独占均衡とその解釈（内点解と端点解）

独占市場のモデル

ある商品の市場が完全競争的である場合、個々の生産者による供給量は市場全体の供給量と比べると微小であるため、個々の生産者が供給量を変更しても市場全体の供給量はほとんど変化せず、したがって商品の均衡価格に影響を与えることはできません。完全競争企業において生産者が直面する市場の逆需要曲線は水平であるということです。この場合、生産者は商品の市場価格を与えられたものとして意思決定を行うプライス・テイカーであり、商品の市場価格と限界費用が一致するような生産量を選択するため、市場の供給曲線は限界費用曲線と一致します。さらに、市場の需要曲線と供給曲線が交差する点において市場は均衡し、均衡において社会的余剰が最大化されます。

一方、本節の分析対象は完全競争市場ではなく、ある商品が1つの企業によって供給される独占市場（monopoly market）です。独占市場ではすべての商品が独占企業（monopoly firm）によって供給されます。つまり、独占企業には競争相手がいないため、独占企業による商品の供給量がそのまま市場全体の供給量と一致します。独占企業はプライステイカーではなく、自身が選択する供給量に応じて商品の価格が変化し得るという意味において価格支配力を持ちます。特に、市場の逆需要曲線が右下がりである場合、独占企業が供給を増やせば価格は下落し、逆に供給を減らせば価格は上昇します。このような状況を指して、独占企業はプライス・メイカー（price maker）であると言います。以上を踏まえた上で、独占企業による意思決定を分析します。

前提として、まずはこの市場において商品の価格と需要がどのように決まるかを記述します。市場の逆需要関数が、\begin{equation*}
p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}で与えられているものとします。つまり、商品の総供給量が\(q\geq 0\)である場合には、商品の市場価格が、\begin{equation*}p\left( q\right) \geq 0
\end{equation*}で均衡するということです。逆需要関数\(p\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \overline{q}>0,\ \forall q>0:\left[ q\geq
\overline{q}\Rightarrow p\left( q\right) =0\right] \\
&&\left( b\right) \ \exists \overline{p}>0:p\left( 0\right) =\overline{p} \\
&&\left( c\right) \ p\text{は}\left[ 0,\overline{q}\right] \text{上で連続かつ}[0,\overline{q})\text{上で}C^{1}\text{級} \\
&&\left( d\right) \ p\text{は}[0,\overline{q})\text{上で狭義単調減少}
\end{eqnarray*}を満たすものとします。

条件\(\left( a\right) \)は、商品の総供給量\(q\)がある正の値\(\overline{q}\)以上になると商品の均衡価格が\(0\)になるということです。消費者が消費できる量には限りがあるため、需要と供給の関係を考慮すると当然の仮定です。条件\(\left( b\right) \)は、商品が市場に供給されない場合の均衡価格が正であるということです。商品が消費者にとって価値を持つ限りにおいて、これは当然の結果です。条件\(\left(c\right) \)はテクニカルな仮定ですが、これと条件\(\left( a\right) \)より、逆需要関数\(p\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であるとともに\(\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ \overline{q}\right\} \)上で\(C^{1}\)級になります。条件\(\left(d\right) \)は、総供給量\(q\)が増えるほど均衡価格\(p\left(q\right) \)が下落するということです。つまり、独占企業が右下がりの逆需要曲線に直面している状況を想定します。条件\(\left( c\right) \)を踏まえると、条件\(\left(d\right) \)を、\begin{equation*}\forall q\in \lbrack 0,\overline{q}):\frac{dp\left( q\right) }{dq}<0
\end{equation*}と表現することもできます。

以上の条件を満たす逆需要関数\(p\)のグラフ、すなわち逆需要曲線を以下に描きました。独占企業は逆需要曲線の形状を把握しているものとします。

続いて、この市場において商品を供給する独占企業の生産コストがどのように決まるかを記述します。独占企業の費用関数が、\begin{equation*}
c:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}で与えられているものとします。つまり、独占企業が商品を\(q\geq 0\)だけ市場に供給する場合、費用が、\begin{equation*}c\left( q\right) \geq 0
\end{equation*}だけかかるということです。費用関数\(c\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( e\right) \ c\left( 0\right) \geq 0 \\
&&\left( f\right) \ \forall q>0:c\left( q\right) >0 \\
&&\left( g\right) \ c\text{は}\mathbb{R} _{+}\text{上で}C^{1}\text{級} \\
&&\left( h\right) \ c\text{は}\mathbb{R} _{+}\text{上で狭義単調増加}
\end{eqnarray*}を満たすものとします。

条件\(\left( a\right) \)は、企業の固定費用が非負であることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は、商品を生産する場合の費用は正であることを意味します。条件\(\left(c\right) \)はテクニカルな仮定であり、費用関数\(c\)が\(\mathbb{R} _{+}\)上で微分可能であるとともに、その導関数\(\frac{dc}{dq}\)が\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であることを意味します。費用関数\(c\)の導関数\(\frac{dc}{dq}\)を、\begin{equation*}MC:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}と表記することもでき、これを限界費用関数（marginal cost function）と呼びます。定義より、任意の\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}MC\left( q\right) =\frac{dc\left( q\right) }{dq}
\end{equation*}となりますが、これを\(q\)における限界費用（marginal cost）と呼びます。これは、独占企業が商品の供給量を\(q\)から\(1\)単位増やしたときの費用の変化を表す指標です。こちらの表記を利用すると、条件\(\left( h\right) \)を、\begin{equation*}\forall q\in \mathbb{R} _{+}:MC\left( q\right) >0
\end{equation*}と表現できます。限界費用は常に正であるということです。

以上の条件を満たす限界費用関数\(MC\)のグラフ、すなわち限界費用曲線を以下に描きました。

独占企業による利潤最大化問題

先の条件を満たす逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって特徴づけられる商品市場において、先の条件を満たす費用関数\(c:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって特徴づけられるコスト構造を持つ独占企業が、自身の利潤を最大化するように商品の供給量\(q\geq 0\)を選択する状況を想定します。

完全競争市場では企業が商品の市場価格を所与として意思決定を行うのに対し、独占市場には商品を供給する企業が1つしか存在せず、独占企業が商品の供給量\(q\)を選択すると、それに対して逆需要関数\(p\)が定める市場価格\begin{equation*}p\left( q\right)
\end{equation*}において商品市場が均衡し、独占企業は収入\begin{equation*}
p\left( q\right) \cdot q
\end{equation*}を得ます。つまり、独占企業が選択する供給量\(q\)に応じて商品の価格\(p\left( q\right) \)が変化し得るという意味において、独占企業は価格支配力を持ちます。その一方で、商品を\(q\)だけ供給するために独占企業が負担すべき費用は費用関数\(c\)から、\begin{equation*}c\left( q\right)
\end{equation*}と定まるため、供給量\(q\)のもとで独占企業が得る利潤は、収入から費用を差し引くことにより得られる、\begin{equation*}p\left( q\right) \cdot q-c\left( q\right)
\end{equation*}となります。独占企業は自身の利潤を最大化するような生産量\(q\)を選択します。つまり、独占企業が解くべき最大化問題は、\begin{equation*}\max_{q\geq 0}p\left( q\right) \cdot q-c\left( q\right)
\end{equation*}となります。この問題の解\(q^{m}\)が存在する場合、それを独占数量（monopoly quantily）と呼びます。独占数量\(q^{m}\)が定まれば市場の逆需要関数\(p\)から市場の均衡価格が、\begin{equation*}p^{m}=p\left( q^{m}\right)
\end{equation*}と定まります。これを独占価格（monopoly price）と呼びます。独占価格と独占数量からなる組\begin{equation*}
\left( p^{m},q^{m}\right)
\end{equation*}を独占均衡（monopoly equilibrium）やクールノー独占均衡（Cournot monopoly equilibrium）またはクールノー点（Cournot point）などと呼びます。

市場の逆需要関数\(p\)と独占企業の費用関数\(c\)が先の条件を満たす場合には独占数量\(q^{m}\)が存在することが保証されます。加えて、独占数量\(q^{m}\)が満たすべき条件が以下のように特定されます。

この命題は、独占企業の利潤最大化問題に解が存在することが判明している状況において、解を具体的に特定するために利用されるものであることに注意してください。具体的には、市場の逆需要関数\(p\)および独占企業の生産関数\(c\)が命題中の条件を満たす場合には、クーン・タッカー条件を満たす供給量のみが独占数量の候補になり得るため、そのような供給量をすべて特定した上で、その中で最大の利潤をもたらすものを特定すればよいということになります。

ただ、独占企業の利潤最大化問題\begin{equation*}
\max_{q\in \mathbb{R} }p\left( q\right) \cdot q-c\left( q\right) \quad \text{s.t.}\quad q\geq 0
\end{equation*}の目的関数に相当する利潤\begin{equation*}
p\left( q\right) \cdot q-c\left( q\right)
\end{equation*}が準凹関数である場合には、クーン・タッカー条件を満たす供給量が独占数量になることが保証されます。

凹関数は準凹関数でもあるため（準凹関数は凹関数であるとは限らない）、市場の逆需要関数\(p\)および独占企業の生産関数\(c\)が命題中の条件を満たすとともに、独占企業の利潤が凹関数である場合にも、クーン・タッカー条件を満たす供給量は独占数量であることが保証されます。利潤が準凹関数であることを示すことよりも凹関数であることを示す方が簡単である場合、この事実は有用です。

限界収入

独占均衡の意味を理解するために限界収入（marginal revenue）と呼ばれる概念を導入します。逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって特徴づけられる商品市場において、独占企業が商品を\(q\geq 0\)だけ供給した場合に直面する収入\begin{equation*}R\left( q\right) =p\left( q\right) \cdot q
\end{equation*}を特定する関数\begin{equation*}
R:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を独占企業の収入関数（revenue function）と呼びます。

仮定より逆需要関数\(p\)は微分可能であるため収入関数\(R\)もまた微分可能であり、したがって導関数\(\frac{dR}{dq}\)が存在します。そこで、\(R\)の導関数を\begin{equation*}MR:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}で表記し、これを独占企業の限界収入関数（marginal revenue function）と呼びます。限界収入関数\(MR\)がそれぞれの供給量\(q\geq 0\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}MR\left( q\right) &=&\frac{dR\left( q\right) }{dq}\quad \because MR\text{の定義} \\
&=&\frac{d}{dq}\left[ p\left( q\right) \cdot q\right] \quad \because R\text{の定義} \\
&=&\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q+p\left( q\right) \cdot \frac{dq}{dq}\quad \because \text{関数の積の微分} \\
&=&\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q+p\left( q\right) \cdot 1 \\
&=&\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q+p\left( q\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
MR\left( q\right) =\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q+p\left( q\right)
\end{equation*}ですが、これを\(q\)における限界収入（marginal revenue）と呼びます。これは、独占企業が商品の供給量を\(q\)から\(1\)単位増やした場合の収入の変化を表す指標です。

限界収入\(MR\left( q\right) \)は2つの項から構成されますが、それぞれ何を表しているのでしょうか。仮定より市場の逆需要関数\(p\)は狭義の単調減少関数であるため、\(\frac{dp\left( q\right) }{dq}\)は独占企業が商品の供給量を\(q\)から\(1\)単位増やした場合の商品の市場価格の下落幅に相当します。商品の価格が\(\frac{dp\left( q\right) }{dq}\)だけ下落することは、独占企業がそれまで供給していた\(q\)単位の商品すべての価格が一律で\(\frac{dp\left( q\right) }{dq}\)だけ下落することを意味するため、それによって収入は\(\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q\)だけ減少します。つまり、限界収入\(MR\left( q\right) \)の第1項\begin{equation*}\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q
\end{equation*}は、独占企業が商品の供給量を\(q\)から\(1\)単位増やす場合の収入の減少量に相当します。一方、独占企業が商品の供給量を\(q\)から\(1\)単位増やせば、その\(1\)単位の商品から価格\(p\left( q\right) \)に相当する収入が新たに得られるため、限界収入\(MR\left( q\right) \)の第2項\begin{equation*}p\left( q\right)
\end{equation*}は、独占企業が商品の供給量を\(q\)から\(1\)単位増やす場合の収入の増加量に相当します。

供給量\(q\)の変化にともない限界収入\(MR\left( q\right) \)はどのように変化するのでしょうか。供給量が\(0\)の場合の限界収入は、\begin{eqnarray*}MR\left( 0\right) &=&\frac{dp\left( 0\right) }{dq}\cdot 0+p\left( 0\right)
\quad \because MR\text{の定義} \\
&=&p\left( 0\right)
\end{eqnarray*}であり、これは供給量が\(0\)の場合の商品の市場価格と一致します。この段階では生産を行っていないため、生産を増やして収入は減少せず、増加するだけです。一方、供給量が\(q>0\)の場合の限界収入は、\begin{eqnarray*}MR\left( q\right) &=&\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q+p\left( q\right)
\quad \because MR\text{の定義} \\
&<&0+p\left( q\right) \quad \because p>0\text{かつ}\frac{dp\left( q\right) }{dq}<0 \\
&=&p\left( q\right)
\end{eqnarray*}であり、これは商品の市場価格を下回ります。限界収入の定義より、両者の差は、\begin{equation*}
MR\left( q\right) -p\left( q\right) =\left\vert \frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q\right\vert
\end{equation*}となります。

以上を踏まえた上で、逆需要関数\(p\)と限界収入関数\(MR\)のグラフ、すなわち逆需要曲線と限界収入曲線を描くと以下のようになります。供給量\(q\)が\(0\)の場合に両者は交わりますが、供給量\(q\)が正の場合には限界収入曲線は逆需要曲線の下方に位置します。両者の高さの差は\(\left\vert \frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q\right\vert \)です。

限界収入および限界費用の概念を用いると、先の命題を以下のように表現できます。

内点解の解釈

独占数量\(q^{m}\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ MR\left( q^{m}\right) \leq MC\left( q^{m}\right) \\
&&\left( B\right) \ q^{m}\left[ MR\left( q^{m}\right) -MC\left( q^{m}\right) \right] =0
\end{eqnarray*}を満たすことが明らかになりました。特に、独占数量が、\begin{equation*}
q^{m}>0
\end{equation*}を満たす場合、すなわち\(q^{m}\)が\(\mathbb{R} _{+}\)の内点である場合、これを内点解（innersolution）と呼びます。この場合、条件\(\left( B\right) \)より、\begin{equation*}MR\left( q^{m}\right) =MC\left( q^{m}\right)
\end{equation*}となり、\(\left( A\right) \)が等号で成立します。つまり、独占均衡が内点解である場合、均衡数量において限界収入と限界費用が一致します。

内点解を上に図示しました。逆需要曲線\(p\left( q\right) \)および限界費用曲線\(MC\left( q\right) \)の交点\(\left( p^{\ast},q^{\ast }\right) \)は完全競争均衡です。独占均衡が内点解である場合、独占数量\(q^{m}\)は限界収入曲線\(MR\left( q\right) \)と限界費用曲線\(MC\left( q\right) \)の交点として定まり、さらにそれに対応する市場価格\(p^{m}=p\left( q^{m}\right) \)が独占価格となります。限界収入曲線は逆需要曲線の下方に位置し、なおかつ逆需要曲線が右下がりであることから、完全競争均衡\(\left( p^{\ast },q^{\ast }\right) \)と比較すると、独占均衡\(\left( p^{m},q^{m}\right) \)において価格はより高く、供給量はより少なくなります。

独占企業が最大化しようとする利潤は、収入から費用を差し引いて得られる、\begin{equation*}
p\left( q\right) \cdot q-c\left( q\right)
\end{equation*}として与えられます。利潤の増減を見るために利潤を微分すると、\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dq}\left[ p\left( q\right) \cdot q-c\left( q\right) \right] &=&\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q+p\left( q\right) \cdot \frac{dq}{dq}-\frac{dc\left( q\right) }{q} \\
&=&\frac{dp\left( q\right) }{dq}\cdot q+p\left( q\right) -\frac{dc\left(
q\right) }{q} \\
&=&MR\left( q\right) -MC\left( q\right)
\end{eqnarray*}を得るため、\(q\)を出発点としたとき、\begin{eqnarray*}MR\left( q\right) &>&MC\left( q\right) \Rightarrow q\text{を増やせば利潤は増加} \\
MR\left( q\right) &<&MC\left( q\right) \Rightarrow q\text{を減らせば利潤は増加}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。先の図から明らかであるように、\begin{equation*}
q<q^{m}
\end{equation*}を満たす生産量\(q\)において\(MR\left( q\right) >MC\left( q\right) \)が成り立つため、独占企業は\(q\)から供給量を増やせば利潤を増やすことができます。逆に、\begin{equation*}q>q^{m}
\end{equation*}を満たす供給量\(q\)において\(MR\left( q\right) <MC\left( q\right) \)が成り立つため、独占企業は\(q\)から供給量を減らせば利潤を増やすことができます。ゆえに、限界収入と限界費用が一致する独占数量、すなわち、\begin{equation*}MR\left( q^{m}\right) -MC\left( q^{m}\right)
\end{equation*}を満たす\(q^{m}\)において独占企業の利潤は最大化され、そのときに得る利潤は、\begin{equation*}p^{m}\cdot q^{m}-c\left( q^{m}\right)
\end{equation*}となります。内点解が形成される背景にはこのようなメカニズムがあります。

端点解の解釈

繰り返しになりますが、独占数量\(q^{m}\geq 0\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ MR\left( q^{m}\right) \leq MC\left( q^{m}\right) \\
&&\left( B\right) \ q^{m}\left[ MR\left( q^{m}\right) -MC\left( q^{m}\right) \right] =0
\end{eqnarray*}を満たします。特に、独占数量が、\begin{equation*}
q^{m}=0
\end{equation*}を満たす場合、すなわち\(q^{m}\)が\(\mathbb{R} _{+}\)の境界点である場合、これを端点解（corner solution）と呼びます。この場合、条件\(\left( B\right) \)は明らかに成立するとともに、条件\(\left( A\right) \)が不等号で成立する可能性を排除できず、したがって、\begin{equation*}MR\left( q^{m}\right) \leq MC\left( q^{m}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MR\left( 0\right) \leq MC\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、独占均衡が端点解である場合、均衡数量\(0\)において限界収入が限界費用以下になるということです。限界収入の定義より、\begin{eqnarray*}MR\left( 0\right) &=&\frac{dp\left( 0\right) }{dq}\cdot 0+p\left( 0\right) \\
&=&p\left( 0\right)
\end{eqnarray*}であるため、先の不等式を、\begin{equation*}
p\left( 0\right) \leq MC\left( 0\right)
\end{equation*}と表現できます。

端点解を上に図示しました。上図では、任意の供給量\(q>0\)のもとで平均費用\(AC\left( q\right) =\frac{c\left(q\right) }{q}\)が市場価格\(p\left( q\right) \)を常に上回ってしまう状況を想定しています。つまり、企業は商品を供給すると赤字が膨らんでしまうため商品を供給しないことが最善です。その一方で、図より\(\left[ 0,\overline{q}\right] \)上の任意の点\(q\)において\(MR\left( q\right) \leq MC\left( q\right) \)が成立しているため、これらの点\(q\)はいずれもクーン・タッカー条件を満たします。特に、端点解である供給量\(0\)において、\begin{equation*}MR\left( 0\right) <MC\left( 0\right)
\end{equation*}が成立しているため、独占企業は\(0\)から生産量を減らせば利潤を増やすことができます。ただ、実際には供給量を\(0\)より減らすことはできないため、内点解の場合とは異なり、端点解\(0\)においては\(MR\left( 0\right) <MC\left( 0\right) \)という事態が起こり得ます。端点解において限界収入と限界費用が一致するとは限らないことの背景にはこのような理由があります。

演習問題