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CONSUMER THEORY

間接効用関数の単調性

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間接効用関数は価格ベクトルに関して単調減少

効用最大化問題に直面した消費者の間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとします。\(p<p^{\prime }\)を満たす価格ベクトル\(p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)と所得\(w\in \mathbb{R} _{++}\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(p<p^{\prime }\)が成り立つこととは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :p_{n}\leq
p_{n}^{\prime } \\
&&\left( b\right) \ \exists n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\}
:p_{n}<p_{n}^{\prime }
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。このとき、\begin{equation*}
v(p^{\prime },w)\leq v(p,w)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、消費者が直面する所得を一定にした上で少なくとも1つの商品の価格を上昇させる場合、効用最大化問題の最適解において消費者が得る効用が増加することはありません。つまり、間接効用関数\(v\)は価格ベクトル\(p\)に関して単調減少(単調非増加)であるということです。

命題(間接効用関数は価格ベクトルに関して単調減少)
間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall w\in \mathbb{R} _{++}:\left[ p<p^{\prime }\Rightarrow v\left( p^{\prime },w\right) \leq
v\left( p,w\right) \right] \end{equation*}を満たす。
証明

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例(間接効用関数は価格ベクトルに関して単調減少)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(\left( p_{1},p_{2}\right)<\left( p_{1}^{\prime },p_{2}^{\prime }\right) \)を満たす価格ベクトル\(\left(p_{1},p_{2}\right) ,\left( p_{1}^{\prime },p_{2}^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)と所得\(w\in \mathbb{R} _{++}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}v\left( p_{1}^{\prime },p_{2}^{\prime },w\right) &=&\frac{w^{2}}{4p_{1}^{\prime }p_{2}^{\prime }}\quad \because \left( 1\right) \\
&<&\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}\quad \because \left( p_{1},p_{2}\right) <\left(
p_{1}^{\prime },p_{2}^{\prime }\right) \\
&=&v\left( p_{1},p_{2},w\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(v\)は価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)に関して狭義単調減少です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

間接効用関数は所得に関して単調増加

効用最大化問題に直面した消費者の間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとします。\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)と\(w<w^{\prime }\)を満たす所得\(w,w^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{equation*}v\left( p,w\right) \leq v\left( p,w^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、消費者が直面する商品の価格を一定にした上で所得を増加させる場合、効用最大化問題の最適解において消費者が得る効用が減少することはありません。つまり、間接効用関数\(v\)は所得\(w\)に関して単調増加(単調非減少)であるということです。特に、消費者の選好が局所非飽和性を満たす場合には、間接効用関数\(v\)は所得\(w\)に関して狭義単調増加になります。

命題(間接効用関数は所得に関して単調増加)
間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall w,w^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}:\left[ w<w^{\prime }\Rightarrow v\left( p,w\right) \leq v\left(
p,w^{\prime }\right) \right] \end{equation*}を満たす。特に、消費者の選好が局所非飽和性を満たす場合には、\begin{equation*}
\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall w,w^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}:\left[ w<w^{\prime }\Rightarrow v\left( p,w\right) <v\left(
p,w^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。
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例(間接効用関数は所得に関して単調増加)
繰り返しになりますが、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)と\(w<w^{\prime }\)を満たす所得\(w,w^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}\quad \because
\left( 1\right) \\
&<&\frac{\left( w^{\prime }\right) ^{2}}{4p_{1}p_{2}}\quad \because
w<w^{\prime } \\
&=&v\left( p_{1},p_{2},w^{\prime }\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(v\)は所得\(w\)に関して狭義単調増加です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

演習問題

問題(間接効用関数の単調性)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =kx_{1}^{\alpha }x_{2}^{1-\alpha }
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(k>0\)かつ\(0<\alpha <1\)です。この場合、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =kw\left( \frac{\alpha }{p_{1}}\right) ^{\alpha
}\left( \frac{1-\alpha }{p_{2}}\right) ^{1-\alpha }
\end{equation*}を定めます。\(v\)は価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)に関して単調減少であり、所得\(w\)に関して単調増加であることを確認してください。
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問題(間接効用関数の単調性)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha
_{2}x_{2}\right\}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\alpha _{1},\alpha _{2}>0\)です。この場合、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w}{\left( \frac{p_{1}}{\alpha _{1}}+\frac{p_{2}}{\alpha _{2}}\right) }
\end{equation*}を定めます。\(v\)は価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)に関して単調減少であり、所得\(w\)に関して単調増加であることを確認してください。
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問題(間接効用関数の単調性)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\alpha _{1},\alpha _{2}>0\)です。この場合、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =w\cdot \max \left\{ \frac{\alpha _{1}}{p_{1}},\frac{\alpha _{2}}{p_{2}}\right\}
\end{equation*}を定めます。\(v\)は価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)に関して単調減少であり、所得\(w\)に関して単調増加であることを確認してください。
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次回は間接効用関数が単調関数であることを示します。

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関連知識

コブ・ダグラス型効用関数のもとでの効用最大化

間接効用関数

価格ベクトルと所得の組を入力とし、そこでの効用最大化問題の解において消費者が得る効用を出力する関数を間接効用関数と呼びます。

DISCUSSION

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消費者理論