レオンチェフ型生産関数

レオンチェフ型生産関数

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの投入ベクトル\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{N}\in \mathbb{R} \)は定数であり、以下の条件\begin{equation*}\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right)
\end{equation*}を満たすものとします。このような生産関数\(u\)をレオンチェフ型生産関数（Leontief production function）と呼びます。

完全補完財

レオンチェフ型生産関数はどのような技術を表現しているのでしょうか。具体例として、\(2\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて生産者の技術がレオンチェフ型生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現される状況を想定します。つまり、\(f\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha
_{2}x_{2}\right\}
\end{equation*}を定めるということです。ただし、\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。まず、\begin{eqnarray*}f\left( 0,0\right) &=&\min \left\{ 0,0\right\} =0 \\
f\left( x_{1},0\right) &=&\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},0\right\} =0 \\
f\left( 0,x_{2}\right) &=&\min \left\{ 0,\alpha _{2}x_{2}\right\} =0
\end{eqnarray*}が成り立つため、生産者が少なくとも一方の生産要素を投入しない場合の産出量はゼロです。

生産者が生産要素\(1,2\)を\(\frac{1}{\alpha _{1}}:\frac{1}{\alpha _{2}}\)の割合で投入する場合には、\(c>0\)を任意に選んだときに、\begin{eqnarray*}f\left( \frac{c}{\alpha _{1}},\frac{c}{\alpha _{2}}\right) &=&\min \left\{
\alpha _{1}\frac{c}{\alpha _{1}},\alpha _{2}\frac{c}{\alpha _{2}}\right\}
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\min \left\{ c,c\right\} \\
&=&c
\end{eqnarray*}となります。ここから生産要素\(1\)の投入量だけを\(\Delta x_{1}>0\)だけ増やすと、\begin{eqnarray*}f\left( \frac{c}{\alpha _{1}}+\Delta x_{1},\frac{c}{\alpha _{2}}\right)
&=&\min \left\{ \alpha _{1}\left( \frac{c}{\alpha _{1}}+\Delta x_{1}\right)
,\alpha _{2}\frac{c}{\alpha _{2}}\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\min \left\{ c+\alpha _{1}\Delta x_{2},c\right\} \\
&=&c\quad \because \alpha _{1}>0,\ \Delta x_{1}>0
\end{eqnarray*}となり、産出量は変化しません。逆に、生産要素\(2\)の投入量だけを\(\Delta x_{2}>0\)だけを増やすと、\begin{eqnarray*}f\left( \frac{c}{\alpha _{1}},\frac{c}{\alpha _{2}}+\Delta x_{2}\right)
&=&\min \left\{ \alpha _{1}\frac{c}{\alpha _{1}},\alpha _{2}\left( \frac{c}{\alpha _{2}}+\Delta x_{2}\right) \right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\min \left\{ c,c+\alpha _{2}\Delta x_{2}\right\} \\
&=&c\quad \because \alpha _{2}>0,\ \Delta x_{2}>0
\end{eqnarray*}となり、やはりこの場合にも産出量は変化しません。つまり、生産者にとって重要なことは生産要素\(1,2\)を\(\frac{1}{\alpha _{1}}:\frac{1}{\alpha _{2}}\)の割合で組み合わせて投入することであり、このバランスを崩す形で一方の生産要素の投入量だけを増やしてもそれは余分であり、産出量の増加には貢献しません。同様の議論は任意の\(c>0\)について成立します。つまり、産出量を増やすためには生産要素\(1,2\)の投入量を\(\frac{1}{\alpha _{1}}:\frac{1}{\alpha _{2}}\)の割合でともに増やす必要があります。

一般のレオンチェフ型生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)についても同様の議論が成立します。つまり、投入ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)から実現可能な産出量が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}という形で表されているとき、生産者にとって重要なことは\(N\)種類の生産要素を\(\frac{1}{\alpha _{1}}:\cdots :\frac{1}{\alpha _{N}}\)の割合で組み合わせて投入することであり、このバランスを崩す形で特定の生産要素の投入量を増やしてもそれらは余分であり、産出量の増加には貢献しません。同様の議論は任意の\(c>0\)について成立します。つまり、産出量を増やすためには\(N\)種類のすべての生産要素の消費量を\(\frac{1}{\alpha _{1}}:\cdots :\frac{1}{\alpha _{N}}\)の割合ですべて増やす必要があります。

複数の生産要素が一定の割合で組み合わされて投入されることで意味を持つ場合、それらの生産要素を完全補完財（perfect
complements）と呼びます。レオンチェフ型生産関数は完全補完財を投入する場合の技術を表しています。

レオンチェフ型生産関数の連続性

\(1\)生産物\(2\)生産要素モデルにおけるレオンチェフ型生産関数は、\begin{eqnarray*}f\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha
_{2}x_{2}\right\} \\
&=&\frac{\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}}{2}-\frac{\left\vert \alpha
_{1}x_{1}-\alpha _{2}x_{2}\right\vert }{2}
\end{eqnarray*}という形に変形可能であることを踏まえると、これが連続関数であることが示されます。

以上の事実を踏まえると、\(1\)生産物\(N\)生産要素モデルにおけるレオンチェフ型生産関数が連続であることが示されます。

レオンチェフ型効用関数の偏微分可能性

\(1\)生産物\(2\)生産要素モデルにおけるレオンチェフ型生産関数\(f\)が、\begin{eqnarray*}f\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha
_{2}x_{2}\right\} \\
&=&\frac{\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}}{2}-\frac{\left\vert \alpha
_{1}x_{1}-\alpha _{2}x_{2}\right\vert }{2}
\end{eqnarray*}という形に変形可能であることを踏まえると、これが\(\alpha _{1}x_{1}\not=\alpha_{2}x_{2}\)を満たす点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)において偏微分可能であることが示されます。

3変数のレオンチェフ型生産関数\(f\)については、\begin{eqnarray*}&&f\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \\
&=&\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha _{2}x_{2},\alpha _{3}x_{3}\right\}
\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\min \left\{ \min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha _{2}x_{2}\right\}
,\alpha _{3}x_{3}\right\} \\
&=&\frac{\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha _{2}x_{2}\right\} +\alpha
_{3}x_{3}}{2}-\frac{\left\vert \min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\alpha
_{2}x_{2}\right\} -\alpha _{3}x_{3}\right\vert }{2} \\
&=&\frac{1}{2}\left( \frac{\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}}{2}-\frac{\left\vert \alpha _{1}x_{1}-\alpha _{2}x_{2}\right\vert }{2}+\alpha
_{3}x_{3}\right) -\frac{1}{2}\left\vert \frac{\alpha _{1}x_{1}+\alpha
_{2}x_{2}}{2}-\frac{\left\vert \alpha _{1}x_{1}-\alpha _{2}x_{2}\right\vert
}{2}-\alpha _{3}x_{3}\right\vert
\end{eqnarray*}という変形が可能であるため、\(f\)は以下の集合\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\ |\ \alpha _{1}x_{1}\not=\alpha _{2}x_{2}\wedge \alpha
_{2}x_{2}\not=\alpha _{3}x_{3}\wedge \alpha _{1}x_{1}\not=\alpha
_{3}x_{3}\right\}
\end{equation*}上で偏微分可能です。

\(N\)変数のレオンチェフ型生産関数\(f\)についても同様に考えることにより、以下の集合\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\ |\ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \alpha _{i}x_{i}\not=\alpha _{j}x_{j}\right) \right\}
\end{equation*}上で偏微分可能であることが示されます。

レオンチェフ型効用関数のもとでの限界生産

レオンチェフ型効用関数のもとでの限界生産は以下の通りです。

レオンチェフ型生産関数のもとでの技術的限界代替率

レオンチェフ型生産関数のもとでの技術的限界代替率は以下の通りです。

レオンチェフ型生産関数の単調性

レオンチェフ型生産関数は単調増加関数です。つまり、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left[ y\geq x\Rightarrow f\left( y\right) \geq f\left( x\right) \right] \end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
y\geq x\Leftrightarrow \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{n}\geq
x_{n}
\end{equation*}です。投入ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、そこからすべての生産要素の投入量を減らさない場合には産出量も減少しないということです。

レオンチェフ型生産関数は狭義単調増加ではありません。以下の例より明らかです。

レオンチェフ型生産関数の同次性

レオンチェフ型生産関数\(f\)は\(1\)次同次関数です。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{+}^{N},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:f\left( \lambda x\right) =\lambda f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。投入ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、すべての生産要素の投入量を\(\lambda >0\)倍すれば、生産物の産出量は\(\lambda \)倍になるということです。

以上の命題を踏まえると、規模に関する収穫に関する以下の命題が得られます。

レオンチェフ型生産関数は凸関数かつ凹関数

レオンチェフ型生産関数は凸関数かつ凹関数です。

凸関数は準凸関数であり、凹関数は準凹関数であるため、上の命題より以下を得ます。

レオンチェフ型生産関数は狭義凸関数や狭義凹関数ではありません（演習問題）。また、狭義準凸関数や狭義準凹関数でもありません（演習問題）。

演習問題