生産集合の凸性
前節では、生産集合が無償廃棄可能性を満たすという仮定について学びました。無償廃棄可能性は、生産物や生産要素を制約なく処分できるという、生産技術に関する重要な性質を表していました。
本節では、生産集合に課されるもう一つの重要な仮定である凸性について考えます。
現実の企業は、生産方法が一つだけに限定されるとは限りません。例えば、ある製品を製造するために複数の生産方法が利用可能である場合、それらを組み合わせて生産することもできます。また、同じ設備を複数保有している企業であれば、一部の設備ではある生産方法を採用し、残りの設備では別の生産方法を採用するといったことも可能です。
このような状況では、それぞれの生産方法による生産計画が実現可能であれば、それらを適切な割合で組み合わせた生産計画もまた実現可能であると考えられます。生産集合の凸性とは、このような「生産方法を組み合わせることができる」という性質を数学的に表現したものです。
凸性は、生産者理論において広く用いられる基本的な仮定の一つであり、効率生産集合や利潤最大化問題を考える際にも重要な役割を果たします。以下では、生産集合の凸性の定義を与え、その数学的・経済学的な意味について詳しく考えていきます。
\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\begin{equation*}\left( \boldsymbol{x},y\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。生産者が技術的に選択可能な生産ベクトルからなる集合は生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。その上で、\(Y\)が凸集合であるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( \boldsymbol{x},y\right) ,\left( \boldsymbol{x}^{\prime
},y^{\prime }\right) \in Y,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda
\left( \boldsymbol{x},y\right) +\left( 1-\lambda \right) \left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \in Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \left( \boldsymbol{x},y\right) ,\left( \boldsymbol{x}^{\prime
},y^{\prime }\right) \in Y,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\left(
\lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{x}^{\prime
},\lambda y+\left( 1-\lambda \right) y^{\prime }\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(Y\)は凸性（convexity）を満たすと言います。これは、技術的に選択可能な2つの生産ベクトル\(\left( \boldsymbol{x},y\right) ,\left( \boldsymbol{x}^{\prime },y^{\prime }\right) \)を任意に選んだとき、それらを任意の割合\(\lambda \)で組み合わせて得られる生産ベクトル\(\lambda \left( \boldsymbol{x},y\right) +\left( 1-\lambda \right) \left( \boldsymbol{x}^{\prime},y^{\prime }\right) \)もまた技術的に選択可能であることを意味します。
グレーの領域上にある2つの生産ベクトル\(\left( x,y\right) ,\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in Y\)を任意に選んだ上で、それらを端点とする線分を描くと、その線分全体もグレーの領域に属します。したがって、この生産集合\(Y\)は凸性を満たします。
グレーの領域上にある2つの生産ベクトル\(\left( x,y\right) ,\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in Y\)を任意に選んだ上で、それらを端点とする線分を描くと、その線分全体もグレーの領域に属します。したがって、この生産集合\(Y\)は凸性を満たします。
図中の2つの生産ベクトル\(\left( x,y\right) ,\left( x^{\prime },y^{\prime }\right)\in Y\)に注目すると、これらを端点とする線分上には\(Y\)に属さない点が存在するため、この生産集合\(Y\)は凸性を満たしません。
図中の2つの生産ベクトル\(\left( x,y\right) ,\left( x^{\prime },y^{\prime }\right)\in Y\)に注目すると、これらを端点とする線分上には\(Y\)に属さない点が存在するため、この生産集合\(Y\)は凸性を満たしません。
\left( 20,2,10\right) &\in &Y
\end{eqnarray*}に注目します。いずれにおいても\(10\)単位の生産物が産出されていますが、\(\left( 2,20,10\right) \)では\(2\)単位の生産要素\(1\)と\(20\)単位の生産要素\(2\)を投入している一方で、\(\left( 20,2,10\right) \)では\(20\)単位の生産要素\(1\)と\(2\)単位の生産要素\(2\)を投入しています。生産集合\(Y\)の凸性より、例えば、以下の生産ベクトル\begin{eqnarray*}\frac{1}{2}\left( 2,20,10\right) +\frac{1}{2}\left( 20,2,10\right)
&=&\left( 1,10,5\right) +\left( 10,1,5\right) \\
&=&\left( 11,11,10\right)
\end{eqnarray*}もまた\(Y\)の要素であり、したがって技術的に選択可能です。この新たな生産ベクトルでは\(10\)単位の生産物を産出するために生産要素\(1,2\)を\(11\)単位ずつ投入しており、\(\left(2,20,10\right) \)や\(\left( 20,2,10\right) \)と比べて2つの生産要素を適度な割合で投入しています。つまり、凸性を満たす技術のもとでは、生産要素の投入バランスの偏りを修正しても生産物の産出量が減少しないことが保証されます。
\end{equation*}です。すると凸性より、\begin{equation*}
\lambda \left( \boldsymbol{x},y\right) +\left( 1-\lambda \right) \left(
\boldsymbol{0},0\right) \in Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lambda \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(Y\)上の点\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \)を任意に選んだとき、点\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \)と原点\(\left( \boldsymbol{0},0\right) \)を結ぶ線分上にある任意の点が\(Y\)上にあるということです。言い換えると、技術的に選択可能な生産ベクトル\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \)を任意に選んだとき、凸性と操業停止可能性のもとでは、\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \)における生産量と投入量を同じ割合で縮小して得られる任意の生産ベクトルもまた技術的に選択可能であるということです。
生産関数の性質として凸性
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が与えられたとき、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在する場合には、それぞれの投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\max P\left( \boldsymbol{x}\right) \\
&=&\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\right\}
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
P\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(\boldsymbol{x}\)の可能産出量集合です。
生産関数\(f\)が以下の条件を満たす場合、凸性が成り立つことを保証できます。
- \(Y\)が凸性を満たすならば、\(f\)は凹関数である。
- \(f\)が凹関数であるとともに、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N},\ \forall y\in \left[ 0,f\left( \boldsymbol{x}\right) \right]:\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(Y\)は凸性を満たす。
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ y\leq x_{1}+2x_{2}\right\}
\end{equation*}であるものとします。投入ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}P\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in Y\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y\leq x_{1}+2x_{2}\right\} \\
&=&\left[ 0,x_{1}+2x_{2}\right] \end{eqnarray*}であるため、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\max P\left( x_{1},x_{2}\right) \\
&=&\max \left[ 0,x_{1}+2x_{2}\right] \\
&=&x_{1}+2x_{2}
\end{eqnarray*}を定めます。したがって、\begin{equation*}
P\left( x_{1},x_{2}\right) =\left[ 0,f\left( x_{1},x_{2}\right) \right] \end{equation*}が成り立つため、\(Y\)が凸性を満たすことと\(f\)が凹関数であることは必要十分です。\(f\)はアフィン関数であるため凹関数ですが、ヘッセ行列を用いて確認します。点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)における\(f\)のヘッセ行列は、\begin{eqnarray*}H_{f}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\begin{pmatrix}
\frac{\partial ^{2}f\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}^{2}} & \frac{\partial ^{2}f\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}\partial x_{1}} \\
\frac{\partial ^{2}f\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}\partial x_{2}}
& \frac{\partial ^{2}f\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}^{2}}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{eqnarray*}です。\(H_{f}\left( x_{1},x_{2}\right) \)の1次の主座小行列式については、\begin{eqnarray*}\left\vert A_{1}\right\vert &=&\left\vert 0\right\vert =0 \\
\left\vert A_{2}\right\vert &=&\left\vert 0\right\vert =0
\end{eqnarray*}が成り立ち、2次の主座小行列式については、\begin{equation*}
\left\vert A_{1,2}\right\vert =\begin{vmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{vmatrix}=0
\end{equation*}が成り立つため\(H_{f}\left(x_{1},x_{2}\right) \)は半負定値です。任意の\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)について同様であるため\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上で凹関数です。\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)へ連続に拡張されるため\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上で凹関数です。ゆえに\(Y\)は凸集合です。
先の命題の証明において明らかになったように、\begin{equation*}
\text{生産集合}Y\text{が凸集合}\Rightarrow \text{生産関数}f\text{が凹関数}
\end{equation*}は常に成り立ちますが、その逆である、\begin{equation*}
\text{生産関数}f\text{が凹関数}\Rightarrow \text{生産集合}Y\text{が凸集合}
\end{equation*}が常に成り立つことを保証するためには追加的な条件\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N+1},\ \forall y\in \left[ 0,f\left( \boldsymbol{x}\right) \right]
:\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y
\end{equation*}が必要です。これは、投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)を任意に選んで固定したとき、\(\boldsymbol{x}\)のもとでの最大産出量\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)以下の産出量はすべて実現可能であること、すなわち、\(\boldsymbol{x}\)のもとでの可能産出量集合が、\begin{equation*}P\left( \boldsymbol{x}\right) =\left[ 0,f\left( \boldsymbol{x}\right) \right]
\end{equation*}と表せることを意味します。この条件が満たされない場合、生産関数\(f\)が凹関数であることから生産集合\(Y\)が凸集合であることを導けるとは限りません。以下の例より明らかです。
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y=\sqrt{x}\right\}
\end{equation*}であるものとします。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在するとともに凹関数である一方で、\begin{equation*}P\left( x\right) =\left[ 0,f\left( x\right) \right] \end{equation*}は成り立たず、また\(Y\)は凸集合ではありません（演習問題）。
演習問題
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ y\leq \sqrt{x_{1}x_{2}}\right\}
\end{equation*}によって与えられているものとします。以下の問いに答えてください。
- 生産関数\(f\)を求めてください。
- \(P\left( x_{1},x_{2}\right) =\left[ 0,f\left( x_{1},x_{2}\right) \right] \)が成り立つことを示してください。
- 生産関数\(f\)が凹関数であることを示してください。
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ y\leq \ln \left( 1+x_{1}\right) +\ln \left( 1+x_{2}\right)
\right\}
\end{equation*}によって与えられているものとします。以下の問いに答えてください。
- 生産関数\(f\)を求めてください。
- \(P\left( x_{1},x_{2}\right) =\left[ 0,f\left( x_{1},x_{2}\right) \right] \)が成り立つことを示してください。
- 生産関数\(f\)が凹関数であることを示してください。
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y=\sqrt{x}\right\}
\end{equation*}であるものとします。以下の問いに答えてください。
- 生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を求めてください。
- \(P\left( x\right) =\left[ 0,f\left( x\right) \right] \)が成り立たないことを示してください。
- \(f\)が凹関数であることを示してください。
- \(Y\)が凸集合ではないことを示してください。
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