization problem)と呼びます。条件\(\left( a\right) \)は、支出最小化問題の解\(x^{\ast }\)が目標となる消費ベクトル\(x\)以上に望ましい消費ベクトルであることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は、支出最小化問題の解\(x^{\ast }\)は、目標となる消費ベクトル\(x\)以上に望ましい消費ベクトルの中でも支出を最小化するものであることを意味しますが、これを支出最小化(expenditure minimization)の条件と呼びます。したがって、支出最小化問題とは、与えられた価格ベクトル\(p\)と目標となる消費ベクトル\(x\)のもとで、\(x\)以上に望ましい消費ベクトルの中から支出を最小化するような消費ベクトルを特定することを意味します。

 

効用関数が存在する場合の支出最小化問題

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、効用\(u\left( x\right) \)が取り得る値の範囲、すなわち\(u\)の値域は、\begin{equation*}
u\left( X\right) =\{u\left( x\right) \in
\mathbb{R} \ |\ x\in X\}
\end{equation*}となります。支出最小化問題において消費者の目標となる消費ベクトル\(x\in X\)を設定することとは、そこから得られる効用\(u\left( x\right) \in u\left( X\right) \)を設定することと同義ですが、さらにこれは、\(u\)の値域\(U\left( X\right) \)に属する何らかの効用水準\(v\)を目標として設定することと同義です。以上を踏まえると、選好\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)が存在する場合の支出最小化問題は、価格ベクトルと目標となる効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times u\left( X\right) \)に直面した消費者が、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ u\left( x^{\ast }\right) \geq v \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in X:\left[ u\left( x\right) \geq v\Rightarrow
p\cdot x\geq p\cdot x^{\ast }\right] \end{eqnarray*}をともに満たす消費ベクトル\(x^{\ast }\in X\)を特定することとして言い換え可能です。条件\(\left( a\right) \)は、支出最小化問題の解\(x^{\ast }\)がもたらす効用が目標の効用\(v\)以上であることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は、支出最小化問題の解\(x^{\ast }\)は、目標の効用\(v\)以上の効用をもたらす消費ベクトルの中でも支出を最小化するものであることを意味します。つまり\(\left( b\right) \)は支出最小化の条件です。

価格ベクトルと目標の効用の組\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題は、以下のような制約付き最小化問題\begin{equation*}
\min_{x\in X}\ p\cdot x\quad \text{s.t.}\quad u\left( x\right) \geq v
\end{equation*}として表現できます。特に、消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)である場合には、
$$\begin{array}{cl}
\min\limits_{x} & p\cdot x \\
s.t. & u\left( x\right) \geq v \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0\end{array}$$
となります。

例(支出最小化問題)
消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であり、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの消費ベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、価格ベクトルと目標効用の組\(\left( p_{x},p_{y},v\right) \)のもとでの支出最小化問題は、
$$\begin{array}{cl}
\min\limits_{\left( x,y\right) } & p_{x}x+p_{y}y \\
s.t. & xy\geq v \\
& x\geq 0 \\
& y\geq 0\end{array}$$となります。例えば、\(\left( p_{x},p_{y},v\right) =\left( 1,2,5\right) \)の場合には、
$$\begin{array}{cl}
\min\limits_{\left( x,y\right) } & x+2y \\
s.t. & xy\geq 5 \\
& x\geq 0 \\
& y\geq 0\end{array}$$となります。
例(支出最小化問題)
消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{3}\)であり、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの消費ベクトル\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x,y,z\right) =xy+z
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、価格ベクトルと目標効用の組\(\left( p_{x},p_{y},p_{z},v\right) \)のもとでの支出最小化問題は、
$$\begin{array}{cl}
\min\limits_{\left( x,y,z\right) } & p_{x}x+p_{y}y+p_{z}z \\
s.t. & xy+z\geq v \\
& x\geq 0 \\
& y\geq 0 \\
& z\geq 0\end{array}$$となります。例えば、\(\left( p_{x},p_{y},p_{z},v\right) =\left( 1,2,1,10\right) \)の場合には、
$$\begin{array}{cl}
\min\limits_{\left( x,y,z\right) } & x+2y+z \\
s.t. & xy+z\geq 10 \\
& x\geq 0 \\
& y\geq 0 \\
& z\geq 0\end{array}$$となります。

 

選好関係を用いた支出最小化問題と効用関数を用いた支出最小化問題の関係

繰り返しになりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、価格ベクトルと目標となる消費ベクトルの組\(\left( p,x\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times X\)のもとでの支出最小化問題とは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x^{\ast }\in U\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in U\left( x\right) :p\cdot y\geq p\cdot
x^{\ast }
\end{eqnarray*}をともに満たす消費ベクトル\(x^{\ast }\in X\)を特定することを意味します。選好\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、先の\(\left( p,x\right) \)のもとでの支出最小化問題とは、\(\left( p,u\left( x\right) \right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\left( X\right) \)のもとでの支出最小化問題、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ u\left( x^{\ast }\right) \geq u\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in X:\left[ u\left( y\right) \geq u\left(
x\right) \Rightarrow p\cdot y\geq p\cdot x^{\ast }\right] \end{eqnarray*}をともに満たす消費ベクトル\(x^{\ast }\in X\)を特定することを意味します。一般に、選好関係を表現する効用関数が存在するとき、それは一意的に定まりません。したがって、\(\left( p,x\right) \)のもとでの支出最小化問題が与えられたとき、それに対応する\(\left( p,u\left( x\right) \right) \)のもとでの支出最小化問題は無数に存在します。ただ、効用関数の定義より、任意の\(x,y\in X\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\succsim y
\end{equation*}という関係が成り立つため、ある消費ベクトル\(x^{\ast }\in X\)が\(\left( p,x\right) \)のもとでの支出最小化問題の解であることと、\(x^{\ast }\)が\(\left( p,u\left( x\right) \right) \)のもとでの支出最小化問題の解であることは必要十分になります。したがって、選好関係を表現する効用関数が存在する場合には、\(\left( p,x\right) \)のもとでの支出最小化問題の代わりに\(\left( p,u\left( x\right) \right) \)のもとでの支出最小化問題について考えても得られる結果は同じであることが保証されます。

命題(選好関係を用いた支出最小化問題と効用関数を用いた支出最小化問題の関係)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとする。価格ベクトルと目標となる消費ベクトルの組\(\left( p,x\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times X\)を任意に選んだとき、消費ベクトル\(x^{\ast }\in X\)が\(\left( p,x\right) \)のもとでの支出最小化問題の解であることは、\(x^{\ast }\)が\(\left( p,u\left( x\right) \right) \)のもとでの支出最小化問題の解であるための必要十分条件である。
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効用関数を用いて表現される支出最小化問題は選好関係を用いて表現される支出最小化問題よりも数学的に扱いやすい形をしているため、選好関係を表現する効用関数が存在する場合には、\(\left( p,x\right) \)のもとでの支出最小化問題を\(\left( p,u\left( x\right) \right) \)のもとでの支出最小化問題に読み替えることにより、消費者が直面する最適化問題をより簡単に解くことができます。

 

支出最小化問題の自明な解

消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)である場合には\(0\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が成り立つため、消費者は商品を消費しないという選択が可能です。支出最小化問題において目標として設定する消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が、\begin{equation*}
0\succ x
\end{equation*}を満たすものとします。価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)が与えられたとき、\(x\not=0\)かつ\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)より、\(x\)を実現するために必要な支出\(p\cdot x\)は正の実数である一方、それより望ましい消費ベクトル\(0\)を支出ゼロで実現できるため、以上の\(\left( p,x\right) \)のもとでの支出最小化問題の解は明らかに\(0\)です。こうした事情もあり、\begin{equation*}
x\succsim 0
\end{equation*}を満たすような\(\left( p,x\right) \)に関してのみ支出最小化問題を考えれば十分です。

効用関数を用いて表現された支出最小化問題についても同様の議論が成立します。つまり、支出最小化問題において目標として設定する効用水準\(v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)が、\begin{equation*}
u\left( 0\right) >v
\end{equation*}を満たすものとします。価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)が与えられたとき、\(v\)を実現するために必要な支出は正の実数である一方、それより大きい効用を支出ゼロで実現できるため、以上の\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解は明らかに\(0\)です。こうした事情もあり、\begin{equation*}
v\geq u\left( 0\right)
\end{equation*}を満たすような\(\left( p,v\right) \)に関してのみ支出最小化問題を考えれば十分です。

例(支出最小化問題の自明な解)
消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であり、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの消費ベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x,y\right) =xy+1
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
u\left( 0,0\right) =1
\end{equation*}であるため、先の議論により、\(p_{x}>0\)かつ\(p_{y}>0\)かつ\(v\geq 1\)を満たす\(\left( p_{x},p_{y},v\right) \)に関してのみ支出最小化問題を考えれば十分です。なぜなら、\(v<1\)を満たす\(\left( p_{x},p_{y},v\right) \)のもとでの支出最小化問題は明らかに\(\left( 0,0\right) \)だからです。

次回から支出最小化問題の制約条件について議論を深めます。

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