需要の価格弾力性（クールノー集計）

需要の価格効果は単位に依存する

消費者の選好が消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されており、さらに、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する状況を想定します。また、消費者が直面する経済的制約が予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が解くべき効用最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}\ u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad x\in B\left( p,w\right)
\end{equation*}として定式化されます。特に、選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、そして狭義凸性を満たす場合にはワルラスの需要関数\begin{equation*}x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}が存在するとともに連続であることが保証されます。ただし、需要関数\(x^{\ast }\)が価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値\begin{equation*}x^{\ast }\left( p,w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) \\
\vdots \\
x_{N}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}は、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の唯一の解に相当する\(N\)次元ベクトルであり、これを\(\left( p,w\right) \)のもとでの需要と呼びます。商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)を任意に選んだとき、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、商品\(n\)の需要\(x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{+}\)を値として定める多変数関数\begin{equation*}x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が定義可能です。これを商品\(n\)の需要関数と呼びます。

商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられているものとします。価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)の需要への商品\(j\)の価格の価格効果は、\begin{equation*}\frac{x_{i}^{\ast }\left( p_{1},\cdots ,p_{j}+\Delta p_{j},\cdots
,p_{N},w\right) -x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\Delta p_{j}}
\end{equation*}と定義されます。特に、\(x_{i}\)が点\(\left( p,w\right) \)において変数\(p_{j}\)に関して偏微分可能である場合には、十分小さい\(\Delta p_{j}\)について、\begin{equation*}\frac{x_{i}^{\ast }\left( p_{1},\cdots ,p_{j}+\Delta p_{j},\cdots
,p_{N},w\right) -x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\Delta p_{j}}\approx \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}
\end{equation*}という近似関係が成り立つため、\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)の需要への商品\(j\)の価格の価格効果を、点\(\left( p,w\right) \)における偏微分係数\begin{equation*}\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}
\end{equation*}として定義しました。いずれにせよ、\(\left(p,w\right) \)における商品\(i\)の需要へ商品\(j\)の価格の価格効果とは、消費者による効用最大化を前提としたとき、\(\left( p,w\right) \)を出発点に商品\(j\)の価格だけを変化させたときに発生する商品\(i\)の需要の変化を表す指標です。ただ、価格効果の水準は商品や所得の単位に依存してしまうという問題があります。つまり、同一の点\(\left(p,w\right) \)においても、例えば、商品\(i\)の数量の単位として「トン」を採用する場合と「キログラム」を採用する場合とでは、価格効果の絶対的な水準が変わってしまいます。したがって、数量の単位が異なる商品\(i,j\)の需要に対して価格の変化がもたらす影響の大きさを比較する場合、指標として価格効果を採用してしまうと、まともな比較ができません。所得の単位が異なる場合についても同様です。このような問題を解決するためには、商品や所得の単位に依存しない指標が要請されます。

需要の価格弾力性

商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ上で、そこを出発点として商品\(j\)の価格\(p_{j}\)を、\begin{equation*}\Delta p_{j}
\end{equation*}だけ変化させると、それに応じて商品\(i\)の需要は、\begin{equation*}x_{i}^{\ast }\left( p_{1},\cdots ,p_{j}+\Delta p_{j},\cdots ,p_{N},w\right)
-x_{i}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}だけ変化します。\(p_{j}\)を出発点として商品\(j\)の価格が\(\Delta p_{j}\)だけ変化することは、\(p_{j}\)を出発点として所得が、\begin{equation*}\frac{\Delta p_{j}}{p_{j}}\text{パーセント}
\end{equation*}だけ変化することを意味し、\(x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \)を出発点として商品\(i\)の需要が\(x_{i}^{\ast }\left( p_{1},\cdots ,p_{j}+\Delta p_{j},\cdots ,p_{N},w\right) -x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \)だけ変化することは、\(x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \)を出発点として商品\(i\)の需要が、\begin{equation*}\frac{x_{i}^{\ast }\left( p_{1},\cdots ,p_{j}+\Delta p_{j},\cdots
,p_{N},w\right) -x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }\text{パーセント}
\end{equation*}だけ変化することを意味します。そこで、これらの変化量の比\begin{equation*}
\frac{\frac{x_{i}^{\ast }\left( p_{1},\cdots ,p_{j}+\Delta p_{j},\cdots
,p_{N},w\right) -x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }}{\frac{\Delta p_{j}}{p_{j}}}=\frac{x_{i}^{\ast }\left(
p_{1},\cdots ,p_{j}+\Delta p_{j},\cdots ,p_{N},w\right) -x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\Delta p_{j}}\cdot \frac{p_{j}}{x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }
\end{equation*}をとれば、これは、\(\left( p,w\right) \)を出発点として商品\(j\)の価格を\(1\)パーセント変化させた場合に商品\(i\)の需要が何パーセント変化するかを表す指標になります。これを\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)の需要に関する商品\(j\)の価格の価格弾力性（price elasticity of the price of good \(j\) on the demand for \(i\) th good at \(\left( p,w\right) \)）と呼び、\begin{equation*}\varepsilon _{ij}\left( p,w\right) =\frac{x_{i}^{\ast }\left( p_{1},\cdots
,p_{j}+\Delta p_{j},\cdots ,p_{N},w\right) -x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\Delta p_{j}}\cdot \frac{p_{j}}{x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }
\end{equation*}で表記します。特に、\(i=j\)の場合の価格弾力性を自己価格弾力性（own price elasticity）と呼び、\(i\not=j\)の場合の価格弾力性を交差価格弾力性（cross price elasticity）と呼びます。

多くの場合、商品の価格が上昇するとその商品の需要は減少するため、自己価格弾力性の値は負になります。そのような事情を踏まえた上で、\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)の自己価格弾力性については、\begin{equation*}\varepsilon _{ii}\left( p,w\right) =-\frac{x_{i}^{\ast }\left( p_{1},\cdots
,p_{i}+\Delta p_{i},\cdots ,p_{N},w\right) -x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\Delta p_{i}}\cdot \frac{p_{i}}{x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }
\end{equation*}という形で負の記号をつけて定義する流儀もあります。

需要の価格弾力性は単位に依存しない

需要の価格弾力性は変化率を用いて表現される指標であるため、商品の数量の単位や所得の単位に依存しません。

偏微分を用いた需要の価格弾力性の定義

繰り返しになりますが、商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選ぶと、そこでの商品\(i\)の需要に関する商品\(j\)の価格の価格弾力性は、\begin{equation*}\varepsilon _{ij}\left( p,w\right) =\frac{x_{i}^{\ast }\left( p_{1},\cdots
,p_{j}+\Delta p_{j},\cdots ,p_{N},w\right) -x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\Delta p_{j}}\cdot \frac{p_{j}}{x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }
\end{equation*}と定義されますが、先に例を通じて確認したように、この値は商品\(j\)の価格\(p_{j}\)の変化量\(\Delta p_{j}\)に依存するため一意的に定まるとは限りません。このような問題を解決するために偏微分を用いて需要の価格弾力性を定義します。

商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }\)が点\(\left( p,w\right) \)において商品\(j\)の価格\(p_{j}\)に関して偏微分可能である場合には十分小さい\(\Delta p_{j}\)について、\begin{equation*}x_{i}^{\ast }\left( p_{1},\cdots ,p_{j}+\Delta p_{j},\cdots ,p_{N},w\right)
\approx x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) +\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial p_{j}}\Delta p_{j}
\end{equation*}という近似関係が成立します。特に、\(x_{i}^{\ast}\left( p,w\right) \not=0\)である場合には、\begin{equation*}\frac{x_{i}^{\ast }\left( p_{1},\cdots ,p_{j}+\Delta p_{j},\cdots
,p_{N},w\right) -x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\Delta p_{j}}\cdot \frac{p_{j}}{x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }\approx \frac{\partial x_{i}^{\ast
}\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}\cdot \frac{p_{j}}{x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }
\end{equation*}という近似関係が成立します。一般に、偏微分係数が存在する場合には1つの実数として定まるため、上の近似式の右辺の値が存在する場合には一意的に定まります。以上を踏まえた上で、以降では、\(\left(p,w\right) \)における商品\(i\)の需要に関する商品\(j\)の価格の価格弾力性を、\begin{equation*}\varepsilon _{ij}\left( p,w\right) =\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial p_{j}}\cdot \frac{p_{j}}{x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }
\end{equation*}と定義します。

商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が定義域上の任意の点において変数\(p_{j}\)に関して偏微分可能であるならば偏導関数\begin{equation*}\frac{\partial x_{i}^{\ast }}{\partial p_{j}}:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が存在します。加えて、需要関数\(x_{i}^{\ast }\)が非ゼロの値のみをとるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つということです。以上の条件のもとでは、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、そこでの商品\(i\)の需要に関する商品\(j\)の価格の価格弾力性\begin{equation*}\varepsilon _{ij}\left( p,w\right) =\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial p_{j}}\cdot \frac{p_{j}}{x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }\in \mathbb{R} \end{equation*}が存在することが保証されます。

需要の価格弾力性とクールノー集計

需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)がワルラスの法則を満たすとともに商品\(j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の価格\(p_{j}\)に関して偏微分可能であるならば、任意の\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ p_{i}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial p_{j}}\right] =-x_{j}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを示し、これを商品\(j\)の価格\(p_{j}\)に関するクールノー集計と呼びました。\(\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}\)は商品\(j\)の価格\(p_{j}\)が限界的に変化したときの商品\(i\)の需要の変化であるため、これと商品\(i\)の価格\(p_{i}\)の積\(p_{i}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}\)は、商品\(j\)の価格\(p_{j}\)が限界的に変化したときの商品\(i\)への支出額の変化を表します。したがって、クールノー集計は、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点としたときに、商品\(j\)の価格\(p_{j}\)を限界的に変化させると消費者の総支出は\(x_{j}^{\ast}\left( p,w\right) \)だけ減少することを意味します。

需要の価格弾力性を用いると、クールノー集計を以下のように表現できます。

需要の価格弾力性の推計

商品\(i\)の需要関数\(x_{i}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が点\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において変数\(p_{j}\)に関して偏微分可能である場合、\(\left( p,w\right) \)における需要の価格弾力性は、\begin{equation*}\varepsilon _{ij}\left( p,w\right) =\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial p_{j}}\cdot \frac{p_{j}}{x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }
\end{equation*}と定義されます。これをどのように特定すればよいでしょうか。

商品\(j\)の価格\(p_{j}\)と商品\(i\)の需要\(x_{i}\)の間に、\begin{equation*}x_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}p_{j}+u
\end{equation*}という線型関係が成立するものと仮定します。これを単回帰モデルと呼びます。ただし、\(\beta _{0}\in \mathbb{R} \)は定数項に相当する定数であり、\(\beta _{1}\in \mathbb{R} \)は回帰係数に相当する定数であり、\(u\)は誤差項に相当する変数です。つまり、商品\(j\)の価格\(p_{j}\)の水準が商品\(i\)の需要\(x_{i}\)の水準に与える影響を分析する際には\(x_{i}\)に影響を与えるであろう\(p_{j}\)以外の要因を考慮する必要がありますが、そのようなすべての要因を包括的に表す変数が誤差項\(u\)です。

収集するデータは価格と需要の組\(\left( p_{j},x_{i}\right) \)ですが、収集したデータの対数値をとって変換すると\(\left( \ln \left(p_{j}\right) ,\ln \left( x_{i}\right) \right) \)となるため、改めてこれらを変数として採用した場合の単回帰モデルは、\begin{equation}\ln \left( x_{i}\right) =\beta _{0}+\beta _{1}\ln \left( p_{j}\right) +u
\quad \cdots (1)
\end{equation}となります。両辺を変数\(p_{j}\)について微分します。左辺については、合成関数の微分より、\begin{equation*}\frac{d}{dp_{j}}\ln \left( x_{i}\right) =\frac{1}{x_{i}}\cdot \frac{dx_{i}}{dp_{j}}
\end{equation*}となり、右辺については、\begin{equation*}
\frac{d}{dp_{j}}\left[ \beta _{0}+\beta _{1}\ln \left( p_{j}\right) +u\right] =\beta _{1}\cdot \frac{1}{p_{j}}
\end{equation*}となりますが、\(\left( 1\right) \)よりこれらは等しいため、\begin{equation*}\frac{1}{x_{i}}\cdot \frac{dx_{i}}{dp_{j}}=\beta _{1}\cdot \frac{1}{p_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\beta _{1}=\frac{dx_{i}}{dp_{j}}\cdot \frac{p_{j}}{x_{i}}
\end{equation*}を得ますが、これは商品\(i\)の需要に関する商品\(j\)の価格\(p_{j}\)の価格弾力性\(\varepsilon _{ij}\)に他なりません。

結論を整理すると、収集したデータ\(\left(p_{j},x_{i}\right) \)の対数値をとって\(\left( \ln \left( p_{j}\right) ,\ln \left( x_{i}\right) \right) \)へと変換し、変換後のデータに対して単回帰モデルのもとで回帰分析した場合、得られた回帰係数\(\beta _{1}\)は需要の価格弾力性\(\varepsilon _{ij}\)を表すということです。

演習問題