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PRODUCER THEORY

操業停止可能性

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操業停止可能性

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)がゼロベクトルを要素として持つならば、すなわち、\begin{equation*}0\in Y
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(Y\)は操業停止可能性(possibility of inaction)を満たすと言います。

操業停止可能性の仮定は、生産者が投入や産出を一切行わないことが可能であることを意味します。生産者が生産に関する意思決定をすでに行っている場合や、生産要素の購入契約を結んでおりそれを取り消せない場合などには操業停止可能性は成立しません。これらの場合、生産者は生産要素の対価として支払わなければならない費用を持ちますが、このような費用をサンク費用(sunk cost)や埋没費用などと呼びます。操業停止可能性のもとではサンク費用は存在しません。長期の生産を議論の対象とする場合には固定生産要素は存在しないため、操業停止可能性は妥当な仮定であると言えます。

例(操業停止可能性)
2種類の商品が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。\(\left( 0,0\right) \in Y\)が成立しているため\(Y\)は操業停止可能性を満たしています。
図:操業停止可能
図:操業停止可能
例(操業停止可能性)
2種類の商品が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。\(\left( 0,0\right) \not\in Y\)であるため\(Y\)は操業停止可能性を満たしません。生産者にとって商品\(1\)を\(y_{1}^{\prime }\)だけ投入することは決定事項であり、商品\(1\)の投入量をそれよりも減らすことができないということです。
図:操業停止不可能
図:操業停止不可能

 

変換関数の性質としての操業停止可能性

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)に加えて変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられている場合、任意の\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)に対して、\begin{equation*}y\in Y\Leftrightarrow F\left( y\right) \leq 0
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(Y\)が操業停止可能性を満たすという仮定、すなわち\(0\in Y\)が成り立つことは、\(F\left( 0\right) \leq 0\)が成り立つことと必要十分です。

命題(変換関数の性質としての操業停止可能性)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)および変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}F\left( 0\right) \leq 0
\end{equation*}が成り立つことは、操業停止可能性が成り立つための必要十分条件である。

例(変換関数の性質としての操業停止可能性)
2種類の商品が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として、変換フロンティア\(Y^{f}\)がその境界として描かれています。図より\(\left( 0,0\right) \in Y^{f}\)ですが、すると\(F\)の定義より\(F\left( 0,0\right) =0\)が成り立ちます。したがって上の命題より\(Y\)は操業停止可能性を満たします。
図:操業停止可能
図:操業停止可能

 

生産関数の性質としての操業停止可能性

経済に存在する商品が\(N\)種類の生産要素と\(M\)種類の生産物に区別可能である場合、それぞれの生産ベクトルは投入ベクトルと産出ベクトルの組\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)として表されるため、生産集合は\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)を満たす集合として定義されます。さらに、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{M}\)は任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)に対して、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in Y\Leftrightarrow f\left( x\right) \geq y
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。したがって、\(Y\)が操業停止性を満たすという仮定、すなわち\(\left( 0,0\right) \in Y\)が成り立つことは、\(f\left( 0\right) \geq 0\)が成り立つことと必要十分です。

命題(生産関数の性質としての操業停止可能性)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)および生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{M}\)が与えられたとき、\begin{equation*}f\left( 0\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つことは、\(Y\)が操業停止可能性を満たすための必要十分条件である。
例(生産関数の性質としての操業停止可能性)
経済に存在する商品が\(N\)種類の生産要素と\(1\)種類の生産物に分離可能である場合、それぞれの生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)として表されるため、生産集合は\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)を満たす集合として定義されます。さらに、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in Y\Leftrightarrow f\left( x\right) \geq y
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。したがって、\(Y\)が操業停止可能性を満たすという仮定、すなわち\(\left(0,0\right) \in Y\)が成り立つことは、\(f\left( 0\right) \geq 0\)が成り立つことと必要十分です。具体例として、生産要素と生産物が1種類ずつ存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{2}\)が下図のグレーの領域として、変換フロンティア\(Y^{f}\)がその境界として描かれています。ただし、\(x\)が生産要素の投入量、\(y\)が生産物の生産量です。\(f\left( 0\right) =0\)が成り立つため、上の命題より操業停止可能性が成立しています。
図:生産関数
図:生産関数
例(操業停止可能性)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{3}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって表現されているものとします。このとき、\begin{equation*}f\left( 0,0\right) =0^{\frac{1}{2}}0^{\frac{1}{2}}=0
\end{equation*}であるため、先の命題より操業停止可能性が成り立ちます。

 

演習問題

問題(操業停止可能性)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{3}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+2x_{2}
\end{equation*}を定める生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって表現されているものとします。操業停止可能性が成り立つことを示してください。
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問題(操業停止可能性)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{3}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2}\right\}
\end{equation*}を定める生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって表現されているものとします。操業停止可能性が成り立つことを示してください。
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次回はフリーランチ不可能性と呼ばれる仮定について解説します。

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