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CONSUMER THEORY

可算集合上の効用関数の存在条件

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可算な消費集合上に定義された選好関係を表す関数の候補

消費集合が有限集合である場合には合理的な選好関係を表現する効用関数が常に存在することが明らかになりました。状況をより一般化して、消費集合が可算集合である場合にはどうでしょうか。実は、消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)が可算集合である場合にも、\(X\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性を満たすのであれば、それを表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在することを保証できます。しかも、そのような関数\(u\)を具体的に構成できます。まずは、そのような関数\(u\)の候補を提示します。

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)が可算集合であるとともに、選好関係\(\succsim \)が合理性を満たすものとします。\(X\)は可算集合であるため、その要素に対して、\begin{equation*}
X=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3},\cdots \right\}
\end{equation*}と付番できます。消費ベクトル\(x_{n}\in X\ \left( n=1,2,3,\cdots \right) \)を任意に選んだときに、その下方位集合は、\begin{equation*}
L\left( x_{n}\right) =\left\{ x\in X\ |\ x_{n}\succsim x\right\}
\end{equation*}と定義されます。つまり、\(L\left( x_{n}\right) \)は\(\succsim \)のもとで\(x_{n}\)と同等であるか\(x_{n}\)より望ましくない消費ベクトルからなる集合です。以上を踏まえた上で、それぞれの\(x_{n}\in X\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{n}\right) =\sum_{m\in \mathbb{N} \ \text{s.t.}\ x_{m}\in L\left( x_{n}\right) }\left( \frac{1}{2}\right) ^{m}
\end{equation*}を定める関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)を定義します。つまり、消費ベクトル\(x_{n}\)と同等であるか\(x_{n}\)より望ましくない消費ベクトル\(x_{m}\)をすべて集めた上で、そのそれぞれの添字\(m\)に対して\(\left( \frac{1}{2}\right) ^{m}\)を計算した上で、それらの総和をとったものを\(u\left( x_{n}\right) \)と定めるということです。

消費集合\(X\)が可算集合である場合、消費ベクトル\(x_{n}\)の下方位集合\(L\left( x_{n}\right) \)の要素の個数、すなわち\(x_{n}\)と同等であるか\(x_{n}\)よりも望ましくない消費ベクトルの個数もまた可算となり得るため、上の定義中の右辺は無限級数の和です。仮定より選好関係\(\succsim \)は完備性を満たすため、消費ベクトル\(x_{n},x_{m}\in X\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
x_{m}\not\in L\left( x_{n}\right) &\Leftrightarrow &\lnot \left(
x_{n}\succsim x_{m}\right) \\
&\Leftrightarrow &x_{m}\succ x_{n} \\
&\Leftrightarrow &x_{m}\in U_{s}\left( x_{n}\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。ただし、\(U_{s}\left( x_{n}\right) \)は消費ベクトル\(x_{n}\)の狭義上方位であり、\begin{equation*}
U_{s}\left( x_{n}\right) =\left\{ x\in X\ |\ x\succ x_{m}\right\}
\end{equation*}と定義されます。以上を踏まえると、先の無限級数の和を、\begin{eqnarray*}
\sum_{m\in \mathbb{N} \ \text{s.t.}\ x_{m}\in L\left( x_{n}\right) }\left( \frac{1}{2}\right) ^{m}
&=&\sum_{m\in \mathbb{N} }\left( \frac{1}{2}\right) ^{m}-\sum_{x_{m}\in U_{s}\left( x_{n}\right)
}\left( \frac{1}{2}\right) ^{m} \\
&=&1-\sum_{x_{m}\in U_{s}\left( x_{n}\right) }\left( \frac{1}{2}\right) ^{m}
\end{eqnarray*}と言い換えることができます。したがって、先の関数を、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{n}\right) =1-\sum_{x_{m}\in U_{s}\left( x_{n}\right) }\left(
\frac{1}{2}\right) ^{m}
\end{equation*}を定める関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)と定義しなおしても問題ありません。さらにここから、この関数\(u\)がとり得る値の範囲が、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :0\leq u\left( x_{n}\right) \leq 1
\end{equation*}を満たすことが分かります。

例(可算な消費集合上に定義された関数)
消費集合\(X\)が可算集合であり、それらの要素が、\begin{equation*}
X=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3},\cdots \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。さらに、\(X\)上に定義された選好関係\(\succsim \)は合理性を満たすともに、\begin{equation}
x_{3}\succ x_{1}\sim x_{5}\succ x_{2}\sim x_{4}\succsim \cdots \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすものとします。このとき、先の関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの消費ベクトル\(x_{n}\in X\)対して定める値は、\begin{eqnarray*}
u\left( x_{1}\right) &=&\sum_{m\in \mathbb{N} \backslash \left\{ 3\right\} }\left( \frac{1}{2}\right) ^{m}=1-\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}=\frac{7}{8} \\
u\left( x_{2}\right) &=&\sum_{m\in \mathbb{N} \backslash \left\{ 1,3,5\right\} }\left( \frac{1}{2}\right) ^{m}=1-\left[
\frac{1}{2}+\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}+\left( \frac{1}{2}\right) ^{5}\right] =\frac{11}{32} \\
u\left( x_{3}\right) &=&\sum_{m\in \mathbb{N} }\left( \frac{1}{2}\right) ^{m}=1 \\
u\left( x_{4}\right) &=&\sum_{m\in \mathbb{N} \backslash \left\{ 1,3,5\right\} }\left( \frac{1}{2}\right) ^{m}=1-\left[
\frac{1}{2}+\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}+\left( \frac{1}{2}\right) ^{5}\right] =\frac{11}{32} \\
u\left( x_{5}\right) &=&\sum_{m\in \mathbb{N} \backslash \left\{ 3\right\} }\left( \frac{1}{2}\right) ^{m}=1-\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}=\frac{7}{8} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなるため、
\begin{equation}
u\left( x_{3}\right) >u\left( x_{1}\right) =u\left( x_{5}\right) >u\left(
x_{2}\right) =u\left( x_{4}\right) \cdots \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)を見比べると、少なくとも最初の5つの消費ベクトル\(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\)に関しては\(\succsim \)のもとでの消費ベクトルどうしの相対的な望ましさが効用の大小関係としてもそのまま表現されているため、\(u\)は\(\succsim \)を表す効用関数であることが予想されます。

上の例が示唆するように、可算な消費集合\(X\)上に定義された選好関係\(\succsim \)が合理性を満たす場合、先のように定義された関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)は\(\succsim \)を表現する効用関数になりことが予想されます。つまり、消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x\succsim y\Leftrightarrow u\left( x\right) \geq u\left( y\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが予想されます。実際、これは正しい主張です。証明は以下の通りです。

消費集合が可算集合\(X=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3},\cdots \right\} \subset \mathbb{R}^{N}\)であるとともに\(X\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性を満たすものとします。このとき、それぞれの\(x_{n}\in X\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{n}\right) =\sum_{m\in \mathbb{N} \ \text{s.t.}\ x_{m}\in L\left( x_{n}\right) }\left( \frac{1}{2}\right) ^{m}
\end{equation*}を定める関数が\(\succsim \)を表す効用関数であることを示します。つまり、消費ベクトル\(x_{i},y_{j}\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x_{i}\succsim y_{j}\Leftrightarrow u\left( x_{i}\right) \geq u\left(
y_{j}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを示します。

まずは\(\Rightarrow \)の証明です。\(x_{i}\succsim x_{j}\)を満たす消費ベクトル\(x_{i},x_{j}\in X\)を任意に選びます。このとき、任意の\(z\in X\)について、\begin{eqnarray*}
y\in L\left( x_{j}\right) &\Leftrightarrow &x_{j}\succsim y\quad \because
L\left( \cdot \right) \text{の定義} \\
&\Rightarrow &x_{j}\succsim y\wedge x_{i}\succsim x_{j}\quad \because
x_{i}\succsim x_{j} \\
&\Rightarrow &x_{i}\succsim y\quad \because \text{推移性}
\\
&\Leftrightarrow &y\in L\left( x_{i}\right) \quad \because L\left( \cdot
\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
L\left( x_{j}\right) \subset L\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
\sum_{m\in \mathbb{N} \ \text{s.t.}\ x_{m}\in L\left( x_{j}\right) }\left( \frac{1}{2}\right)
^{m}\leq \sum_{m\in \mathbb{N} \ \text{s.t.}\ x_{m}\in L\left( x_{i}\right) }\left( \frac{1}{2}\right) ^{m}
\end{equation*}が成り立ちますが、関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)の定義より、これは、\begin{equation*}
u\left( x_{j}\right) \leq u\left( x_{i}\right)
\end{equation*}であることを意味するため証明が完了しました。

\(\Leftarrow \)の証明は演習問題とします。

命題(可算な消費集合上の効用関数)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)が可算集合であるとともに、\(X\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性を満たす場合には、\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在する。具体的には、それぞれの$x_{n}\in
X=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3},\cdots \right\} $に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{n}\right) =\sum_{m\in \mathbb{N} \ \text{s.t.}\ x_{m}\in L\left( x_{n}\right) }\left( \frac{1}{2}\right) ^{m}
\end{equation*}を定める関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)はそのような関数の一例である。
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次回は一般の集合上に定義された選好関係を表す効用関数が存在するための条件(ドブリューの定理)について解説します。

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