コブ・ダグラス型生産関数

コブ・ダグラス型生産関数

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの投入ベクトル\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(k,\alpha _{1},\cdots ,\alpha_{N}\in \mathbb{R} \)は定数であり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ k>0 \\
&&\left( b\right) \ \alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとします。このような生産関数\(f\)をコブ・ダグラス型生産関数（Cobb-Douglas production function）と呼びます。

コブ・ダグラス型生産関数の連続性

コブ・ダグラス型生産関数は連続関数です。

コブ・ダグラス型生産関数の連続微分可能性

コブ・ダグラス型生産関数は定義域の内部において連続微分可能です。

コブ・ダグラス型生産関数のもとでの限界生産

コブ・ダグラス型生産関数のもとでの限界生産は以下の通りです。

コブ・ダグラス型生産関数のもとでの技術的限界代替率

コブ・ダグラス型生産関数のもとでの技術的限界代替率は以下の通りです。

生産者の技術がコブ・ダグラス型効用関数として表現される場合には、2つの商品\(i,j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)および点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}MRTS_{ij}\left( x\right) =\frac{\alpha _{i}}{\alpha _{j}}\cdot \frac{x_{j}}{x_{i}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。投入ベクトル\(\overline{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)を任意に選んだとき、それに対応する等量曲線は、\begin{equation*}R^{\ast }\left( \overline{x}\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{N}^{\alpha
_{N}}=k\overline{x}_{1}^{\alpha _{1}}\overline{x}_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
\overline{x}_{N}^{\alpha _{N}}\right\}
\end{equation*}となります。この等量曲線上において\(x_{i}\)を増やすと\(x_{j}\)が減少するため、そのような移行によって\(MRTS_{ij}\left(x\right) \)は減少します。つまり、技術的限界代替率逓減の法則が成立します。

コブ・ダグラス型生産関数の単調性

コブ・ダグラス型生産関数\(f\)は単調増加関数です。つまり、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left[ x^{\prime }\geq x\Rightarrow f\left( x^{\prime }\right) \geq
f\left( x\right) \right] \end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
x^{\prime }\geq x\Leftrightarrow \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\}
:x_{n}^{\prime }\geq x_{n}
\end{equation*}です。投入ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、そこからすべての生産要素の投入量を減らさない場合には、生産物の産出量も減少しないということです。

コブ・ダグラス型生産関数は狭義単調増加ではありません。以下の例より明らかです。

コブ・ダグラス型生産関数\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)に制限すれば、すなわち任意の生産要素の投入量が正の実数を値としてとる場合には、\(f\)は狭義単調増加になります。つまり、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N}:\left[ x^{\prime }>x\Rightarrow f\left( x^{\prime }\right)
>f\left( x\right) \right] \end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
x^{\prime }>x\Leftrightarrow \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\}
:x_{n}^{\prime }\geq x_{n}\wedge \exists n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\}
:x_{n}^{\prime }>x_{n}
\end{equation*}です。投入ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、そこからすべての生産要素の投入量を減らさず、なおかつ少なくとも1つの生産要素の投入量を増やせば、生産物の産出量が増加するということです。

コブ・ダグラス型生産関数の同次性

コブ・ダグラス型生産関数\(f\)は\(\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\)次同次関数です。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{+}^{N},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:f\left( \lambda x\right) =\lambda ^{\alpha _{1}+\cdots +\alpha
_{N}}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。投入ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、すべての生産要素の投入量を\(\lambda >0\)倍すれば、生産物の産出量は\(\lambda ^{\alpha_{1}+\cdots +\alpha _{N}}\)倍になるということです。

以上の命題を踏まえると、規模に関する収穫に関する以下の命題が得られます。

コブ・ダグラス型生産関数の対数変換

多くの場合、コブ・ダグラス生産関数を扱う際には分析を容易にするために自然対数関数との合成関数を利用します。具体的には、コブ・ダグラス型生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めますが、定義域の内点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) >0
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)の定義域を内部に制限して\(f:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)とすれば、\(f\)の値域は、\begin{equation*}f\left( \mathbb{R} _{++}^{N}\right) =\mathbb{R} _{++}
\end{equation*}となります。すると自然対数関数\(\ln \left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)との合成関数\(\ln \left( f\left(x\right) \right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x=\left(x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}\ln \left( f\left( x\right) \right) &=&\ln \left( kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\ln \left( k\right) +\ln \left( x_{1}^{\alpha _{1}}\right) +\cdots +\ln
\left( x_{N}^{\alpha _{N}}\right) \\
&=&\ln \left( k\right) +\alpha _{1}\ln \left( x_{1}\right) +\cdots +\alpha
_{N}\left( \ln x_{N}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

繰り返しになりますが、自然対数関数\(\ln \left(x\right) \)は正の実数上において定義されているため\(\ln \left( 0\right) \)は存在しません。したがって、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の境界点、すなわち少なくとも1つの生産要素の投入量が\(0\)であるような投入ベクトル\(x\)において合成関数\(\ln \left( f\left( x\right) \right) \)定義されず、したがって\(\ln \left(f\left( x\right) \right) \)の定義域は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)です。

コブ・ダグラス型生産関数は準凹関数

繰り返しになりますが、コブ・ダグラス型生産関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから合成関数\(\ln \left(f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が常に定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{equation*}\ln \left( f\left( x\right) \right) =\ln \left( k\right) +\alpha _{1}\ln
\left( x_{1}\right) +\cdots +\alpha _{N}\ln \left( x_{N}\right)
\end{equation*}を定めます。この関数は凹関数です。

以上の命題を踏まえると、コブ・ダグラス型生産関数が準凹関数であることを示すことができます。

コブ・ダグラス型生産関数が凹関数であるための条件

コブ・ダグラス型生産関数が準凹であることが明らかになりました。凹関数は準凹関数ですが、準凹関数は凹関数であるとは限りません。コブ・ダグラス型生産関数は凹関数でしょうか。一定の条件のもとでは、コブ・ダグラス型生産関数は凹関数になります。