限界変形率
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)と変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。定義より、任意の\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ y\in Y\Leftrightarrow F\left( y\right) \leq 0 \\
&&\left( b\right) \ y\in Y^{f}\Leftrightarrow F\left( y\right) =0
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。ただし、\(Y^{f}\)は\(Y\)の境界、すなわち変換フロンティアです。変換フロンティア上の生産ベクトル\(\overline{y}\in Y^{f}\)を任意に選ぶと、\begin{equation}F\left( \overline{y}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。この\(\overline{y}\)を出発点として商品\(i\)の純産出量を\(\Delta y_{i}\)だけ変化させたときに、変換フロンティア上に留まるために商品\(j\)の純産出量を\(\Delta y_{j}\)だけ変化させる必要があるのであれば、\begin{equation}F\left( \overline{y}_{1},\cdots ,\overline{y}_{i}+\Delta y_{i},\cdots ,\overline{y}_{j}+\Delta y_{j},\cdots ,\overline{y}_{N}\right) =0 \quad \cdots (2)
\end{equation}という関係が成り立ちます。そこで、\(\left(1\right) \)を満たす\(\Delta y_{i}\)と\(\Delta y_{j}\)の比率を、\begin{equation*}MRS_{ij}\left( \overline{y}\right) =\frac{\Delta y_{j}}{\Delta y_{i}}
\end{equation*}で表記し、これを\(\overline{y}\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界変形率（marginal rate of transformation of good \(i\)for good \(j\) at \(\overline{y}\)）と呼びます。
限界変形率\(MRS_{ij}\left( \overline{y}\right) \)は何を表す指標なのでしょうか。効率的な生産ベクトルは変換フロンティア上にあるため（逆は成立するとは限らない）、\(\left( 1\right) \)および\(\left( 2\right) \)を満たす生産ベクトルである\(\overline{y}\)と\(\overline{y}_{1},\cdots ,\overline{y}_{i}+\Delta y_{i},\cdots ,\overline{y}_{j}+\Delta y_{j},\cdots ,\overline{y}_{N}\)がともに効率的であるものと仮定します。限界変形率を構成する\(\Delta x_{j}\)と\(\Delta x_{i}\)は\(\left( 2\right) \)を満たすものとして定義されていますが、これは、効率的な\(\overline{y}\)を出発点として商品\(i\)の純産出量を\(\Delta x_{i}\)だけ変化させるとともに商品\(j\)の純産出量を\(\Delta x_{j}\)だけ変化させれば効率的な生産を維持できることを意味します。比例関係よりこれは、効率的な\(\overline{y}\)を出発点として商品\(i\)の純産出量を\(1\)だけ変化させるとともに商品\(j\)の純産出量を\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\)だけ変化させれば効率的な生産を維持できることを意味します。言い換えると、効率的な生産を行う生産者が生産ベクトル\(\overline{y}\)に直面したとき、この生産者の技術のもとでは、\(1\)単位の商品\(i\)は\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\)単位の商品\(j\)と変換可能であるということです。
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}\leq -y_{1}\right\}
\end{equation*}で与えられているとき、変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( y_{1},y_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =y_{2}+y_{1}
\end{equation*}を定めます。変換フロンティア上の点\(\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right) \in Y^{f}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}F\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\overline{y}_{2}+\overline{y}_{1}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。さらに、\(\Delta y_{1}\)に対して、\begin{equation*}F\left( \overline{y}_{1}+\Delta y_{1},\overline{y}_{2}+\Delta y_{2}\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left( \overline{y}_{2}+\Delta y_{2}\right) +\left( \overline{y}_{1}+\Delta
y_{1}\right) =0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\Delta y_{2}\)をとります。このとき、点\(\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right) \)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界変形率は、\begin{eqnarray*}MRS_{12}\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right) &=&\frac{\Delta
y_{2}}{\Delta y_{1}}\quad \because MRS\text{の定義} \\
&=&\frac{-\left( \overline{y}_{1}+\Delta y_{1}\right) -\overline{y}_{2}}{\Delta y_{1}}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&-1\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。この例では、限界代替率\(MRS_{12}\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right) \)の値は定数\(-1\)であり、これは生産ベクトル\(\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right) \)の水準に依存しません。つまり、2つの商品をそれぞれどの程度利用しているかとは関係なく、この生産者の技術のもとで商品\(1\)と商品\(2\)は常に1対1の割合で変換可能であるということです。
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているとき、変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( y_{1},y_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値は、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
y_{2}-\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}} & \left( if\ y_{1}\leq
0\right) \\
>0 & \left( if\ y_{1}>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たします。\(\overline{y}_{1}<0\)を満たす変換フロンティア上の点\(\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right) \in Y^{f}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}F\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\overline{y}_{2}-\left\vert \overline{y}_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}=0
\quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。さらに、\(\overline{y}_{1}+\Delta y_{1}<0\)を満たすほど十分小さい\(\Delta y_{1}\)について、\begin{equation*}F\left( \overline{y}_{1}+\Delta y_{1},\overline{y}_{2}+\Delta y_{2}\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left( \overline{y}_{2}+\Delta y_{2}\right) -\left\vert \overline{y}_{1}+\Delta y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\Delta y_{2}\)をとります。このとき、点\(\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right) \)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界変形率は、\begin{eqnarray*}MRS_{12}\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right) &=&\frac{\Delta
y_{2}}{\Delta y_{1}}\quad \because MRS\text{の定義} \\
&=&\frac{\left\vert \overline{y}_{1}+\Delta y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}-\overline{y}_{2}}{\Delta y_{1}}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{\left\vert \overline{y}_{1}+\Delta y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}-\left\vert \overline{y}_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}}{\Delta y_{1}}\quad
\because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。
微分による限界変形率の定義
繰り返しになりますが、生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)と変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation}F\left( \overline{y}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす生産ベクトル\(\overline{y}\in Y^{f}\)と異なる2つの商品\(i,j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)をそれぞれ任意に選ぶと、\(\overline{y}\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界変形率は、\begin{equation}F\left( \overline{y}_{1},\cdots ,\overline{y}_{i}+\Delta y_{i},\cdots ,\overline{y}_{j}+\Delta y_{j},\cdots ,\overline{y}_{N}\right) =0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\Delta y_{i}\)と\(\Delta y_{j}\)を用いて、\begin{equation}MRS_{ij}\left( \overline{y}\right) =\frac{\Delta y_{j}}{\Delta y_{i}}
\quad \cdots (3)
\end{equation}と定義されますが、この値は商品\(i\)の変化量\(\Delta y_{i}\)や商品\(j\)の変化量\(\Delta y_{j}\)に依存するため一意的に定まりません。このような問題を解決するために微分を用いて限界変形率を定義します。具体的には、\(\left( 2\right) \)において問題にしているのは商品\(i,j\)の純産出量\(y_{i},y_{j}\)の変化であるため、\(F\)を変数\(y_{i},y_{j}\)に関する関数とみなします。その上で、\(F\)が点\(\overline{y}\)において全微分可能である場合には十分小さい\(\Delta y_{i}\)と\(\Delta y_{j}\)について、\begin{eqnarray*}F\left( \overline{y}_{1},\cdots ,\overline{y}_{i}+\Delta y_{i},\cdots ,\overline{y}_{j}+\Delta y_{j},\cdots ,\overline{y}_{N}\right) &\approx
&F\left( \overline{y}\right) +\nabla F\left( \overline{y}\right) \cdot
\left( \Delta y_{i},\Delta y_{j}\right) \\
&=&F\left( \overline{y}\right) +\left( \frac{\partial F\left( \overline{y}\right) }{\partial y_{i}},\frac{\partial F\left( \overline{y}\right) }{\partial y_{j}}\right) \cdot \left( \Delta y_{i},\Delta y_{j}\right) \\
&=&F\left( \overline{y}\right) +\frac{\partial F\left( \overline{y}\right) }{\partial y_{i}}\Delta y_{i}+\frac{\partial F\left( \overline{y}\right) }{\partial y_{j}}\Delta y_{j}
\end{eqnarray*}という近似関係が成立することを踏まえると、これと\(\left( 1\right) ,\left(2\right) \)より、十分小さい\(\Delta y_{i}\)と\(\Delta y_{j}\)について、\begin{equation*}\frac{\partial F\left( \overline{y}\right) }{\partial y_{i}}\Delta y_{i}+\frac{\partial F\left( \overline{y}\right) }{\partial y_{j}}\Delta
y_{j}\approx 0
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、\(\frac{\partial F\left( \overline{y}\right) }{\partial y_{j}}\not=0\)である場合には、\begin{equation*}\frac{\Delta y_{j}}{\Delta y_{i}}\approx -\frac{\frac{\partial F\left(
\overline{y}\right) }{\partial y_{i}}}{\frac{\partial F\left( \overline{y}\right) }{\partial y_{j}}}
\end{equation*}となるため、これと\(\left( 3\right) \)より、十分小さい\(\Delta y_{i}\)と\(\Delta y_{j}\)について、\begin{equation*}MRS_{ij}\left( \overline{y}\right) =-\frac{\frac{\partial F\left( \overline{y}\right) }{\partial y_{i}}}{\frac{\partial F\left( \overline{y}\right) }{\partial y_{j}}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。一般に、偏微分係数が存在する場合には一意的であるため、上の近似式の右辺の値が存在する場合には一意的に定まります。以上を踏まえた上で、以降では点\(\overline{y}\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界変形率を、\begin{equation*}MRS_{ij}\left( \overline{y}\right) =-\frac{\frac{\partial F\left( \overline{y}\right) }{\partial y_{i}}}{\frac{\partial F\left( \overline{y}\right) }{\partial y_{j}}}
\end{equation*}と定義します。
変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が全微分可能である場合には、2つの異なる商品\(i,j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)と変換フロンティア上の生産ベクトル\(y\in Y^{f}\)をそれぞれ任意に選んだとき、十分小さい\(\Delta y_{i}\)と\(\Delta y_{j}\)について、\begin{equation*}\frac{\partial F\left( \overline{y}\right) }{\partial y_{i}}\Delta y_{i}+\frac{\partial F\left( \overline{y}\right) }{\partial y_{j}}\Delta
y_{j}\approx 0
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\frac{\partial F\left( \overline{y}\right) }{\partial y_{j}}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、点\(\overline{y}\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界変形率を、\begin{equation*}MRS_{ij}\left( \overline{y}\right) =-\frac{\frac{\partial F\left( \overline{y}\right) }{\partial y_{i}}}{\frac{\partial F\left( \overline{y}\right) }{\partial y_{j}}}
\end{equation*}が存在することが保証されます。
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}\leq -y_{1}\right\}
\end{equation*}で与えられているとき、変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( y_{1},y_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =y_{2}+y_{1}
\end{equation*}を定めます。\(F\)は多変数の多項式関数であるため全微分可能です。変換フロンティア上の生産ベクトル\(\left( y_{1},y_{2}\right) \in Y^{f}\)を任意に選んだとき、そこでの限界変形率は、\begin{eqnarray*}MRS_{12}\left( y_{1},y_{2}\right) &=&-\frac{\frac{\partial F\left(
y_{1},y_{2}\right) }{\partial y_{1}}}{\frac{\partial F\left(
y_{1},y_{2}\right) }{\partial y_{2}}}=-\frac{1}{1}=-1 \\
MRS_{21}\left( y_{1},y_{2}\right) &=&-\frac{\frac{\partial F\left(
y_{1},y_{2}\right) }{\partial y_{2}}}{\frac{\partial F\left(
y_{1},y_{2}\right) }{\partial y_{1}}}=-\frac{1}{1}=-1
\end{eqnarray*}となります。つまり、限界代替率は生産ベクトル\(\left( y_{1},y_{2}\right) \)とは関係なく常に一定です。
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているとき、変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( y_{1},y_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値は、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
y_{2}-\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}} & \left( if\ y_{1}\leq
0\right) \\
>0 & \left( if\ y_{1}>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たします。\(y_{1}<0\)を満たす変換フロンティア上の生産ベクトル\(\left( y_{1},y_{2}\right) \in Y^{f}\)を任意に選んだとき、そこでの限界変形率は、\begin{eqnarray*}MRS_{12}\left( y_{1},y_{2}\right) &=&-\frac{\frac{\partial F\left(
y_{1},y_{2}\right) }{\partial y_{1}}}{\frac{\partial F\left(
y_{1},y_{2}\right) }{\partial y_{2}}}=-\frac{-\frac{1}{2}\left\vert
y_{1}\right\vert ^{-\frac{1}{2}}\cdot \frac{y_{1}}{\left\vert
y_{1}\right\vert }}{1}=\frac{1}{2}\frac{y_{1}}{\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{3}{2}}} \\
MRS_{21}\left( y_{1},y_{2}\right) &=&-\frac{\frac{\partial F\left(
y_{1},y_{2}\right) }{\partial y_{2}}}{\frac{\partial F\left(
y_{1},y_{2}\right) }{\partial y_{1}}}=-\frac{1}{-\frac{1}{2}\left\vert
y_{1}\right\vert ^{-\frac{1}{2}}\cdot \frac{y_{1}}{\left\vert
y_{1}\right\vert }}=2\frac{\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{3}{2}}}{y_{1}}
\end{eqnarray*}となります。
限界変形率とその逆数の関係
先の例が示唆するように、変換フロンティア上の生産ベクトル\(y\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界変形率\(MRS_{ij}\left( y\right) \)と、商品\(j\)の商品\(i\)で測った限界変形率\(MRS_{ij}\left( y\right) \)がともに存在するとともに非ゼロである場合には、\begin{equation*}MRS_{ij}\left( y\right) =\frac{1}{MRS_{ji}\left( y\right) }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(MRS_{ij}\left( y\right) \)と\(MRS_{ji}\left( y\right) \)はお互いに逆数の関係にありますが、これをどのように理解すればよいでしょうか。
変換フロンティア上の生産ベクトル\(y\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界変形率\(MRS_{ij}\left( y\right) \)であることとは、\(y\)が効率的である場合、この生産者の技術のもとでは、\(1\)単位の商品\(i\)は\(MRS_{ij}\left( y\right) \)単位の商品\(j\)と変換可能であることを意味します。すると比例関係より\(\frac{1}{MRS_{ij}\left( y\right) }\)単位の商品\(i\)は\(1\)単位の商品\(j\)と変換可能であるということになりますが、これは\(y\)における商品\(j\)の商品\(i\)で測った限界代替率が\(\frac{1}{MRS_{ij}\left( y\right) }\)であること、すなわち、\begin{equation*}MRS_{ji}\left( y\right) =\frac{1}{MRS_{ij}\left( y\right) }
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これを変形すると、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( y\right) =\frac{1}{MRS_{ji}\left( y\right) }
\end{equation*}もまた成立します。
限界変形率の幾何学的解釈
2財モデルにおいて生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)と変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、変換フロンティアは、\begin{equation*}Y^{f}=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ F\left( y_{1},y_{2}\right) =0\right\}
\end{equation*}と定義されます。さて、\(F\)が変換フロンティア上の点\(\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right) \)において\(C^{1}\)級であるとともに、そこでの変数\(y_{2}\)に関する偏微分係数が、\begin{equation*}\frac{\partial F\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right) }{\partial
y_{2}}\not=0
\end{equation*}を満たすものとします。その上で、それぞれの\(\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( y_{1},y_{2}\right) =F\left( y_{1},y_{2}\right) -F\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right)
\end{equation*}を定める多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。以上の条件のもとでは陰関数定理が適用可能であるため、点\(\overline{y}_{1}\)を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( \overline{y}_{1}\right) \)上に定義された変数\(y_{1}\)に関する関数\(g:N_{\varepsilon }\left( \overline{y}_{1}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これは以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall y_{1}\in N_{\varepsilon }\left( \overline{y}_{1}\right) :f\left( g\left( y_{1}\right) ,y_{1}\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ g\left( \overline{y}_{1}\right) =\overline{y}_{2} \\
&&\left( c\right) \ \frac{dg\left( \overline{y}_{1}\right) }{dy_{1}}=-\frac{\frac{\partial F\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right) }{\partial
y_{1}}}{\frac{\partial F\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right) }{\partial y_{2}}}\ \left( =MRS_{12}\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}を満たします。\(\left( a\right),\left( b\right) \)より、関数\(y_{2}=g\left(y_{1}\right) \)は変換フロンティアを規定する方程式\(F\left( y_{1},y_{2}\right) =0\)を点\(\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right) \)の近くで\(y_{1}\)について解いた陰関数です。したがって、この関数\(g\)の点\(\overline{y}_{1}\)における微分係数\(\frac{dg\left( \overline{y}_{1}\right) }{dy_{1}}\)は変換フロンティア上の点\(\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right) \)における接線の傾きの大きさに相当しますが、\(\left( c\right) \)より、その微分係数の大きさは限界変形率\(MRS_{12}\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right) \)と一致します。
以上の関係を図示したのが上のグラフです。先の議論から明らかになったように、変換フロンティア上の点\(\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right) \)における接線の傾きの大きさが限界変形率\(MRS_{12}\left( \overline{y}_{1},\overline{y}_{2}\right) \)と一致します。
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