私有経済モデルの枠組み
複数の消費者と生産者および商品が存在する経済を想定します。消費者の人数と生産者の人数および商品の種類の数はいずれも有限です。経済全体に存在する商品の総量が初期条件として与えられているとともに、商品はいずれも何らかの消費者によって保有されているものとします。生産者は企業であり、すべての企業は株式を通じて何らかの消費者によって保有されているものとします。それぞれの消費者は自身が保有する商品をそのまま消費することもできますが、望むのであれば、他の消費者たちと商品を交換した上で、得た商品を消費することもできます。企業は生産活動に従事しますが、企業は消費者によって保有されているため、企業が得た収益は株主である消費者に帰属します。以上の経済モデルを私有経済(private ownership economy)や生産経済(production economy)などと呼びます。
私有経済において個々の消費者は自身の選好にもとづいて商品を消費し、個々の生産者は商品を生産します。消費者の行動原理は自身が得る効用の最大化であり、生産者の行動原理は自身が得る利潤の最大化であるため、その結果として経済全体で実現する資源配分は社会的に望ましいものになる保証はありません。ただ、私有経済に市場価格メカニズムを導入した場合には、個々の主体が効用最大化や利潤最大化に基づいて行動した結果として、社会的に望ましい資源配分が実現することになります。以上が私有経済モデルの話の枠組みです。
以降では、議論の出発点として、私有経済およびそこでの資源配分をモデル化します。
消費者の選好
私有経済では、有限人の消費者と有限人の生産者および有限種類の商品が存在する状況を想定します。
経済には有限\(I\in \mathbb{N} \)人の消費者が存在するものとし、すべての消費者からなる集合を、\begin{equation*}\mathcal{I}=\left\{ 1,\cdots ,I\right\}
\end{equation*}で表記します。その上で、\(i\)番目の消費者を、\begin{equation*}i\in \mathcal{I}
\end{equation*}で表記し、これを消費者\(i\)と呼ぶこととします。
経済には有限\(N\in \mathbb{N} \)種類の商品が存在するものとし、すべての商品からなる集合を、\begin{equation*}\mathcal{N}=\left\{ 1,\cdots ,N\right\}
\end{equation*}で表記します。その上で、\(n\)番目の商品を、\begin{equation*}n\in \mathcal{N}
\end{equation*}で表記し、これを商品\(n\)と呼ぶこととします。
\(N\)種類の商品の消費量の組み合わせを表すベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left( x^{\left( 1\right) },\cdots ,x^{\left( N\right)
}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}で表記し、これを消費ベクトル(consumption vecor)と呼びます。消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)は\(N\)次元ベクトルであり、その第\(n\)成分\(x^{\left( n\right) }\)は商品\(n\)の消費量を表す非負の実数です。
\(N\)種類の商品の消費量の組み合わせは無数に存在するため、消費ベクトルは無数に存在します。すべての消費ベクトルからなる集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}^{N}=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ \forall n\in \mathcal{N}:x^{\left( n\right) }\geq 0\right\} \end{equation*}ですが、これを消費集合(consumption set)と呼びます。
それぞれの消費者\(i\in \mathcal{I}\)は消費ベクトルどうしを比較する選好関係を持っており、それは消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の二項関係\begin{equation*}\succsim _{i}\subset \mathbb{R} _{+}^{N}\times \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}として表現されるものとします。具体的には、2つの消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{x}\succsim _{i}\boldsymbol{y}\Leftrightarrow \text{消費者}i\text{は}\boldsymbol{x}\text{を}\boldsymbol{y}\text{以上に好む}
\end{equation*}を満たすものとして\(\succsim _{i}\)を定義します。つまり、比較対象として2つの消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)を提示されたとき、消費者\(i\)が\(\boldsymbol{x}\)を\(\boldsymbol{y}\)以上に好むとき、そしてその場合にのみ、\(\boldsymbol{x}\succsim _{i}\boldsymbol{y}\)が成り立つものとして\(\succsim _{i}\)を定義するということです。
消費者\(i\)の選好関係\(\succsim_{i}\)が与えられたとき、任意の消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{x}\succ _{i}\boldsymbol{y}\Leftrightarrow \boldsymbol{x}\succsim
_{i}\boldsymbol{y}\wedge \lnot \left( \boldsymbol{y}\succsim _{i}\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の二項関係\(\succ _{i}\)を消費者\(i\)の狭義選好関係と呼びます。つまり、比較対象として2つの消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)を提示されたとき、消費者\(i\)が\(\boldsymbol{x}\)を\(\boldsymbol{y}\)以上に好む一方で\(\boldsymbol{y}\)を\(\boldsymbol{x}\)以上に好まない場合、すなわち消費者\(i\)が\(\boldsymbol{x}\)を\(\boldsymbol{y}\)よりも好む場合、そしてその場合にのみ\(\boldsymbol{x}\succ _{i}\boldsymbol{y}\)が成り立つものとして\(\succ _{i}\)を定義するということです。
消費者\(i\)の選好関係\(\succsim_{i}\)が与えられたとき、任意の消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{x}\sim _{i}\boldsymbol{y}\Leftrightarrow \boldsymbol{x}\succsim
_{i}\boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\succsim _{i}\boldsymbol{x}
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の二項関係\(\sim _{i}\)を消費者\(i\)の無差別関係と呼びます。つまり、比較対象として2つの消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)を提示されたとき、消費者\(i\)が\(\boldsymbol{x}\)を\(\boldsymbol{y}\)以上に好むと同時に\(\boldsymbol{y}\)を\(\boldsymbol{x}\)以上に好む場合、すなわち消費者\(i\)にとって\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)が同じ程度望ましい場合、そしてその場合にのみ\(\boldsymbol{x\sim _{i}y}\)が成り立つものとして\(\sim _{i}\)を定義するということです。
消費者\(i\)の選好関係\(\succsim_{i}\)が与えられたとき、任意の消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して以下の関係\begin{equation*}u_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \geq u_{i}\left( \boldsymbol{y}\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{x}\succsim _{i}\boldsymbol{y}
\end{equation*}を満たす関数\begin{equation*}
u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在する場合には、これを\(\succsim _{i}\)を表現する効用関数と呼びます。効用関数\(u_{i}\)が消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)に対して定める値\(u_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \)を\(\boldsymbol{x}\)の効用と呼びます。選好関係\(\succsim _{i}\)を表現する効用関数\(u_{i}\)が存在する場合、消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)について\(\boldsymbol{x}\)が\(\boldsymbol{y}\)以上に望ましいことと、\(\boldsymbol{x}\)の効用が\(\boldsymbol{y}\)の効用以上であることが必要十分になります。効用関数を用いれば、消費ベクトルの間の相対的な望ましさを、消費ベクトルがもたらす効用の大小関係として表現できるということです。
選好関係\(\succsim _{i}\)を表す効用関数\(u_{i}\)が存在する場合、任意の消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して以下の関係\begin{eqnarray*}u_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) &>&u_{i}\left( \boldsymbol{y}\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{x}\succ _{i}\boldsymbol{y} \\
u_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&u_{i}\left( \boldsymbol{y}\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{x}\sim _{i}\boldsymbol{y}
\end{eqnarray*}もまた成り立ちます。
生産者の技術
経済には有限\(J\in \mathbb{N} \)人の生産者が存在するものとし、すべての生産者からなる集合を、\begin{equation*}\mathcal{J}=\left\{ 1,\cdots ,J\right\}
\end{equation*}で表記します。その上で、\(j\)番目の消費者を、\begin{equation*}j\in \mathcal{J}
\end{equation*}で表記し、これを生産者\(j\)と呼ぶこととします。
\(N\)種類の商品の純産出量の組み合わせを表すベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{y}=\left( y^{\left( 1\right) },\cdots ,y^{\left( N\right)
}\right) \in \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}で表記し、これを生産計画(production plan)と呼びます。生産計画\(\boldsymbol{y}\)は\(N\)次元ベクトルであり、その第\(n\)成分\(y^{\left( n\right) }\)は商品\(n\)の純産出量を表す実数です。つまり、\(y^{\left( n\right) }>0\)であることは生産計画\(\boldsymbol{y}\)を実行することにより商品\(n\)が\(y^{\left( n\right) }\)だけ増加することを意味し(商品\(n\)が生産される)、\(y^{\left( n\right) }<0\)であることは生産計画\(\boldsymbol{y}\)を実行することにより商品\(n\)が\(y^{\left( n\right) }\)だけ減少することを意味し(商品\(n\)が投入される)、\(y^{\left( n\right) }=0\)であることは生産計画\(\boldsymbol{y}\)を実行しても商品\(n\)は増減しないことを意味します。
生産者\(j\in \mathcal{J}\)が自身の技術のもとで選択可能な生産計画からなる集合を、\begin{equation*}Y_{j}\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}で表記し、これを生産者\(j\)の生産集合(production set)と呼びます。
生産集合\(Y_{j}\)は生産者\(j\)が技術的に選択可能なすべての生産計画からなる集合であるため、生産者\(j\)の技術は生産集合\(Y_{j}\)の形状として表現されます。一方、生産者の技術を関数を用いて表現することもできます。具体的には、生産集合\(Y_{j}\subset \mathbb{R} ^{N}\)が与えられたとき、任意の\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{N}\)に対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \boldsymbol{y}\in Y_{j}\Leftrightarrow F_{j}\left(
\boldsymbol{y}\right) \leq 0 \\
&&\left( b\right) \ \boldsymbol{y}\in Y_{j}^{f}\Leftrightarrow F_{j}\left(
\boldsymbol{y}\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす多変数関数\begin{equation*}
F_{j}:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在するのであれば、これを生産者\(j\)の変換関数(transformation function)と呼びます。ただし\(Y_{j}^{f}\)は\(Y_{j}\)の境界です。
変換関数\(F_{j}:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、生産計画\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{N}\)が\(F_{j}\left( \boldsymbol{y}\right) \leq 0\)を満たす場合には\(F_{j}\)の定義より\(\boldsymbol{y}\in Y_{j}\)が成り立つため、生産者\(j\)にとって\(\boldsymbol{y}\)は技術的に選択可能な生産計画です。一方、\(F_{j}\left( \boldsymbol{y}\right) >0\)を満たす場合にはやはり\(F_{j}\)の定義より\(\boldsymbol{y}\not\in Y_{j}\)が成り立つため、生産者\(j\)にとって\(\boldsymbol{y}\)は技術的に選択不可能です。以上を踏まえると、変換関数\(F_{j}\)が\(\boldsymbol{y}\)に対して定める値\(F_{j}\left( \boldsymbol{y}\right) \)は生産者\(j\)が\(\boldsymbol{y}\)を実行するために必要な技術進歩の程度と解釈できます。つまり、\(F_{j}\left( \boldsymbol{y}\right) >0\)が成り立つ場合、生産者\(j\)は\(\boldsymbol{y}\)を実行するために正の技術進歩が必要であり、現在の技術水準では\(\boldsymbol{y}\)を実行できないということです。\(F_{j}\left( \boldsymbol{y}\right)\leq 0\)の場合には反対の関係が成り立ちます。
初期保有量
私有経済では、経済全体に存在する商品の総量が初期条件として与えられているとともに、商品はいずれも何らかの消費者によって保有されています。
初期時点において消費者\(i\in \mathcal{I}\)が保有する商品の数量を表すベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{e}_{i}=\left( e_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,e_{i}^{\left(
N\right) }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}で表記し、これを消費者\(i\)の初期保有量(endowment)と呼びます。初期保有\(\boldsymbol{e}_{i}\)は\(N\)次元ベクトルであり、その第\(n\)成分\(e_{i}^{\left( n\right) }\)は消費者\(i\)が初期時点において保有する商品\(n\)の数量を表す非負の実数です。
初期時点においてすべての商品は何らかの消費者に保有されているため、すべての消費者の初期保有のベクトル和をとれば、初期時点において経済に存在する商品の総量\begin{eqnarray*}
\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i} &=&\sum_{i\in \mathcal{I}}\left(
e_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,e_{i}^{\left( N\right) }\right) \\
&=&\left( \sum_{i\in \mathcal{I}}e_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,\sum_{i\in
\mathcal{I}}e_{i}^{\left( N\right) }\right) \\
&\in &\mathbb{R} _{+}^{N}
\end{eqnarray*}を特定できます。これを経済に存在する初期保有量(initial endowments)と呼びます。このベクトルの第\(n\)成分\(\sum_{i\in \mathcal{I}}e_{i}^{\left( n\right) }\)は初期時点において経済に存在する商品\(n\)の総量を表す非負の実数です。
株式
私有経済では、生産者である企業はいずれも株式を通じて何らかの消費者によって保有されています。
生産者\(j\in \mathcal{J}\)が発行する株式のうち、消費者\(i\in \mathcal{I}\)が保有する割合を、\begin{equation*}s_{i}^{\left( j\right) }\in \left[ 0,1\right] \end{equation*}で表記します。生産者\(j\)が得る利潤を\(1\)とする場合、消費者\(i\)は割合\(s_{i}^{\left( j\right) }\)に対して所有権を主張できます。
消費者\(i\in \mathcal{I}\)が保有する株式の一覧を、\begin{equation*}\boldsymbol{s}_{i}=\left( s_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,s_{i}^{\left(
J\right) }\right) \in \left[ 0,1\right] ^{J}
\end{equation*}で表記します。
すべての企業は消費者たちによって完全に私有されているものとします。つまり、以下の条件\begin{equation*}
\forall j\in \mathcal{J}:\sum_{i\in \mathcal{I}}s_{i}^{\left( j\right) }=1
\end{equation*}が成り立つということです。
私有経済
私有経済に存在する消費者は消費者集合\begin{equation*}
\mathcal{I}=\left\{ 1,\cdots ,I\right\}
\end{equation*}として表現され、私有経済に存在する生産者は生産者集合\begin{equation*}
\mathcal{J}=\left\{ 1,\cdots ,J\right\}
\end{equation*}として表現され、私有経済に存在する商品の種類は商品集合\begin{equation*}
\mathcal{N}=\left\{ 1,\cdots ,N\right\}
\end{equation*}として表現されます。それぞれの消費者\(i\in \mathcal{I}\)の選好は消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\begin{equation*}\succsim _{i}\subset \mathbb{R} _{+}^{N}\times \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}として表現され、それぞれの生産者\(j\in \mathcal{J}\)の技術は生産集合\begin{equation*}Y_{j}\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現されます。それぞれの消費者\(i\)が初期時点において保有する商品は初期保有量\begin{equation*}\boldsymbol{e}_{i}=\left( e_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,e_{i}^{\left(
N\right) }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}として表現され、それぞれの消費者\(i\)が保有する株式は、\begin{equation*}\boldsymbol{s}_{i}=\left( s_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,s_{i}^{\left(
J\right) }\right) \in \left[ 0,1\right] ^{J}
\end{equation*}として表現されます。ただし、以下の条件\begin{equation*}
\forall j\in \mathcal{J}:\sum_{i\in \mathcal{I}}s_{i}^{\left( j\right) }=1
\end{equation*}が成り立つものとします。以上の要素からなるモデルを、\begin{equation*}
\mathcal{E}=\left( \mathcal{I},\mathcal{J},\mathcal{N},\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in \mathcal{I}},\left\{ Y_{j}\right\} _{j\in \mathcal{J}},\left\{
\boldsymbol{e}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}},\left\{ \boldsymbol{s}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}}\right)
\end{equation*}で表記し、これを私有経済(private ownership economy)と呼びます。
\mathcal{E}=\left( \mathcal{I},\mathcal{J},\mathcal{N},\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in \mathcal{I}},\left\{ Y_{j}\right\} _{j\in \mathcal{J}},\left\{
\boldsymbol{e}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}},\left\{ \boldsymbol{s}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}}\right)
\end{equation*}について考えます。つまり、消費者集合は\(\mathcal{I}=\left\{ 1,2\right\} \)であり、生産者集合は\(\mathcal{J}=\left\{1\right\} \)であり、商品集合は\(\mathcal{N}=\left\{ 1,2\right\} \)であり、消費者\(i\in \mathcal{I}\)の選好関係は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の二項関係\(\succsim _{i}\)として表現され、生産者\(j\in \mathcal{J}\)の技術は生産集合\(Y_{j}\subset \mathbb{R} ^{2}\)として表現されます。それぞれの消費者の初期保有量が、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{e}_{1} &=&\left( e_{1}^{\left( 1\right) },e_{1}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( 0,4\right) \\
\boldsymbol{e}_{2} &=&\left( e_{2}^{\left( 1\right) },e_{2}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( 2,0\right)
\end{eqnarray*}である場合、経済に存在する初期保有量は、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2} &=&\left( 0,4\right) +\left(
2,0\right) \\
&=&\left( 2,4\right)
\end{eqnarray*}となります。つまり、経済には\(2\)単位の商品\(1\)と\(4\)単位の商品\(2\)が存在します。それぞれの消費者が保有する株式が、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{s}_{1} &=&\left( s_{1}^{\left( 1\right) }\right) =\left(
0\right) \\
\boldsymbol{s}_{2} &=&\left( s_{2}^{\left( 1\right) }\right) =\left(
1\right)
\end{eqnarray*}であるものとします。つまり、消費者\(2\)が生産者\(1\)の株式をすべて保有しているということです。
私有経済において実行可能な配分
消費者\(i\in \mathcal{I}\)が直面する消費ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{i}=\left( x_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{i}^{\left(
N\right) }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}で表記します。ただし、ベクトル\(\boldsymbol{x}_{i}\)の第\(n\)成分\(x_{i}^{\left( n\right) }\)は消費者\(i\)による商品\(n\)の消費量を表す非負の実数です。その上で、すべての消費者が直面する消費ベクトルからなる組を、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}_{\mathcal{I}} &=&\left( \boldsymbol{x}_{i}\right) _{i\in
\mathcal{I}} \\
&=&\left( \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{I}\right) \\
&=&\left( x_{1}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{1}^{\left( N\right) },\cdots
,x_{I}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{I}^{\left( N\right) }\right) \\
&\in &\mathbb{R} _{+}^{N}\times \cdots \times \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{eqnarray*}で表記します。
生産者\(j\in \mathcal{J}\)が直面する生産計画を、\begin{equation*}\boldsymbol{y}_{j}=\left( y_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,y_{i}^{\left(
N\right) }\right) \in Y_{j}
\end{equation*}で表記します。ただし、ベクトル\(\boldsymbol{y}_{j}\)の第\(n\)成分\(y_{j}^{\left( n\right) }\)は生産者\(j\)による商品\(n\)の純産出量を表す実数です。その上で、すべての生産者が直面する生産計画からなる組を、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}} &=&\left( \boldsymbol{y}_{j}\right) _{j\in
\mathcal{J}} \\
&=&\left( \boldsymbol{y}_{1},\cdots ,\boldsymbol{y}_{J}\right) \\
&=&\left( y_{1}^{\left( 1\right) },\cdots ,y_{1}^{\left( N\right) },\cdots
,y_{J}^{\left( 1\right) },\cdots ,y_{J}^{\left( N\right) }\right) \\
&\in &Y_{1}\times \cdots \times Y_{J}
\end{eqnarray*}で表記します。
すべての生産者が直面する消費ベクトルとすべての生産者が直面する生産計画からなる組\begin{eqnarray*}
\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right)
&=&\left( \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{I},\boldsymbol{y}_{1},\cdots ,\boldsymbol{y}_{J}\right) \\
&=&\left( x_{1}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{1}^{\left( N\right) },\cdots
,x_{I}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{I}^{\left( N\right) },y_{1}^{\left(
1\right) },\cdots ,y_{1}^{\left( N\right) },\cdots ,y_{J}^{\left( 1\right)
},\cdots ,y_{J}^{\left( N\right) }\right) \\
&\in &\mathbb{R} _{+}^{N}\times \cdots \times \mathbb{R} _{+}^{N}\times Y_{1}\times \cdots \times Y_{J} \\
&=&\mathbb{R} _{+}^{N\times I}\times \prod\limits_{j\in \mathcal{J}}Y_{j}
\end{eqnarray*}を配分(allocation)と呼びます。
配分\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \)のもとですべての消費者によって消費される商品の総量は、\begin{equation*}\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{x}_{i}=\left( \sum_{i\in \mathcal{I}}x_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,\sum_{i\in \mathcal{I}}x_{i}^{\left(
N\right) }\right)
\end{equation*}である一方で、初期時点において経済全体に存在する商品の総量は、\begin{equation*}
\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}=\left( \sum_{i\in \mathcal{I}}e_{i}^{\left( 1\right) },\cdots ,\sum_{i\in \mathcal{I}}e_{i}^{\left(
N\right) }\right)
\end{equation*}であり、すべての生産者による生産活動の結果としての商品の純増量は、\begin{equation*}
\sum_{j\in \mathcal{J}}\boldsymbol{y}_{j}=\left( \sum_{j\in \mathcal{J}}x_{j}^{\left( 1\right) },\cdots ,\sum_{j\in \mathcal{J}}y_{j}^{\left(
N\right) }\right)
\end{equation*}です。配分\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \)が実行可能であるためにはすべての商品について、消費量が供給量以下である必要があるため、以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathcal{N}:\sum_{i\in \mathcal{I}}x_{i}^{\left( n\right) }\leq
\sum_{i\in \mathcal{I}}e_{i}^{\left( n\right) }+\sum_{j\in \mathcal{J}}y_{j}^{\left( n\right) }
\end{equation*}が満たされている必要があります。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{N}\)上の標準的順序を利用すると、以上の条件を、\begin{equation*}\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{x}_{i}\leq \sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}+\sum_{j\in \mathcal{J}}\boldsymbol{y}_{j}
\end{equation*}と表現することもできます。いずれにせよ、以上の条件が満たされる場合、配分\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \)は実行可能(feasible)であると言います。
特に、先の条件が等号で成立する場合には、すなわち、\begin{equation*}
\forall n\in \mathcal{N}:\sum_{i\in \mathcal{I}}x_{i}^{\left( n\right)
}=\sum_{i\in \mathcal{I}}e_{i}^{\left( n\right) }+\sum_{j\in \mathcal{J}}y_{j}^{\left( n\right) }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{x}_{i}=\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}+\sum_{j\in \mathcal{J}}\boldsymbol{y}_{j}
\end{equation*}が成り立つ場合には、配分\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \)は実行可能であるとともに、経済全体で供給される商品のすべてが過不足なく消費されることを意味します。つまり、市場全体の総需要と総供給が一致するということです。そこで、以上の等式が成立する場合、配分\(\left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \)のもとで市場の需給が均衡している(market clearing)と言います。
実行可能な配分をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}
\mathcal{A}=\left\{ \left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N\times I}\times \prod\limits_{j\in \mathcal{J}}Y_{j}\ |\ \sum_{i\in
\mathcal{I}}\boldsymbol{x}_{i}\leq \sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}+\sum_{j\in \mathcal{J}}\boldsymbol{y}_{j}\right\}
\end{equation*}で表記し、これを配分集合(allocation set)と呼びます。特に、市場の需給が均衡するような配分からなる集合は、\begin{equation*}
\mathcal{A}=\left\{ \left( \boldsymbol{x}_{\mathcal{I}},\boldsymbol{y}_{\mathcal{J}}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N\times I}\times \prod\limits_{j\in \mathcal{J}}Y_{j}\ |\ \sum_{i\in
\mathcal{I}}\boldsymbol{x}_{i}=\sum_{i\in \mathcal{I}}\boldsymbol{e}_{i}+\sum_{j\in \mathcal{J}}\boldsymbol{y}_{j}\right\}
\end{equation*}です。
\mathcal{E}=\left( \mathcal{I},\mathcal{J},\mathcal{N},\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in \mathcal{I}},\left\{ Y_{j}\right\} _{j\in \mathcal{J}},\left\{
\boldsymbol{e}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}},\left\{ \boldsymbol{s}_{i}\right\} _{i\in \mathcal{I}}\right)
\end{equation*}について考えます。つまり、消費者集合は\(\mathcal{I}=\left\{ 1,2\right\} \)であり、生産者集合は\(\mathcal{J}=\left\{1\right\} \)であり、商品集合は\(\mathcal{N}=\left\{ 1,2\right\} \)であり、消費者\(i\in \mathcal{I}\)の選好関係は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の二項関係\(\succsim _{i}\)として表現され、生産者\(j\in \mathcal{J}\)の技術は生産集合\(Y_{j}\subset \mathbb{R} ^{2}\)として表現されます。それぞれの消費者の初期保有量が、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{e}_{1} &=&\left( e_{1}^{\left( 1\right) },e_{1}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( 0,4\right) \\
\boldsymbol{e}_{2} &=&\left( e_{2}^{\left( 1\right) },e_{2}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( 2,0\right)
\end{eqnarray*}である場合、経済に存在する初期保有量は、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2} &=&\left( 0,4\right) +\left(
2,0\right) \\
&=&\left( 2,4\right)
\end{eqnarray*}となります。配分\(\left( \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{y}_{1}\right) \)が以下の条件\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}_{1} &=&\left( x_{1}^{\left( 1\right) },x_{1}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( \frac{3}{2},2\right) \\
\boldsymbol{x}_{2} &=&\left( x_{2}^{\left( 1\right) },x_{2}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( \frac{7}{6},\frac{14}{9}\right) \\
\boldsymbol{y}_{1} &=&\left( y_{1}^{\left( 1\right) },y_{1}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( \frac{2}{3},-\frac{4}{9}\right)
\end{eqnarray*}を満たす場合には、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2} &=&\left( \frac{3}{2},2\right) +\left(
\frac{7}{6},\frac{14}{9}\right) \\
&=&\left( \frac{8}{3},\frac{32}{9}\right)
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}+\boldsymbol{y}_{1} &=&\left(
2,4\right) +\left( \frac{2}{3},-\frac{4}{9}\right) \\
&=&\left( \frac{8}{3},\frac{32}{9}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}=\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}+\boldsymbol{y}_{1}
\end{equation*}が成り立ち、したがって配分\(\left( \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{y}_{1}\right) \)は実行可能であるとともに需給が均衡します。
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