利潤最大化問題の解であるための必要条件
これまでは利潤最大化問題に解が存在するための条件や、解が存在する場合に供給対応や供給関数が満たす性質について考察してきました。ここでは、利潤最大化問題に解が存在することが保証される場合に解を具体的に求める方法や、凸解析を用いて利潤最大化問題の解を特定する方法について解説します。
生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)および変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているとともに、利潤最大化を目指す生産者の意思決定が供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)として表現されているものとします。つまり、価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)のもとでの利潤最大化問題の解からなる集合は、\begin{eqnarray*}Y^{\ast }\left( p\right) &=&\left\{ y\in Y\ |\ \forall z\in Y:p\cdot y\geq
p\cdot z\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ F\left( y\right) \leq 0\wedge \forall z\in Y:p\cdot y\geq p\cdot
z\right\}
\end{eqnarray*}です。加えて、供給対応\(Y^{\ast }\)が非空値をとる場合には、\(p\)のもとでの利潤最大化問題の解\(y^{\ast }\in Y^{\ast }\left( p\right) \)をとることができます。利潤最大化問題の定義より、これは以下のような不等式制約下での最適化問題\begin{equation*}\max\limits_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad s.t.\quad F\left( x\right) \leq 0
\end{equation*}の解です。\(y^{\ast }\)が満たすべき条件をクーン・タッカーの定理より明らかにします。
クーン・タッカーの定理を利用する上で見通しを良くするために、それぞれの\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)に対して、\begin{equation*}g\left( y\right) =-F\left( y\right)
\end{equation*}を定める多変数関数\(g:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow Y\)を定義すると、先の利潤最大化問題を、\begin{equation*}\max\limits_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad \text{s.t.}\quad g\left( y\right) \geq 0
\end{equation*}と言い換えることができます。この問題に対してクーン・タッカーの定理を利用するためには、上の問題の解\(y^{\ast }\)が制約想定（constraint qualification）を満たすことを確認しておく必要があります。制約想定としては様々なバリエーションがありますが、ここでは、最適解\(y^{\ast }\)において関数\(g\)がバインドする場合には点\(y^{\ast }\)における勾配ベクトル\(\nabla g\left( y^{\ast }\right) \)が1次独立であるという条件を採用します。これを正規条件（regularity condition）と呼びます。実際、変換関数\(F\)が\(C^{1}\)級である場合には正規条件が満たされます（演習問題）。さらに、目的関数\(p\cdot y\)は明らかに\(C^{1}\)級であるためクーン・タッカーの定理を利用できます。つまり、ラグランジュ乗数法を用いて最適解\(y^{\ast }\)が満たす条件を特定できるということです。すると以下の命題を得ます（演習問題）。
命題（利潤最大化問題の解であるための必要条件）
生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)および変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているとともに、供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)は非空値をとるものとする。変換関数\(F\)が\(C^{1}\)級であるならば、\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)および\(y^{\ast }\in Y^{\ast }\left( p\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ p=\lambda ^{\ast }\nabla F\left( y^{\ast }\right) \\
&&\left( B\right) \ F\left( y^{\ast }\right) =0 \\
&&\left( C\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在する。
&&\left( B\right) \ F\left( y^{\ast }\right) =0 \\
&&\left( C\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在する。
例（利潤最大化問題の解であるための必要条件）
2財モデルにおいて、生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)および変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow Y\)として表現されているとともに、供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\twoheadrightarrow Y\)は非空値をとるものとします。\(F\)が\(C^{1}\)級であるならば、先の命題より、任意の\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)および\(\left( y_{1}^{\ast },y_{2}^{\ast }\right)\in Y^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \left( p_{1},p_{2}\right) =\lambda ^{\ast }\left( \frac{\partial F\left( y_{1}^{\ast },y_{2}^{\ast }\right) }{\partial y_{1}},\frac{\partial F\left( y_{1}^{\ast },y_{2}^{\ast }\right) }{\partial y_{2}}\right)
\\
&&\left( B\right) \ F\left( y_{1}^{\ast },y_{2}^{\ast }\right) =0 \\
&&\left( C\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在します。
\\
&&\left( B\right) \ F\left( y_{1}^{\ast },y_{2}^{\ast }\right) =0 \\
&&\left( C\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在します。
利潤最大化であるための必要十分条件
利潤最大化問題に解が存在する場合、その解が満たす条件をクーン・タッカー条件として表現しました。ただ、この条件は生産ベクトルが利潤最大化問題の解であるための必要条件であり、十分条件ではありません。つまり、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルの中には利潤最大化問題の解ではないものが含まれる可能性があるため、利潤最大化問題の解を特定するためには、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルどうしを比較し、その中から利潤を最大化するものを特定する必要があります。
ただ、一定の条件のもとでは、クーン・タッカー条件は生産ベクトルが利潤最大化問題の解であるための必要十分条件になります。具体的には、利潤最大化問題に相当する先の制約付き最大化問題\begin{equation*}
\max\limits_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad s.t.\quad g\left( y\right) \geq 0
\end{equation*}において、目的関数\(p\cdot y\)と制約条件を表す関数\(g\)がいずれも\(C^{1}\)級の準凹関数である場合には、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルはいずれも上の問題の解になることが保証されます。ただ、目的関数\(p\cdot y\)は線型であることから準凹関数であることが保証されるため、結局、必要なことは関数\(g\left( y\right) =-F\left( y\right) \)が\(C^{1}\)級の準凹関数であること、すなわち変換関数\(F\)が\(C^{1}\)級の準凸関数であるという条件だけです。ちなみに、変換関数\(F\)が準凸関数である場合には生産集合\(Y\)は凸集合になります。
命題（利潤最大化問題の解であるための必要十分条件）
生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)および変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているとともに、\(F\)が\(C^{1}\)級の準凸関数であるならば、\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)および\(y^{\ast }\in Y\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ p=\lambda ^{\ast }\nabla F\left( y^{\ast }\right) \\
&&\left( B\right) \ F\left( y^{\ast }\right) =0 \\
&&\left( C\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在することは、\(y^{\ast }\)が\(p\)のもとでの利潤最大化問題の解であるための必要十分条件である。
&&\left( B\right) \ F\left( y^{\ast }\right) =0 \\
&&\left( C\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在することは、\(y^{\ast }\)が\(p\)のもとでの利潤最大化問題の解であるための必要十分条件である。
例（利潤最大化問題の解であるための必要十分条件）
凸関数は準凸関数でもあるため（ちなみに準凸関数は凸関数であるとは限らない）、上の命題中の「変換関数\(F\)が\(C^{1}\)級の準凸関数」という条件を「変換関数\(F\)が\(C^{1}\)級の凸関数」に置き換えた主張もまた成立します。変換関数が準凸関数であることを示すよりも凸関数であることを示す方が簡単である場合、この事実は有用です。
例（利潤最大化問題の解であるための必要十分条件）
2財モデルにおいて、生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)および変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow Y\)として表現されているとともに、\(F\)が\(C^{1}\)級の準凸関数であるならば、先の命題より、任意の\(\left( p_{1},p_{2}\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\)および\(\left( y_{1}^{\ast },y_{2}^{\ast }\right)\in Y^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \left( p_{1},p_{2}\right) =\lambda ^{\ast }\left( \frac{\partial F\left( y_{1}^{\ast },y_{2}^{\ast }\right) }{\partial y_{1}},\frac{\partial F\left( y_{1}^{\ast },y_{2}^{\ast }\right) }{\partial y_{2}}\right)
\\
&&\left( B\right) \ F\left( y_{1}^{\ast },y_{2}^{\ast }\right) =0 \\
&&\left( C\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在するならば、\(\left( y_{1}^{\ast },y_{2}^{\ast }\right) \)は\(\left(p_{1},p_{2}\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解である。
\\
&&\left( B\right) \ F\left( y_{1}^{\ast },y_{2}^{\ast }\right) =0 \\
&&\left( C\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在するならば、\(\left( y_{1}^{\ast },y_{2}^{\ast }\right) \)は\(\left(p_{1},p_{2}\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解である。
利潤最大化問題の解き方
生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)および変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているものとします。先の2つの命題を踏まえると、価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)のもとでの利潤最大化問題\begin{equation*}\max\limits_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad s.t.\quad F\left( x\right) \leq 0
\end{equation*}の解法を以下のようにまとめることができます。
- 変換関数\(F\)が\(C^{1}\)級の準凸関数である場合、または\(C^{1}\)級の凸関数である場合には、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルが存在するか検討する。そのような生産ベクトルが存在する場合、それは\(p\)のもとでの利潤最大化問題の解である。逆に、そのような生産ベクトルが存在しない場合には、\(p\)のもとでの利潤最大化問題には解が存在しないとまで言える。
- 変換関数\(F\)が\(C^{1}\)級である一方で準凸関数や凸関数ではないものの、何らかの根拠により\(p\)のもとでの利潤最大化問題に解が存在することが保証される場合には、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルが\(p\)のもとでの利潤最大化問題の解の候補となる。そこで、そのような生産ベクトルをすべて特定した上で、その中から利潤を最大化する生産ベクトルを特定する。解が存在することの根拠としては、例えば、目的関数\(p\cdot y\)が連続であることを踏まえると、生産集合\(Y\)がコンパクト集合である場合には、最大値の定理が適用可能である。また、生産集合\(Y\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たす場合にも、\(p\)のもとでの利潤最大化問題には解が存在することが保証される。
例（利潤最大化問題の解）
2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( y_{1},y_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値は、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =y_{2}-\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}です。価格ベクトル\(\left( 1,1\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}y_{1}+y_{2}\quad \text{s.t.}\quad \left( y_{1},y_{2}\right) \in Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}y_{1}+y_{2}\quad \text{s.t.}\quad y_{2}-\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\leq 0
\end{equation*}となります。\(F\)は\(C^{1}\)級の準凸関数であるため、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルが存在するならば、それは\(\left( 1,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解です。そこで、ラグランジュ関数を、\begin{equation*}L\left( y_{1},y_{2},\lambda \right) =y_{1}+y_{2}+\lambda \left( \left\vert
y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}-y_{2}\right)
\end{equation*}と定義すると、クーン・タッカーの条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial y_{1}}=1+\frac{\lambda }{2}\left\vert y_{1}\right\vert ^{-\frac{1}{2}}\frac{y_{1}}{\left\vert
y_{1}\right\vert }=0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial y_{2}}=1-\lambda =0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda \frac{\partial L}{\partial \lambda }=\lambda
\left( \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}-y_{2}\right) =0 \\
&&\left( d\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda }=\left\vert
y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}-y_{2}\geq 0 \\
&&\left( e\right) \ \lambda \geq 0
\end{eqnarray*}となるため、これらを満たす\(\left( y_{1},y_{2}\right) \)を特定します。\(\left( b\right) \)より\(\lambda =1\)を得るため、これと\(\left( a\right) \)より、\begin{equation*}\left\vert y_{1}\right\vert ^{-\frac{1}{2}}\frac{y_{1}}{\left\vert
y_{1}\right\vert }=-2
\end{equation*}を得ます。したがって\(y_{1}<0\)であるため、\begin{equation*}\left( -y_{1}\right) ^{\frac{1}{2}}=2
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
y_{1}=-\frac{1}{4}
\end{equation*}を得ます。\(\lambda =1\)および\(\left( c\right) \)より\(y_{2}=\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\)であるため、\begin{equation*}y_{2}=\left( \frac{1}{4}\right) ^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}
\end{equation*}を得ます。以上より、\begin{equation*}
\left( y_{1},y_{2},\lambda \right) =\left( -\frac{1}{4},\frac{1}{2},1\right)
\end{equation*}が\(\left( 1,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解であり、解において生産者が得る利潤は、\begin{equation*}1\left( -\frac{1}{4}\right) +1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}
\end{equation*}です。
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( y_{1},y_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値は、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =y_{2}-\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}です。価格ベクトル\(\left( 1,1\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}y_{1}+y_{2}\quad \text{s.t.}\quad \left( y_{1},y_{2}\right) \in Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}y_{1}+y_{2}\quad \text{s.t.}\quad y_{2}-\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\leq 0
\end{equation*}となります。\(F\)は\(C^{1}\)級の準凸関数であるため、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルが存在するならば、それは\(\left( 1,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解です。そこで、ラグランジュ関数を、\begin{equation*}L\left( y_{1},y_{2},\lambda \right) =y_{1}+y_{2}+\lambda \left( \left\vert
y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}-y_{2}\right)
\end{equation*}と定義すると、クーン・タッカーの条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial y_{1}}=1+\frac{\lambda }{2}\left\vert y_{1}\right\vert ^{-\frac{1}{2}}\frac{y_{1}}{\left\vert
y_{1}\right\vert }=0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial y_{2}}=1-\lambda =0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda \frac{\partial L}{\partial \lambda }=\lambda
\left( \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}-y_{2}\right) =0 \\
&&\left( d\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda }=\left\vert
y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}-y_{2}\geq 0 \\
&&\left( e\right) \ \lambda \geq 0
\end{eqnarray*}となるため、これらを満たす\(\left( y_{1},y_{2}\right) \)を特定します。\(\left( b\right) \)より\(\lambda =1\)を得るため、これと\(\left( a\right) \)より、\begin{equation*}\left\vert y_{1}\right\vert ^{-\frac{1}{2}}\frac{y_{1}}{\left\vert
y_{1}\right\vert }=-2
\end{equation*}を得ます。したがって\(y_{1}<0\)であるため、\begin{equation*}\left( -y_{1}\right) ^{\frac{1}{2}}=2
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
y_{1}=-\frac{1}{4}
\end{equation*}を得ます。\(\lambda =1\)および\(\left( c\right) \)より\(y_{2}=\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\)であるため、\begin{equation*}y_{2}=\left( \frac{1}{4}\right) ^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}
\end{equation*}を得ます。以上より、\begin{equation*}
\left( y_{1},y_{2},\lambda \right) =\left( -\frac{1}{4},\frac{1}{2},1\right)
\end{equation*}が\(\left( 1,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解であり、解において生産者が得る利潤は、\begin{equation*}1\left( -\frac{1}{4}\right) +1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}
\end{equation*}です。
例（利潤最大化問題の解）
2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( y_{1},y_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値は、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
y_{2}-\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}} & \left( if\ y_{1}\leq
0\right) \\
>0 & \left( if\ y_{1}>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たします。価格ベクトル\(\left( 1,1\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}y_{1}+y_{2}\quad \text{s.t.}\quad \left( y_{1},y_{2}\right) \in Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}y_{1}+y_{2}\quad \text{s.t.}\quad y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq
\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}となります。関数\(\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}-y_{2}\)は\(C^{1}\)級の準凸関数であるため、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルが存在するならば、それは\(\left( 1,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解です。そこで、ラグランジュ関数を、\begin{equation*}L\left( y_{1},y_{2},\lambda \right) =y_{1}+y_{2}+\lambda _{0}\left(
\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}-y_{2}\right) +\lambda _{1}\left(
-y_{1}\right)
\end{equation*}と定義します。計算の便宜のため、\(y_{1}\leq 0\)であることを踏まえた上で絶対値記号を外して、\begin{equation*}L\left( y_{1},y_{2},\lambda \right) =y_{1}+y_{2}+\lambda _{0}\left[ \left(
-y_{1}\right) ^{\frac{1}{2}}-y_{2}\right] +\lambda _{1}\left( -y_{1}\right)
\end{equation*}としておきます。クーン・タッカーの条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial y_{1}}=1-\frac{\lambda _{0}}{2}\left( -y_{1}\right) ^{-\frac{1}{2}}-\lambda _{1}=0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial y_{2}}=1-\lambda _{0}=0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda _{0}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{0}}=\lambda _{0}\left[ \left( -y_{1}\right) ^{\frac{1}{2}}-y_{2}\right] =0 \\
&&\left( d\right) \ \lambda _{1}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=\lambda _{1}\left( -y_{1}\right) =0 \\
&&\left( e\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{0}}=\left(
-y_{1}\right) ^{\frac{1}{2}}-y_{2}\geq 0 \\
&&\left( f\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=-y_{1}\geq 0 \\
&&\left( g\right) \ \lambda _{i}\geq 0\quad \left( i=0,1\right)
\end{eqnarray*}となるため、これらを満たす\(\left( y_{1},y_{2}\right) \)を特定します。まずは\(y_{1}\not=0\)の場合について考えます。すると\(\left( d\right) \)より\(\lambda _{1}=0\)を得ます。\(\left(b\right) \)より\(\lambda _{0}=1\)であるため、これらと\(\left( a\right) \)より、\begin{equation*}1-\frac{1}{2}\left( -y_{1}\right) ^{-\frac{1}{2}}=0
\end{equation*}を得ます。これを\(y_{1}\)について解くと\(y_{1}=-\frac{1}{4}\)を得て、さらにこれと\(\left( c\right) \)より\(y_{2}=\frac{1}{2}\)を得ます。したがって、\begin{equation}\left( y_{1},y_{2},\lambda _{0},\lambda _{1}\right) =\left( -\frac{1}{4},\frac{1}{2},1,0\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}は条件を満たし、そこでの利潤は、\begin{equation*}
1\cdot \left( -\frac{1}{4}\right) +1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}
\end{equation*}となります。続いて\(y_{1}=0\)の場合ですが、\(\left(e\right) \)より\(y_{2}\leq 0\)となるため利潤は非正です。したがって\(\left( 1\right) \)が\(\left(1,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解です。
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( y_{1},y_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値は、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
y_{2}-\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}} & \left( if\ y_{1}\leq
0\right) \\
>0 & \left( if\ y_{1}>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たします。価格ベクトル\(\left( 1,1\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}y_{1}+y_{2}\quad \text{s.t.}\quad \left( y_{1},y_{2}\right) \in Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}y_{1}+y_{2}\quad \text{s.t.}\quad y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq
\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}となります。関数\(\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}-y_{2}\)は\(C^{1}\)級の準凸関数であるため、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルが存在するならば、それは\(\left( 1,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解です。そこで、ラグランジュ関数を、\begin{equation*}L\left( y_{1},y_{2},\lambda \right) =y_{1}+y_{2}+\lambda _{0}\left(
\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}-y_{2}\right) +\lambda _{1}\left(
-y_{1}\right)
\end{equation*}と定義します。計算の便宜のため、\(y_{1}\leq 0\)であることを踏まえた上で絶対値記号を外して、\begin{equation*}L\left( y_{1},y_{2},\lambda \right) =y_{1}+y_{2}+\lambda _{0}\left[ \left(
-y_{1}\right) ^{\frac{1}{2}}-y_{2}\right] +\lambda _{1}\left( -y_{1}\right)
\end{equation*}としておきます。クーン・タッカーの条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial y_{1}}=1-\frac{\lambda _{0}}{2}\left( -y_{1}\right) ^{-\frac{1}{2}}-\lambda _{1}=0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial y_{2}}=1-\lambda _{0}=0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda _{0}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{0}}=\lambda _{0}\left[ \left( -y_{1}\right) ^{\frac{1}{2}}-y_{2}\right] =0 \\
&&\left( d\right) \ \lambda _{1}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=\lambda _{1}\left( -y_{1}\right) =0 \\
&&\left( e\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{0}}=\left(
-y_{1}\right) ^{\frac{1}{2}}-y_{2}\geq 0 \\
&&\left( f\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=-y_{1}\geq 0 \\
&&\left( g\right) \ \lambda _{i}\geq 0\quad \left( i=0,1\right)
\end{eqnarray*}となるため、これらを満たす\(\left( y_{1},y_{2}\right) \)を特定します。まずは\(y_{1}\not=0\)の場合について考えます。すると\(\left( d\right) \)より\(\lambda _{1}=0\)を得ます。\(\left(b\right) \)より\(\lambda _{0}=1\)であるため、これらと\(\left( a\right) \)より、\begin{equation*}1-\frac{1}{2}\left( -y_{1}\right) ^{-\frac{1}{2}}=0
\end{equation*}を得ます。これを\(y_{1}\)について解くと\(y_{1}=-\frac{1}{4}\)を得て、さらにこれと\(\left( c\right) \)より\(y_{2}=\frac{1}{2}\)を得ます。したがって、\begin{equation}\left( y_{1},y_{2},\lambda _{0},\lambda _{1}\right) =\left( -\frac{1}{4},\frac{1}{2},1,0\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}は条件を満たし、そこでの利潤は、\begin{equation*}
1\cdot \left( -\frac{1}{4}\right) +1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}
\end{equation*}となります。続いて\(y_{1}=0\)の場合ですが、\(\left(e\right) \)より\(y_{2}\leq 0\)となるため利潤は非正です。したがって\(\left( 1\right) \)が\(\left(1,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解です。
例（利潤最大化問題の解）
2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}\leq -y_{1}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( y_{1},y_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値は、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =y_{2}+y_{1}
\end{equation*}です。価格ベクトル\(\left( 2,1\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}2y_{1}+y_{2}\quad \text{s.t.}\quad \left( y_{1},y_{2}\right) \in Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}2y_{1}+y_{2}\quad \text{s.t.}\quad y_{2}+y_{1}\leq 0
\end{equation*}となります。\(F\)は\(C^{1}\)級の準凸関数であるため、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルが存在するならば、それは\(\left( 2,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解です。そこで、ラグランジュ関数を、\begin{equation*}L\left( y_{1},y_{2},\lambda \right) =2y_{1}+y_{2}+\lambda \left(
-y_{1}-y_{2}\right)
\end{equation*}と定義すると、クーン・タッカーの条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial y_{1}}=2-\lambda =0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial y_{2}}=1-\lambda =0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda \frac{\partial L}{\partial \lambda }=\lambda
\left( -y_{1}-y_{2}\right) =0 \\
&&\left( d\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda }=-y_{1}-y_{2}\geq 0
\\
&&\left( e\right) \ \lambda \geq 0
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)より\(\lambda =2\)であり、\(\left( b\right) \)より\(\lambda =1\)です。したがってクーン・タッカー条件を満たす\(\left(y_{1},y_{2},\lambda \right) \)は存在しないため、\(\left( 2,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題には解は存在しません。価格ベクトル\(\left( 1,1\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}y_{1}+y_{2}\quad \text{s.t.}\quad \left( y_{1},y_{2}\right) \in Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}y_{1}+y_{2}\quad \text{s.t.}\quad y_{2}+y_{1}\leq 0
\end{equation*}となります。\(F\)は\(C^{1}\)級の準凸関数であるため、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルが存在するならば、それは\(\left( 1,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解です。そこで、ラグランジュ関数を、\begin{equation*}L\left( y_{1},y_{2},\lambda \right) =y_{1}+y_{2}+\lambda \left(
-y_{1}-y_{2}\right)
\end{equation*}と定義すると、クーン・タッカーの条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial y_{1}}=1-\lambda =0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial y_{2}}=1-\lambda =0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda \frac{\partial L}{\partial \lambda }=\lambda
\left( -y_{1}-y_{2}\right) =0 \\
&&\left( d\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda }=-y_{1}-y_{2}\geq 0
\\
&&\left( e\right) \ \lambda \geq 0
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) ,\left(b\right) \)より\(\lambda =1\)を得て、これと\(\left( c\right) \)より\(y_{1}+y_{2}=0\)を得ます。以上より、任意の実数\(c\)について、\begin{equation*}\left( y_{1},y_{2},\lambda \right) =\left( c,-c,,1\right)
\end{equation*}が\(\left( 1,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解であり、解において生産者が得る利潤は、\begin{equation*}1\cdot c+1\left( -c\right) =0
\end{equation*}です。
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}\leq -y_{1}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( y_{1},y_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値は、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =y_{2}+y_{1}
\end{equation*}です。価格ベクトル\(\left( 2,1\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}2y_{1}+y_{2}\quad \text{s.t.}\quad \left( y_{1},y_{2}\right) \in Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}2y_{1}+y_{2}\quad \text{s.t.}\quad y_{2}+y_{1}\leq 0
\end{equation*}となります。\(F\)は\(C^{1}\)級の準凸関数であるため、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルが存在するならば、それは\(\left( 2,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解です。そこで、ラグランジュ関数を、\begin{equation*}L\left( y_{1},y_{2},\lambda \right) =2y_{1}+y_{2}+\lambda \left(
-y_{1}-y_{2}\right)
\end{equation*}と定義すると、クーン・タッカーの条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial y_{1}}=2-\lambda =0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial y_{2}}=1-\lambda =0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda \frac{\partial L}{\partial \lambda }=\lambda
\left( -y_{1}-y_{2}\right) =0 \\
&&\left( d\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda }=-y_{1}-y_{2}\geq 0
\\
&&\left( e\right) \ \lambda \geq 0
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)より\(\lambda =2\)であり、\(\left( b\right) \)より\(\lambda =1\)です。したがってクーン・タッカー条件を満たす\(\left(y_{1},y_{2},\lambda \right) \)は存在しないため、\(\left( 2,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題には解は存在しません。価格ベクトル\(\left( 1,1\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}y_{1}+y_{2}\quad \text{s.t.}\quad \left( y_{1},y_{2}\right) \in Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}y_{1}+y_{2}\quad \text{s.t.}\quad y_{2}+y_{1}\leq 0
\end{equation*}となります。\(F\)は\(C^{1}\)級の準凸関数であるため、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルが存在するならば、それは\(\left( 1,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解です。そこで、ラグランジュ関数を、\begin{equation*}L\left( y_{1},y_{2},\lambda \right) =y_{1}+y_{2}+\lambda \left(
-y_{1}-y_{2}\right)
\end{equation*}と定義すると、クーン・タッカーの条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial y_{1}}=1-\lambda =0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial y_{2}}=1-\lambda =0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda \frac{\partial L}{\partial \lambda }=\lambda
\left( -y_{1}-y_{2}\right) =0 \\
&&\left( d\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda }=-y_{1}-y_{2}\geq 0
\\
&&\left( e\right) \ \lambda \geq 0
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) ,\left(b\right) \)より\(\lambda =1\)を得て、これと\(\left( c\right) \)より\(y_{1}+y_{2}=0\)を得ます。以上より、任意の実数\(c\)について、\begin{equation*}\left( y_{1},y_{2},\lambda \right) =\left( c,-c,,1\right)
\end{equation*}が\(\left( 1,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解であり、解において生産者が得る利潤は、\begin{equation*}1\cdot c+1\left( -c\right) =0
\end{equation*}です。
演習問題
問題（利潤最大化問題の解）
2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} ^{2}\twoheadrightarrow Y\)を求めてください。
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} ^{2}\twoheadrightarrow Y\)を求めてください。
問題（利潤最大化問題の解）
3種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ y_{3}\leq 0\wedge y_{1}^{2}+\frac{1}{2}y_{2}^{2}\leq -y_{3}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} ^{3}\twoheadrightarrow Y\)を求めてください。
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ y_{3}\leq 0\wedge y_{1}^{2}+\frac{1}{2}y_{2}^{2}\leq -y_{3}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} ^{3}\twoheadrightarrow Y\)を求めてください。
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