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CONSUMER THEORY

効用関数

目次

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効用関数

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、ある関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在して、任意の消費ベクトル\(x,y\in X\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\succsim y
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、この関数\(u\)のことを選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数(utility function)と呼びます。また、効用関数\(u\)が消費ベクトル\(x\)に対して定める値\(u\left( x\right) \)を\(x\)の効用(utility)と呼びます。つまり、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在する場合、消費ベクトル\(x,y\)について\(x\)が\(y\)以上に望ましいことと、\(x\)の効用が\(y\)の効用以上であることが必要十分になります。言い換えると、効用関数を用いれば、消費ベクトルの間の相対的な望ましさを、消費ベクトルがもたらす効用の大小関係として表現できるということです。

一般に、選好関係が与えられたとき、それを表現する効用関数は存在するとは限りません。ただ、効用関数が存在することを保証する上で必要とされる条件については様々なものが知られています。効用関数の存在条件については場を改めて詳しく解説します

例(効用関数)
消費集合が\(\mathbb{R}_{+}\)であるものとします。つまり、問題としているのは1種類の商品であり、それぞれの消費ベクトル\(x\in \mathbb{R}_{+}\)は非負の実数です。\(\mathbb{R}_{+}\)上に定義された消費者の選好関係\(\succsim \)を、任意の\(x,y\in \mathbb{R}_{+}\)に対して、\begin{equation*}
x\succsim y\Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(\geq \)は実数どうしを比較する通常の大小関係です。つまり、上の選好関係\(\succsim \)は「商品の消費量は多ければ多いほど良い」という評価体系を反映したものになっています。このとき、関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、商品の消費量をそのまま効用として採用するということです。この関数\(u\)は先の選好\(\succsim \)を表す効用関数です(演習問題にします)。
例(効用関数)
コーヒーと角砂糖という2つの商品について考えます。コーヒーの消費量を\(x_{1}\)杯で、角砂糖の消費量を\(x_{2}\)個でそれぞれ表記します。今、カップ\(3\)杯分のコーヒーと\(10\)個の角砂糖があります。つまり、消費集合は\(X=\left\{ 0,1,2,3\right\} \times \left\{ 0,1,2,\cdots ,10\right\} \)です。ある人はコーヒー\(1\)杯に角砂糖を2個入れることを習慣にしており、角砂糖がそれよりも多すぎたり少なすぎると我慢できません。この人の選好\(\succsim \)をどのような効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)として表現できるでしょうか。具体例として、2つの消費ベクトル\(\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) \)について考えます。\(\left( 1,2\right) \)はコーヒー\(1\)杯と角砂糖\(2\)個の組み合わせ、\(\left( 1,3\right) \)はコーヒー\(1\)杯と角砂糖\(3\)個の組み合わせです。この人にとって重要なことは「コーヒー\(1\)杯と角砂糖\(2\)個のセット」の数量ですが、\(\left( 1,2\right) \)と\(\left( 1,3\right) \)から確保できるセットの数はともに\(1\)であるため、\begin{equation*}
u\left( 1,2\right) =u\left( 1,3\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます(余った砂糖は追加的な効用をもたらさない)。別の例として、2つの消費ベクトル\(\left( 1,3\right) ,\left( 2,3\right) \)について考えます。\(\left( 1,2\right) \)はコーヒー\(1\)杯と角砂糖\(3\)個の組み合わせ、\(\left( 2,3\right) \)はコーヒー\(2\)杯と角砂糖\(3\)個の組み合わせです。この人にとって重要なことは「コーヒー\(1\)杯と角砂糖\(2\)個のセット」の数量ですが、\(\left( 1,3\right) \)と\(\left( 2,3\right) \)から確保できるセットの数はともに\(1\)であるため、\begin{equation*}
u\left( 1,3\right) =u\left( 2,3\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます(余ったコーヒーは追加的な効用をもたらさない)。以上の議論をどのように一般化できるでしょうか。繰り返しになりますが、この人にとって重要なことは「コーヒー\(1\)杯と角砂糖\(2\)個のセット」の数量です。では、消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)が与えられたとき、そこからそのようなセットをいくつ確保できるでしょうか。仮に、\begin{equation*}
x_{1}:x_{2}=1:2
\end{equation*}すなわち\(2x_{1}=x_{2}\)という関係が成り立つ場合には\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)からは\(x_{1}\)個のセットを確保できるとともにコーヒーと角砂糖は余りません。一方、\(2x_{1}<x_{2}\)が成り立つ場合には角砂糖が余るため\(x_{1}\)個のセットを確保できます。逆に、\(2x_{2}>x_{2}\)が成り立つ場合にはコーヒーが余るため\(\left[ \frac{x_{2}}{2}\right] \)個のセットを確保できます。ただし、\(\left[ \frac{x_{2}}{2}\right] \)は\(\frac{x_{2}}{2}\)の整数部分を表す記号です。以上を踏まえると、それぞれの消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x_{1} & \left( if\ 2x_{1}<x_{2}\right) \\
\left[ \frac{x_{2}}{2}\right] & \left( if\ 2x_{1}\geq x_{2}\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)をとれば、これは\(\succsim \)を表す効用関数になっています。ちなみに、この人にとってのコーヒーと角砂糖のように、常に一定の数量の割合のもとで消費される2つの商品を完全補完財(perfect complements)と呼びます。
例(効用関数)
500円硬貨と1000円紙幣という2つの商品について考えます。500円硬貨の数量を\(x_{1}\)枚で、1000円紙幣の数量を\(x_{2}\)枚でそれぞれ表記します。今、500円硬貨と1000円紙幣が\(5\)枚ずつあります。つまり、消費集合は\(X=\left\{ 0,1,2,3,4,5\right\} \times \left\{ 0,1,2,3,4,5\right\} \)です。ある人にとって重要なことは得られる金額だけであり、硬貨と紙幣の違いは意味を持たないものとします。この人の選好\(\succsim \)はどのような効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)として表現できるでしょうか。繰り返しになりますが、この人にとって重要なことが得られる金額の大きさだけであるため、消費ベクトルから得られる合計金額をそのまま効用とみなしても問題は発生しません。つまり、それぞれの消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =500x_{1}+1000x_{2}
\end{equation*}を定める関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)をとれば、これは\(\succsim \)を表す効用関数になっています。ちなみに、この人にとっての500円硬貨と1000円紙幣のように、完全に交換可能であるような2つ商品を完全代替財(perfect substitutes)と呼びます。
例(効用関数)
消費集合が\(X=\{0,1,2,3,4,5\}\times \{0,1,2,3,4,5\}\)であるものとします。つまり、問題としているのは2種類の商品であり、それぞれの消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in X\)において商品\(i\ \left( =1,2\right) \)の消費量\(x_{i}\)は\(1\)以上\(5\)以下の整数です。\(X\)上の選好関係\(\succsim \)を、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\veebar \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(\veebar \)は排他的論理和を表す記号です。つまり、上の選好関係\(\succsim \)は「商品\(1\)の消費量がより多い消費ベクトルは無条件でより望ましく、商品\(1\)の消費量が等しい消費ベクトルどうしについては、商品\(2\)の消費量が多い方がより望ましい」という評価体系を反映したものになっています。関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =5x_{1}+x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。これは\(\succsim \)を表す効用関数です(演習問題にします)。一方、関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =3x_{1}+x_{2}
\end{equation*}を定めるものとすると、これは\(\succsim \)を表す効用関数ではありません。実際、消費ベクトルである\(\left( 0,5\right) \)と\(\left( 1,0\right) \)に注目したとき、\(\succsim \)の定義より、\begin{equation*}
\left( 1,0\right) \succsim \left( 0,5\right)
\end{equation*}が成り立つ一方で、\(u\)の定義より、\begin{equation*}
u\left( 1,0\right) =3<5=u\left( 0,5\right)
\end{equation*}となり、これは効用関数の定義に反しているからです。

 

効用関数の特徴づけ

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在するものとします。このとき、狭義選好関係\(\succ \)および効用関数\(u\)の定義を踏まえると、消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}
x\succ y\Leftrightarrow u(x)>u(y)
\end{equation*}という関係が成り立つことが示されます(証明は演習問題にします)。つまり、消費者にとって\(x\)が\(y\)よりも望ましいことと、\(x\)の効用が\(y\)の効用よりも大きいことは必要十分です。

同様に、無差別関係\(\sim \)および効用関数\(u\)の定義を踏まえると、消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}
x\sim y\Leftrightarrow u(x)=u(y)
\end{equation*}という関係が成り立つことが示されます(証明は演習問題にします)。つまり、消費者にとって\(x\)と\(y\)が同じ程度望ましいことと、\(x\)の効用と\(y\)の効用が等しいことは必要十分です。

命題(効用関数の特徴づけ)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在するとき、任意の消費ベクトル\(x,y\in X\)について、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ x &\succ &y\Leftrightarrow u(x)>u(y) \\
\left( b\right) \ x &\sim &y\Leftrightarrow u(x)=u(y)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、消費集合\(X\)上に定義された関数\(u\)が上の2つの条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)を満たす場合、この関数\(u\)は\(\succsim \)を表す効用関数であることが保証されます。つまり、任意の消費ベクトル\(x,y\in X\)について、\begin{equation*}
x\succsim y\Leftrightarrow u\left( x\right) \geq u\left( y\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが示されます(証明は演習問題とします)。

命題(効用関数の特徴づけ)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、ある関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在して、任意の消費ベクトル\(x,y\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ x &\succ &y\Leftrightarrow u(x)>u(y) \\
\left( b\right) \ x &\sim &y\Leftrightarrow u(x)=u(y)
\end{eqnarray*}をともに満たすならば、この関数\(u\)は\(\succsim \)を表す効用関数である。
証明

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以上の2つの命題より以下が導かれます。

命題(効用関数の特徴づけ)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、ある関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在して、任意の消費ベクトル\(x,y\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ x &\succ &y\Leftrightarrow u(x)>u(y) \\
\left( b\right) \ x &\sim &y\Leftrightarrow u(x)=u(y)
\end{eqnarray*}をともに満たすことは、この関数\(u\)が\(\succsim \)を表す効用関数であるための必要十分条件である。

これまでの話の流れを振り返ると、選好関係\(\succsim \)を最初に定義し、そこから派生的に狭義選好関係\(\succ \)や無差別関係\(\sim \)を定義し、さらに、\begin{equation}
x\succsim y\Leftrightarrow u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすものとして効用関数\(u\)を定義したとき、\(\succ \)や\(\sim \)に関して、\begin{eqnarray}
x &\succ &y\Leftrightarrow u(x)>u(y) \quad \cdots (2) \\
x &\sim &y\Leftrightarrow u(x)=u(y) \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}が成り立つことを明らかにしました。上の命題によると、そのような話の流れとは逆に、最初に\(\succ \)と\(\sim \)を定義し、そこから派生的に\(\succsim \)を定義し、さらに\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)を満たすものとして\(u\)を定義したとき、\(\succsim \)に関して\(\left( 1\right) \)が成り立つことを示すことができます。つまり、消費者の選好を定式化する際には、\(\succsim \)を出発点にしても、\(\succ \)と\(\sim \)のペアを出発点にしても本質的には同じであるということです。

 

基数的効用と序数的効用

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在するとき、単調増加関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)を任意に選んだ上で合成関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R}\)を作成します。合成関数の定義より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
\left( f\circ u\right) \left( x\right) =f\left( u\left( x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。このような合成関数を生成する操作を指して\(u\)の単調増加変換(monotonically increasing transformation)と呼びます。消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選ぶと、このとき、\begin{align*}
x\succsim y& \Leftrightarrow \ u(x)\geq u(y)\quad \because u\text{は効用関数} \\
& \Leftrightarrow \ f(u(x))\geq f(u(y))\quad \because f\text{は単調増加関数} \\
& \Leftrightarrow \ (f\circ u)(x)\geq (f\circ u)(y)\quad \because f\circ u\text{の定義}
\end{align*}すなわち、\begin{equation*}
x\succsim y\Leftrightarrow (f\circ u)(x)\geq (f\circ u)(y)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\circ u\)もまた\(\succsim \)を表す効用関数です。同様の議論が任意の単調増加関数\(f\)に関して成立します。つまり、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が与えられたとき、それを任意の形で単調増加変換して得られる関数\(f\circ u\)もまた\(\succsim \)を表す効用関数であることが保証されるということです。

命題(効用関数の単調増加変換)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、単調増加関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)を任意に選んだ上で、両者の合成関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R}\)をとると、この\(f\circ u\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数となる。
例(効用関数の単調増加変換)
消費集合が\(\mathbb{R}_{+}\)であるものとします。つまり、問題としているのは1種類の商品であり、それぞれの消費ベクトル\(x\in \mathbb{R}_{+}\)は非負の実数です。\(\mathbb{R}_{+}\)上に定義された関数\(u:\mathbb{R}_{+}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}_{+}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x\right) =4x^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。この\(u\)は\(\succsim \)を表す効用関数です(確認してください)。さらに、\(u\)に対して様々な単調増加変換を行うことで得られる関数\(g,h,i:X\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}_{+}\)に対して、\begin{eqnarray*}
g\left( x\right) &=&\left[ u\left( x\right) \right] ^{2}=\left[ 4x^{4}\right] ^{2} \\
h\left( x\right) &=&10\log u\left( x\right) =10\log 4x^{4} \\
i\left( x\right) &=&\sqrt{u\left( x\right) }=\sqrt{4x^{4}}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。先の命題より\(g,h,i\)もまた\(u\)と同様に\(\succsim \)を表現する効用関数です。消費量\(x=1,2,3\cdots \)の効用をそれぞれ計算すると、
$$\begin{array}{ccccc}
\hline
x & u(x) & g(x) & h(x) & i(x) \\ \hline
1 & 4 & 16 & 13.86 & 2 \\ \hline
2 & 16 & 256 & 27.73 & 4 \\ \hline
3 & 36 & 1296 & 35.84 & 6 \\ \hline
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \hline
10 & 400 & 160000 & 59.92 & 20 \\ \hline
\end{array}$$

表:効用関数の単調増加変換

などとなります。消費量\(x\)が同じでも、\(u,g,h,i\)の中のどれを採用するかによって効用の水準が変わり得ることが上の表から確認できます。一方、\(u,g,h,i\)の中のどれを採用する場合でも、消費量\(x\)が増えるほど効用が増えるという点では共通しています。

効用関数の単調増加変換に関する先の命題や上の例が示唆するように、消費者の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、それを表現する効用関数は一意的には定まりません。実際、単調増加関数は無数に存在するため、\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が与えられたとき、それは無数の形で単調増加変換が可能であり、そうして得られる無数の関数はいずれも同一の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数となります。つまり、その中のどの効用関数を採用しても一般性は失われないということです。

その一方で、消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、そこから得られる効用の絶対的な水準はどの効用関数を採用するかに依存して変化します。絶対的な水準に注目した場合の効用を基数的効用(cardinal utility)と呼びます。上の例においても、関数\(u,g,h,i\)はいずれも同一の選好\(\succsim \)を表す効用関数であるためどれを採用しても良いのですが、それぞれの消費ベクトル\(x\)の基数的効用はどの効用関数を採用するかに依存して変化します。採用する効用関数に依存して基数的効用が変化してしまうということは、基数的効用はそれほど重要ではないことを意味します。

選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)と、それを任意の形で単調増加変換して得られる効用関数\(f\circ u\)が与えられたとき、任意の消費ベクトル\(x,y\in X\)に対して,\begin{equation*}
u(x)\geq u(y)\Leftrightarrow (f\circ u)(x)\geq (f\circ u)(y)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、それぞれの消費ベクトルに対して割り当てられる効用の相対的な大小関係は、どの効用関数を採用した場合でも一定であるため、効用の相対的な大小関係には重要な意味があります。相対的な大小に注目した場合の効用を序数的効用(ordinal utility)と呼びます。

選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)が与えられたとき、消費ベクトル\(x\)の効用\(u\left( x\right) \)が消費ベクトル\(y\)の効用\(u\left( y\right) \)の\(2\)倍の大きさであっても、消費者は\(x\)を\(y\)よりも\(2\)倍好ましいと考えているとは言えません。なぜなら、\(u\)を単調増加変換して得られる関数\(f\circ u\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数であるにも関わらず、\((f\circ u)(x)\)の大きさは\((f\circ u)(y)\)の大きさの\(2\)倍であるとは限らないからです。基数的効用は重要ではありません。その一方で、\(u\)と\(f\circ u\)のどちらの効用関数を採用した場合においても、\(x\)の効用が\(y\)の効用よりも大きいという事実は不変です。序数的効用は重要です。

 

演習問題

問題(効用関数)
1財モデルにおいて消費集合\(\mathbb{R}_{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を、任意の\(x,y\in \mathbb{R}_{+}\)に対して、\begin{equation*}
x\succsim y\Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(\geq \)は実数どうしを比較する通常の大小関係です。さらに、関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。この\(u\)は\(\succsim \)を表す効用関数であることを証明してください。
解答

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問題(効用関数)
消費集合が\(X=\{0,1,2,3,4,5\}\times \{0,1,2,3,4,5\}\)であるものとします。つまり、問題としているのは2種類の商品であり、それぞれの消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in X\)において、それぞれの商品\(i\ \left( =1,2\right) \)の消費量\(x_{i}\)は\(1\)以上\(5\)以下の整数です。\(X\)上の選好関係\(\succsim \)を、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義します。関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)をそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =5x_{1}+x_{2}
\end{equation*}を定めるものと定義すると、これは\(\succsim \)を表す効用関数であることを証明してください。
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次回は選好関係から定義される消費集合の部分集合について学びます。

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