教材一覧
CONSUMER THEORY

レオンチェフ型効用関数のもとでの効用最大化

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

レオンチェフ効用関数のもとでの効用最大化問題

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)がレオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとします。つまり、\(u\)がそれぞれの消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める効用が、\begin{equation*}u\left( x\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}であるということです。ただし、\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha_{N}>0\)です。

レオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題は、

$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & \min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha _{N}x_{N}\right\} \\
s.t. & p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}\leq w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0\end{array}$$

と定式化されます。レオンチェフ型効用関数\(u\)は連続であり、なおかつ制約条件を満たす消費ベクトルからなる集合、すなわち予算集合\begin{equation*}B\left( p,w\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}\leq w\right\}
\end{equation*}は非空なコンパクト集合であるため、最大値の定理より上の効用最大化問題には解が存在することが保証されます。

 

レオンチェフ効用関数のもとでの需要関数

レオンチェフ型効用関数\(u\)は消費集合の内点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)において\(u\left( x\right) >0\)を満たす一方、境界点\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)において\(u\left( x\right) =0\)を満たします。したがって、消費集合の境界点は効用最大化問題の解になり得ないため、比較対象となる消費ベクトルを消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点に制限しても一般性は失われません。言い換えると、レオンチェフ型効用関数のもとでの効用最大化問題の解は内点解であることが保証されます。加えて、レオンチェフ型効用関数は局所非飽和性を満たすためワルラスの法則が成り立ちます。つまり、効用最大化問題の解において消費者は消費をすべて使い切ります。以上を踏まえると、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題を、

$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & \min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha _{N}x_{N}\right\} \\
s.t. & p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}=w \\
& x_{1}>0 \\
& \vdots \\
& x_{N}>0
\end{array}$$

と表現しても一般性は失われません。この問題を解くことにより以下が得られます。

命題(レオンチェフ型効用関数のもとでの需要関数)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)がレオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表される場合には、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{w}{\alpha _{n}\left( \frac{p_{1}}{\alpha _{1}}+\cdots +\frac{p_{N}}{\alpha _{N}}\right) }
\end{equation*}を定める。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(レオンチェフ型効用関数のもとでの需要関数)
2財モデルにおけるレオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha
_{2}x_{2}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1},\alpha _{2}>0\)です。上の命題より、商品\(n\ \left(=1,2\right) \)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w}{\alpha _{n}\left( \frac{p_{1}}{\alpha _{1}}+\frac{p_{1}}{\alpha _{2}}\right) }
\end{equation*}を定めます。
例(レオンチェフ型効用関数のもとでの需要関数)
3財モデルにおけるレオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},,\alpha
_{2}x_{2},\alpha _{3}x_{3}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}>0\)です。上の命題より、商品\(n\ \left( =1,2,3\right) \)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},p_{3},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},p_{3},w\right) =\frac{w}{\alpha _{n}\left(
\frac{p_{1}}{\alpha _{1}}+\frac{p_{1}}{\alpha _{2}}+\frac{p_{1}}{\alpha _{3}}\right) }
\end{equation*}を定めます。

 

レオンチェフ型効用関数のもとでの間接効用関数

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)がレオンチェフ型効用関数として表される場合には需要関数が存在することが明らかになりました。したがって、需要関数を効用関数に代入することにより間接効用関数が得られます。

命題(レオンチェフ型効用関数のもとでの間接効用関数)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)がレオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表される場合には、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =\frac{w}{\left( \frac{p_{1}}{\alpha _{1}}+\cdots +\frac{p_{N}}{\alpha _{N}}\right) }
\end{equation*}を定める。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(レオンチェフ型効用関数のもとでの間接効用関数)
2財モデルにおけるレオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha
_{2}x_{2}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1},\alpha _{2}>0\)です。上の命題より、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w}{\left( \frac{p_{1}}{\alpha _{1}}+\frac{p_{2}}{\alpha _{2}}\right) }
\end{equation*}を定めます。
例(レオンチェフ型効用関数のもとでの間接効用関数)
3財モデルにおけるレオンチェフ型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},,\alpha
_{2}x_{2},\alpha _{3}x_{3}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}>0\)です。上の命題より、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{3}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},p_{3},w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{3}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},p_{3},w\right) =\frac{w}{\left( \frac{p_{1}}{\alpha _{1}}+\frac{p_{2}}{\alpha _{2}}+\frac{p_{3}}{\alpha _{3}}\right) }
\end{equation*}を定めます。

次回はレオンチェフ型効用関数のもとでの支出最小化問題について解説します。

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
RELATED KNOWLEDGE

関連知識

コブ・ダグラス型効用関数のもとでの効用最大化

効用最大化問題

消費者は予算集合に属する消費ベクトルの中から、自身の選好(効用関数)に照らし合わせて最も望ましい消費ベクトルを選ぶものと仮定します。このような仮定のもとで、消費者が直面する最適化問題を選好最大化問題(効用最大化問題)と呼びます。

レオンチェフ型効用関数

レオンチェフ型効用関数

複数の商品が一定の割合で組み合わされて消費されることで意味を持つ場合、それらの商品を完全補完財と呼びます。完全補完財を消費する消費者の選好はレオンチェフ型効用関数によって表現されます。

DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

消費者理論