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消費者理論

レオンチェフ型効用関数のもとでの効用最大化

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レオンチェフ効用関数のもとでの効用最大化問題

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)がレオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとします。つまり、\(u\)がそれぞれの消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める効用が、\begin{equation*}u\left( x\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}であるということです。ただし、\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha_{N}\)は定数であり、以下の条件\begin{equation*}\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right)
\end{equation*}を満たします。

レオンチェフ型効用関数\(u\)が与えられたとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題は、

$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} ^{N}} & \min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha _{N}x_{N}\right\}
\\
s.t. & p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}\leq w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$

と定式化されます。レオンチェフ型効用関数\(u\)は連続であり、なおかつ制約条件を満たす消費ベクトルからなる集合、すなわち予算集合\begin{equation*}B\left( p,w\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}\leq w\right\}
\end{equation*}は非空なコンパクト集合であるため、最大値の定理より、レオンチェフ型効用関数\(u\)のもとでの効用最大化問題には解が存在することが保証されます。

例(レオンチェフ型効用関数のもとでの需要関数)
2財モデルにおけるレオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha
_{2}x_{2}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。価格ベクトルと所得\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題は、

$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}} & \min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha _{2}x_{2}\right\} \\
s.t. & p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& x_{2}\geq 0
\end{array}$$

となります。

 

レオンチェフ効用関数のもとでの需要関数

レオンチェフ型効用関数\(u\)のもとでの効用最大化問題には解が存在します。\(u\)は消費集合の内点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)において\(u\left( x\right) >0\)を満たす一方で境界点\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)において\(u\left( x\right) =0\)を満たします。したがって、消費集合の境界点は効用最大化問題の解になり得ないため、比較対象となる消費ベクトルを消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点に制限しても一般性は失われません。言い換えると、レオンチェフ型効用関数のもとでの効用最大化問題の解は内点解であることが保証されます。加えて、レオンチェフ型効用関数は局所非飽和性を満たすためワルラスの法則が成り立ちます。つまり、効用最大化問題の解において消費者は消費をすべて使い切ります。以上を踏まえると、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題を、

$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & \min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha _{N}x_{N}\right\} \\
s.t. & p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}=w \\
& x_{1}>0 \\
& \vdots \\
& x_{N}>0
\end{array}$$

と表現しても一般性は失われません。

以上の方針のもとで問題を解くと以下を得ます。

命題(レオンチェフ型効用関数のもとでの需要関数)
レオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}を定める。ただし、\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。この場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{w}{\alpha _{n}\left( \dfrac{p_{1}}{\alpha _{1}}+\cdots +\dfrac{p_{N}}{\alpha _{N}}\right) }
\end{equation*}を定める。

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例(レオンチェフ型効用関数のもとでの需要関数)
2財モデルにおけるレオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha
_{2}x_{2}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。上の命題より、それぞれの商品\(n\ \left( =1,2\right) \)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{w}{\alpha _{1}\left(
\dfrac{p_{1}}{\alpha _{1}}+\dfrac{p_{2}}{\alpha _{2}}\right) } \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{w}{\alpha _{2}\left(
\dfrac{p_{1}}{\alpha _{1}}+\dfrac{p_{2}}{\alpha _{2}}\right) }
\end{eqnarray*}を定めます。

 

レオンチェフ型効用関数のもとでの間接効用関数

消費者の選好がレオンチェフ型効用関数として表される場合には需要関数が存在することが明らかになりました。したがって、需要関数を効用関数に代入することにより間接効用関数が以下のように特定されます。

命題(レオンチェフ型効用関数のもとでの間接効用関数)
レオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}を定める。ただし、\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。この場合、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =\frac{w}{\left( \dfrac{p_{1}}{\alpha _{1}}+\cdots +\dfrac{p_{N}}{\alpha _{N}}\right) }
\end{equation*}を定める。

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例(レオンチェフ型効用関数のもとでの間接効用関数)
2財モデルにおけるレオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha
_{2}x_{2}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。上の命題より、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w}{\left( \dfrac{p_{1}}{\alpha _{1}}+\dfrac{p_{2}}{\alpha _{2}}\right) }
\end{equation*}を定めます。

 

演習問題

問題(レオンチェフ型効用関数のもとでの効用最大化)
3財モデルにおけるレオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},,\alpha
_{2}x_{2},\alpha _{3}x_{3}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)かつ\(\alpha _{3}>0\)です。

  1. 効用最大化問題を定式化してください。
  2. 需要関数を求めてください。
  3. 間接効用関数を求めてください。
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問題(ロイの恒等式)
レオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)です。本文中で明らかにしたように、この場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{w}{\alpha _{n}\left( \dfrac{p_{1}}{\alpha _{1}}+\cdots +\dfrac{p_{N}}{\alpha _{N}}\right) }
\end{equation*}を定めます。また、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =\frac{w}{\left( \dfrac{p_{1}}{\alpha _{1}}+\cdots +\dfrac{p_{N}}{\alpha _{N}}\right) }
\end{equation*}を定めます。以上を踏まえた上で、ロイの恒等式が成立するか検討してください。

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関連知識

選好の相似拡大性(ホモセティックな選好)

無差別な2つの消費ベクトルを任意に選んだとき、すべての商品の消費量を同じ割合で変化させることで得られる消費ベクトルどうしも無差別であるならば、選好は相似拡大性を満たすとか、ホモセティックであるなどと言います。1次同次関数であるような効用関数によって表現される選好は相似拡大性を満たします。