支出の変化
消費者の選好が消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されているとともに\(\succsim \)が合理性と連続性の仮定を満たす場合、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。加えて、\(\succsim \)が狭義凸性を満たす場合には補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。つまり、価格ベクトルと目標効用\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだとき、これに対して補償需要関数\(h^{\ast }\)が定める値\(h^{\ast }\left( p,v\right) \)は\(\left(p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題
$$\begin{array}{cl}\min\limits_{x\in \mathbb{R} ^{N}} & p\cdot x \\
s.t. & u\left( x\right) \geq v \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$の唯一の解である一方、支出関数\(e\)が定める値\(e\left( p,v\right) \)は\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解において消費者が直面する支出であり、両者の間には、\begin{equation*}e\left( p,v\right) =p\cdot h^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}という関係が成立します。
消費者理論では価格ベクトル\(p\)や目標効用\(v\)の変化が消費者の意思決定に与える影響を分析することも重要であり、そのような観点から、\(p\)や\(v\)が変化したときの支出関数\(e\left( p,v\right) \)の変化を評価すること、すなわち支出関数\(e\)をそれぞれの商品\(i\)の価格\(p_{i}\)や目標効用\(v\)に関して偏微分する動機が発生します。すると以下のようなテクニカルな問題に直面します。
- どのような条件が満たされていれば、支出関数\(e\)はそれぞれの商品の価格\(p_{i}\)や目標効用\(v\)に関して偏微分可能か。
- 支出関数\(e\)がそれぞれの商品の価格\(p_{i}\)や目標効用\(v\)に関して偏微分可能である場合、偏導関数\(\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial p_{i}},\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial v}\)はどのような形状をしているか。
以上の問題に答えるのが包絡面定理です。包絡面定理を利用する上で見通しを良くするために、それぞれの\(\left( x,p,v\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\times \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x,p,v\right) &=&p\cdot x \\
g_{0}\left( x,p,w\right) &=&v-u\left( x\right) \\
g_{1}\left( x,p,w\right) &=&-x_{1} \\
&&\vdots \\
g_{N}\left( x,p,w\right) &=&-x_{N}
\end{eqnarray*}を定める多変数関数\begin{equation*}
f,g_{0},g_{1},\cdots ,g_{N}:\mathbb{R} _{+}^{N}\times \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}をそれぞれ定義します。以上の\(N+2\)個の多変数関数を利用すると、先の支出最小化問題を、
$$\begin{array}{cl}\min\limits_{x\in \mathbb{R} ^{N}} & f\left( x,p,v\right) \\
s.t. & g_{0}\left( x,p,w\right) \leq 0 \\
& g_{1}\left( x,p,w\right) \leq 0 \\
& \vdots \\
& g_{N}\left( x,p,w\right) \leq 0\end{array}$$と表現できます。支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)はこの問題の価値関数に相当し、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して、\begin{equation*}e\left( p,v\right) =\min_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}\left\{ f\left( x,p,w\right) \ |\ \forall i\in \left\{ 0,1,\cdots
,N\right\} :g_{i}\left( x,p,w\right) \leq 0\right\}
\end{equation*}を定めます。補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)はこの問題の最適選択関数に相当し、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p,v\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ f\left( x,p,w\right) =e\left( p,w\right) \right\}
\end{equation*}を定めます。この問題に包絡面定理を適用するためには以下の条件が満たされていることを確認する必要があります。
- 目的関数\(f\)および制約条件を規定する関数\(g_{i}\ \left( i=0,1,\cdots ,N\right) \)がいずれも\(C^{1}\)級である。関数\(f\)すなわち支出\(p\cdot x\)は線型であるため明らかに\(C^{1}\)級である。効用関数\(u\)が\(C^{1}\)級であるならば関数\(g_{0}\)は\(C^{1}\)級である。関数\(g_{i}\ \left( i=1,\cdots,N\right) \)は線型であるため明らかに\(C^{1}\)級である。
- 最適解\(h^{\ast }\left( p,v\right) \)が正規条件を満たす。つまり、\(h^{\ast }\left( p,v\right) \)においてバインドする関数\(g_{i}\ \left( i=0,1,\cdots ,N\right) \)の点\(h^{\ast }\left(p,v\right) \)における変数\(x\)に関する勾配ベクトルどうしが1次独立である。具体的には、以下の集合\begin{equation*}B\left( h^{\ast }\left( p,v\right) \right) =\left\{ \nabla _{x}g_{i}\left(h^{\ast }\left( p,v\right) ,p,v\right) \ |\ i\in \left\{ 0,1,\cdots
,N\right\} \ \text{s.t.}\ g_{i}\left( h^{\ast }\left( p,v\right) ,p,v\right)
=0\right\}
\end{equation*}の要素であるベクトルが1次独立である。 - 補償需要関数\(h^{\ast }\)と支出関数\(e\)がともに\(C^{1}\)級である。
以上の条件が満たされる場合には、先の問題に対して包絡面定理を適用することにより以下を得ます。
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、狭義凸性を満たす場合には\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)に加えて補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。さらに、\(u,h^{\ast},e\)はいずれも\(C^{1}\)級であるものとする。加えて、\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial u\left( h^{\ast
}\left( p,v\right) \right) }{\partial x_{i}}\not=0
\end{equation*}が成り立つものとする。それぞれの\(\left( x,\lambda,p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} ^{N+1}\times \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して、\begin{equation*}L\left( x,\lambda ,p,v\right) =p\cdot x+\lambda _{0}\left[ v-u\left(
x\right) \right] +\lambda _{1}\left( -x_{1}\right) +\cdots +\lambda
_{N}\left( -x_{N}\right)
\end{equation*}を定めるラグランジュ関数\(L:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} ^{N+1}\times \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以上の条件のもとでは、\(\left(p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだとき、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解\(h^{\ast }\left( p,v\right) \)におけるラグランジュ乗数\(\lambda ^{\ast}\left( p,v\right) \)が存在するとともに、\begin{align*}\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}& =\frac{\partial }{\partial p_{i}}L\left( h^{\ast }\left( p,v\right) ,\lambda ^{\ast }\left(
p,v\right) ,p,v\right) =h_{i}^{\ast }\left( p,v\right) \quad \left(
i=1,\cdots ,N\right) \\
\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial v}& =\frac{\partial }{\partial v}L\left( h^{\ast }\left( p,v\right) ,\lambda ^{\ast }\left( p,v\right)
,p,v\right) =\lambda _{0}^{\ast }\left( p,v\right)
\end{align*}という関係が成り立つ。
通常、支出関数\(e\)の偏導関数である\(\frac{\partial e\left(p,v\right) }{\partial p_{i}},\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial v}\)を求めるためには、補償需要関数\(h^{\ast }\left( p,v\right) \)を特定した上で、以下の関係\begin{equation*}e\left( p,v\right) =p\cdot h^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}を用いて支出関数\(e\)を特定し、さらにそれを\(p_{i}\)ないし\(v\)に関して偏微分することになります。一方、先の命題が要求する条件が満たされる場合には、\begin{align*}\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}& =\frac{\partial }{\partial p_{i}}L\left( h^{\ast }\left( p,v\right) ,\lambda ^{\ast }\left(
p,v\right) ,p,v\right) =h_{i}^{\ast }\left( p,v\right) \quad \left(
i=1,\cdots ,N\right) \\
\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial v}& =\frac{\partial }{\partial v}L\left( h^{\ast }\left( p,v\right) ,\lambda ^{\ast }\left( p,v\right)
,p,v\right) =\lambda _{0}^{\ast }\left( p,v\right)
\end{align*}という関係が成り立つため、この場合、\(\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}\)や\(\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial v}\)を求めるために支出関数\(e\)を特定する必要はなく、ラグランジュ関数\(L\)を\(p_{i}\)や\(w\)に関して偏微分して、\begin{eqnarray*}&&\frac{\partial }{\partial p_{i}}L\left( x,\lambda ,p,v\right) \\
&&\frac{\partial }{\partial v}L\left( x,\lambda ,p,v\right)
\end{eqnarray*}を得た上で、それを最適解\begin{equation*}
\left( x,\lambda \right) =\left( h^{\ast }\left( p,v\right) ,\lambda ^{\ast
}\left( p,v\right) \right)
\end{equation*}で評価すれば目的は達成されます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\)は\(C^{1}\)級かつ凹関数かつ単調増加であるためクーン・タッカー条件を満たす消費ベクトルが上の支出最小化問題の解になります。具体的には、ラグランジュ関数を、\begin{equation*}L\left( x_{1},x_{2},\lambda _{0},\lambda _{1},\lambda _{2}\right) =\left(
p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\right) +\lambda _{0}\left[ v-\left( x_{1}x_{2}\right)
^{\frac{1}{2}}\right] +\lambda _{1}\left( -x_{1}\right) +\lambda _{2}\left(
-x_{2}\right)
\end{equation*}と定義すると、クーン・タッカー条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial x_{1}}=p_{1}-\lambda _{0}\frac{1}{2}\left( x_{1}x_{2}\right) ^{-\frac{1}{2}}x_{2}-\lambda _{1}=0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial x_{2}}=p_{2}-\lambda _{0}\frac{1}{2}\left( x_{1}x_{2}\right) ^{-\frac{1}{2}}x_{1}-\lambda _{2}=0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda _{0}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{0}}=\lambda _{0}\left[ v-\left( x_{1}x_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\right] =0 \\
&&\left( d\right) \ \lambda _{1}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=\lambda _{1}\left( -x_{1}\right) =0 \\
&&\left( e\right) \ \lambda _{2}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=\lambda _{2}\left( -x_{2}\right) =0 \\
&&\left( f\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{0}}=v-\left(
x_{1}x_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\leq 0 \\
&&\left( g\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=-x_{1}\leq 0 \\
&&\left( h\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=-x_{2}\leq 0 \\
&&\left( i\right) \ \lambda _{i}\geq 0\quad \left( i=0,1,2\right)
\end{eqnarray*}となるため、これらを満たす\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)を特定します。\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)より\(x_{1}=0\)または\(x_{2}=0\)を満たす\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)おいて\(\frac{\partial L}{\partial x_{1}}\)や\(\frac{\partial L}{\partial x_{2}}\)は定義されないため、\(\left( g\right) ,\left( h\right) \)より\(x_{1}>0\)かつ\(x_{2}>0\)です。すると\(\left(d\right) ,\left( e\right) \)より\(\lambda _{1}=\lambda _{2}=0\)を得て、これと\(\left( a\right),\left( b\right) \)より\begin{equation*}\lambda _{0}=2p_{1}\left( \frac{x_{1}}{x_{2}}\right) ^{\frac{1}{2}}=2p_{2}\left( \frac{x_{2}}{x_{1}}\right) ^{\frac{1}{2}}>0
\end{equation*}を得ます。さらに\(\left(c\right) \)より、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}\right) ^{\frac{1}{2}}v \\
x_{2} &=&\left( \frac{p_{1}}{p_{2}}\right) ^{\frac{1}{2}}v
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lambda _{0}=2\left( p_{1}p_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}>0
\end{equation*}を得ます。以上より、\begin{eqnarray*}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{\frac{1}{2}}v \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&p_{1}^{\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}v \\
\lambda _{0}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&2p_{1}^{\frac{1}{2}}p_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}を得ます。\(h_{1}^{\ast }\)と\(h_{2}^{\ast }\)は\(C^{1}\)級であるため、先の命題より、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)に関して、\begin{align*}\frac{\partial e\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial p_{1}}& =h_{1}^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},v\right) =p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{\frac{1}{2}}v \\
\frac{\partial e\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial p_{2}}& =h_{2}^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},v\right) =p_{1}^{\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}v \\
\frac{\partial e\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial v}& =\lambda
_{0}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =2p_{1}^{\frac{1}{2}}p_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{align*}が成り立ちます。一方、支出関数\(e\)を特定すると、\begin{eqnarray*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&p_{1}h_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},v\right) +p_{2}h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
&=&p_{1}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{\frac{1}{2}}v+p_{2}p_{1}^{\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}v \\
&=&2p_{1}^{\frac{1}{2}}p_{2}^{\frac{1}{2}}v
\end{eqnarray*}となるため、これを\(p_{1},p_{2},v\)について偏微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial e\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial p_{1}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{1}}2p_{1}^{\frac{1}{2}}p_{2}^{\frac{1}{2}}v=p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{\frac{1}{2}}v \\
\frac{\partial e\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial p_{2}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{2}}2p_{1}^{\frac{1}{2}}p_{2}^{\frac{1}{2}}v=p_{1}^{\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}v \\
\frac{\partial e\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial v} &=&\frac{\partial
}{\partial v}2p_{1}^{\frac{1}{2}}p_{2}^{\frac{1}{2}}v=2p_{1}^{\frac{1}{2}}p_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}を得ますが、これは先の結果と一致します。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
シェファードの補題
先の命題より、一定の条件のもとでは、\begin{equation*}
h_{i}^{\ast }\left( p,v\right) =\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial
p_{i}}\quad \left( i=1,\cdots ,N\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが明らかになりました。つまり、価格ベクトルと目標効用\(\left( p,v\right) \)における商品\(i\)の補償需要\(h_{i}^{\ast }\left(p,v\right) \)を求めるためには、点\(\left( p,v\right) \)における支出関数\(e\)の偏微分係数\(\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}\)を求めればよいということです。こうした関係は任意の商品の補償需要について成立するため、結局、支出関数\(e\)が与えられればそこから補償需要関数\(h^{\ast }\)を、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p,v\right) =\nabla _{p}e\left( p,v\right)
\end{equation*}と特定することができます。これをシェファードの補題（Shephard’s lemma）やマッケンジーの補題（McKenzie’s lemma）などと呼びます。
\end{equation*}である。さらに、\(u,h^{\ast},e\)はいずれも\(C^{1}\)級であるものとする。加えて、\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial u\left( h^{\ast
}\left( p,v\right) \right) }{\partial x_{i}}\not=0
\end{equation*}が成り立つものとする。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}
h^{\ast }\left( p,v\right) =\nabla _{p}e\left( p,v\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定める場合、先に確認したように、補償需要関数および支出関数は、\begin{eqnarray*}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{\frac{1}{2}}v \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&p_{1}^{\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}v \\
e\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&2p_{1}^{\frac{1}{2}}p_{2}^{\frac{1}{2}}v
\end{eqnarray*}となります。支出関数を価格について偏微分すると、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial }{\partial p_{1}}e\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&\frac{\partial }{\partial p_{1}}2p_{1}^{\frac{1}{2}}p_{2}^{\frac{1}{2}}v=p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{\frac{1}{2}}v \\
\frac{\partial }{\partial p_{2}}e\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&\frac{\partial }{\partial p_{2}}2p_{1}^{\frac{1}{2}}p_{2}^{\frac{1}{2}}v=p_{1}^{\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}v
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial }{\partial p_{1}}e\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&h_{1}^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
\frac{\partial }{\partial p_{2}}e\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&h_{2}^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{eqnarray*}という関係が成立していますが、これは先の命題の主張と整合的です。
補償需要の経済学的解釈
支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)において商品\(i\)の価格\(p_{i}\)について偏微分可能である場合には、十分小さい\(\Delta p_{i}\)について、\begin{equation*}e\left( p_{1},\cdots ,p_{i}+\Delta p_{i},\cdots .p_{N},v\right) -e\left(
p,v\right) \approx \frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}\cdot
\Delta p_{i}
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。シェファードの補題より、\begin{equation*}
h_{i}^{\ast }\left( p,v\right) =\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial
p_{i}}
\end{equation*}が成り立つため、先の近似式を、\begin{equation}
e\left( p_{1},\cdots ,p_{i}+\Delta p_{i},\cdots ,p_{N},v\right) -e\left(
p,v\right) \approx h_{i}^{\ast }\left( p,v\right) \cdot \Delta p_{i} \quad \cdots (1)
\end{equation}と表現できます。これは何を意味しているのでしょうか。
支出最小化を行う消費者が価格ベクトル\(p\)に直面した場合、目標効用\(v\)を実現するために必要な支出は\(e\left(p,v\right) \)です。今、商品\(i\)の価格だけが\(\Delta p_{i}\)だけ上昇して\(p_{i}+\Delta p_{i}\)になった場合、もとの支出\(e\left( p,v\right) \)では目標効用\(v\)を実現できなくなってしまいます。商品\(i\)の価格が上昇してもなお目標効用\(v\)を実現するためには支出を\(e\left( p_{1},\cdots ,p_{i}+\Delta p_{i},\cdots ,p_{N},v\right) \)へ増やす必要がありますが、その際に必要な支出の増加分は、\begin{equation*}e\left( p_{1},\cdots ,p_{i}+\Delta p_{i},\cdots ,p_{N},v\right) -e\left(
p,v\right)
\end{equation*}です。さらに\(\left( 1\right) \)より、\(\Delta p_{i}\)が十分小さい場合、この増加分は、\begin{equation*}h_{i}^{\ast }\left( p,v\right) \cdot \Delta p_{i}
\end{equation*}と近似的に一致することが保証されます。特に、\(\Delta p_{i}=1\)である場合には、\begin{equation*}h_{i}^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}となり、これは\(\left( p,v\right) \)におけるヒックスの補償需要と一致します。つまり、\(\left( p,v\right) \)を出発点に商品\(i\)の価格が\(1\)だけ上昇した場合、得られる効用水準を\(v\)に維持するためには支出すなわち所得を\(h_{i}^{\ast }\left( p,v\right) \)だけ増やす必要があるということです。
結論を整理します。価格ベクトル\(p\)に直面した消費者が目標効用\(v\)を実現している現状から、商品\(i\)の価格だけが\(1\)単位上昇したとき、支出がそのままであれば消費者が得られる効用は\(v\)を下回ってしまいます。この減少した効用を埋め合わせて（補償して）引き続き\(v\)を実現するためには支出を増やす必要がありますが、そのために必要な支出の増加量は補償需要\(h_{i}^{\ast }\left( p,v\right) \)と一致します。\(h_{i}^{\ast }\left(p,v\right) \)を「補償」需要と呼ぶ理由は以上の通りです。ちなみに、ヒックスの補償需要との対比でワルラスの需要を「非補償」需要と呼ぶ場合もあります。
\end{equation*}を定める場合、先に確認したように、補償需要関数は、\begin{eqnarray*}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{\frac{1}{2}}v \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&p_{1}^{\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}v
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
h_{1}^{\ast }\left( 4,16,10\right) &=&4^{-\frac{1}{2}}16^{\frac{1}{2}}10=20
\\
h_{2}^{\ast }\left( 4,16,10\right) &=&4^{\frac{1}{2}}16^{-\frac{1}{2}}10=5
\end{eqnarray*}となります。以上の事実は、価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) =\left( 4,16\right) \)を出発点に商品\(1\)の価格だけが\(1\)円上昇した場合、価格変化前と同じ満足度を得るためには\(20\)円の支出増が必要であることを意味します。また、商品\(2\)の価格だけが\(1\)円上昇した場合、価格変化前と同じ満足度を得るためには\(5\)円の支出増が必要であることを意味します。
演習問題
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)です。この場合、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在し、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}h_{n}^{\ast }\left( p,v\right) =\left( \frac{\alpha _{n}}{p_{n}}\right)
\left( \frac{v}{k}\right) ^{\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right)
^{-1}}\left( \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right) ^{-\alpha _{1}\left( \alpha
_{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) ^{-1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{p_{N}}\right) ^{-\alpha _{N}\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) ^{-1}}
\end{equation*}を定めます。また、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}e\left( p,v\right) =\left( \frac{v}{k}\right) ^{\left( \alpha _{1}+\cdots
+\alpha _{N}\right) ^{-1}}\left( \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right) ^{-\alpha
_{1}\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) ^{-1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{p_{N}}\right) ^{-\alpha _{N}\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha
_{N}\right) ^{-1}}\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right)
\end{equation*}を定めます。以上を踏まえた上で、シェファードの補題が成立することを確認してください。
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