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CONSUMER THEORY

線型効用関数のもとでの効用最大化

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線型効用関数のもとでの効用最大化問題

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとします。つまり、\(u\)がそれぞれの消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める効用が、\begin{equation*}u\left( x\right) =\alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{N}x_{N}
\end{equation*}であるということです。ただし、\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha_{N}>0\)です。

線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題は、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & \alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{N}x_{N} \\
s.t. & p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}\leq w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$
と定式化されます。線型効用関数\(u\)は連続であり、なおかつ制約条件を満たす消費ベクトルからなる集合、すなわち予算集合\begin{equation*}B\left( p,w\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}\leq w\right\}
\end{equation*}は非空なコンパクト集合であるため、最大値の定理より上の効用最大化問題には解が存在することが保証されます。

 

線型効用関数のもとでの需要関数

線型効用関数は局所非飽和性を満たすためワルラスの法則が成り立ちます。つまり、効用最大化問題の解において消費者は消費をすべて使い切ります。以上を踏まえると、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題を、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & \alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{N}x_{N} \\
s.t. & p_{1}x_{1}+\cdots +p_{N}x_{N}=w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$
と表現しても一般性は失われません。線型効用関数\(u\)は\(\mathbb{R} ^{N}\)上で\(C^{1}\)級であり、なおかつ消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上において準凹であるため、クーンタッカーの条件を満たす消費ベクトルはそのまま効用最大化問題の解になります。この問題を解くことにより以下が得られます。

命題(線型効用関数のもとでの需要対応)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表される場合には、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \sum_{i\in M}p_{i}x_{i}=w\wedge \left( \forall i\not\in
M:x_{i}=0\right) \right\}
\end{equation*}を定める。ただし、\begin{equation*}
M=\mathrm{argmax}_{i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} }\left\{ \frac{\alpha _{i}}{p_{i}}\ |\ i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \right\}
\end{equation*}である。
証明

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線型効用関数\(u\)と価格ベクトル\(p\)が与えられたとき、それぞれの商品\(i\)について\(\frac{\alpha _{i}}{p_{i}}\)を計算することができます。上の命題中の集合\(M\)は\(\frac{\alpha _{i}}{p_{i}}\)の値が最大になるような商品\(i\)からなる集合です。特に、任意の商品について\(\alpha _{i}=1\)である場合、\(M\)は\(p_{i}\)が最小になる集合、すなわち最も価格が安い商品からなる集合です。上の命題は、\(M\)に属する商品に非負の需要を割り当て、\(M\)に属さない商品にゼロの需要を割り当てるとともに、所得をすべて使い切る(ワルラスの法則が成立する)ような任意の消費ベクトルが効用最大化問題の解になることを主張しています。

例(線型効用関数)
2財モデルにおける線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1},\alpha _{2}>0\)です。上の命題より、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}X^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=w\right\} & \left( if\ \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}=\frac{\alpha _{2}}{p_{2}}\right) \\
\left\{ \left( \frac{w}{p_{1}},0\right) \right\} & \left( if\ \frac{\alpha
_{1}}{p_{1}}>\frac{\alpha _{2}}{p_{2}}\right) \\
\left\{ \left( 0,\frac{w}{p_{2}}\right) \right\} & \left( if\ \frac{\alpha
_{1}}{p_{1}}<\frac{\alpha _{2}}{p_{2}}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。特に、\(\alpha _{1}=\alpha _{2}=1\)の場合には、\begin{equation*}X^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=w\right\} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
\left\{ \left( \frac{w}{p_{1}},0\right) \right\} & \left( if\
p_{1}<p_{2}\right) \\
\left\{ \left( 0,\frac{w}{p_{2}}\right) \right\} & \left( if\
p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。つまり、価格が安いほうの商品にすべての所得を支出することが最適であるということです。

 

線型効用関数のもとでの間接効用関数

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が線型効用関数として表される場合の需要対応が明らかになりました。したがって、需要対応と効用関数から間接効用関数を導くことができます。

命題(線型効用関数のもとでの間接効用関数)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表される場合には、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =mw
\end{equation*}を定める。ただし、\begin{equation*}
m=\max \left\{ \frac{\alpha _{i}}{p_{i}}\ |\ i\in \left\{ 1,\cdots
,N\right\} \right\}
\end{equation*}である。
証明

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例(線型効用関数のもとでの間接効用関数)
2財モデルにおける線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1},\alpha _{2}>0\)です。上の命題より、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =mw
\end{equation*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
m=\max \left\{ \frac{\alpha _{1}}{p_{1}},\frac{\alpha _{2}}{p_{2}}\right\}
\end{equation*}です。

次回は線型効用関数のもとでの支出最小化問題について考えます。

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