レオンチェフ型生産関数のもとでの費用最小化問題
\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産者の技術がレオンチェフ型生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの投入ベクトル\(x=\left(x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値は、\begin{equation*}f\left( x\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}です。ただし、\(\alpha _{1},\cdots,\alpha _{N}\in \mathbb{R} \)は定数であり、以下の条件\begin{equation*}\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right)
\end{equation*}を満たします。
レオンチェフ型生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は単調増加な連続関数であるとともに、\begin{eqnarray*}f\left( 0\right) &=&\min \left\{ \alpha _{1}0,\cdots ,\alpha _{N}0\right\}
\\
&=&\min \left\{ 0,\cdots ,0\right\} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\(f\)の値域は、\begin{equation*}f\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) =\mathbb{R} _{+}
\end{equation*}となります。要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) =\left( w_{1},\cdots ,w_{N},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{+}\)のもとでの費用最小化問題は、
$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & w\cdot x \\
s.t. & \min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha _{N}x_{N}\right\} \geq q \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$
となります。
_{2}x_{2}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。要素価格と目標産出量\(\left( w_{1},w_{2},q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)のもとでの費用最小化問題は、
$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},x_{2}\right) } & w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2} \\
s.t. & \min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha _{2}x_{2}\right\} \geq q \\
& x_{1}\geq 0 \\
& x_{2}\geq 0
\end{array}$$
となります。
レオンチェフ型生産関数のもとでの制約付き要素需要関数
レオンチェフ型生産関数\(f\)のもとでの費用最小化問題において、目標産出量が\(q=0\)である場合、要素価格ベクトル\(w\)がいかなるものであっても、ゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が明らかに\(\left( w,q\right) \)のもとでの費用最小化問題の解です。そこで以降では\(q>0\)の場合について考えます。加えて、レオンチェフ型生産関数は連続であるため、\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの費用最小化問題を、
$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & w\cdot x \\
s.t. & \min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha _{N}x_{N}\right\} =q
\\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$
と表現しても一般性は失われません。この問題を解くことにより以下が得られます。
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}を定める。ただし、\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。この場合、制約付き要素需要関数\(z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在して、それぞれの\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}z_{n}^{\ast }\left( w,q\right) =\frac{q}{\alpha _{n}}
\end{equation*}を定める。
_{2}x_{2}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。先の命題より、制約付き要素需要関数\(z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在して、それぞれの\(\left( w_{1},w_{2},q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)に対して、\begin{equation*}z^{\ast }\left( w_{1},w_{2},q\right) =\left(
\begin{array}{c}
z_{1}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},q\right) \\
z_{2}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},q\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{q}{\alpha _{1}} \\
\dfrac{q}{\alpha _{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。
レオンチェフ型生産関数のもとでの費用関数
生産者の技術がレオンチェフ型生産関数として表される場合には制約付き要素需要関数が存在することが明らかになりました。したがって、制約付き要素需要関数を費用を表す式に代入することにより費用関数が以下のように特定されます。
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}を定める。ただし、\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。この場合、この場合、費用関数\(c:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}c\left( w,q\right) =q\sum_{n=1}^{N}\left( \frac{w_{n}}{\alpha _{n}}\right)
\end{equation*}を定める。
_{2}x_{2}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。先の命題より、費用関数\(c:\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( w_{1},w_{2},q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)に対して、\begin{equation*}c\left( w_{1},w_{2},q\right) =q\left( \frac{w_{1}}{\alpha _{1}}+\frac{w_{2}}{\alpha _{2}}\right)
\end{equation*}を定めます。
演習問題
_{2}x_{2},\alpha _{3}x_{3}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)かつ\(\alpha _{3}>0\)です。
- 費用最小化問題を定式化してください。
- 制約付き要素需要関数を求めてください。
- 費用関数を求めてください。
