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CONSUMER THEORY

ストーン・ギアリー型効用関数

目次

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ストーン・ギアリー型効用関数

消費集合\(X\subset \mathbb{R} _{+}^{N}\)が\begin{equation*}\forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\gamma _{n}\geq 0
\end{equation*}を満たす定数\(\gamma _{1},\cdots ,\gamma_{N}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}\geq \gamma
_{n}\right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。さらに、効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの消費ベクトル\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\alpha _{n}>0
\\
&&\left( b\right) \ \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}=1
\end{eqnarray*}を満たす定数\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{N}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}
u\left( x\right) =\left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha _{1}}\left(
x_{2}-\gamma _{2}\right) ^{\alpha _{2}}\cdots \left( x_{N}-\gamma
_{N}\right) ^{\alpha _{N}}
\end{equation*}という形で表されるとき、このような効用関数\(u\)をストーン・ギアリー型効用関数(Stone-Geary utility function)と呼びます。

それぞれの商品\(n\)に関するパラメータ\(\gamma _{n}\)は、消費者が生存を維持するために消費せざるを得ない商品\(n\)の数量に相当し、これを商品\(n\)の生存維持水準(level of subsistence)や必需的消費(necessary consumption)などと呼びます。何らかの商品\(n\)について、その消費量\(x_{n}\)が生存維持水準\(\gamma _{n}\)と一致する場合、ストーン・ギアリー型効用関数\(u\)の定義より、消費者が得る利得は\(0\)です。逆に、任意の商品\(n\)の消費量\(x_{n}\)が生存維持水準\(\gamma _{n}\)を上回る場合、消費者はようやく正の効用を得ることができます。したがって、ストーン・ギアリー型効用関数は、それぞれの商品に関して、消費者が生存を維持するために必ず消費しなければならない数量が設定されている状況を描写したものになっています。

例(ストーン・ギアリー型効用関数)
2財モデルにおけるストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x_{1}\geq \gamma _{1}\wedge x_{2}\geq \gamma _{2}\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(u\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha }\left(
x_{2}-\gamma _{2}\right) ^{1-\alpha }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(0<\alpha <1\)かつ\(\gamma _{n}\geq 0\ \left( n=1,2\right) \)です。例えば、\(\alpha =\frac{1}{2}\)かつ\(\gamma _{1}=\gamma _{2}=1\)であれば、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x_{1}\geq 1\wedge x_{2}\geq 1\right\}
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( x_{1}-1\right) ^{\frac{1}{2}}\left(
x_{2}-1\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}となります。

例(ストーン・ギアリー型効用関数)
3財モデルにおけるストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}\geq \gamma _{1}\wedge x_{2}\geq \gamma _{2}\wedge
x_{3}\geq \gamma _{3}\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(u\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha
}\left( x_{2}-\gamma _{2}\right) ^{\beta }\left( x_{3}-\gamma _{3}\right)
^{1-\alpha -\beta }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(0<\alpha <1\)かつ\(\gamma _{n}\geq 0\ \left(n=1,2,3\right) \)です。例えば、\(\alpha =\frac{1}{3}\)かつ\(\gamma _{1}=\gamma _{2}=\gamma _{3}=1\)であれば、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}\geq 1\wedge x_{2}\geq 1\wedge x_{3}\geq 1\right\}
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( x_{1}-1\right) ^{\frac{1}{3}}\left(
x_{2}-1\right) ^{\frac{1}{3}}\left( x_{3}-1\right) ^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}となります。

例(ストーン・ギアリー型効用関数)
繰り返しになりますが、ストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}\geq \gamma
_{n}\right\}
\end{equation*}であり、\(u\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =\left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha _{1}}\left(
x_{2}-\gamma _{2}\right) ^{\alpha _{2}}\cdots \left( x_{N}-\gamma
_{N}\right) ^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めます。特に、任意の\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)について\(\gamma _{n}=0\)である場合、\begin{equation*}X=\mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
u\left( x\right) =x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{N}^{\alpha
_{N}}
\end{equation*}となりますが、これはコブ・ダグラス型効用関数です。つまり、ストーン・ギアリー型効用関数はコブ・ダグラス型効用関数の一般化です。

 

ストーン・ギアリー型効用関数の単調性

ストーン・ギアリー型効用関数は単調増加関数です。

命題(ストーン・ギアリー型効用関数の単調性)
ストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は単調増加関数である。
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ストーン・ギアリー型効用関数は狭義単調増加ではありません。以下の例より明らかです。

例(ストーン・ギアリー型効用関数)
ストーン・ギアリー型\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の2つの点\begin{eqnarray*}\left( \gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3},\cdots ,\gamma _{N}\right) &\in
&X \\
\left( \gamma _{1},\gamma _{2}+1,\gamma _{3},\cdots ,\gamma _{N}\right)
&\in &X
\end{eqnarray*}に注目すると、\begin{equation*}
\left( \gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3},\cdots ,\gamma _{N}\right)
>\left( \gamma _{1},\gamma _{2}+1,\gamma _{3},\cdots ,\gamma _{N}\right)
\end{equation*}が成り立つ一方で、\begin{eqnarray*}
u\left( \gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3},\cdots ,\gamma _{N}\right)
&=&0\quad \because u\text{の定義} \\
&=&u\left( \gamma _{1},\gamma _{2}+1,\gamma _{3},\cdots ,\gamma _{N}\right)
\quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}となり、したがって、\begin{equation*}
u\left( \gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3},\cdots ,\gamma _{N}\right)
>u\left( \gamma _{1},\gamma _{2}+1,\gamma _{3},\cdots ,\gamma _{N}\right)
\end{equation*}が成り立たないからです。

一方、ストーン・ギアリー型効用関数の定義域を消費集合の内部\begin{equation*}
X^{i}=\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}>\gamma
_{n}\right\}
\end{equation*}に制限すれば、すなわち任意の商品の消費量が生存維持水準を上回る場合には、ストーン・ギアリー型効用関数は狭義単調増加になります。

命題(ストーン・ギアリー型効用関数の狭義単調性)
ストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は\(X^{i}\)上において狭義単調増加関数である。
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一般に、狭義単調増加な関数は局所非飽和性を満たします。以上の事実と上の命題より、ストーン・ギアリー型効用関数の定義域を\(X^{i}\)に制限すれば局所非飽和性が成り立ちます。

命題(ストーン・ギアリー型効用関数の局所非飽和性)
ストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は\(X^{i}\)上において局所非飽和性を満たす。

局所非飽和な効用関数のもとではワルラスの法則が成立します。以上より、ストーン・ギアリー型効用関数を分析対象とする場合、効用最大化問題の解が消費集合の内点である場合には、消費者は解において所得を使い切ることが保証されます。

 

ストーン・ギアリー型効用関数の連続微分可能性

ストーン・ギアリー型効用関数は多項式関数であるため消費集合の内点において連続微分可能です。

命題(ストーン・ギアリー型効用関数の連続微分可能性)
ストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は\(X^{i}\)上において\(C^{1}\)級である。
証明

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ストーン・ギアリー型効用関数の対数変換

多くの場合、ストーン・ギアリー型効用関数を扱う際には分析を容易にするために自然対数関数との合成関数を利用します。具体的には、ストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}\geq \gamma
_{n}\right\}
\end{equation*}であり、\(u\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =\left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha _{1}}\left(
x_{2}-\gamma _{2}\right) ^{\alpha _{2}}\cdots \left( x_{N}-\gamma
_{N}\right) ^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めるため、消費集合のそれぞれの内点\(x\in X^{i}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) >0
\end{equation*}を満たします。したがって、定義域を消費集合の内部に制限して\(u:X^{i}\rightarrow \mathbb{R} \)とすればその値域は、\begin{equation*}u\left( X^{i}\right) =\mathbb{R} _{++}^{N}
\end{equation*}となります。すると自然対数関数\(\ln :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)との合成関数\(\ln u:X^{i}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能になり、この合成関数はそれぞれの\(x\in X^{i}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( \ln u\right) \left( x\right) &=&\ln u\left( x\right) \quad \because
\text{合成関数の定義} \\
&=&\ln \left[ \left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha _{1}}\left(
x_{2}-\gamma _{2}\right) ^{\alpha _{2}}\cdots \left( x_{N}-\gamma
_{N}\right) ^{\alpha _{N}}\right] \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\ln \left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha _{1}}+\ln \left(
x_{2}-\gamma _{2}\right) ^{\alpha _{2}}+\cdots +\ln \left( x_{N}-\gamma
_{N}\right) ^{\alpha _{N}} \\
&=&\alpha _{1}\ln \left( x_{1}-\gamma _{1}\right) +\alpha _{2}\ln \left(
x_{2}-\gamma _{2}\right) +\cdots +\alpha _{N}\ln \left( x_{N}-\gamma
_{N}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

繰り返しになりますが、自然対数関数\(\ln \)は正の実数上において定義されているため\(\ln 0\)は存在しません。したがって、消費集合\(X\)の境界点、すなわち少なくとも1つの商品\(n\)の消費量\(x_{n}\)が生存維持水準\(\gamma _{n}\)と一致するような消費ベクトルにおいて上の合成関数\(\ln u\)は定義されないことに注意する必要があります。

例(ストーン・ギアリー型効用関数の対数変換)
2財モデルにおけるストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x_{1}\geq \gamma _{1}\wedge x_{2}\geq \gamma _{2}\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(u\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha }\left(
x_{2}-\gamma _{2}\right) ^{1-\alpha }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(0<\alpha <1\)かつ\(\gamma _{m}\geq 0\ \left( n=1,2\right) \)です。この場合、関数\(\ln u:X^{i}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in X^{i}\)に対して、\begin{equation*}\ln u\left( x_{1},x_{2}\right) =\alpha \ln \left( x_{1}-\gamma _{1}\right)
+\left( 1-\alpha \right) \ln \left( x_{2}-\gamma _{2}\right)
\end{equation*}を定めます。

例(ストーン・ギアリー型効用関数の対数変換)
3財モデルにおけるストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}\geq \gamma _{1}\wedge x_{2}\geq \gamma _{2}\wedge
x_{3}\geq \gamma _{3}\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(u\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha
}\left( x_{2}-\gamma _{2}\right) ^{\beta }\left( x_{3}-\gamma _{3}\right)
^{1-\alpha -\beta }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(0<\alpha <1\)かつ\(\gamma _{n}\geq 0\ \left(n=1,2,3\right) \)です。この場合、関数\(\ln u:X^{i}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in X^{i}\)に対して、\begin{equation*}\ln u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\alpha \ln \left( x_{1}-\gamma
_{1}\right) +\beta \ln \left( x_{2}-\gamma _{2}\right) +\left( 1-\alpha
-\beta \right) \left( x_{3}-\gamma _{3}\right)
\end{equation*}を定めます。

選好関係\(\succsim \)がストーン・ギアリー型効用関数\(u\)によって表現されるものとします。考察対象を消費集合の内部\(X^{i}\)に制限した場合、自然数対数関数\(\ln \)との合成関数\(\ln u:X^{i}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能ですが、自然対数関数は単調増加関数であるため、合成関数\(\ln u\)はもとの関数\(u\)の単調増加変換です。一般に、選好関係を表す効用関数の任意の単調増加変換もまた同じ選好関係を表す効用関数であるため、\(\ln u\)もまた\(\succsim \)を表す効用関数です。したがって、消費集合の内部\(X^{i}\)に属する消費集合どうしを比較する場合、\(u\)の代わりに\(\ln u\)を分析対象としても一般性は失われません。消費集合の境界にある消費集合については別に考える必要があります。

命題(ストーン・ギアリー型効用関数の対数変換)
消費集合\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}\geq \gamma
_{n}\right\}
\end{equation*}上の選好関係\(\succsim \)がストーン・ギアリー型効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されるとき、関数\(\ln u:X^{i}\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数である。

 

コブ・ダグラス型効用関数は準凹関数

繰り返しになりますが、ストーン・ギアリー型効用関数の定義域を消費集合の内部に制限して得られる関数\(u:X^{i}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから合成関数\(\ln u:X^{i}\rightarrow \mathbb{R} \)が常に定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X^{i}\)に対して、\begin{equation*}\left( \ln u\right) \left( x\right) =\alpha _{1}\ln \left( x_{1}-\gamma
_{1}\right) +\alpha _{2}\ln \left( x_{2}-\gamma _{2}\right) +\cdots +\alpha
_{N}\ln \left( x_{N}-\gamma _{N}\right)
\end{equation*}を定めます。

自然対数関数は凹関数であること、凹関数の正の定数倍は凹関数であること、さらに凹関数どうしの和もまた凹関数であることを踏まえると、上の関数\(\ln u\)が凹関数であることが保証されます。

命題(ストーン・ギアリー型効用関数の対数変換は凹関数)
ストーン・ギアリー型効用関数\(u:X^{i}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それと自然数対数との合成関数\(\ln u:X^{i}\rightarrow \mathbb{R} \)は凹関数である。

凹関数は準凹関数であることと上の命題を踏まえると関数\(\ln u:X^{i}\rightarrow \mathbb{R} \)は準凹関数でもあります。ここで、自然対数関数\(\exp :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)との合成関数\(\exp \left( \ln u\right):X^{i}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、これはそれぞれの\(x\in X^{i}\)に対して、\begin{eqnarray*}\exp \left( \ln u\right) \left( x\right) &=&\exp \left( \left( \ln u\right)
\left( x\right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&\exp \left( \alpha _{1}\ln \left( x_{1}-\gamma _{1}\right) +\alpha
_{2}\ln \left( x_{2}-\gamma _{2}\right) +\cdots +\alpha _{N}\ln \left(
x_{N}-\gamma _{N}\right) \right) \quad \because \ln u\text{の定義} \\
&=&\left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha _{1}}\left( x_{2}-\gamma
_{2}\right) ^{\alpha _{2}}\cdots \left( x_{N}-\gamma _{N}\right) ^{\alpha
_{N}}
\end{eqnarray*}となり、これはストーン・ギアリー型効用関数と一致します。自然対数関数\(\exp \)は単調増加関数です。準凹関数と単調増加関数の合成関数は準凹関数であるため、上の関数\(\exp \left( \ln u\right) \)もまた準凹関数であり、したがってそれと一致するストーン・ギアリー型効用関数もまた準凹関数です。

命題(ストーン・ギアリー型効用関数は準凹関数)
ストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は\(X^{i}\)上において準凹関数である。

効用関数が\(C^{1}\)級の準凹関数である場合、ある消費ベクトルがクーンタッカーの条件を満たすことは、その消費ベクトルが効用最大化問題の解であるための必要十分条件となります。これまでの議論から明らかになったように、ストーン・ギアリー型効用関数は消費集合の内部\(X^{i}\)において\(C^{1}\)級の準凹関数です。したがって、ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの効用最大化問題において、比較対象を消費集合の内点であるような消費ベクトルに制限した場合、クーンタッカーの条件を満たす消費ベクトルはそのまま効用最大化問題の解になります。加えて、消費集合\(X\)の境界点においてストーン・ギアリー型効用関数の値は\(0\)になるため、消費集合の境界点が効用最大化問題の解になることはありません。したがって、比較対象を消費集合の内部\(X^{i}\)上の消費ベクトルとした場合においても、クーンタッカーの条件を満たす消費ベクトルは効用最大化問題の解になります。

次回はストーン・ギアリー型効用関数のもとでの効用最大化問題について解説します。

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