1生産物モデルにおける費用最小化問題の制約条件

費用最小化問題の制約条件

分析対象である生産者にとって、経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる\(1\)種類の商品が生産物である状況、すなわち\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルを想定します。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)によって表現される技術を持つ生産者が要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)に直面したときに得べき費用最小化問題は、以下のような制約付き最小化問題\begin{equation*}\min_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad x\in R\left( q\right)
\end{equation*}として定義されます。ただし、\(R\left( q\right) \)は必要投入量集合であり、\begin{equation*}R\left( q\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \left( x,q\right) \in Y\right\}
\end{equation*}と定義されます。また、目標産出量\(q\)がとり得る値からなる集合は、\begin{equation*}P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \exists x\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}です。利潤最大化問題と同様、費用最小化問題に対してもベルジュの最大値定理を適用できるでしょうか。

ベルジュの最大値定理を利用する上で見通しを良くするために、要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)に対して、\begin{equation*}R\left( w,q\right) =R\left( q\right)
\end{equation*}を像として定める対応\(R:\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)を便宜的に導入すれば、\(\left( w,q\right) \)のもとでの費用最小化問題を、\begin{equation*}\min_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad x \in R\left(
w,q\right)
\end{equation*}と表現できます。目的関数\(w\cdot x\)は明らかに連続関数であるため、ベルジュの最大値定理が要求する条件をクリアしています。したがって、制約条件を規定する対応\(R \)が非空値かつコンパクト値をとる連続対応であるならば、すなわち必要投入量集合\(P\left( q\right) \)が以上の条件を満たす場合には、1生産物モデルにおける費用最小化問題にもベルジュの最大値定理を適用できます。ただ、この対応\(R \)はそれらの条件を満たすとは限りません。

例（費用最小化問題の制約条件）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

要素価格と目標産出量\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}R\left( w,q\right) &=&R\left( q\right) \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x,q\right) \in Y\right\}
\end{eqnarray*}を像として定める対応\(R:\mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を便宜的に導入すれば、\(\left( w,q\right) \)のもとでの費用最小化問題を、\begin{equation*}\min_{x\in \mathbb{R} _{+}}wx\quad \text{s.t.}\quad x\in R\left( w,q\right)
\end{equation*}と表現できますが、\(R\left( w,q\right) \)すなわち\(R\left( q\right) \)は上図の太線であり、これは有界ではないためコンパクト集合でもなく、したがってベルジュの最大値定理を利用できません。

費用最小化問題の変換

上の例が示唆するように、1生産物モデルにおける費用最小化問題に対してベルジュの最大値定理を適用できるとは限りません。そこで、問題の一般性を失わないまま、費用最小化問題をベルジュの最大値定理を適用できる形へと変換することを考えます。

繰り返しになりますが、1生産物モデルにおいて生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が与えられたとき、要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)に対して、\begin{equation*}R\left( w,q\right) =R\left( q\right)
\end{equation*}を像として定める対応\(R:\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)を便宜的に導入すれば、\(\left( w,q\right) \)のもとでの費用最小化問題は、\begin{equation}\min_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad x\in R\left( w,q\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と定式化されます。ただし、先に例を通じて確認したように、上のように定義された対応\(R\)は非空値かつコンパクト値をとる連続対応であるとは限らないため、費用最小化問題に対してベルジュの最大値定理を適用できません。

このような問題を踏まえた上で、上の対応\(R\)の代替となる対応を導入します。具体的には、目標産出量がとり得る値からなる集合は、\begin{equation*}P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \exists x\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}であるため、目標産出量\(q\in P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)を任意に選ぶと、それに対して、\begin{equation*}\left( x,q\right) \in Y
\end{equation*}を満たす投入ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在することが保証されます。このような投入ベクトルの中から1つを任意に選んだ上で、それを\(x_{q}\)で表記します。つまり、\begin{equation*}\left( x_{q},q\right) \in Y
\end{equation*}を満たす\(x_{q}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)を任意に選ぶということです。その上で、それぞれの\(\left( w,q\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}S\left( w,q\right) &=&R\left( q\right) \cap \left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ w\cdot x\leq w\cdot x_{q}\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \left( x,q\right) \in Y\right\} \cap \left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ w\cdot x\leq w\cdot x_{q}\right\}
\end{eqnarray*}を像として定める対応\(S:\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)を定義します。つまり、\(S\left( w,q\right) \)は目標産出量\(q\)を達成するとともに、同じく\(q\)を達成する何らかの投入ベクトル\(x_{q}\)を選択した場合の費用以下の費用を実現できるような投入ベクトルからなる集合です。以上のように定義される対応\(S\)を制約対応（constraint correspondence）と呼ぶこととします。以上を踏まえた上で、それぞれの\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)に対して以下の制約付き最小化問題\begin{equation}\min_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad x\in S\left( w,q\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を考えます。

費用最小化問題\(\left( 1\right) \)と制約対応のもとでの最小化問題\(\left( 2\right) \)は何が違うのでしょうか。費用最小化問題\(\left( 1\right) \)は、目標産出量\(q\)を実現する投入ベクトルの中でも費用を最小化するような投入ベクトルを特定する問題です。一方、制約対応のもとでの最小化問題\(\left( 2\right) \)は、目標産出量\(q\)を達成するとともに、同じく\(q\)を達成する何らかの投入ベクトル\(x_{q}\)を選択した場合の費用以下の費用を実現できるような投入ベクトルを特定する問題です。明らかに\(R\left( w,q\right) \subset S\left( w,q\right) \)という関係が成り立つため、\(\left( 2\right) \)は\(\left( 1\right) \)よりも制約条件が厳しくなっています。ただし、\(x_{q}\)よりも費用が高くなるような投入ベクトルが支出最小化問題の解になることはないため、費用最小化問題において投入ベクトル\(x\)がとり得る値の範囲を\(R\left( w,q\right) \)から\(S\left( w,q\right) \)に縮小しても問題は生じません。

例（制約対応を用いた最小化問題）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

費用最小化問題において消費者が目的として設定し得る産出量からなる集合は、\begin{eqnarray*}
P\left( \mathbb{R} _{+}\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \exists x\in \mathbb{R} _{+}:\left( x,y\right) \in Y\right\} \\
&=&\mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}です。要素価格と目標産出量\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)を選んだとき、\(q\)の必要投入量集合は、\begin{eqnarray*}R\left( q\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{+}\ |\ \left( x,q\right) \in Y\right\} \\
&=&[q^{2},+\infty )
\end{eqnarray*}であるため、\(\left( w,q\right) \)のもとでの費用最小化問題は、\begin{equation}\min_{x\in \mathbb{R} _{+}}wx\quad \text{s.t.}\quad x\in \lbrack q^{2},+\infty ) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。\([q^{2},+\infty )\)は有界ではなく、したがってコンパクト集合でもないため、ベルジュの最大値定理を適用できません。一方、制約対応\(S\)が\(\left(w,p\right) \)に対して定める値は、例えば、\begin{equation*}\left( q^{2},q\right) \in Y
\end{equation*}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
S\left( w,p\right) &=&R\left( q\right) \cap \left\{ x\in \mathbb{R} _{+}\ |\ wx\leq wq^{2}\right\} \\
&=&[q^{2},+\infty )\cap \lbrack 0,q^{2}] \\
&=&\left\{ q^{2}\right\}
\end{eqnarray*}であるため、制約対応のもとでの最小化問題は、\begin{equation}
\min_{x\in \mathbb{R} _{+}}wx\quad \text{s.t.}\quad x\in \left\{ q^{2}\right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。\(\left\{ q^{2}\right\} \)はコンパクト集合であるため、ベルジュの最大値定理を適用できる可能性があります。しかも、先の命題より、\(\left( 1\right) \)のかわりに\(\left( 2\right) \)を考えても一般性は失われません。

制約対応の性質

以上の命題より、要素価格と目標産出量\(\left( w,q\right) \)のもとでの費用最小化問題について考えるかわりに、制約対応のもとでの最小化問題\begin{equation*}\min_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad x\in S\left( w,q\right)
\end{equation*}について考えても一般性を失われないことが明らかになりました。目的関数\(w\cdot x\)は連続関数であるため、制約対応\(S\)が非空値かつコンパクト値をとる連続対応であればベルジュの最大値定理を利用できます。実際、制約対応\(S\)はそれらの性質を満たします。