1生産物モデルにおける生産集合の凸性

生産集合の凸性

分析対象である生産者にとって、経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる\(1\)種類の商品が生産物である状況、すなわち\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルを想定します。\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\begin{equation*}\left( x,y\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。技術的な制約を踏まえた上で生産者がなおも選択可能な生産ベクトルからなる集合を生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として定式化しました。このとき、\(Y\)が凸集合であるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) ,\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in Y,\
\forall \alpha \in \left[ 0,1\right] :\alpha \left( x,y\right) +\left(
1-\alpha \right) \left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \left( x,y\right) ,\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in Y,\
\forall \alpha \in \left[ 0,1\right] :\left( \alpha x+\left( 1-\alpha
\right) x^{\prime },\alpha y+\left( 1-\alpha \right) y^{\prime }\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(Y\)は凸性（convexity）を満たすと言います。これは、技術的に選択可能な2つの生産ベクトル\(\left( x,y\right) ,\left( x^{\prime },y^{\prime}\right) \)を任意に選んだとき、それらを任意の割合\(\alpha \)で組み合わせて得られる生産ベクトル\(\alpha \left( x,y\right) +\left( 1-\alpha \right) \left(x^{\prime },y^{\prime }\right) \)もまた技術的に選択可能であることを意味します。

例（凸性）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。

グレーの領域上にある2つの生産ベクトル\(\left( x,y\right) ,\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in Y\)を任意に選んだ上で、それらを端点とする線分を描くと、その線分全体もグレーの領域に属します。したがって、この生産集合\(Y\)は凸性を満たします。

例（凸性）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。

グレーの領域上にある2つの生産ベクトル\(\left( x,y\right) ,\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in Y\)を任意に選んだ上で、それらを端点とする線分を描くと、その線分全体もグレーの領域に属します。したがって、この生産集合\(Y\)は凸性を満たします。

例（凸性）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。

図中の2つの生産ベクトル\(\left( x,y\right) ,\left( x^{\prime },y^{\prime }\right)\in Y\)に注目すると、これらを端点とする線分上には\(Y\)に属さない点が存在するため、この生産集合\(Y\)は凸性を満たしません。

例（凸性）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。

図中の2つの生産ベクトル\(\left( x,y\right) ,\left( x^{\prime },y^{\prime }\right)\in Y\)に注目すると、これらを端点とする線分上には\(Y\)に属さない点が存在するため、この生産集合\(Y\)は凸性を満たしません。

凹な生産関数

経済に存在する商品が\(N\)種類の生産要素と\(1\)種類の生産物に区別可能である場合、生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に加えて生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられているとき、\(f\)が凹関数であることとは、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in \mathbb{R} _{+}^{N},\ \forall \alpha \in \left[ 0,1\right] :\alpha f\left( x\right)
+\left( 1-\alpha \right) f\left( x^{\prime }\right) \leq f\left( \alpha
x+\left( 1-\alpha \right) x^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、任意の2つの投入ベクトル\(x,x^{\prime }\)について、それらを任意の割合\(\alpha \)で混ぜて得られる投入ベクトルのもとでの生産物の産出量が、\(x\)からの産出量と\(x^{\prime }\)からの産出量を割合\(\alpha \)で混ぜて得られる量以上になるということです。

偏微分を用いて凹関数を表現することもできます。つまり、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が\(C^{1}\)級である場合、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in \mathbb{R} _{+}^{N}:f\left( x^{\prime }\right) \leq \nabla f\left( x\right) \cdot
\left( x^{\prime }-x\right) +f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が凹関数であるための必要十分条件です。さらに、\(f\)が\(C^{2}\)級である場合には、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{+}^{N},\ \forall k\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\left( -1\right)
^{k}\det \left( A_{k}\left( x\right) \right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が凹関数であるための必要十分条件です。ただし、\(A_{k}\left( x\right) \)は\(f\)の点\(x\)におけるヘッセ行列\begin{equation*}H_{f}\left( x\right) =\begin{pmatrix}
f_{x_{1}x_{1}}^{\prime \prime }\left( x\right) & f_{x_{1}x_{2}}^{\prime
\prime }\left( x\right) & \cdots & f_{x_{1}x_{N}}^{\prime \prime }\left(
x\right) \\
f_{x_{2}x_{1}}^{\prime \prime }\left( x\right) & f_{x_{2}x_{2}}^{\prime
\prime }\left( x\right) & \cdots & f_{x_{2}x_{N}}^{\prime \prime }\left(
x\right) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_{x_{N}x_{1}}^{\prime \prime }\left( x\right) & f_{x_{N}x_{2}}^{\prime
\prime }\left( x\right) & \cdots & f_{x_{N}x_{N}}^{\prime \prime }\left(
x\right)
\end{pmatrix}\end{equation*}の\(k\)次首座小行列式であり、具体的には、\begin{equation*}A_{k}\left( x\right) =\begin{pmatrix}
f_{x_{1}x_{1}}^{\prime \prime }\left( x\right) & f_{x_{1}x_{2}}^{\prime
\prime }\left( x\right) & \cdots & f_{x_{1}x_{k}}^{\prime \prime }\left(
x\right) \\
f_{x_{2}x_{1}}^{\prime \prime }\left( x\right) & f_{x_{2}x_{2}}^{\prime
\prime }\left( x\right) & \cdots & f_{x_{2}x_{k}}^{\prime \prime }\left(
x\right) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_{x_{k}x_{1}}^{\prime \prime }\left( x\right) & f_{x_{k}x_{2}}^{\prime
\prime }\left( x\right) & \cdots & f_{x_{k}x_{k}}^{\prime \prime }\left(
x\right)
\end{pmatrix}\end{equation*}です。

生産集合の凸性と生産関数の凹性の間には以下の関係が成立します。

生産関数\(f\)が単調増加（単調非減少）であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{+}^{N+1},\ \forall y\in \left[ 0,f\left( x\right) \right] :\left(
x,y\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つ場合には、生産集合\(Y\)は無償廃棄不可能性を満たします。以上に加えて\(f\)が凹関数である場合、上の命題が要求する条件が満たされるため、生産集合\(Y\)が凸集合になることが保証されます。