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PRODUCER THEORY

利潤最大化問題の制約条件

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利潤最大化問題の制約条件

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)によって表現される技術を持つ生産者が価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に直面したときに得べき利潤最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad \text{s.t.}\quad y\in Y
\end{equation*}として定式化されます。この問題に対してもベルジュの最大値定理を適用できるでしょうか。それぞれの価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{equation*}S\left( p\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ y\in Y\right\}
\end{equation*}を定める対応\(S:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow \mathbb{R} ^{N}\)を定義すれば、\(p\)のもとでの利潤最大化問題を、\begin{equation*}\max_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad \text{s.t.}\quad y\in S\left( p\right)
\end{equation*}と表現できます。目的関数\(p\cdot x\)は明らかに連続関数であるため、ベルジュの最大値定理が要求する条件をクリアしています。したがって、制約条件を規定する対応\(S\)が非空値かつコンパクト値をとる連続対応であるならば、利潤最大化問題に対してもベルジュの最大値定理を適用できます。ただ、この対応\(S\)はそれらの性質を満たすとは限りません。

例(利潤最大化問題の制約条件)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が非空性を満たさない場合、すなわち\(Y=\phi \)である場合、任意の\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して\(S\left( p\right) =\phi \)となるため、\(S\)は非空値をとりません。
例(利潤最大化問題の制約条件)
何らかの生産要素を任意量投入できたり何らかの生産物を任意量生産できる場合、生産要素\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)は有界ではなく、したがってコンパクト集合でもありません。すると任意の\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して\(S\left( p\right) \)はコンパクト集合ではないため、\(S\)はコンパクト値をとりません。

 

利潤最大化問題の変換

上の例が示唆するように、利潤最大化問題に対してベルジュの最大値定理を適用できるとは限りません。そこで、なるべく問題の一般性を失わないまま、利潤最大化問題をベルジュの最大値定理を適用できる形へと変換することを考えます。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)によって表現される技術を持つ生産者が価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に直面したときに得べき利潤最大化問題は、\begin{equation}\max_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad \text{s.t.}\quad y\in Y \quad \cdots (1)
\end{equation}として定式化されます。ここで、生産集合\(Y\)が操業停止可能性を満たすものとします。つまり、\begin{equation*}0\in Y
\end{equation*}を仮定するということです。さらに、それぞれの価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}S\left( p\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ y\in Y\wedge p\cdot y\geq 0\right\} \\
&=&Y\cap \left\{ y\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ p\cdot y\geq 0\right\}
\end{eqnarray*}を定める対応\(S:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow \mathbb{R} ^{N}\)を定義します。これを制約対応(constraint correspondence)と呼ぶこととします。以上を踏まえた上で、それぞれの\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して以下の制約付き最大化問題\begin{equation}\max_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad \text{s.t.}\quad y\in S\left( p\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を考えます。

利潤最大化問題\(\left( 1\right) \)と制約対応のもとでの最大化問題\(\left( 2\right) \)は何が違うのでしょうか。利潤最大化問題\(\left( 1\right) \)は、技術制約を満たす生産ベクトルの中でも利潤を最大化するものを特定する問題です。一方、制約対応のもとでの最大化問題\(\left( 2\right) \)は、技術制約を満たすとともに、非負の利潤をもたらす生産ベクトルの中でも利潤を最大化するものを特定する問題です。操業停止可能性を仮定しているため、操業を停止することによりゼロの利潤を達成できることは保証されており、したがって負の利潤をもたらす生産ベクトルが利潤最大化問題の解になることはありません。したがって、利潤最大化問題において生産ベクトルがとり得る値の範囲を\(Y\)から\(S\left( p\right) \)に縮小しても一般性は失われません。

命題(利潤最大化問題の変換)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)は操業停止可能性を満たすものとする。さらに、対応\(S:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow \mathbb{R} ^{N}\)はそれぞれの\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{equation*}S\left( p\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ y\in Y\wedge p\cdot y\geq 0\right\}
\end{equation*}を定めるものとする。\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)を任意に選んだとき、\(y^{\ast }\in \mathbb{R} ^{N}\)が\(p\)のもとでの最適化問題\begin{equation*}\max_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad \text{s.t.}\quad y\in S\left( p\right)
\end{equation*}の解であることは、\(y^{\ast }\)が\(p\)のもとでの利潤最大化問題\begin{equation*}\max_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad \text{s.t.}\quad y\in Y
\end{equation*}の解であるための必要十分条件である。

証明

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制約対応の性質

以上の命題より、価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)が与えられたときに利潤最大化について考えるかわりに、制約対応のもとでの最大化問題\begin{equation*}\max_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad \text{s.t.}\quad y\in S\left( p\right)
\end{equation*}を考えても一般性は失われないことが保証されます。目的関数\(p\cdot y\)は連続関数であるため、制約対応\(S\)が非空値かつコンパクト値をとる連続対応であることを示すことができればベルジュの最大値定理を利用できます。以下の条件のもとで制約対応\(S\)はそれらの性質を満たします。

命題(制約対応の性質)

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が非空性、閉集合、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たす場合には、それぞれの\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{equation*}S\left( p\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ y\in Y\wedge p\cdot y\geq 0\right\}
\end{equation*}を定める対応\(S:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow \mathbb{R} ^{N}\)は非空値かつコンパクト値をとる連続対応になる。

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次回は支出関数について解説します。

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ベルジュの最大値定理

目的関数が連続であるとともに制約対応が非空値かつコンパクト値をとる連続対応である場合、価値関数は連続な実数値関数になるとともに、最適選択対応は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になります。これをベルジュの最大値定理と呼びます。

利潤最大化

利潤最大化問題

生産者理論では、生産者は自身が選択可能な生産ベクトルの中から自身が得られる利潤を最大化するようなものを選ぶものと仮定します。以上の仮定のもと、生産者が直面する問題を利潤最適問題として定式化します。

DISCUSSION

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