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PRODUCER THEORY

利潤最大化問題

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利潤最大化問題

生産ベクトル\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)と価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)が与えられたとき、その第\(n\)成分どうしの積\(p_{n}y_{n}\in \mathbb{R} \)に注目すると、\(y_{n}<0\)の場合にはこれは生産要素である商品\(n\)を市場で調達するために必要な費用を表し、\(y_{n}>0\)の場合にはこれは生産物である商品\(n\)を市場で販売することで得られる収入を表します。利潤(profit)は収入から費用を差し引いたものであるため、価格ベクトル\(p\)が与えられたときに生産ベクトル\(y\)を選択することで生産者が得る利潤は、\begin{equation*}p\cdot y=\sum_{n=1}^{N}p_{n}y_{n}
\end{equation*}となります。

技術的制約に直面した生産者が選択可能な生産ベクトルからなる集合を生産集合として表現しましたが、生産者理論では、生産者は自身が選択可能な生産ベクトルの中から自身が得られる利潤を最大化するようなものを選ぶものと仮定します。生産者の行動原理に関するこのような仮定を利潤最大化(profit maximization)の仮定と呼びます。

生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)として定式化されているものとします。生産者が何らかの生産ベクトル\(y\in Y\)を選んだときに得られる利潤は\(p\cdot y\)ですが、これは価格ベクトル\(p\)に依存して変化します。プライステイカーの仮定より、生産者は\(p\)を与えられたものとして意思決定を行います。つまり、\(p\)の水準が生産者による意思決定に影響を与えることはあっても、生産者による意思決定が\(p\)の水準に影響を与えることはないということです。利潤最大化の仮定を踏まえたとき、生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)によって表現される技術を持つ生産者が価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に直面したときに解くべき問題は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ y^{\ast }\in Y \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in Y:p\cdot y^{\ast }\geq p\cdot y
\end{eqnarray*}をともに満たす生産ベクトル\(y^{\ast }\in \mathbb{R} ^{N}\)を特定することとして定式化されます。これを\(p\)のもとでの利潤最大化問題(profit maximization problem)と呼びます。条件\(\left( a\right) \)は、利潤最大化問題の解\(y^{\ast }\)が技術的に選択可能であることを意味しますが、これを技術制約(technological constraint)の条件と呼びます。条件\(\left(b\right) \)は、利潤最大化問題の解\(y^{\ast }\)は、技術制約を満たす生産ベクトルの中でも利潤を最大化するものであることを意味しますが、これを利潤最大化(profit maximization)の条件と呼びます。したがって、利潤最大化問題とは、与えられた価格ベクトルのもとで、技術制約と利潤最大化の条件をともに満たす生産ベクトルを特定することを意味します。

価格ベクトル\(p\)のもとでの利潤最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad \text{s.t.}\quad y\in Y
\end{equation*}として表現できます。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が閉集合であるとともに無償廃棄可能性が成り立つ場合、効率生産集合\(Y^{\ast }\)と変換フロンティア\(Y^{f}\)は一致します。また、価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)が与えられたとき、\(p\)のもとでの利潤最大化問題の解\(y\)は効率的であること、すなわち\(y\in Y^{\ast }\)が成り立つことが保証されます。先の理由により\(Y^{\ast}=Y^{f}\)であるため\(y\in Y^{f}\)です。したがって、利潤最大化問題の解を探す際には\(Y^{f}\)の点だけを候補としても一般性は失われません。つまり、利潤最大化問題のかわりに以下の問題\begin{equation*}\max_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad \text{s.t.}\quad y\in Y^{f}
\end{equation*}について考えてもよいということです。

 

変換関数を用いた利潤最大化問題

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)に加えて変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)に対して、\begin{equation*}y\in Y\Leftrightarrow F\left( y\right) \leq 0
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad \text{s.t.}\quad F\left( y\right) \leq 0
\end{equation*}と表現されます。

繰り返しになりますが、生産集合\(Y\)が閉集合であるとともに無償廃棄可能性が成り立つ場合、利潤最大化問題の解を探す際には変換フロンティア\(Y^{f}\)の点だけを候補としても一般性は失われません。変換関数\(F\)は任意の\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)に対して、\begin{equation*}y\in Y^{f}\Leftrightarrow F\left( y\right) =0
\end{equation*}を満たすものとして定義されているため、以上の条件のもとでは、利潤最大化問題のかわりに以下の問題\begin{equation*}
\max_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad \text{s.t.}\quad F\left( y\right) =0
\end{equation*}を考えてもよいということになります。

 

生産関数を用いた利潤最大化問題

経済に存在する商品が\(N\)種類の生産要素と\(M\)種類の生産物に分離可能である場合、それぞれの生産ベクトルは投入ベクトルと産出ベクトルの組\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)として表されるため、生産集合は\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)を満たす集合として定義されます。さらに、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{M}\)は任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)に対して、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in Y\Leftrightarrow f\left( x\right) \geq y
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。したがって、生産要素の価格ベクトルが\(w\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)で生産物の価格ベクトルが\(p\in \mathbb{R} _{++}^{M}\)である場合の利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+M}}p\cdot y-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) \geq y
\end{equation*}と表現されます。

繰り返しになりますが、生産集合\(Y\)が閉集合であるとともに無償廃棄可能性が成り立つ場合、利潤最大化問題の解を探す際には変換フロンティア\(Y^{f}\)の点だけを候補としても一般性は失われません。変換関数\(f\)は任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)に対して、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in Y^{f}\Leftrightarrow f\left( x\right) =y
\end{equation*}を満たすものとして定義されているため、以上の条件のもとでは、利潤最大化問題のかわりに以下の問題\begin{equation*}
\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+M}}p\cdot y-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) =y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}p\cdot f\left( x\right) -w\cdot x
\end{equation*}を考えてもよいということになります。

例(生産関数を用いた利潤最大化問題)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{3}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって表現されているものとします。つまり、\begin{equation*}Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\geq y\right\}
\end{equation*}です。\(Y\)は閉集合であるとともに無償廃棄可能性が成り立つため、価格ベクトル\(\left(w_{1},w_{2},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}}px_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}-w_{1}x_{1}-w_{2}x_{2}
\end{equation*}と表現されます。

 

演習問題

問題(利潤最大化問題)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{3}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+2x_{2}
\end{equation*}を定める生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって表現されているものとします。利潤最大化問題を定式化してください。
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問題(利潤最大化問題)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{3}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2}\right\}
\end{equation*}を定める生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって表現されているものとします。利潤最大化問題を定式化してください。
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次回は利潤最大化問題にベルジュの最大値定理を適用するための操作について解説します。

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目的関数が連続であるとともに制約対応が非空値かつコンパクト値をとる連続対応である場合、価値関数は連続な実数値関数になるとともに、最適選択対応は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になります。これをベルジュの最大値定理と呼びます。

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利潤最大化問題の制約条件

利潤最大化問題にはそのままではベルジュの最大値定理を適用できないため、なるべく一般性を失わない形で、利潤最大化問題をベルジュの最大値定理が適用可能な形へ変換します。

DISCUSSION

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