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効用関数

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、ある関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意の消費ベクトル\(x,y\in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\succsim y
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、この関数\(u\)を選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数(utility function)と呼びます。また、効用関数\(u\)が消費ベクトル\(x\)に対して定める値\(u\left( x\right) \)を\(x\)の効用(utility)と呼びます。つまり、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在する場合、消費ベクトル\(x,y\)について\(x\)が\(y\)以上に望ましいことと、\(x\)の効用が\(y\)の効用以上であることが必要十分になります。言い換えると、効用関数を用いれば、消費ベクトルの間の相対的な望ましさを、消費ベクトルがもたらす効用の大小関係として表現できるということです。

例(効用関数)
\(1\)財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)が任意の消費ベクトル\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}x\succsim y\Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。ただし、右側の\(\geq \)は実数どうしを比較する通常の大小関係です。つまり、上の選好関係\(\succsim \)は「商品の消費量が多いほど望ましい」という評価体系を表現しています。関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、商品の消費量をそのまま効用として採用するということです。消費ベクトル\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x\succsim y &\Leftrightarrow &x\geq y\quad \because \succsim \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x\succsim y\Leftrightarrow u\left( x\right) \geq u\left( y\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(u\)は\(\succsim \)を表す効用関数です。
例(効用関数)
「コーヒー」と「角砂糖」の消費について考えます。コーヒーの消費量を\(x_{1}\)杯で、角砂糖の消費量を\(x_{2}\)個でそれぞれ表記します。カップ\(3\)杯分のコーヒーと\(10\)個の角砂糖がある場合、消費集合は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \ |\ x_{1}\in \left\{ 0,1,2,3\right\}
\wedge x_{2}\in \left\{ 0,1,2,\cdots ,10\right\} \right\}
\end{equation*}となります。ある人はコーヒー\(1\)杯あたり角砂糖を\(2\)個入れることを習慣にしているものとします。この人の選好\(\succsim \)をどのような効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)として表現できるでしょうか。具体例として、3つの消費ベクトル\(\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left( 2,3\right) \in X\)に注目します。この人にとって重要なことは「角砂糖が\(2\)個入ったコーヒー」の数量ですが、先の3つの消費ベクトルにおいて確保できる「角砂糖が\(2\)個入ったコーヒー」の数はいずれも\(1\)であるため、\begin{equation*}u\left( 1,2\right) =u\left( 1,3\right) =u\left( 2,3\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、余った砂糖やコーヒーは追加的な満足をもたらさないということです。以上の議論をどのように一般化できるでしょうか。繰り返しになりますが、この人にとって重要なことは「角砂糖が\(2\)個入ったコーヒー」を何杯確保できるかです。では、消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)が与えられたとき、そこから「角砂糖が\(2\)個入ったコーヒー」を何杯確保できるでしょうか。消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)が以下の条件\begin{equation*}x_{1}:x_{2}=1:2
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
2x_{1}=x_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x_{1}=\frac{x_{2}}{2}
\end{equation*}を満たす場合、「角砂糖が\(2\)個入ったコーヒー」を\(x_{1}\)杯得られるとともに、コーヒーと砂糖は余りません。一方、\begin{equation*}x_{1}<\frac{x_{2}}{2}
\end{equation*}が成り立つ場合、「角砂糖が\(2\)個入ったコーヒー」を\(x_{1}\)杯得られますが砂糖が余ります。逆に、\begin{equation*}x_{1}>\frac{x_{2}}{2}
\end{equation*}が成り立つ場合、「角砂糖が\(2\)個入ったコーヒー」を\(\frac{x_{2}}{2}\)杯得られますがコーヒーが余ります。以上を踏まえると、消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)から得られる「角砂糖が\(2\)個入ったコーヒー」の数量は、\begin{equation*}\min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2}\right\}
\end{equation*}となります。したがって、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2}\right\}
\end{equation*}を定める関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)は、この消費者の選好を表す効用関数であると言えます。この人にとってのコーヒーと角砂糖のように、常に一定の割合のもとで消費されることに意味があるような商品を完全補完財(perfect complements)と呼びます。
例(効用関数)
「500円硬貨」と「1000円紙幣」の消費について考えます。500円硬貨の数量を\(x_{1}\)枚で、1000円紙幣の数量を\(x_{2}\)枚でそれぞれ表記します。今、500円硬貨と1000円紙幣が\(5\)枚ずつあります。つまり、消費集合は\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \ |\ x_{1}\in \left\{
0,1,2,3,4,5\right\} \wedge x_{2}\in \left\{ 0,1,2,3,4,5\right\} \right\}
\end{equation*}です。ある人にとって重要なことは得られる金額だけであり、硬貨と紙幣の違いは重要ではないものとします。この人の選好\(\succsim \)をどのような効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)として表現できるでしょうか。この人にとって金額の大きさだけが問題であるため、消費ベクトルから得られる合計金額をそのまま効用とみなすことができます。つまり、それぞれの消費ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =500x_{1}+1000x_{2}
\end{equation*}を定める関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)をとれば、これは\(\succsim \)を表す効用関数になります。ちなみに、この人にとっての500円硬貨と1000円紙幣のように、完全に交換可能であるような2つ商品を完全代替財(perfectsubstitutes)と呼びます。

例(効用関数)
消費集合が、\begin{equation*}
X=\left\{ 0,1,2,3,4,5\right\} \times \left\{ 0,1,2,3,4,5\right\}
\end{equation*}であるものとします。つまり、問題としているのは2種類の商品であり、それぞれの消費ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in X\)において商品\(i\ \left( =1,2\right) \)の消費量\(x_{i}\)は\(1\)以上\(5\)以下の整数です。\(X\)上の選好関係\(\succsim \)を、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義します。つまり、上の選好関係\(\succsim \)は「商品\(1\)の消費量がより多い消費ベクトルは無条件でより望ましく、商品\(1\)の消費量が等しい消費ベクトルどうしについては、商品\(2\)の消費量が多い方がより望ましい」という評価体系を反映したものになっています。関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =5x_{1}+x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。これは\(\succsim \)を表す効用関数です(演習問題)。一方、関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =3x_{1}+x_{2}
\end{equation*}を定めるものとすると、これは\(\succsim \)を表す効用関数ではありません。実際、2つの消費ベクトル\(\left( 0,5\right) ,\left(1,0\right) \in X\)に注目すると、\(\succsim \)の定義より、\begin{equation*}\left( 1,0\right) \succsim \left( 0,5\right)
\end{equation*}が成り立つ一方で、\(u\)の定義より、\begin{equation*}u\left( 1,0\right) =3<5=u\left( 0,5\right)
\end{equation*}となり、これは効用関数の定義に反しているからです。

一般に、選好関係を表現する効用関数は存在するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(効用関数)
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が、任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}\left( x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime }\right) \succsim \left(
x_{1},x_{2}\right) \Leftrightarrow \left( x_{1}^{\prime }\geq x_{1}\wedge
x_{2}^{\prime }\geq x_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。ただし、\(\geq \)は実数どうしを比較する大小関係です。つまり、上の選好関係\(\succsim \)は「2つの商品の消費量は多いほど望ましい」という評価体系を反映しています。以上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は存在しません(演習問題)。

選好関係を表現する効用関数が存在することを保証する上で必要な条件については様々なものが知られています。効用関数の存在条件については場を改めて詳しく解説します

 

効用関数の特徴づけ

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとします。このとき、狭義選好関係\(\succ \)および効用関数\(u\)の定義を踏まえると、消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}x\succ y\Leftrightarrow u(x)>u(y)
\end{equation*}という関係が成り立つことが示されます(演習問題)。つまり、消費者にとって\(x\)が\(y\)よりも望ましいことと、\(x\)の効用が\(y\)の効用よりも大きいことは必要十分です。

同様に、無差別関係\(\sim \)および効用関数\(u\)の定義を踏まえると、消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}x\sim y\Leftrightarrow u(x)=u(y)
\end{equation*}という関係が成り立つことが示されます(演習問題)。つまり、消費者にとって\(x\)と\(y\)が同じ程度望ましいことと、\(x\)の効用と\(y \)の効用が等しいことは必要十分です。

命題(効用関数の特徴づけ)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとき、任意の消費ベクトル\(x,y\in X\)について、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ x &\succ &y\Leftrightarrow u(x)>u(y) \\
\left( b\right) \ x &\sim &y\Leftrightarrow u(x)=u(y)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、消費集合\(X\)上に定義された関数\(u\)が先の2つの条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)を満たす場合、この関数\(u\)は\(\succsim \)を表す効用関数であることが保証されます。つまり、任意の消費ベクトル\(x,y\in X\)について、\begin{equation*}x\succsim y\Leftrightarrow u\left( x\right) \geq u\left( y\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが示されます(演習問題)。

命題(効用関数の特徴づけ)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、ある関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意の消費ベクトル\(x,y\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ x &\succ &y\Leftrightarrow u(x)>u(y) \\
\left( b\right) \ x &\sim &y\Leftrightarrow u(x)=u(y)
\end{eqnarray*}をともに満たすならば、この関数\(u\)は\(\succsim \)を表す効用関数である。
証明

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以上の2つの命題より以下が導かれます。

命題(効用関数の特徴づけ)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、ある関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意の消費ベクトル\(x,y\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ x &\succ &y\Leftrightarrow u(x)>u(y) \\
\left( b\right) \ x &\sim &y\Leftrightarrow u(x)=u(y)
\end{eqnarray*}をともに満たすことは、この関数\(u\)が\(\succsim \)を表す効用関数であるための必要十分条件である。

これまでの話の流れを振り返ると、最初に選好関係\(\succsim \)を定義し、そこから派生的に狭義選好関係\(\succ \)や無差別関係\(\sim \)を定義し、さらに、\begin{equation}x\succsim y\Leftrightarrow u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすものとして効用関数\(u\)を定義した場合、\(\succ \)や\(\sim \)に関して、\begin{eqnarray}x &\succ &y\Leftrightarrow u(x)>u(y) \quad \cdots (2) \\
x &\sim &y\Leftrightarrow u(x)=u(y) \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}が成り立つことを明らかにしました。上の命題によると、そのような話の流れとは逆に、最初に\(\succ \)と\(\sim \)を定義し、そこから派生的に\(\succsim \)を定義し、さらに\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)を満たすものとして\(u\)を定義したとき、\(\succsim \)に関して\(\left( 1\right) \)が成り立つことを示すことができます。つまり、消費者の選好を定式化する際には、\(\succsim \)を出発点にしても、\(\succ \)と\(\sim \)のペアを出発点にしても本質的には同じであるということです。

 

基数的効用と序数的効用

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとき、単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で合成関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R} \)を作成します。合成関数の定義より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ u\right) \left( x\right) =f\left( u\left( x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。このような合成関数を生成する操作を\(u\)の単調増加変換(monotonically increasing transformation)と呼びます。消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選ぶと、このとき、\begin{align*}x\succsim y& \Leftrightarrow \ u(x)\geq u(y)\quad \because u\text{は効用関数} \\
& \Leftrightarrow \ f(u(x))\geq f(u(y))\quad \because f\text{は単調増加関数} \\
& \Leftrightarrow \ (f\circ u)(x)\geq (f\circ u)(y)\quad \because f\circ u\text{の定義}
\end{align*}すなわち、\begin{equation*}
x\succsim y\Leftrightarrow (f\circ u)(x)\geq (f\circ u)(y)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\circ u\)もまた\(\succsim \)を表す効用関数です。同様の議論が任意の単調増加関数\(f\)に関して成立します。つまり、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が与えられたとき、それを任意の形で単調増加変換して得られる関数\(f\circ u\)もまた\(\succsim \)を表す効用関数であることが保証されるということです。

命題(効用関数の単調増加変換)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、両者の合成関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R} \)をとると、この\(f\circ u\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数となる。
例(効用関数の単調増加変換)
\(1\)財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)が任意の消費ベクトル\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}x\succsim y\Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。ただし、\(\geq \)は実数どうしを比較する大小関係です。\(\mathbb{R} _{+}\)上に定義された関数\(u:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =4x^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。この\(u\)は\(\succsim \)を表す効用関数です(確認してください)。さらに、\(u\)に対して様々な単調増加変換を行うことで得られる関数\(g,h,i:X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&\left[ u\left( x\right) \right] ^{2}=\left[ 4x^{4}\right] ^{2} \\
h\left( x\right) &=&10\log u\left( x\right) =10\log 4x^{4} \\
i\left( x\right) &=&\sqrt{u\left( x\right) }=\sqrt{4x^{4}}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。先の命題より\(g,h,i\)もまた\(u\)と同様に\(\succsim \)を表現する効用関数です。消費量\(x=1,2,3\cdots \)の効用をそれぞれ計算すると、

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
x & u(x) & g(x) & h(x) & i(x) \\ \hline
1 & 4 & 16 & 13.86 & 2 \\ \hline
2 & 16 & 256 & 27.73 & 4 \\ \hline
3 & 36 & 1296 & 35.84 & 6 \\ \hline
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \hline
10 & 400 & 160000 & 59.92 & 20 \\ \hline
\end{array}$$

表:効用関数の単調増加変換

などとなります。消費量\(x\)が同じでも、\(u,g,h,i\)の中のどれを採用するかによって効用の水準が変わり得ることが上の表から確認できます。一方、\(u,g,h,i\)の中のどれを採用する場合でも、消費量\(x\)が増えるほど効用が増えるという点では共通しています。

効用関数の単調増加変換に関する先の命題や上の例が示唆するように、消費者の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、それを表現する効用関数は一意的には定まりません。実際、単調増加関数は無数に存在するため、\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が与えられたとき、それは無数の形で単調増加変換が可能であり、そうして得られる無数の関数はいずれも同一の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数となります。つまり、その中のどの効用関数を採用しても一般性は失われないということです。

その一方で、消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、そこから得られる効用の絶対的な水準はどの効用関数を採用するかに依存して変化します。絶対的な水準に注目した場合の効用を基数的効用(cardinal utility)と呼びます。上の例においても、関数\(u,g,h,i\)はいずれも同一の選好\(\succsim \)を表す効用関数であるためどれを採用しても良いのですが、それぞれの消費ベクトル\(x\)の基数的効用はどの効用関数を採用するかに依存して変化します。採用する効用関数に依存して基数的効用が変化してしまうということは、基数的効用はそれほど重要ではないことを意味します。

選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)と、それを任意の形で単調増加変換して得られる効用関数\(f\circ u\)が与えられたとき、任意の消費ベクトル\(x,y\in X\)に対して,\begin{equation*}u(x)\geq u(y)\Leftrightarrow (f\circ u)(x)\geq (f\circ u)(y)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、それぞれの消費ベクトルに対して割り当てられる効用の相対的な大小関係は、どの効用関数を採用した場合でも一定であるため、効用の相対的な大小関係には重要な意味があります。相対的な大小に注目した場合の効用を序数的効用(ordinal utility)と呼びます。

選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)が与えられたとき、消費ベクトル\(x\)の効用\(u\left( x\right) \)が消費ベクトル\(y\)の効用\(u\left( y\right) \)の\(2\)倍の大きさであっても、消費者は\(x\)を\(y\)よりも\(2\)倍好ましいと考えているとは言えません。なぜなら、\(u\)を単調増加変換して得られる関数\(f\circ u\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数であるにも関わらず、\((f\circ u)(x)\)の大きさは\((f\circ u)(y)\)の大きさの\(2\)倍であるとは限らないからです。基数的効用は重要ではありません。その一方で、\(u\)と\(f\circ u\)のどちらの効用関数を採用した場合においても、\(x\)の効用が\(y\)の効用よりも大きいという事実は不変です。序数的効用は重要です。

 

演習問題

問題(効用関数)
ある人が婚活パーティーを主催しようとしています。パーティーに参加する男性の人数が\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)であり、女性の人数が\(w\in \mathbb{Z} _{+}\)である場合、主催者が得る効用は、\begin{equation*}u\left( m,w\right) =\min \left\{ 2m-w,2w-m\right\}
\end{equation*}であるものとします。この主催者はどのような選好を持っているか説明してください。

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問題(効用関数)
消費集合が、\begin{equation*}
X=\left\{ 0,1,2,3,4,5\right\} \times \left\{ 0,1,2,3,4,5\right\}
\end{equation*}であるものとします。つまり、問題としているのは2種類の商品であり、それぞれの消費ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in X\)において、それぞれの商品\(i\ \left( =1,2\right) \)の消費量\(x_{i}\)は\(1\)以上\(5\)以下の整数です。\(X\)上の選好関係\(\succsim \)を、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\rig