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市場均衡理論

私有経済におけるパレート効率的な配分

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私有経済のモデル

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私有経済における狭義パレート効率的な配分

有限\(I\)人の消費者と有限\(J\)人の生産者と有限\(N\)種類の商品が存在する私有経済\begin{equation*}\mathcal{E}=\left( \mathcal{I},\mathcal{J},\mathcal{N},\left\{ \succsim
_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}},\left\{ Y_{j}\right\} _{j\in \mathcal{J}},\left\{ \boldsymbol{e}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}},\left\{ \boldsymbol{s}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}}\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\mathcal{I}=\left\{ 1,\cdots ,I\right\}
\end{equation*}は経済に存在する消費者の一覧であり、\begin{equation*}
\mathcal{J}=\left\{ 1,\cdots ,J\right\}
\end{equation*}は経済に存在する生産者の一覧であり、\begin{equation*}
\mathcal{N}=\left\{ 1,\cdots ,N\right\}
\end{equation*}は経済に存在する商品の種類の一覧です。\begin{equation*}
\succsim _{i}\subset \mathbb{R} _{+}^{N}\times \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}は消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の消費ベクトルどうしを比較する消費者\(i\in \mathcal{I}\)の選好関係であり、\begin{equation*}Y_{j}\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}は生産者\(j\in \mathcal{J}\)の生産集合です。また、\begin{equation*}\boldsymbol{e}_{i}=\left( e_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,e_{i}^{\left(
N\right) }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}は消費者\(i\)による初期保有量です。ただし、このベクトルの第\(n\)成分\(e_{i}^{\left( n\right) }\)は消費者\(i\)が初期時点において保有する商品\(n\)の数量を表す非負の実数です。このとき、経済全体の初期保有量は、\begin{equation*}\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}=\left( \sum_{i\in \mathcal{I}}e_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,\sum_{i\in \mathcal{I}}e_{i}^{\left(
N\right) }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}と特定されます。また、\begin{equation*}
\boldsymbol{s}_{i}=\left( s_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,s_{i}^{\left(
J\right) }\right) \in \left[ 0,1\right] ^{J}
\end{equation*}は消費者\(i\)が保有する株式の一覧です。ただし、このベクトルの第\(j\)成分\(s_{i}^{\left( j\right) }\)は企業\(j\)が発行する株式のうち消費者\(i\)が保有する割合を表す実数であり、\(0\)以上\(1\)以下の値をとります。加えて、以下の条件\begin{equation*}\forall j\in \mathcal{J}:\sum_{i\in \mathcal{I}}s_{i}^{\left( j\right) }=1
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、すべての企業は消費者たちによって完全に所有されています。消費者\(i\)の選好関係\(\succsim _{i}\)を表現する効用関数が存在する場合には、それを、\begin{equation*}u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}で表記します。また、生産者\(j\)の技術を表現する変換関数が存在する場合には、それを、\begin{equation*}F_{j}:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}で表記します。

消費者\(i\in \mathcal{I}\)が直面する消費ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{i}=\left( x_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{i}^{\left(
N\right) }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}で表記します。ただし、ベクトル\(\boldsymbol{x}_{i}\)の第\(n\)成分\(x_{i}^{\left( n\right) }\)は消費者\(i\)による商品\(n\)の消費量を表す非負の実数です。その上で、すべての消費者が直面する消費ベクトルからなる組を、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}} &=&\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) _{i\in
\mathcal{I}} \\
&=&\left( \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{I}\right) \\
&=&\left( x_{1}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{1}^{\left( N\right) },\cdots
,x_{I}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{I}^{\left( N\right) }\right) \\
&\in &\mathbb{R} _{+}^{N}\times \cdots \times \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{eqnarray*}で表記します。

生産者\(j\in \mathcal{J}\)が直面する生産計画を、\begin{equation*}\boldsymbol{y}_{j}=\left( y_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,y_{i}^{\left(
N\right) }\right) \in Y_{j}
\end{equation*}で表記します。ただし、ベクトル\(\boldsymbol{y}_{j}\)の第\(n\)成分\(y_{j}^{\left( n\right) }\)は生産者\(j\)による商品\(n\)の純産出量を表す実数です。その上で、すべての生産者が直面する生産計画からなる組を、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}} &=&\left( \boldsymbol{y}_{j}\right) _{j\in
\mathcal{J}} \\
&=&\left( \boldsymbol{y}_{1},\cdots ,\boldsymbol{y}_{J}\right) \\
&=&\left( y_{1}^{\left( 1\right) },\cdots ,y_{1}^{\left( N\right) },\cdots
,y_{J}^{\left( 1\right) },\cdots ,y_{J}^{\left( N\right) }\right) \\
&\in &Y_{1}\times \cdots \times Y_{J}
\end{eqnarray*}で表記します。

配分はすべての生産者が直面する消費ベクトルとすべての生産者が直面する生産計画からなる組\begin{eqnarray*}
\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right)
&=&\left( \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{I},\boldsymbol{y}_{1},\cdots ,\boldsymbol{y}_{J}\right) \\
&=&\left( x_{1}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{1}^{\left( N\right) },\cdots
,x_{I}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{I}^{\left( N\right) },y_{1}^{\left(
1\right) },\cdots ,y_{1}^{\left( N\right) },\cdots ,y_{J}^{\left( 1\right)
},\cdots ,y_{J}^{\left( N\right) }\right) \\
&\in &\mathbb{R} _{+}^{N}\times \cdots \times \mathbb{R} _{+}^{N}\times Y_{1}\times \cdots \times Y_{J} \\
&=&\mathbb{R} _{+}^{N\times I}\times \prod\limits_{j\in \mathcal{J}}Y_{j}
\end{eqnarray*}として定義されます。実行可能な配分からなる集合は、\begin{equation*}
\mathcal{A}=\left\{ \left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N\times I}\times \prod\limits_{j\in \mathcal{J}}Y_{j}\ |\ \sum_{i\in
\mathcal{I}}\boldsymbol{x}_{i}\leq \sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}+\sum_{j\in \mathcal{J}}\boldsymbol{y}_{j}\right\}
\end{equation*}であり、実行可能かつ市場の需給が均衡するような配分からなる集合は、\begin{equation*}
\mathcal{A}=\left\{ \left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N\times I}\times \prod\limits_{j\in \mathcal{J}}Y_{j}\ |\ \sum_{i\in
\mathcal{I}}\boldsymbol{x}_{i}=\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}+\sum_{j\in \mathcal{J}}\boldsymbol{y}_{j}\right\}
\end{equation*}です。

私有経済において個々の消費者は自身の選好にもとづいて商品を消費し、個々の生産者は商品を生産します。消費者の行動原理は自身が得る効用の最大化であり、生産者の行動原理は自身が得る利潤の最大化であるため、その結果として経済全体で実現する配分\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \)は社会的に望ましいものになる保証はありません。では、そもそも、社会的に望ましい配分とはどのようなものでしょうか。以下で定義します。

実行可能な2つの配分\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right),\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime },\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}^{\prime }\right) \in \mathcal{A}\)が与えられたとき、これらの間に以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{i}^{\prime
}\succsim _{i}\boldsymbol{x}_{i} \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{i}^{\prime
}\succ _{i}\boldsymbol{x}_{i}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}^{\prime }\right) \)は\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \)を広義パレート支配する(weakly Pareto dominate)と言います。同じことを、\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \)は\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime },\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}^{\prime }\right) \)によって広義パレート支配される(weakly Pareto dominated)と言うこともできます。

条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)は、任意の消費者にとって\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\)は\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime }\)以上に望ましく、少なくとも1人の消費者にとって\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\)は\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime }\)よりも望ましいことを意味します。したがって、\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime },\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}^{\prime }\right) \)が\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \)を広義パレート支配することとは、両者はともに実行可能であるとともに、\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \)から\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime },\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}^{\prime }\right) \)へ移行することにより全員の満足度を低下させることなく少なくとも1人の満足度を高められることを意味します。そのような意味において、\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \)から\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime },\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}^{\prime }\right) \)へ移行することを広義のパレート改善(weakly Pareto improvement)と呼びます。誰かの犠牲を伴わずに誰かの満足度を高められるのであれば、それは明らかに望ましい変化です。したがって、広義のパレート改善は目標とすべき指標の1つとして位置付けられます。

例(広義パレート支配)
私有経済において任意の消費者\(i\in \mathcal{I}\)が効用関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)を持つ場合、実行可能な2つの配分\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) ,\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime },\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}^{\prime }\right) \in \mathcal{A}\)について\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \)が\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime },\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}^{\prime }\right) \)を広義パレート支配することと、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \mathcal{I}:u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}^{\prime }\right) \geq u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in \mathcal{I}:u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}^{\prime }\right) >u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことは必要十分です。

実行可能な配分\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \in \mathcal{A}\)が他のいかなる実行可能な配分によっても広義パレート支配されない場合、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{i}^{\prime
}\succsim _{i}\boldsymbol{x}_{i} \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{i}^{\prime
}\succ _{i}\boldsymbol{x}_{i}
\end{eqnarray*}をともに満たす実行可能な配分\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime },\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}^{\prime }\right) \in \mathcal{A}\)が存在しない場合には、\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \)は狭義パレート効率的(strictly Pareto efficient)であると言います。

例(狭義パレート効率的な配分)
私有経済\(\mathcal{E}\)において任意の消費者\(i\in \mathcal{I}\)が効用関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)を持つ場合、実行可能な配分\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \in \mathcal{A}\)が狭義パレート効率的であることと、それに対して以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \mathcal{I}:u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}^{\prime }\right) \geq u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in \mathcal{I}:u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}^{\prime }\right) >u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす実行可能な配分\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime },\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}^{\prime }\right) \in \mathcal{A}\)が存在しないことは必要十分です。

実行可能な配分\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \in \mathcal{A}\)が狭義パレート効率的であるものとします。これに対して、\begin{equation*}\exists j\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{j}^{\prime }\succ _{j}\boldsymbol{x}_{j}
\end{equation*}を満たす実行可能な配分\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime },\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}^{\prime }\right) \in \mathcal{A}\)を任意に選びます。\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \)から\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime },\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}^{\prime
}\right) \)へ移行すると、少なくとも1人の消費者\(j\)の満足度が高まるということです。さて、狭義パレート効率性の定義より\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime },\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}^{\prime }\right) \)は\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \)を広義パレート支配しないため、このとき、\begin{equation*}\forall i\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{i}^{\prime }\succsim _{i}\boldsymbol{x}_{i}
\end{equation*}は成り立ちません。言い換えると、\begin{equation*}
\exists i\in \mathcal{I}:\lnot \left( \boldsymbol{x}_{i}^{\prime }\succsim
_{i}\boldsymbol{x}_{i}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(\succsim_{i}\)が完備性を満たす場合、これは、\begin{equation*}\exists i\in \mathcal{I}:\boldsymbol{x}_{i}\succ _{i}\boldsymbol{x}_{i}^{\prime }
\end{equation*}と必要十分です。つまり、狭義パレート効率的な配分\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \)を出発点に、ある消費者\(j\)の満足度を高める形で別の実行可能な配分\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}^{\prime },\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}^{\prime }\right) \)へ移行しようとすると、少なくとも1人の消費者\(i\)の満足度が低くなってしまいます。狭義パレート効率的な結果が与えられたとき、そこから広義パレート改善を実現するのは不可能であるため、狭義パレート効率的な配分は目指すべき目標になり得ます。

 

2消費者・1生産者・2商品の私有経済における狭義パレート効率的な配分

2人の消費者と1人の生産者と2種類の商品が存在する私有経済においては、狭義パレート効率的な配分を比較的容易に特定できます。具体的には以下の通りです。

2人の消費者と1人の生産者と2種類の商品が存在する私有経済\begin{equation*}
\mathcal{E}=\left( \mathcal{I},\mathcal{J},\mathcal{N},\left\{ \succsim
_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}},\left\{ Y_{j}\right\} _{j\in \mathcal{J}},\left\{ \boldsymbol{e}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}},\left\{ \boldsymbol{s}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}}\right)
\end{equation*}について考えます。消費者集合は、\begin{equation*}
\mathcal{I}=\left\{ A,B\right\}
\end{equation*}であり、生産者集合は、\begin{equation*}
\mathcal{J}=\left\{ C\right\}
\end{equation*}であり、商品集合は、\begin{equation*}
\mathcal{N}=\left\{ X,Y\right\}
\end{equation*}であるものとします。それぞれの消費者の選好関係\(\succsim _{A},\succsim _{B}\)を表す効用関数\begin{eqnarray*}u_{A} &:&\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \\
u_{B} &:&\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}と、生産者の技術を表す変換関数\begin{equation*}
F_{C}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在するものとします。それぞれの消費者の初期保有量が、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{e}_{A} &=&\left( e_{A}^{\left( X\right) },e_{A}^{\left( Y\right)
}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2} \\
\boldsymbol{e}_{B} &=&\left( e_{B}^{\left( X\right) },e_{B}^{\left( Y\right)
}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}
\end{eqnarray*}である場合、経済に存在する初期保有量は、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{e}_{A}+\boldsymbol{e}_{B} &=&\left( e_{A}^{\left( X\right)
},e_{A}^{\left( Y\right) }\right) +\left( e_{B}^{\left( X\right)
},e_{B}^{\left( Y\right) }\right) \\
&=&\left( e_{A}^{\left( X\right) }+e_{B}^{\left( X\right) },e_{A}^{\left(
Y\right) }+e_{B}^{\left( Y\right) }\right) \\
&\in &\mathbb{R} _{+}^{2}
\end{eqnarray*}となります。それぞれの消費者が保有する株式が、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{s}_{A} &=&\left( s_{A}^{\left( C\right) }\right) \in \left[ 0,1\right] \\
\boldsymbol{s}_{B} &=&\left( s_{B}^{\left( C\right) }\right) \in \left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}であるものとします。

それぞれの消費者が直面する消費ベクトルを、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x}_{A} &=&\left( x_{A}^{\left( X\right) },x_{A}^{\left( Y\right)
}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2} \\
\boldsymbol{x}_{B} &=&\left( x_{B}^{\left( X\right) },x_{B}^{\left( Y\right)
}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}
\end{eqnarray*}で表記し、生産者が直面する生産計画を、\begin{equation*}
\boldsymbol{y}_{C}=\left( y_{C}^{\left( X\right) },y_{C}^{\left( Y\right)
}\right) \in Y_{C}
\end{equation*}で表記し、配分を、\begin{eqnarray*}
\left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B},\boldsymbol{y}_{C}\right)
&=&\left( x_{A}^{\left( X\right) },x_{A}^{\left( Y\right) },x_{B}^{\left(
X\right) },x_{B}^{\left( Y\right) },y_{C}^{\left( X\right) },y_{C}^{\left(
Y\right) }\right) \\
&\in &\mathbb{R} _{+}^{4}\times Y_{C}
\end{eqnarray*}で表記します。実行可能な配分からなる集合は、\begin{eqnarray*}
\mathcal{A} &=&\left\{ \left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B},\boldsymbol{y}_{C}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{4}\times Y_{C}\ |\ \boldsymbol{x}_{A}+\boldsymbol{x}_{B}\leq
\boldsymbol{e}_{A}+\boldsymbol{e}_{B}+\boldsymbol{y}_{C}\right\} \\
&=&\left\{ \left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B},\boldsymbol{y}_{C}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{4}\times Y_{C}\ |\ x_{A}^{\left( X\right) }+x_{B}^{\left( X\right)
}\leq e_{A}^{\left( X\right) }+e_{B}^{\left( X\right) }+y_{C}^{\left(
X\right) }\wedge x_{A}^{\left( Y\right) }+x_{B}^{\left( Y\right) }\leq
e_{A}^{\left( Y\right) }+e_{B}^{\left( Y\right) }+y_{C}^{\left( Y\right)
}\right\}
\end{eqnarray*}です。

配分\(\left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B},\boldsymbol{y}_{C}\right) \in \mathcal{A}\)が狭義パレート効率的であることとは、それに対して、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \mathcal{I}:u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}^{\prime }\right) \geq u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in \mathcal{I}:u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}^{\prime }\right) >u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}\right)
\end{eqnarray*}を満たす配分\(\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\prime },\boldsymbol{x}_{B}^{\prime },\boldsymbol{y}_{C}^{\prime}\right) \in \mathcal{A}\)が存在しないことを意味します。つまり、配分\(\left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B},\boldsymbol{y}_{C}\right) \)が狭義パレート効率的である場合には、そこから広義パレート改善を実現するのは不可能です。

消費者\(B\)が一定の効用水準\(\overline{u}_{B}\)を確保できることを保証した上で、消費者\(A\)が得る効用を最大化するような実行可能な配分\(\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}}\in \mathcal{A}\)を特定する制約付き最大化問題

$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B},\boldsymbol{y}_{C}\right) \in \mathcal{A}} & u_{A}\left( \boldsymbol{x}_{A}\right) \\ s.t. & u_{B}\left( \boldsymbol{x}_{B}\right) \geq \overline{u}_{B}\end{array}$$

すなわち、

$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B},\boldsymbol{y}_{C}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{4}\times \mathbb{R} ^{2}} & u_{A}\left( \boldsymbol{x}_{A}\right) \\ s.t. & u_{B}\left( \boldsymbol{x}_{B}\right) \geq \overline{u}_{B} \\ & F_{C}\left( \boldsymbol{y}_{C}\right) \leq 0 \\ & x_{A}^{\left( X\right) }+x_{B}^{\left( X\right) }\leq e_{A}^{\left(X\right) }+e_{B}^{\left( X\right) }+y_{C}^{\left( X\right) } \\ & x_{A}^{\left( Y\right) }+x_{B}^{\left( Y\right) }\leq e_{A}^{\left(Y\right) }+e_{B}^{\left( Y\right) }+y_{C}^{\left( Y\right) }\end{array}$$

について考えます。ただし、\(\overline{u}_{B}\in \mathbb{R} \)は定数です。配分\(\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast },\boldsymbol{x}_{B}^{\ast },\boldsymbol{y}_{C}^{\ast }\right) \)がこの制約付き最大化問題の解である場合には、そこから広義パレート改善を実現するのは不可能です。したがって、この最大化問題の解が満たすべき条件を特定すれば、それは狭義パレート効率的な配分が満たすべき条件となります。そこで、この最大化問題の解\(\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast },\boldsymbol{x}_{B}^{\ast },\boldsymbol{y}_{C}^{\ast }\right) \)が満たすべき条件をクーン・タッカーの定理より明らかにします。

クーン・タッカーの定理を利用する上で見通しを良くするために、それぞれの\(\left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B},\boldsymbol{y}_{C}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{4}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B},\boldsymbol{y}_{C}\right)
&=&u_{A}\left( \boldsymbol{x}_{A}\right) \\
g_{0}\left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B},\boldsymbol{y}_{C}\right)
&=&u_{B}\left( \boldsymbol{x}_{B}\right) -\overline{u}_{B} \\
g_{1}\left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B},\boldsymbol{y}_{C}\right)
&=&-F_{C}\left( \boldsymbol{y}_{C}\right) \\
g_{2}\left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B},\boldsymbol{y}_{C}\right)
&=&e_{A}^{\left( X\right) }+e_{B}^{\left( X\right) }+y_{C}^{\left( X\right)
}-x_{A}^{\left( X\right) }-x_{B}^{\left( X\right) } \\
g_{3}\left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B},\boldsymbol{y}_{C}\right)
&=&e_{A}^{\left( Y\right) }+e_{B}^{\left( Y\right) }+y_{C}^{\left( Y\right)
}-x_{A}^{\left( Y\right) }-x_{B}^{\left( Y\right) }
\end{eqnarray*}を定める多変数関数\(f,g_{0},g_{1},g_{2},g_{3}:\mathbb{R} _{+}^{4}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、先の制約付き最大化問題を、

$$\begin{array}{cl}
\max\limits_{\left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B},\boldsymbol{y}_{C}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{4}\times \mathbb{R} ^{2}} & f\left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B},\boldsymbol{y}_{C}\right) \\ s.t. & g_{0}\left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B},\boldsymbol{y}_{C}\right) \geq 0 \\ & g_{1}\left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B},\boldsymbol{y}_{C}\right) \geq 0 \\ & g_{2}\left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B},\boldsymbol{y}_{C}\right) \geq 0 \\ & g_{3}\left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B},\boldsymbol{y}_{C}\right) \geq 0\end{array}$$

と表現できます。この問題に対してクーン・タッカーの定理を利用するためには、上の問題の解\(\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast },\boldsymbol{x}_{B}^{\ast },\boldsymbol{y}_{C}^{\ast }\right) \)が制約想定(constraint qualification)を満たすことを確認しておく必要があります。

制約想定として様々なバリエーションがありますが、ここでは、最適解\(\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast },\boldsymbol{x}_{B}^{\ast },\boldsymbol{y}_{C}^{\ast }\right) \)においてバインドする関数\(g_{i}\)の点\(\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast },\boldsymbol{x}_{B}^{\ast },\boldsymbol{y}_{C}^{\ast }\right) \)における勾配ベクトルどうしが1次独立であること、すなわち、以下のベクトル集合\begin{equation*}B\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast },\boldsymbol{x}_{B}^{\ast },\boldsymbol{y}_{C}^{\ast }\right) =\left\{ \nabla g_{i}\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast },\boldsymbol{x}_{B}^{\ast },\boldsymbol{y}_{C}^{\ast }\right) \ |\ i\in
\left\{ 0,1,2,3\right\} \ s.t.\ g_{i}\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast },\boldsymbol{x}_{B}^{\ast },\boldsymbol{y}_{C}^{\ast }\right) =0\right\}
\end{equation*}が1次独立であるという条件を採用します。これを正規条件(regularity condition)と呼びます。正規条件が満たされる場合、目的関数\(f\)が\(C^{1}\)級であるならばクーン・タッカーの定理を利用できます。つまり、ラグランジュ乗数法を用いて最適解\(\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast },\boldsymbol{x}_{B}^{\ast },\boldsymbol{y}_{C}^{\ast }\right) \)が満たす条件を特定できるということです。すると以下の命題を得ます。

命題(2消費者・2商品の純粋交換経済における狭義パレート効率的な配分)
2人の消費者と1人の生産者と2種類の商品が存在する私有経済\begin{equation*}
\mathcal{E}=\left( \mathcal{I}=\left\{ A,B\right\} ,\mathcal{J}=\left\{
C\right\} ,\mathcal{N}=\left\{ X,Y\right\} ,\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in \mathcal{I}},\left\{ Y_{j}\right\} _{j\in \mathcal{J}},\left\{
\boldsymbol{e}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}},\left\{ \boldsymbol{s}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}}\right)
\end{equation*}において、消費者\(A,B\)の選好関係\(\succsim _{A},\succsim _{B}\)を表現する効用関数\(u_{A},u_{B}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、生産者\(C\)の変換関数\(F_{C}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、これらは\(C^{1}\)級であるものとする。実行可能な配分からなる集合を、\begin{equation*}\mathcal{A}=\left\{ \left( \boldsymbol{x}_{A},\boldsymbol{x}_{B},\boldsymbol{y}_{C}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{4}\times Y_{C}\ |\ \boldsymbol{x}_{A}+\boldsymbol{x}_{B}\leq
\boldsymbol{e}_{A}+\boldsymbol{e}_{B}+\boldsymbol{y}_{C}\right\}
\end{equation*}とする。狭義パレート効率的な配分\(\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast },\boldsymbol{x}_{B}^{\ast },\boldsymbol{y}_{C}^{\ast }\right)\in \mathcal{A}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ A,B\right\} ,\ \forall n\in \left\{
X,Y\right\} :\frac{\partial u_{i}\left( \boldsymbol{x}_{i}^{\ast }\right) }{\partial x_{i}^{\left( n\right) }}>0 \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \left\{ X,Y\right\} :\frac{\partial
F_{C}\left( \boldsymbol{y}_{C}^{\ast }\right) }{\partial y_{C}^{\left(
n\right) }}\not=0
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast },\boldsymbol{x}_{B}^{\ast },\boldsymbol{y}_{C}^{\ast }\right) \)において需給は均衡するとともに、\begin{equation*}MRS_{A}^{\left( XY\right) }\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast }\right)
=MRS_{B}^{\left( XY\right) }\left( \boldsymbol{x}_{B}^{\ast }\right)
=MRT_{C}^{\left( XY\right) }\left( \boldsymbol{y}_{C}^{\ast }\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(MRS_{A}^{\left( XY\right) }\left( \boldsymbol{x}_{A}^{\ast }\right) \)は消費者\(A\)の消費ベクトル\(\boldsymbol{x}_{A}^{\ast }\)における商品\(X\)の商品\(Y\)で測った限界代替率であり、\(MRS_{B}^{\left( XY\right) }\left( \boldsymbol{x}_{B}^{\ast }\right) \)は消費者\(B\)の消費ベクトル\(\boldsymbol{x}_{B}^{\ast }\)における商品\(X\)の商品\(Y\)で測った限界代替率であり、\(MRT_{C}^{\left( XY\right) }\left( \boldsymbol{y}_{C}^{\ast }\right) \)は生産者\(C\)の生産計画\(\boldsymbol{y}_{C}^{\ast }\)における商品\(X\)の商品\(Y\)で測った限界変形率である。
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