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生産者理論

コブ・ダグラス型生産関数

目次

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コブ・ダグラス型生産関数

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの投入ベクトル\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(k,\alpha _{1},\cdots ,\alpha_{N}\in \mathbb{R} \)は定数であり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ k>0 \\
&&\left( b\right) \ \alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとします。このような生産関数\(f\)をコブ・ダグラス型生産関数(Cobb-Douglas production function)と呼びます。

例(コブ・ダグラス型生産関数)
生産者が資本\(K\)と労働\(L \)を投入して生産物\(Y\)を産出する状況を想定します。その技術を表す生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( K,L\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( K,L\right) =AK^{\alpha }L^{\beta }
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(A>0\)かつ\(\alpha>0\)かつ\(\beta >0\)です。この\(f\)はコブ・ダグラス型効用関数です。例えば、\(A=1\)かつ\(\alpha =\beta =\frac{1}{2}\)であれば、\begin{equation*}f\left( K,L\right) =K^{\frac{1}{2}}L^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}となり、\(A=2\)かつ\(\alpha =\frac{1}{2}\)かつ\(\beta =\frac{1}{3}\)であれば、\begin{equation*}f\left( K,L\right) =2K^{\frac{1}{2}}L^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}となります。

例(コブ・ダグラス型生産関数)
生産者が資本\(K\)と労働\(L\)と原材料\(M\)を投入して生産物\(Y\)を産出する状況を想定します。その技術を表す生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( K,L,M\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( K,L,M\right) =AK^{\alpha }L^{\beta }M^{\gamma }
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(A>0\)かつ\(\alpha>0\)かつ\(\beta >0\)かつ\(\gamma >0\)です。この\(f\)はコブ・ダグラス型効用関数です。例えば、\(A=1\)かつ\(\alpha =\beta=\gamma =\frac{1}{3}\)であれば、\begin{equation*}f\left( K,L,M\right) =K^{\frac{1}{3}}L^{\frac{1}{3}}M^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}となり、\(A=2\)かつ\(\alpha =\frac{1}{2}\)かつ\(\beta =\frac{1}{3}\)かつ\(\gamma =\frac{1}{4}\)であれば、\begin{equation*}f\left( K,L,M\right) =2K^{\frac{1}{2}}L^{\frac{1}{3}}M^{\frac{1}{4}}
\end{equation*}となります。

 

コブ・ダグラス型生産関数の連続性

コブ・ダグラス型生産関数は連続関数です。

命題(コブ・ダグラス型生産関数の連続性)
コブ・ダグラス型生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\(f\)は\(\mathbb{R}_{+} ^{N}\)上において連続である。
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例(コブ・ダグラス型生産関数)
生産者が資本\(K\)と労働\(L\)を投入して生産物\(Y\)を産出する状況を想定します。その技術を表す生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( K,L\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( K,L\right) =AK^{\alpha }L^{\beta }
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(A>0\)かつ\(\alpha>0\)かつ\(\beta >0\)です。この\(f\)はコブ・ダグラス型効用関数であるため\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上で連続です。

 

コブ・ダグラス型生産関数の連続微分可能性

コブ・ダグラス型生産関数は定義域の内部において連続微分可能です。

命題(コブ・ダグラス型生産関数の連続微分可能性)
コブ・ダグラス型生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上において\(C^{1}\)級である。
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例(コブ・ダグラス型生産関数の連続微分可能性)
生産者が資本\(K\)と労働\(L\)を投入して生産物\(Y\)を産出する状況を想定します。その技術を表す生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( K,L\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( K,L\right) =AK^{\alpha }L^{\beta }
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(A>0\)かつ\(\alpha>0\)かつ\(\beta >0\)です。この\(f\)はコブ・ダグラス型生産関数であるため\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上で\(C^{1}\)級です。定義域の内点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( K,L\right) }{\partial K} &=&\alpha AK^{\alpha
-1}L^{\beta } \\
\frac{\partial f\left( K,L\right) }{\partial L} &=&\beta AK^{\alpha
}L^{\beta -1}
\end{eqnarray*}であるとともに、これらはともに\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上で連続です。

 

コブ・ダグラス型生産関数のもとでの限界生産

コブ・ダグラス型生産関数のもとでの限界生産は以下の通りです。

命題(コブ・ダグラス型生産関数のもとでの限界生産)
コブ・ダグラス型生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。商品\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)および点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}MP_{n}\left( x\right) &=&\frac{\alpha _{n}}{x_{n}}kx_{1}^{\alpha
_{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}} \\
&=&\frac{\alpha _{n}}{x_{n}}f\left( x\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立つ。

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例(コブ・ダグラス型生産関数の限界生産)
生産者が資本\(K\)と労働\(L\)を投入して生産物\(Y\)を産出する状況を想定します。その技術を表す生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( K,L\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( K,L\right) =AK^{\alpha }L^{\beta }
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(A>0\)かつ\(\alpha>0\)かつ\(\beta >0\)です。この\(f\)はコブ・ダグラス型生産関数です。定義域の内点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}MP_{K}\left( K,L\right) &=&\alpha AK^{\alpha -1}L^{\beta } \\
MP_{L}\left( K,L\right) &=&\beta AK^{\alpha }L^{\beta -1}
\end{eqnarray*}となります。

 

コブ・ダグラス型生産関数のもとでの技術的限界代替率

コブ・ダグラス型生産関数のもとでの技術的限界代替率は以下の通りです。

命題(コブ・ダグラス型生産関数のもとでの技術的限界代替率)
コブ・ダグラス型生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。2つの商品\(i,j\in \left\{ 1,\cdots,N\right\} \)および点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}MRTS_{ij}\left( x\right) =\frac{\alpha _{i}}{\alpha _{j}}\cdot \frac{x_{j}}{x_{i}}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(コブ・ダグラス型生産関数の限界生産)
生産者が資本\(K\)と労働\(L\)を投入して生産物\(Y\)を産出する状況を想定します。その技術を表す生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( K,L\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( K,L\right) =AK^{\alpha }L^{\beta }
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(A>0\)かつ\(\alpha>0\)かつ\(\beta >0\)です。この\(f\)はコブ・ダグラス型生産関数です。定義域の内点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}MRS_{KL}\left( K,L\right) &=&\frac{MP_{K}\left( K,L\right) }{MP_{L}\left(
K,L\right) } \\
&=&\frac{\alpha AK^{\alpha -1}L^{\beta }}{\beta AK^{\alpha }L^{\beta -1}} \\
&=&\frac{\alpha }{\beta }\cdot \frac{L}{K}
\end{eqnarray*}となります。

生産者の技術がコブ・ダグラス型効用関数として表現される場合には、2つの商品\(i,j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)および点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}MRTS_{ij}\left( x\right) =\frac{\alpha _{i}}{\alpha _{j}}\cdot \frac{x_{j}}{x_{i}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。投入ベクトル\(\overline{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)を任意に選んだとき、それに対応する等量曲線は、\begin{equation*}R^{\ast }\left( \overline{x}\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{N}^{\alpha
_{N}}=k\overline{x}_{1}^{\alpha _{1}}\overline{x}_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
\overline{x}_{N}^{\alpha _{N}}\right\}
\end{equation*}となります。この等量曲線上において\(x_{i}\)を増やすと\(x_{j}\)が減少するため、そのような移行によって\(MRTS_{ij}\left(x\right) \)は減少します。つまり、技術的限界代替率逓減の法則が成立します。

 

コブ・ダグラス型生産関数の単調性

コブ・ダグラス型生産関数\(f\)は単調増加関数です。つまり、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left[ x^{\prime }\geq x\Rightarrow f\left( x^{\prime }\right) \geq
f\left( x\right) \right] \end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
x^{\prime }\geq x\Leftrightarrow \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\}
:x_{n}^{\prime }\geq x_{n}
\end{equation*}です。投入ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、そこからすべての生産要素の投入量を減らさない場合には、生産物の産出量も減少しないということです。

命題(コブ・ダグラス型生産関数の単調性)
コブ・ダグラス型生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上において単調増加関数である。
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コブ・ダグラス型生産関数は狭義単調増加ではありません。以下の例より明らかです。

例(コブ・ダグラス型生産関数)
コブダグラス型生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の2つの点\begin{eqnarray*}\left( 0,1,1,\cdots ,1\right) &\in &\mathbb{R} _{+}^{N} \\
\left( 0,2,1,\cdots ,1\right) &\in &\mathbb{R} _{+}^{N}
\end{eqnarray*}に注目すると、\begin{equation*}
\left( 0,2,1,\cdots ,1\right) >\left( 0,1,1,\cdots ,1\right)
\end{equation*}が成り立つ一方で、\begin{eqnarray*}
f\left( 0,1,1,\cdots ,1\right) &=&k0^{\alpha _{1}}1^{\alpha _{2}}1^{\alpha
_{3}}\cdots 1^{\alpha _{N}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&k0^{\alpha _{1}}2^{\alpha _{2}}1^{\alpha _{3}}\cdots 1^{\alpha _{N}} \\
&=&f\left( 0,2,1,\cdots ,1\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となり、\begin{equation*}
f\left( 0,2,1,\cdots ,1\right) >f\left( 0,1,1,\cdots ,1\right)
\end{equation*}が成り立たないからです。

コブ・ダグラス型生産関数\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)に制限すれば、すなわち任意の生産要素の投入量が正の実数を値としてとる場合には、\(f\)は狭義単調増加になります。つまり、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N}:\left[ x^{\prime }>x\Rightarrow f\left( x^{\prime }\right)
>f\left( x\right) \right] \end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
x^{\prime }>x\Leftrightarrow \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\}
:x_{n}^{\prime }\geq x_{n}\wedge \exists n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\}
:x_{n}^{\prime }>x_{n}
\end{equation*}です。投入ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、そこからすべての生産要素の投入量を減らさず、なおかつ少なくとも1つの生産要素の投入量を増やせば、生産物の産出量が増加するということです。

命題(コブ・ダグラス型生産関数の狭義単調性)
コブ・ダグラス型生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上において狭義単調増加関数である。
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コブ・ダグラス型生産関数の同次性

コブ・ダグラス型生産関数\(f\)は\(\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\)次同次関数です。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{+}^{N},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:f\left( \lambda x\right) =\lambda ^{\alpha _{1}+\cdots +\alpha
_{N}}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。投入ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、すべての生産要素の投入量を\(\lambda >0\)倍すれば、生産物の産出量は\(\lambda ^{\alpha_{1}+\cdots +\alpha _{N}}\)倍になるということです。

命題(コブ・ダグラス型生産関数の同次性)
コブ・ダグラス型生産関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\(f\)は\(\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\)次同次関数である。
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以上の命題を踏まえると、規模に関する収穫に関する以下の命題が得られます。

命題(コブ・ダグラス型生産関数のもとでの規模に関する収穫)
コブ・ダグラス型生産関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。以下が成り立つ。

  1. \(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{N}>1\)の場合、規模に関して収穫逓増となる。
  2. \(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{N}=1\)の場合、規模に関して収穫一定となる。
  3. \(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{N}<1\)の場合、規模に関して収穫逓減となる。
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コブ・ダグラス型生産関数の対数変換

多くの場合、コブ・ダグラス生産関数を扱う際には分析を容易にするために自然対数関数との合成関数を利用します。具体的には、コブ・ダグラス型生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めますが、定義域の内点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) >0
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)の定義域を内部に制限して\(f:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)とすれば、\(f\)の値域は、\begin{equation*}f\left( \mathbb{R} _{++}^{N}\right) =\mathbb{R} _{++}
\end{equation*}となります。すると自然対数関数\(\ln \left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)との合成関数\(\ln \left( f\left(x\right) \right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x=\left(x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}\ln \left( f\left( x\right) \right) &=&\ln \left( kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\ln \left( k\right) +\ln \left( x_{1}^{\alpha _{1}}\right) +\cdots +\ln
\left( x_{N}^{\alpha _{N}}\right) \\
&=&\ln \left( k\right) +\alpha _{1}\ln \left( x_{1}\right) +\cdots +\alpha
_{N}\left( \ln x_{N}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

繰り返しになりますが、自然対数関数\(\ln \left(x\right) \)は正の実数上において定義されているため\(\ln \left( 0\right) \)は存在しません。したがって、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の境界点、すなわち少なくとも1つの生産要素の投入量が\(0\)であるような投入ベクトル\(x\)において合成関数\(\ln \left( f\left( x\right) \right) \)定義されず、したがって\(\ln \left(f\left( x\right) \right) \)の定義域は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)です。