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PRODUCER THEORY

利潤最大化問題の解法

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利潤最大化問題の解であるための必要条件

これまでは利潤最大化問題に解が存在するための条件や、解が存在する場合に供給対応や供給関数が満たす性質について考察してきました。ここでは、利潤最大化問題に解が存在することが保証される場合に、その解を具体的に求める方法を解説します。

復習になりますが、生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たす場合には、価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)を任意に選んだときに、\(p\)のもとでの利潤最大化問題には必ず解が存在することが保証されます。つまり、以上の条件のもとでは供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)が非空値をとるということです。したがって、\(p\)を任意に選んだときに、そこでの利潤最大化問題の解\(y^{\ast }\in Y^{\ast }\left( p\right) \)を常にとることができます。利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max\limits_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad s.t.\quad y\in Y
\end{equation*}と定義されますが、変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow Y\)が与えられている場合、これを、\begin{equation*}\max\limits_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad s.t.\quad F\left( x\right) \leq 0
\end{equation*}と表現できます。この問題の解\(y^{\ast }\)が満たすべき条件をクーン・タッカーの定理より明らかにします。

クーン・タッカーの定理を利用する上で見通しを良くするために、それぞれの\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)に対して、\begin{equation*}g\left( y\right) =-F\left( y\right)
\end{equation*}を定めるスカラー場(多変数関数)\(g:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow Y\)を定義すると、先の利潤最大化問題を以下の制約付き最大化問題\begin{equation*}\max\limits_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad s.t.\quad g\left( y\right) \geq 0
\end{equation*}として表現できます。この問題に対してクーン・タッカーの定理を利用するためには、上の問題の解\(y^{\ast }\)が制約想定(constraint qualification)を満たすことを確認しておく必要があります。制約想定としては様々なバリエーションがありますが、ここでは、最適解\(y^{\ast }\)においてスカラー場\(g\)がバインドする場合には点\(y^{\ast }\)における勾配ベクトル\(\nabla g\left( y^{\ast }\right) \)が1次独立であるという条件を採用します。これを正規条件(regularity condition)と呼びます。実際、変換関数\(F\)が\(C^{1}\)級である場合には正規条件が満たされます(演習問題)。さらに、目的関数\(p\cdot y\)は明らかに\(C^{1}\)級であるためクーン・タッカーの定理を利用できます。つまり、ラグランジュ乗数法を用いて最適解\(y^{\ast }\)が満たす条件を特定できるということです。

命題(利潤最大化問題の解であるための必要条件)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たす場合には供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)は非空値をとる。さらに、変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow Y\)は\(C^{1}\)級であるならば、\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)および\(y^{\ast }\in Y^{\ast }\left( p\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ p=\lambda ^{\ast }\nabla F\left( y^{\ast }\right) \\
&&\left( B\right) \ F\left( y^{\ast }\right) =0 \\
&&\left( C\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在する。
証明

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利潤最大化であるための十分条件

利潤最大化問題に解が存在する場合、その解が満たす条件をクーン・タッカー条件として表現しました。ただ、この条件は生産ベクトルが利潤最大化問題の解であるための必要条件であり、十分条件ではありません。つまり、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルの中には利潤最大化問題の解ではないものが含まれる可能性があるため、利潤最大化問題の解を特定するためには、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルどうしを比較し、その中から利潤を最大化するものを特定する必要があります。

ただ、一定の条件のもとでは、クーン・タッカー条件は生産ベクトルが利潤最大化問題の解であるための十分条件になります。具体的には、利潤最大化問題に相当する先の制約付き最大化問題\begin{equation*}
\max\limits_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad s.t.\quad g\left( y\right) \geq 0
\end{equation*}において、目的関数\(p\cdot y\)と制約条件を表すスカラー場\(g\)がいずれも準凹関数である場合には、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルはいずれも上の問題の解になることが保証されます。ただ、目的関数\(p\cdot y\)は線型であることから準凹関数であることが保証されるため、結局、必要なことはスカラー場\(g\)すなわち\(-F\left( y\right) \)が準凹関数であること、すなわち\(F\left( y\right) \)が準凸関数であるという条件だけです。したがって以下の命題を得ます。

命題(利潤最大化問題の解であるための十分条件)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たす場合には供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)は非空値をとる。さらに、変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow Y\)は\(C^{1}\)級の準凸関数であるならば、\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)および\(y^{\ast }\in Y\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ p=\lambda ^{\ast }\nabla F\left( y^{\ast }\right) \\
&&\left( B\right) \ F\left( y^{\ast }\right) =0 \\
&&\left( C\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在することは、\(y^{\ast }\)が\(p\)のもとでの利潤最大化問題の解であること、すなわち\(y^{\ast}\in Y^{\ast }\left( p\right) \)が成り立つための必要十分条件である。
例(利潤最大化問題の解)
2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします(下図)。

図:変換関数
図:変換関数

この\(Y\)は連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たすため、上の命題より、供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\twoheadrightarrow Y\)は非空値をとります。価格ベクトル\(\left( 1,1\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}y_{1}+y_{2}\quad \text{s.t.}\quad \left( y_{1},y_{2}\right) \in Y
\end{equation*}と表現できますが、変換関数を用いると、\begin{equation*}
\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}y_{1}+y_{2}\quad \text{s.t.}\quad y_{2}-\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\leq 0\wedge y_{1}\leq 0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}y_{1}+y_{2}\quad \text{s.t.}\quad y_{2}-\left( -y_{1}\right) ^{\frac{1}{2}}\leq 0\wedge y_{1}\leq 0
\end{equation*}となります。変換関数\(F\left( y_{1},y_{2}\right) =y_{2}-\left( -y_{1}\right) ^{\frac{1}{2}}\)は\(y_{1}\not=0\)を満たす点\(\left(y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{-}\times \mathbb{R} \)において\(C^{1}\)級であるとともにその領域において凸関数であるため、先の命題より、クーン・タッカー条件を満たす生産ベクトルが\(\left( 1,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解になります。そこで、ラグランジュ関数を、\begin{equation*}L\left( y_{1},y_{2},\lambda \right) =y_{1}+y_{2}+\lambda _{0}\left[ \left(
-y_{1}\right) ^{\frac{1}{2}}-y_{2}\right] +\lambda _{1}\left( -y_{1}\right)
\end{equation*}と定義すると、クーン・タッカーの条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial y_{1}}=1-\frac{\lambda _{0}}{2}\left( -y_{1}\right) ^{-\frac{1}{2}}=0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial y_{2}}=1-\lambda _{0}=0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda _{0}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{0}}=\lambda _{0}\left[ \left( -y_{1}\right) ^{\frac{1}{2}}-y_{2}\right] =0 \\
&&\left( d\right) \ \lambda _{1}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=\lambda _{1}\left( -y_{1}\right) =0 \\
&&\left( e\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{0}}=\left(
-y_{1}\right) ^{\frac{1}{2}}-y_{2}\geq 0 \\
&&\left( f\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=-y_{1}\geq 0 \\
&&\left( g\right) \ \lambda _{i}\geq 0\quad \left( i=0,1\right)
\end{eqnarray*}となるため、これらを満たす\(\left( y_{1},y_{2}\right) \)を特定します。ただし\(y_{1}\not=0\)です。\(\left( b\right) \)より\(\lambda _{0}=1\)であるため、これを\(\left( a\right) \)に代入すると、\begin{equation*}1-\frac{1}{2}\left( -y_{1}\right) ^{-\frac{1}{2}}=0
\end{equation*}を得ます。これを\(y_{1}\)について解くと\(y_{1}=-\frac{1}{4}\)を得て、さらにこれと\(\left( c\right) \)より\(y_{2}=\frac{1}{2}\)を得て、\(\left( d\right) \)より\(\lambda _{1}=0\)を得ます。したがって、\begin{equation}\left( y_{1},y_{2},\lambda _{0},\lambda _{1}\right) =\left( -\frac{1}{4},\frac{1}{2},1,0\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}は条件を満たし、そこでの利潤は、\begin{equation*}
1\cdot \left( -\frac{1}{4}\right) +1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}
\end{equation*}となります。\(y_{1}=0\)の場合には\(y_{2}\leq 0\)となるため、利潤は非正です。したがって、\(\left( 1\right) \)が\(\left( p_{1},p_{2}\right) =\left( 1,1\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解です。

 

演習問題

問題(利潤最大化問題の解)
2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} ^{2}\twoheadrightarrow Y\)を求めてください。
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問題(利潤最大化問題の解)
3種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ y_{3}\leq 0\wedge y_{1}^{2}+\frac{1}{2}y_{2}^{2}\leq -y_{3}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} ^{3}\twoheadrightarrow Y\)を求めてください。
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