制約付き要素需要関数の0次同次性

分析対象である生産者にとって、経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる\(1\)種類の商品が生産物である状況、すなわち\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルを想定します。

生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)ないし生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているとともに、費用最小化を目指す生産者の意思決定が制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されており、なおかつ\(Z^{\ast }\)は非空値をとるものとします。ただし、\(P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)は目標産出量がとり得る値からなる集合であり、\begin{equation*}P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \exists x\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}と定義されます。要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)のもとでの費用最小化問題\begin{equation*}\min_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) \geq q
\end{equation*}の解であるような投入ベクトルからなる集合は、\begin{equation*}
Z^{\ast }\left( w,q\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ f\left( x\right) \geq q\wedge \forall x^{\prime }\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left[ f\left( x^{\prime }\right) \geq q\Rightarrow w\cdot
x^{\prime }\geq w\cdot x\right] \right\}
\end{equation*}です。すべての生産要素の価格を同じ割合\(\lambda >0\)で変化させたとき、変化後の要素価格ベクトル\(\lambda w\)と目標産出量\(q\)のもとでの費用最小化問題の解からなる集合は、\begin{equation*}Z^{\ast }\left( \lambda w,q\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ f\left( x\right) \geq q\wedge \forall x^{\prime }\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left[ f\left( x^{\prime }\right) \geq q\Rightarrow \lambda w\cdot
x^{\prime }\geq \lambda w\cdot x\right] \right\}
\end{equation*}となりますが、このとき、\begin{equation*}
Z^{\ast }\left( \lambda w,q\right) =Z^{\ast }\left( w,q\right)
\end{equation*}という関係が成立します（演習問題）。つまり、すべての生産要素の価格を同じ割合\(\lambda \)で変化させる場合、その変化の前後において、費用最小化問題の解からなる集合は変化しません。

以上の議論は任意の\(\left( w,q\right) \)と\(\lambda \)について成立するため、制約付き要素対応\(Z^{\ast }\)について、\begin{equation*}\forall \left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) ,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:Z^{\ast }\left( \lambda w,q\right) =Z^{\ast }\left( w,q\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、制約付き要素対応\(Z^{\ast }\)は要素価格ベクトル\(w\)に関して0次同次であるということです。

命題（制約付き要素需要対応の0次同次性）

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が非空値をとる場合、\begin{equation*}\forall \left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) ,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:Z^{\ast }\left( \lambda w,q\right) =Z^{\ast }\left( w,q\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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制約付き要素需要関数\(z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する場合には、要素価格と目標産出量\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)のもとでの費用最小化問題の解からなる集合は常に1点集合であり、\begin{equation*}\forall \left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) :Z^{\ast }\left( w,q\right) =\left\{ z^{\ast }\left( w,q\right)
\right\}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。先と同様の議論を繰り返すことにより、制約付き要素需要関数が要素価格ベクトル\(w\)に関して0次同次であることを示すことができます。

命題（制約付き要素需要関数の0次同次性）

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて制約付き要素需要関数\(z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する場合、\begin{equation*}\forall \left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) ,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:z^{\ast }\left( \lambda w,q\right) =z^{\ast }\left( w,q\right)
\end{equation*}が成り立つ。

例（制約付き要素需要関数の0次同次性）

2生産要素1生産物モデルに制約付き要素需要関数\(z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、それぞれの\(\left( w_{1},w_{2},q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \)に対して、\begin{equation*}z^{\ast }\left( w_{1},w_{2},q\right) =\left(
\begin{array}{c}
z_{1}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},q\right) \\
z_{2}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},q\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{\frac{w_{2}}{w_{1}}}q \\
\sqrt{\frac{w_{1}}{w_{2}}}q\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\lambda >0\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}z^{\ast }\left( \lambda w_{1},\lambda w_{2},q\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{\frac{\lambda w_{2}}{\lambda w_{1}}}q \\
\sqrt{\frac{\lambda w_{1}}{\lambda w_{2}}}q\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{\frac{w_{2}}{w_{1}}}q \\
\sqrt{\frac{w_{1}}{w_{2}}}q\end{array}\right) \\
&=&z^{\ast }\left( w_{1},w_{2},q\right)
\end{eqnarray*}となるため、制約付き要素需要関数\(z^{\ast }\)は要素需要ベクトル\(\left(w_{1},w_{2}\right) \)に関して0次同次性を満たしています。

制約付き要素需要対応の0次同次性とニュメレール

制約付き要素需要対応の0次同次性は、貨幣単位の付け替えが経済学的には意味を持たないことを示唆しています。貨幣単位が「円」である場合、要素価格ベクトルと産出量\(\left( w,q\right) \)のもとでの費用最小化問題の解であるような投入ベクトルからなる集合は\(Z^{\ast }\left( w,q\right) \)です。ここで、貨幣単位を「銭」に変換すると先の要素価格ベクトルと産出量は\(\left(100w,q\right) \)と表現され、そこでの費用最小化問題の解であるような投入ベクトルからなる集合は\(Z^{\ast }\left( 100w,q\right) \)になります。ただし、制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }\)は要素価格ベクトル\(w\)に関して0次同次であるため、このとき、\begin{equation*}Z^{\ast }\left( 100w,q\right) =Z^{\ast }\left( w,q\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、貨幣単位を「円」から「銭」に変更しても費用最小化問題の解は変化しません。通貨を「円」から「ドル」や「ユーロ」などに変更する場合にも同様の議論が成り立ちます。つまり、制約付き要素需要対応が要素価格ベクトルに関して0次同次である場合には、貨幣の種類や単位を変更しても費用最小化問題の解は変化しません。