生産集合の閉性

これまで、生産集合や生産関数、限界生産、技術的限界代替率など、生産者理論における基本的な概念について学びました。しかし、これらの概念だけでは、生産者の行動を十分に分析することはできません。

例えば、生産関数がどのような形をしていてもよいとすると、限界生産が負になる生産技術や、生産要素を増やすほど生産量が減少するような生産技術も分析の対象となります。しかし、このような生産技術は現実の企業行動を考える上では必ずしも適切とは言えません。

そこで、生産者理論では、生産集合や生産関数が満たすべきいくつかの性質を仮定し、そのもとで企業の行動を分析します。これらの仮定は、生産技術の特徴を数学的に表現するとともに、企業の利潤最大化問題や費用最小化問題を分析するための基礎となります。

もっとも、これらの仮定は自然法則のように常に成立するものではありません。現実の生産技術は産業や企業によって大きく異なり、必ずしもすべての仮定を満たすとは限りません。そのため、それぞれの仮定がどのような意味を持ち、どのような生産技術を表現しているのかを理解することが重要です。

以下では、生産集合および生産関数に課される代表的な仮定について、一つずつ詳しく見ていきます。

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\begin{equation*}\left( \boldsymbol{x},y\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。生産者が技術的に選択可能な生産ベクトルからなる集合は生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。\(Y\)はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{N+1}\)の部分集合であるため、そこには位相が設定されています。そこで、生産集合\(Y\)が\(\mathbb{R} ^{N+1}\)上の閉集合である場合、\(Y\)は閉性（closedness）を満たすと言います。

生産集合\(Y\)は\(\mathbb{R} _{+}^{N+1}\)の部分集合です。\(\mathbb{R} _{+}^{N+1}\)はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{N+1}\)の部分距離空間ですが、\(\mathbb{R} _{+}^{N+1}\)は\(\mathbb{R} ^{N+1}\)上の閉集合でもあります。したがって、\(Y\)が\(\mathbb{R} _{+}^{N+1}\)上の閉集合であることと、\(Y\)が\(\mathbb{R} ^{N+1}\)上の閉集合であることは必要十分です（演習問題）。このような事情もあり、本稿では\(Y\)が\(\mathbb{R} ^{N+1}\)上の閉集合であることとして\(Y\)の閉性を定義しています。

生産集合\(Y\)が閉集合であることの意味を深く理解するために、逆に\(Y\)が閉性を満たさない場合に何が起こるかを考えます。\(Y\)が閉集合であることは、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( \boldsymbol{x}_{v},y_{v}\right) \in Y \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }\left( \boldsymbol{x}_{v},y_{v}\right) \in \mathbb{R} ^{N+1}
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \left( \boldsymbol{x}_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }\left( \boldsymbol{x}_{v},y_{v}\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。したがって、逆に\(Y\)が閉集合でない場合には、\(\left(a\right) ,\left( b\right) \)を満たす一方で\(\left( c\right) \)を満たさない点列\(\left\{ \left( \boldsymbol{x}_{v},y_{v}\right) \right\} \)が存在します。これは何を意味するのでしょうか。点列\(\left\{ \left( \boldsymbol{x}_{v},y_{v}\right) \right\} \)が\(\left( a\right) \)を満たすということは、\(\left\{ \left( \boldsymbol{x}_{v},y_{v}\right) \right\} \)のすべての項が技術的に選択可能な生産ベクトルであることを意味します。\(\left( b\right) \)より点列\(\left\{ \left( \boldsymbol{x}_{v},y_{v}\right)\right\} \)は収束するため、その極限\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\left( \boldsymbol{x}_{v},y_{v}\right) \)に相当する生産ベクトルのいくらでも近い所に\(\left\{ \left( \boldsymbol{x}_{v},y_{v}\right) \right\} \)の点が無数に存在します。つまり、生産ベクトル\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\left( \boldsymbol{x}_{v},y_{v}\right) \)のいくらでも近い所に技術的に選択可能な生産ベクトルが無数に存在するということです。一方、条件\(\left( c\right) \)が成り立たないことは、生産ベクトル\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\left( \boldsymbol{x}_{v},y_{v}\right) \)は技術的に選択可能ではないことを意味します。結論をまとめると、生産集合が閉集合ではない場合には、技術的に選択可能ではない生産ベクトルのいくらでも近い所に技術的に選択可能な生産ベクトルが無数に存在するという事態が起こり得ます。生産ベクトルが閉集合であるという仮定のもとでは、このような事態が起こる可能性が排除されます。

例（生産集合の閉性）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合を、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x\right\}
\end{equation*}と定義します。これは下図のグレーの領域として図示されています（境界を含む）。

この生産集合\(Y\)が連続性を満たすこと、すなわち閉集合であることを点列を用いて証明します。\(Y\)の点を項とする収束点列を任意に選びます。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( x_{v},y_{v}\right) \in Y \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }\left( x_{v},y_{v}\right)
\in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ \left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選ぶということです。\(Y\)の定義より\(\left( a\right) \)は、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{N} :y_{v}\leq x_{v}
\end{equation*}と必要十分であるため、これと\(\left( b\right) \)および収束する数列の性質より、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }y_{v}\leq \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}
\end{equation*}が成り立ちます。これと\(\left( b\right) \)および\(Y\)の定義より、\begin{equation*}\left( \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v},\lim_{v\rightarrow +\infty
}y_{v}\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つため、\(Y\)が閉集合であることが示されました。

生産フロンティアを用いた閉性の定義

生産集合\(Y\)の境界\(Y^{f}\)を生産フロンティアと呼びます。\(Y\)が閉集合であることと\(Y\)の境界が\(Y\)の部分集合は必要十分であるため、以下の条件\begin{equation*}Y^{f}\subset Y
\end{equation*}が成り立つことと\(Y\)が閉性を満たすことは必要十分です。

例（生産集合の閉性）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合を、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x\right\}
\end{equation*}と定義します。これは下図のグレーの領域として図示されています（境界を含む）。

先に点列を用いて示したように、この生産集合\(Y\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の閉集合です。\(Y\)の境界、すなわち生産フロンティアは、\begin{equation*}Y^{f}=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y=x\right\} \cup \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y=0\right\}
\end{equation*}であるため\(Y^{f}\subset Y\)が明らかに成立します。したがって\(Y\)は閉集合ですが、これは先の結果と整合的です。

閉性の仮定と効率生産集合の関係

効率生産集合と生産フロンティアの関係について復習します。

生産集合\(Y\)が\(\mathbb{R} _{+}^{N+1}\)上の閉集合でない場合、生産フロンティア\(Y^{f}\)は\(Y\)に含まれるとは限りません。仮に\(Y\)のすべての境界点が\(Y\)の要素でない場合には\(Y\cap Y^{f}=\phi \)となりますが、すると先の命題より、\begin{equation*}Y^{\ast }=Y^{\ast \ast }=\phi
\end{equation*}となり、効率的な生産ベクトルが存在しないことになってしまいます。一方、生産集合\(Y\)が閉集合である場合、これは\(Y^{f}\subset Y\)が成り立つことと必要十分であるため、先の命題より以下を得ます。

効率的な生産ベクトルは生産集合の境界点であることが明らかになりましたが、逆は成立するとは限りません。生産集合の境界点は効率的であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。

例（効率生産集合と生産フロンティアの関係）

1生産要素1生産物モデルにおいて生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図で与えられているものとします。境界\(Y^{f}\)が生産フロンティアです。

生産フロンティア上の生産ベクトル\(\left( 1,0\right)\in Y^{f}\)に注目したとき、これは生産ベクトル\(\left( 0,0\right) \in Y\)によって広義支配されるため、\(\left(1,0\right) \)は狭義効率的ではありません。

生産関数の連続性

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が与えられたとき、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在する場合には、それぞれの投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\max P\left( \boldsymbol{x}\right) \\
&=&\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\right\}
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
P\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(\boldsymbol{x}\)の可能産出量集合です。

生産関数\(f\)が連続である場合、一定の条件のもとでは生産集合\(Y\)が閉性を満たすことを保証できます。

例（生産集合の連続性）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合を、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x\right\}
\end{equation*}と定義します。これは下図のグレーの領域として図示されています（境界を含む）。

先に示したように\(Y\)は閉性を満たします。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在して、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x,y\right) \in Y\right\} \\
&=&\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y\leq x\right\} \\
&=&\max \left[ 0,x\right] \\
&=&x
\end{eqnarray*}を定めますが、これは恒等関数であるため連続です。さらに、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}であるため、先の命題より\(Y\)は閉性を満たしますが、これは先の結果と整合的です。

先の命題では、生産関数\(f\)が連続であるとともに、生産集合\(Y\)との間に以下の関係\begin{equation*}Y=\left\{ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\ |\ y\leq f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つことを条件として設けています。つまり、\begin{equation*}
\forall \left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\Leftrightarrow y\leq
f\left( \boldsymbol{x}\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。生産関数について解説した際、\begin{equation*}
\forall \left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\Rightarrow y\leq
f\left( \boldsymbol{x}\right) \right] \end{equation*}は常に成り立つことを指摘すると同時に、逆に、\begin{equation*}
\forall \left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ y\leq f\left( \boldsymbol{x}\right) \Rightarrow \left(
\boldsymbol{x},y\right) \in Y\right] \end{equation*}は成り立つとは限らないことを具体例を通じて確認しました。つまり、生産関数\(f\)のもとで\(y\leq f\left( \boldsymbol{x}\right) \)が成り立つ場合に\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \)は技術的に実現可能であるとは限らないということです。この主張が成り立たない場合、先の命題の条件の1つが満たされなくなるため、\(Y\)は閉集合ではなくなる事態が起こり得ます。以下の例より明らかです。

演習問題