価格ベクトルと目標となる効用水準が与えられたとき、目標水準以上の効用をもたらす消費ベクトルの中から支出を最小化するようなものを特定することを支出最小化問題と呼びます。
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支出最小化問題

これまで考えてきた選好最大化問題もしくは効用最大化問題とは、外生的に与えられる価格ベクトルと所得から決定される予算制約のもとで、消費者にとって最も望ましい消費ベクトルを特定するという最適化問題でした。本節では異なる角度から消費者の意思決定について考えます。

消費者にとって目標となる消費ベクトル\(x\)を適当に定めます。つまり、消費者は\(x\)以上に望ましい消費ベクトルを選択しようとしている状況を想定するということです。プライステイカーの仮定より価格ベクトル\(p\)は外生的に与えられるため、消費者が何らかの消費ベクトル\(y\)を選ぶと支出額が\(p\cdot y\)として定まります。以上の状況のもとで、消費者は\(x\)以上に望ましく、なおかつ、支出\(p\cdot y\)を最小化するような消費ベクトル\(y\)を選ぶものと仮定します。消費者の行動原理に関するこのような仮定を支出最小化(expenditure minimization)の仮定と呼びます。以下でこの状況を定式化します。

消費者の嗜好は消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として定式化されているものとします。消費者にとって価格ベクトル\(p\in \mathbb{R}_{++}^{N}\)は外生的に与えられるため、消費者が消費ベクトル\(y\in X\)を選んだときの支出額は\(p\cdot y\in \mathbb{R}\)となります。目標とする消費ベクトル\(x\in X\)が与えられたとき、\(x\)以上に望ましい消費ベクトルからなる集合は、\(x\)の優位集合\begin{equation*}
U\left( x\right) =\{y\in X\ |\ y\succsim x\}
\end{equation*}として表現されます。支出最小化の仮定をおくとき、以上の\(\left( p,x\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times X\)のもとで消費者が直面する問題は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x^{\ast }\in U\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in U\left( x\right) :p\cdot y\geq p\cdot
x^{\ast }
\end{eqnarray*}をともに満たす消費ベクトル\(x^{\ast }\in X\)を特定することとして定式化されます。これを\(\left( p,x\right) \)のもとでの支出最小化問題(expenditure minimization problem)と呼びます。

条件\(\left( a\right) \)は、支出最小化問題の解\(x^{\ast }\)が優位集合\(U\left( x\right) \)の要素であること、すなわち、\(x^{\ast }\)が\(x\)以上に望ましい消費ベクトルであることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は、支出最小化問題の解\(x^{\ast }\)のもとでの支出は、優位集合\(U\left( x\right) \)に属する任意の消費ベクトルのもとでの支出以下であることを意味しますが、これを支出最小化(expenditure minimization)の条件と呼びます。したがって、支出最小化問題とは、価格ベクトル\(p\)と目標となる消費ベクトル\(x\)が与えられたとき、\(x\)以上に望ましい消費ベクトルの中から支出を最小化するようなものを特定することを意味します。

 

効用関数が存在する場合の支出最小化問題

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在するとき、効用\(u\left( x\right) \)がとり得る値の範囲、すなわち、\(u\)の値域を、\begin{equation*}
u\left( X\right) =\{u\left( x\right) \in \mathbb{R}\ |\ x\in X\}
\end{equation*}と表記します。このとき、支出最小化問題において目標となる消費ベクトルを\(X\)から選択することは、\(u\left( X\right) \)に属する何らかの効用水準\(v\)を選択することを意味します。したがって、選好\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)が存在する場合の支出最小化問題とは、\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times u\left( X\right) \)に直面した消費者が、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ u\left( x^{\ast }\right) \geq v \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in X:\left[ u\left( x\right) \geq v\
\Rightarrow \ p\cdot x\geq p\cdot x^{\ast }\right] \end{eqnarray*}を満たす消費ベクトル\(x^{\ast }\in X\)特定することとして言い換え可能です。これを\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題(expenditure minimization problem)と呼びます。

条件\(\left( a\right) \)は、支出最小化問題の解\(x^{\ast }\)のもとで得られる効用\(u\left( x^{\ast }\right) \)が、目標とする効用\(v\)以上であることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は、支出最小化問題の解\(x^{\ast }\)のもとでの支出が、\(v\)以上の効用をもたらす任意の消費ベクトルのもとでの支出以下であることを意味します。したがって、支出最小化問題とは、価格ベクトル\(p\)と目標となる効用\(v\)が与えられたとき、\(v\)以上の効用をもたらす消費ベクトルの中から支出を最小化するようなものを特定することを意味します。

価格ベクトルと効用の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times u\left( X\right) \)のもとでの支出最小化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}
\min_{x\in X}\ p\cdot x\quad s.t.\quad u\left( x\right) \geq v
\end{equation*}として表現することもできます。特に、消費集合が\(X= \mathbb{R} _{+}^{N}\)である場合には、

$$\begin{array}{cl}
\min & p\cdot x \\
s.t. & u\left( x\right) \geq v \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0\end{array}$$

一般に、選好関係を表現する効用関数が存在するとき、それは一意的に定まりません。したがって、選好関係を用いて表現された支出最小化問題が与えられたとき、それに対応する効用関数のもとでの支出最小化問題は無数に存在します。ただ、効用関数の定義より、それらはいずれも問題として実質的に等しくなるため、どれを解いても得られる結果は同じです。加えて、効用関数を用いて表現された支出最小化問題は先のような制約付き最小化問題として定式化されるため、数学的に扱いやすいという大きな利点があります。

 

支出最小化問題の自明な解

消費集合が\( \mathbb{R} _{+}^{N}\)である場合には\(0\in \mathbb{R}_{+}^{N}\)が成り立つため、消費者は商品を消費しないという選択が可能です。このとき、支出最小化問題を規定するパラメーター\(\left( p,x\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times \mathbb{R}_{+}^{N}\)が、\begin{equation*}
0\succ x
\end{equation*}を満たすものとしましょう。目標となる消費ベクトル\(x\)を実現するために必要な所得\(p\cdot x\)は正の実数である一方、それよりも望ましい消費ベクトル\(0\)を支出ゼロで実現できるため、このような\(\left( p,x\right) \)のもとでの支出最小化問題の解は明らかに\(0\)です。こうした事情もあり、\(x\succsim 0\)を満たすような\(\left( p,x\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times \mathbb{R}_{+}^{N}\)に関してのみ、支出最小化問題を考えれば十分です。

同様のことは、効用関数を用いて表現された支出最小化問題についても言えます。つまり、支出最小化問題を規定するパラメーター\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times u\left( X\right) \)が、\begin{equation*}
u\left( 0\right) >v
\end{equation*}を満たす場合、目標とする効用\(v\)を実現するために必要な所得は正の実数である一方、それよりも大きい効用\(u\left( 0\right) \)を支出ゼロで実現できます。したがって、このような\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解は明らかに\(0\)です。こうした事情もあり、\(v\geq u\left( 0\right) \)を満たすような\(\left( p,v\right) \)に関してのみ、支出最小化問題を考えれば十分です。

次回から支出最小化問題の制約条件について議論を深めます。

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