独占企業の限界収入と需要の自己価格弾力性（最適価格設定ルール）

独占企業にとっての最適な選択

独占市場において商品は1つの企業によって供給されるため、独占企業による供給量がそのまま市場全体の供給量と一致します。そのため、独占企業が商品の供給量を変化させれば商品の均衡価格も変化します。特に、市場の逆需要曲線が右下がりである場合、独占企業が供給を増やせば価格は下落し、逆に供給を減らせば価格は上昇します。以上の想定のもと、独占均衡であるための必要条件を明らかにしました。モデルおよび結果の復習です。

特に、独占数量\(q^{m}\)が内点解である場合には、すなわち\(q^{m}>0\)を満たす場合には、\(\left( B\right) \)より、\begin{equation*}MR\left( q^{m}\right) =MC\left( q^{m}\right)
\end{equation*}となり、\(\left( A\right) \)が等号で成立します。つまり、内点解であるような独占数量\(q^{m}\)のもとでは限界収入と限界費用が一致します。実際、独占企業の利潤は、\begin{equation*}p\left( q\right) \cdot q-c\left( q\right)
\end{equation*}であるため、供給量\(q\)の変化にともなう利潤の変化を観察するために利潤を微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dq}\left[ p\left( q\right) \cdot q-c\left( q\right) \right] &=&p^{\prime }\left( q\right) \cdot q+p\left( q\right) -c^{\prime }\left(
q\right) \\
&=&MR\left( q\right) -MC\left( q\right)
\end{eqnarray*}を得るため、\(q\)を出発点としたとき、\begin{eqnarray*}MR\left( q\right) &>&MC\left( q\right) \Rightarrow q\text{を増やせば利潤は増加} \\
MR\left( q\right) &<&MC\left( q\right) \Rightarrow q\text{を減らせば利潤は増加}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。ゆえに、限界収入と限界費用が一致する独占数量、すなわち、\begin{equation*}
MR\left( q^{m}\right) -MC\left( q^{m}\right)
\end{equation*}を満たす\(q^{m}\)において独占企業の利潤は最大化され、そのときに得る利潤は、\begin{equation*}p^{m}\cdot q^{m}-c\left( q^{m}\right)
\end{equation*}となります。内点解が形成される背景にはこのようなメカニズムがあります。

繰り返しになりますが、独占企業にとって最適な供給量\(q^{m}\)のもとでは限界収入が限界費用が一致します。つまり、\begin{equation*}MR\left( q^{m}\right) =MC\left( q^{m}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。限界費用\(MC\left( q\right) =c^{\prime }\left( q\right) \)は自社のコスト構造を観察すれば特定できますが限界収入\(MR\left(q\right) =p^{\prime }\left( q\right) \cdot q+p\left( q\right) \)は市場の逆需要関数\(p\)の形状に左右されます。ただ、市場の逆需要関数の形状を完全に把握するのは容易ではないため、上の関係を通じて独占企業にとっての最適な供給量\(q^{m}\)ないし最適な価格\(p^{m}=p\left( q^{m}\right) \)を具体的に特定するのは困難です。ただ、こうした問題は解決可能です。順番に解説します。

独占企業の限界収入と需要の自己価格弾力性の関係

問題としている独占市場の需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、価格水準\(p\geq 0\)を出発点として価格を\(\Delta p\)だけ変化させると、それに応じて商品の需要は\(q\left( p+\Delta p\right) -q\left( p\right) \)だけ変化します。価格の変化を変化率として表現すると、\begin{equation*}\frac{\Delta p}{p}
\end{equation*}となり、商品の需要の変化を変化率として表現すると、\begin{equation*}
\frac{q\left( p+\Delta p\right) -q\left( p\right) }{q\left( p\right) }
\end{equation*}となるため、これらの比\begin{equation*}
\frac{\frac{q\left( p+\Delta p\right) -q\left( p\right) }{q\left( p\right) }}{\frac{\Delta p}{\overline{p}}}=\frac{q\left( p+\Delta p\right) -q\left(
p\right) }{\Delta p}\cdot \frac{p}{q\left( p\right) }
\end{equation*}をとれば、これは\(p\)を出発点として商品の価格を\(1\)パーセントさせた場合に商品の需要が何パーセント変化するかを表す指標になります。これは割合を用いて定義される指標であるため、商品や所得の単位に依存しません。そこで、これに負の記号をつけた値を、\begin{equation*}\varepsilon \left( p\right) =-\frac{q\left( p+\Delta p\right) -q\left(
p\right) }{\Delta p}\cdot \frac{p}{q\left( p\right) }
\end{equation*}で表記し、これを\(p\)における商品の需要の自己価格弾力性（own price elasticity of demand）や需要の価格弾力性（price elasticity of demand）などと呼びます。多くの場合、商品の価格が上昇するとその商品の需要は減少するため、需要の自己価格弾力性を正の値として定義するためにマイナスの符号をつけて定義します。また、通常、需要の自己価格弾力性\(\varepsilon\left( p\right) \)は問題としている価格水準\(p\)に応じて変化します。

需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が点\(p\in \mathbb{R} _{+}\)において微分可能である場合には、十分小さい\(\Delta p\)について、\begin{equation*}q\left( p+\Delta p\right) \approx q\left( p\right) +\frac{dq\left( p\right)
}{dp}\Delta p
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{q\left( p+\Delta p\right) -q\left( p\right) }{\Delta p}\cdot \frac{p}{q\left( \overline{p}\right) }\approx \frac{dq\left( p\right) }{dp}\cdot
\frac{p}{q\left( p\right) }
\end{equation*}という関係が成立するため、\(p\)における需要の自己価格弾力性を、\begin{equation*}\varepsilon \left( p\right) =-\frac{dq\left( p\right) }{dp}\cdot \frac{p}{q\left( p\right) }
\end{equation*}と定義します。

独占企業は右下がりの逆需要曲線に直面するため、独占企業が商品の供給を増やすと商品の市場価格は下落します。同じことを別の形で言うと、独占企業は右下がりの需要曲線に直面するため、独占企業が商品の価格をつり上げると商品の需要は減少します。独占企業は利潤を最大化するために供給を抑えて価格をつり上げようとしますが、価格の上昇に対する需要の減少の度合いが小さいほど、すなわち需要の自己価格弾力性が小さいほど、独占企業はためらいなく価格をつり上げることができます。逆に、価格の上昇に対する需要の減少の度合いが大きいほど、すなわち需要の自己価格弾力性が大きいほど、独占企業は価格のつり上げをためらいます。

独占企業が供給している商品の代替品が存在しない場合、もしくは代替品が限られている場合には、その商品の価格が上昇しても消費者は代替品へ乗り換えられず、その商品をそのまま消費し続けるより他ないため、需要の自己価格弾力性が小さく評価されます。この場合、独占企業はためらいなく価格をつり上げることができます。逆に、独占企業が供給している商品の代替品が存在する場合、その商品の価格が上昇すると消費者は代替品へ乗り換えてしまうため、需要の自己価格弾力性が大きく評価されます。この場合、独占企業は価格のつり上げをためらいます。

独占企業は市場の需要曲線の形状を完全に把握するのは困難である一方、需要の自己価格弾力性を計測することはできます。加えて、独占企業の限界収入と市場の需要の自己価格弾力性の間には以下の関係が成立します。

上の命題より、独占企業の限界収入\(MR\left( q\right) \)と、独占企業が供給する商品の需要の自己価格弾力性\(\varepsilon \left( p\right) \)の間には、\begin{equation}MR\left( q\right) =p\left( q\right) \left[ 1-\frac{1}{\varepsilon \left(
p\left( q\right) \right) }\right] \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成立することが明らかになりました。ただし、\(p\left( q\right) \)は独占企業が商品を\(q\)だけ供給する場合の商品の市場均衡価格であり、また、\begin{equation}\varepsilon \left( p\left( q\right) \right) =-\frac{dq\left( p\left(
q\right) \right) }{dp}\cdot \frac{p\left( q\right) }{q} \quad \cdots (2)
\end{equation}です。\(\left( 1\right) \)の意味を図を通じて理解します。

独占企業による供給量が\(q=0\)である場合、商品の価格は\(p\left( 0\right) =\overline{p}\)で均衡します。出発点である供給量\(q\)がそもそも\(0\)であるため、そこから需要が変化すると需要の変化率は限りなく大きく評価されます。実際、\(q\)を\(0\)に限りなく近づけると\(\frac{p\left( q\right) }{q}\)は限りなく大きくなるため、\(\left( 2\right) \)より、需要の自己価格弾力性は限りなく大きくなります。このような事情を踏まえた上で、供給量が\(0\)である場合の需要の自己価格弾力性を、\begin{equation*}\varepsilon \left( p\left( 0\right) \right) =\varepsilon \left( \overline{p}\right) =+\infty
\end{equation*}と定めます。すると\(\left( 1\right) \)より、供給量が\(0\)である場合の限界収入が、\begin{equation*}MR\left( 0\right) =p\left( 0\right)
\end{equation*}と定まります。

独占企業による供給量が\(q=\overline{q}\)である場合、商品の供給量は\(p\left( \overline{q}\right) =0\)で均衡します。出発点である供給量\(\overline{q}\)は市場の需要の上限であるため、そこから需要は増加しません。実際、この場合には\(\frac{p\left( \overline{q}\right) }{\overline{q}}=0\)であるため、\(\left(2\right) \)より、供給量が\(\overline{q}\)である場合の需要の自己価格弾力性は、\begin{equation*}\varepsilon \left( p\left( \overline{q}\right) \right) =\varepsilon \left(
0\right) =0
\end{equation*}となります。この場合、供給量\(q\)を\(\overline{q}\)に限りなく近づけると需要の自己価格弾力性\(\varepsilon \left( p\left( \overline{q}\right) \right) \)は\(0\)に限りなく近づくため\(\frac{1}{\varepsilon \left( p\left( q\right) \right) }\)は限りなく大きくなり、したがって\(\left( 1\right) \)より、限界収入は限りなく小さくなります。このような事情を踏まえた上で、供給量が\(\overline{q}\)である場合の限界収入を、\begin{equation*}MR\left( \overline{q}\right) =-\infty
\end{equation*}と定めます。

これまでの議論より、独占企業が供給量\(q\)を\(0\)から\(\overline{q}\)まで変化させると、それに伴い商品の需要の自己価格効果\(\varepsilon \left( p\left( q\right) \right) \)は正の無限大\(+\infty \)から\(0 \)まで減少し、限界収入\(MR\left( q\right) \)は\(p\left( 0\right) \)から負の無限大\(-\infty \)まで減少することが明らかになりました。その途中、自己価格効果が、\begin{equation*}\varepsilon \left( p\left( q^{\prime }\right) \right) =1
\end{equation*}となるような供給量\(q^{\prime }\)において、\(\left( 1\right) \)より、限界収入が、\begin{equation*}MR\left( q^{\prime }\right) =0
\end{equation*}となります。結果を以下の表にまとめました。

$$\begin{array}{cccccc}\hline
q & 0 & \nearrow & q^{\prime } & \nearrow & \overline{q} \\
\hline
p & \overline{p} & \searrow & p^{\prime } & \searrow & 0 \\
\hline
\varepsilon \left( p\right) & +\infty & \searrow & 1 & \searrow & 0 \\ \hline
MR\left( q\right) & p\left( 0\right) & + & 0 & – & -\infty \\
\hline
\end{array}$$

独占企業は供給量を\(q^{\prime }\)よりも絞ることにより、すなわち価格を\(p^{\prime }\)よりも高い水準に維持することにより、需要の自己価格弾力性が\(1\)よりも大きい状態、すなわち限界収入が正であるような状態を維持できます。つまり、需要の自己価格弾力性が\(1\)より大きい局面では、価格を下げると収入が増加します。市場の需要曲線は右下がりであるため、商品を追加的に販売するためには値下げする必要がありますが、需要の自己価格弾力性が\(1\)より大きい場合、価格を\(1\)パーセント下げると需要が\(1\)パーセントより多く増加するため、収入は増加するということです。

逆に、独占企業が\(q^{\prime }\)よりも多く生産した場合、価格は\(p^{\prime }\)よりも低い水準になり、需要の自己価格弾力性が\(1\)よりも小さい状態、すなわち限界収入が負であるような状態に陥ります。独占企業はそこから生産を減らすことにより、いずれ、需要の自己価格弾力性が\(1\)よりも大きい状態、すなわち限界収入が正であるような状態へ移行できます。加えて、生産を減らすことは費用の減少をもたらします。このような事情を踏まえると、独占企業が\(q^{\prime }\)よりも多くを生産する動機は存在しません。

独占企業による最適価格設定ルール

独占市場において\(0<q<\overline{q}\)を満たす数量\(q\)を任意に選んだとき、独占企業の限界収入と、独占企業が供給する商品の需要の自己価格弾力性の間には、\begin{equation}MR\left( q\right) =p\left( q\right) \left[ 1-\frac{1}{\varepsilon \left(
p\left( q\right) \right) }\right] \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成立することが明らかになりました。一方、内点解であるような独占均衡\(\left( p^{m},q^{m}\right) =\left( p\left(q^{m}\right) ,q^{m}\right) \)において、独占企業の独占収入と限界費用の間には、\begin{equation}MR\left( q^{m}\right) =MC\left( q^{m}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}という関係が成り立ちます。内点解ゆえに\(0<q^{m}<\overline{q}\)が成り立つため、独占数量\(q^{m}\)もまた\(\left( 1\right) \)を満たします。すると、\begin{eqnarray*}MC\left( q^{m}\right) &=&MR\left( q^{m}\right) \quad \because \left(
2\right) \\
&=&p\left( q^{m}\right) \left[ 1-\frac{1}{\varepsilon \left( p\left(
q^{m}\right) \right) }\right] \quad \because \left( 1\right) \\
&=&p\left( q^{m}\right) \left[ \frac{\varepsilon \left( p\left( q^{m}\right)
\right) -1}{\varepsilon \left( p\left( q^{m}\right) \right) }\right] \end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
p\left( q^{m}\right) =\left[ \frac{\varepsilon \left( p\left( q^{m}\right)
\right) }{\varepsilon \left( p\left( q^{m}\right) \right) -1}\right] \cdot
MC\left( q^{m}\right)
\end{equation*}を得ます。\(p^{m}=p\left( q^{m}\right) \)とおけば、これを、\begin{equation*}p^{m}=\left[ \frac{\varepsilon \left( p^{m}\right) }{\varepsilon \left(
p^{m}\right) -1}\right] \cdot MC\left( q^{m}\right)
\end{equation*}と表現することもできます。これを最適価格設定ルール（optimal pricing rule）や最適マークアップルール（optimal markup rule）などと呼びます。

繰り返しになりますが、独占企業にとって最適な供給量\(q^{m}\)のもとでは限界収入が限界費用が一致します。つまり、\begin{equation*}MR\left( q^{m}\right) =MC\left( q^{m}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。限界費用\(MC\left( q\right) =c^{\prime }\left( q\right) \)は自社のコスト構造を観察すれば特定できますが、限界収入\(MR\left( q\right) =p^{\prime }\left( q\right) \cdot q+p\left( q\right) \)は市場の逆需要関数\(p\)の形状に左右されます。ただ、市場の逆需要関数の形状を完全に把握するのは容易ではないため、以上の関係を通じて最適な供給量\(q^{m}\)ないし最適な価格\(p^{m}=p\left( q^{m}\right) \)を具体的に特定するのは困難です。一方、需要の自己価格弾力性\(\varepsilon \left( p\right) \)は比較的容易に計測できるため、以上の関係を用いる代わりに、最適価格設定ルール\begin{equation*}p^{m}=\left[ \frac{\varepsilon \left( p^{m}\right) }{\varepsilon \left(
p^{m}\right) -1}\right] \cdot MC\left( q^{m}\right)
\end{equation*}を用いれば最適な価格\(p^{m}\)を具体的に特定することができます。

需要の自己価格弾力性の推計方法

最適価格設定ルールを通じて独占企業にとっての最適な価格水準\(p^{m}\)を把握するためには需要の自己価格弾力性\(\varepsilon \left( p\right) \)を特定する必要があります。ただし、需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が点\(p\in \mathbb{R} _{+}\)において微分可能である場合、\(p\)における需要の自己価格弾力性は、\begin{equation*}\varepsilon \left( p\right) =-\frac{dq\left( p\right) }{dp}\cdot \frac{p}{q\left( p\right) }
\end{equation*}と定義されます。これをどのように特定すればよいでしょうか。

独占企業が供給する商品の価格\(p\)と需要\(q\)の間に、\begin{equation*}q=\beta _{0}+\beta _{1}p+u
\end{equation*}という線型関係が成立するものと仮定します。これを単回帰モデルと呼びます。ただし、\(\beta _{0}\in \mathbb{R} \)は定数項に相当する定数であり、\(\beta _{1}\in \mathbb{R} \)は回帰係数に相当する定数であり、\(u\)は誤差項に相当する変数です。つまり、価格\(p\)の水準が需要\(q\)の水準に与える影響を分析する際には\(p\)に影響を与えるであろう\(q\)以外の要因を考慮する必要がありますが、そのようなすべての要因を包括的に表す変数が誤差項\(u\)です。

収集するデータは価格と需要の組\(\left( p,q\right) \)ですが、収集したデータの対数値をとって変換すると\(\left( \ln \left( p\right) ,\ln\left( q\right) \right) \)となるため、改めてこれらを変数として採用した場合の単回帰モデルは、\begin{equation}\ln \left( q\right) =\beta _{0}+\beta _{1}\ln \left( p\right) +u \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。両辺を変数\(p\)について微分します。左辺については、合成関数の微分より、\begin{equation*}\frac{d}{dp}\ln \left( q\right) =\frac{1}{q}\cdot \frac{dq}{dp}
\end{equation*}となり、右辺については、\begin{equation*}
\frac{d}{dp}\left[ \beta _{0}+\beta _{1}\ln \left( p\right) +u\right] =\beta
_{1}\cdot \frac{1}{p}
\end{equation*}となりますが、\(\left( 1\right) \)よりこれらは等しいため、\begin{equation*}\frac{1}{q}\cdot \frac{dq}{dp}=\beta _{1}\cdot \frac{1}{p}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\beta _{1}=\frac{dq}{dp}\cdot \frac{p}{q}
\end{equation*}を得ますが、これは需要の自己価格弾力性\(\varepsilon \left( p\right) \)に他なりません。

結論を整理すると、収集したデータ\(\left( p,q\right) \)の対数値をとって\(\left( \ln\left( p\right) ,\ln \left( q\right) \right) \)へと変換し、変換後のデータに対して単回帰モデルのもとで回帰分析した場合、得られた回帰係数\(\beta _{1}\)は需要の自己価格弾力性\(\varepsilon\left( p\right) \)を表すということです。

演習問題