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CONSUMER THEORY

シェファードの補題

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支出の変化

これまでは支出最小化問題に関して、支出関数が存在するための条件や、その性質について考察してきました。支出関数\(e\)は、価格ベクトルと目標効用水準のそれぞれの値\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して、そこでの支出最小化問題の解における消費者の支出\begin{equation*}e\left( p,v\right) =\min \left\{ p\cdot x\in \mathbb{R} \ |\ x\in X\wedge u\left( x\right) \geq v\right\}
\end{equation*}を値として定める関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)です。消費者理論では、商品の価格\(p\)や目標効用水準\(v\)の変化が消費者による意思決定に与える影響を分析することも重要であり、そのような観点から、パラメータ\(\left( p,v\right) \)の値が変化したときの\(e\left( p,v\right) \)の値の変化、すなわち、それぞれの商品\(i\)の価格\(p_{i}\)に関する支出関数\(e\)の偏微分\(\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}\)や、目標効用水準\(v\)に関する\(e\)の偏微分\(\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial v}\)を評価します。

支出関数\(e\)をパラメータ\(p_{i},v\)で偏微分する動機が発生した場合、今度は以下のようなテクニカルな問題に直面します。

  1. どのような条件が満たされていれば、支出関数\(e\)はそれぞれのパラメータ\(p_{i},v\)について偏微分可能か。
  2. 仮に支出関数\(e\)がパラメータ\(p_{i},v\)について偏微分可能である場合には、偏導関数\(\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial p_{i}},\frac{\partial e\left(p,v\right) }{\partial v}\)はどのような形状をしているか。

このような問題に答えるのが包絡面定理です。支出最小化問題に対して包絡面定理を適用することにより以下の命題を得ます。

命題(支出関数の変化)

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、狭義凸性を満たす場合には\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)と補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)に加え、それぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)に対して、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解\(h^{\ast }\left( p,v\right) \)におけるラグランジュ乗数\(\lambda ^{\ast }\left( p,v\right) \)を値として定める関数\(\lambda ^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在する。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。さらに、\(u,h^{\ast},e\)が\(C^{1}\)級であるとともに、任意の\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)において、\begin{equation*}\nabla u\left( h^{\ast }\left( p,v\right) \right) \not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(e\)の偏導関数は、\begin{align*}\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}& =h_{i}^{\ast }\left(
p,v\right) \quad \left( i=1,\cdots ,N\right) \\
\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial v}& =\lambda ^{\ast }\left(
p,v\right)
\end{align*}となる。

証明

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例(支出関数の変化)
費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v} \\
\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v}\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(\lambda ^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}\lambda ^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\sqrt{\frac{p_{1}p_{2}}{v}}
\end{equation*}を定め、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =2\sqrt{p_{1}p_{2}v}
\end{equation*}を定めます。\(u,h^{\ast },e\)は明らかに\(C^{1}\)級であるとともに、\begin{equation*}\nabla u\left( h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \right) =\left( \sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v},\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v}\right) \not=\left(
0,0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。先の命題より、\(e\)の\(p_{1}\)に関する偏導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial e\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial p_{1}} &=&h_{1}^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
&=&\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v}
\end{eqnarray*}を定め、\(e\)の\(p_{2}\)に関する偏導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial e\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial p_{2}} &=&h_{2}^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
&=&\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v}
\end{eqnarray*}を定め、\(e\)の\(v\)に関する偏導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial e\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial \lambda } &=&\lambda
^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
&=&\sqrt{\frac{p_{1}p_{2}}{v}}
\end{eqnarray*}を定めます。一方、\(e\)を直接偏微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial e\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial p_{1}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( 2\sqrt{p_{1}p_{2}v}\right) =\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v} \\
\frac{\partial e\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial p_{2}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( 2\sqrt{p_{1}p_{2}v}\right) =\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v} \\
\frac{\partial e\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial v} &=&\frac{\partial
}{\partial v}\left( 2\sqrt{p_{1}p_{2}v}\right) =\sqrt{\frac{p_{1}p_{2}}{v}}
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。

通常、支出関数\(e\left( p,v\right) \)の偏導関数である\(\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}\)や\(\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial v}\)を求めるためには、\begin{equation*}e\left( p,v\right) =p\cdot h^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}という関係を踏まえた上で、これを\(p_{i}\)ないし\(v\)に関して微分することになります。一方、包絡面定理の帰結である上の命題によると、\(\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}\)に関しては、\begin{eqnarray*}\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial p_{i}} &=&-\frac{\partial L}{\partial p_{i}}\left( h^{\ast }\left( p,v\right) ,\lambda ^{\ast }\left(
p,v\right) ,p,v\right) \\
&=&h_{i}^{\ast }\left( p,v\right)
\end{eqnarray*}が成り立ち、\(\frac{\partial e\left(p,v\right) }{\partial v}\)に関しては、\begin{eqnarray*}\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial v} &=&-\frac{\partial L}{\partial v}\left( h^{\ast }\left( p,v\right) ,\lambda ^{\ast }\left(
p,v\right) ,p,v\right) \\
&=&\lambda ^{\ast }\left( p,w\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、ラグランジュ関数\(L\)を\(p_{i}\)や\(w\)に関して偏微分して\(-\frac{L\left( x,\lambda,p,v\right) }{\partial p_{i}}\)や\(-\frac{L\left( x,\lambda ,p,v\right) }{\partial v}\)を得た上で、それに最適解\begin{equation*}\left( x,\lambda \right) =\left( h^{\ast }\left( p,v\right) ,\lambda ^{\ast
}\left( p,v\right) \right)
\end{equation*}を代入すれば目的は達成されるということです。

以上の事実を踏まえると、\(\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}\)や\(\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial v}\)を求めるためには以下の手順にしたがえばよいということになります。

  1. 包絡面定理が要求する条件が満たされていることをチェックする。
  2. ラグランジュ関数\(L\)をパラメータ\(p_{i},v\)について偏微分して\(\frac{L\left(x,\lambda ,p,v\right) }{\partial p_{i}}\)や\(\frac{L\left( x,\lambda,p,v\right) }{\partial v}\)を得る。
  3. 補償需要関数\(h^{\ast }\left(p,v\right) \)とラグランジュ乗数を与える関数\(\lambda ^{\ast}\left( p,v\right) \)をそれぞれ求める。その際、通常は、1階の条件\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \frac{\partial L\left( x,\lambda ,p,v\right) }{\partial p_{i}} &=&0\quad \left( i=1,\cdots ,L\right) \\
    \left( b\right) \ \frac{\partial L\left( x,\lambda ,p,v\right) }{\partial v}
    &=&0 \\
    \left( c\right) \ \frac{\partial L\left( x,\lambda ,p,v\right) }{\partial
    \lambda } &=&0
    \end{eqnarray*}を利用する。
  4. \(\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}\)や\(\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial v}\)に\(\left( x,\lambda \right)=\left( h^{\ast }\left( p,v\right) ,\lambda ^{\ast }\left( p,v\right)\right) \)を代入する。

 

シェファードの補題

先の命題より、一定の条件のもとでは、\begin{equation*}
h_{i}^{\ast }\left( p,v\right) =\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial
p_{i}}\quad \left( i=1,\cdots ,N\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが明らかになりました。つまり、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \)における商品\(i\)の補償需要\(h_{i}^{\ast }\left( p,v\right) \)を求めるためには、点\(\left( p,v\right) \)における支出関数\(e\)の偏微分係数\(\frac{\partial e\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}\)を求めればよいということです。こうした関係は任意の商品の補償需要について成立するため、結局、支出関数\(e\)が与えられればそこから補償需要関数\(h^{\ast }\)を、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p,v\right) =\nabla _{p}e\left( p,v\right)
\end{equation*}と特定することができます。これをシェファードの補題(Shephard’s lemma)やマッケンジーの補題(McKenzie’s lemma)などと呼びます。

命題(シェファードの補題)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、狭義凸性を満たす場合には\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)と補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)および支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。さらに、\(u,h^{\ast},e\)が\(C^{1}\)級であるとともに、任意の\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)において、\begin{equation*}\nabla u\left( h^{\ast }\left( p,v\right) \right) \not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
h^{\ast }\left( p,v\right) =\nabla _{p}e\left( p,v\right)
\end{equation*}が成り立つ。

例(シェファードの補題)
繰り返しになりますが、費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v} \\
\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v}\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =2\sqrt{p_{1}p_{2}v}
\end{equation*}を定めます。さて、\begin{eqnarray*}
\left( \frac{\partial e\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial p_{1}},\frac{\partial e\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial p_{2}}\right) &=&\left(
\frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( 2\sqrt{p_{1}p_{2}v}\right) ,\frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( 2\sqrt{p_{1}p_{2}v}\right) \right) \\
&=&\left( \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v},\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \)と一致します。この結果は先の命題の主張と整合的です。

次回は効用の限界費用について解説します。

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