1生産物モデルにおける効率生産集合

狭義の効率生産集合

分析対象である生産者にとって、経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる\(1\)種類の商品が生産物である状況、すなわち\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルを想定します。\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\begin{equation*}\left( x,y\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。生産者が技術的に選択可能な生産ベクトルからなる集合を生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として定式化しましたが、生産集合が複数の生産ベクトルを含む場合、生産者はその中から自身にとって最も望ましいものを選択することになります。では、どのような指標をもとに生産ベクトルどうしを比較すればよいでしょうか。最もシンプルな指標は効率性です。つまり、より少ない投入でより多くを生産できるのであればより望ましいという考え方です。効率性の概念を以下で定式化します。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に属する2つの生産ベクトル\(\left( x,y\right) ,\left( x^{\prime},y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)を任意に選んだとき、両者の間に、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ y\geq y^{\prime }\wedge \forall n\in \left\{ 1,\cdots
,M\right\} :x_{n}^{\prime }\geq x_{n} \\
&&\left( b\right) \ y>y^{\prime }\vee \exists n\in \left\{ 1,\cdots
,M\right\} :x_{n}^{\prime }>x_{n}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\left( x,y\right) \)は\(\left(x^{\prime },y^{\prime }\right) \)を広義に支配する（weakly dominate）とか支配する（dominate）などと言います。

\(\left( x,y\right) \)が\(\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \)を広義に支配することとは、生産者が\(\left( x^{\prime},y^{\prime }\right) \)から\(\left( x,y\right) \)へ移行することにより、生産物の産出量を減らすことなく（\(y\geq y^{\prime }\)）、なおかつ任意の生産要素の投入量を増やすことなく（\(x_{n}^{\prime }\geq x_{n}\)）、なおかつ生産物の生産量を増やすことができるか（\(y>y^{\prime }\)）、または何らかの生産要素の投入量を減らすことができる（\(x_{n}^{\prime }>x_{n}\)）ことを意味します。したがって、\(\left( x,y\right) \)は\(\left(x^{\prime },y^{\prime }\right) \)よりも効率的な生産ベクトルであると言えます。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に属する生産ベクトル\(\left( x,y\right) \in Y\)に対して、それを広義支配する生産ベクトルが\(Y\)の中に存在しない場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ y^{\prime }\geq y\wedge \forall n\in \left\{ 1,\cdots
,M\right\} :x_{n}\geq x_{n}^{\prime } \\
&&\left( b\right) \ y^{\prime }>y\vee \exists n\in \left\{ 1,\cdots
,M\right\} :x_{n}>x_{n}^{\prime }
\end{eqnarray*}をともに満たす\(\left( x^{\prime},y^{\prime }\right) \in Y\)が存在しない場合には、\(\left( x,y\right) \)は狭義効率的（strictly efficient）であるとか効率的（efficient）であるなどと言います。

生産ベクトル\(\left( x,y\right) \in Y\)が狭義効率的であるものとします。これに対して、\begin{equation*}y^{\prime }>y\vee \exists n\in \left\{ 1,\cdots ,M\right\}
:x_{n}>x_{n}^{\prime }
\end{equation*}を満たす生産ベクトル\(\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in Y\)を任意に選びます。つまり、\(\left( x,y\right) \)を基準に、産出量を増やすか、もしくは何らかの生産要素の投入量を減らすことで得られる生産ベクトルが\(\left( x^{\prime},y^{\prime }\right) \)です。ただ、\(\left( x,y\right) \)は狭義効率的であるため、\(\left( x^{\prime },y^{\prime}\right) \)は\(\left( x,y\right) \)を広義支配しません。したがって、\begin{equation*}y^{\prime }\geq y\wedge \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,M\right\} :x_{n}\geq
x_{n}^{\prime }
\end{equation*}は成り立たず、その否定に相当する、\begin{equation*}
y^{\prime }<y\vee \exists n\in \left\{ 1,\cdots ,M\right\}
:x_{n}<x_{n}^{\prime }
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、\(\left( x,y\right) \)から\(\left( x^{\prime },y^{\prime}\right) \)へ移行すると、産出量が減少するか、もしくは何らかの生産要素の投入量が増加してしまいます。つまり、ある生産ベクトルが狭義効率的であることとは、そこを出発点に産出量を増やそうとすると何らかの生産要素の投入量が増加してしまうか、何らかの生産要素の投入量を減らそうとすると産出量が減少してしまうことを意味します。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に属する生産ベクトルの中でも狭義効率的なものだけをすべて集めてできる集合を狭義効率生産集合（strictly efficient production set）や効率生産集合（efficient production set）などと呼び、これを、\begin{equation*}
Y^{\ast }
\end{equation*}で表記します。明らかに\(Y^{\ast }\subset Y\)という関係が成り立ちます。

例（狭義効率生産集合）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

狭義効率生産集合は、\begin{equation*}
Y^{\ast }=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y=x\right\}
\end{equation*}です（演習問題）。

例（狭義効率生産集合）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

狭義効率生産集合は、\begin{equation*}
Y^{\ast }=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y=x^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}です（演習問題）。

広義の効率生産集合

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に属する2つの生産ベクトル\(\left( x,y\right) ,\left( x^{\prime},y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)を任意に選んだとき、両者の間に、\begin{equation*}y>y^{\prime }\wedge \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,M\right\} :x_{n}^{\prime
}>x_{n}
\end{equation*}がともに成り立つ場合には、\(\left( x,y\right) \)は\(\left(x^{\prime },y^{\prime }\right) \)を狭義に支配する（strictly dominate）と言います。

\(\left( x,y\right) \)が\(\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \)を狭義に支配することとは、生産者が\(\left( x^{\prime},y^{\prime }\right) \)から\(\left( x,y\right) \)へ移行することにより、生産物の産出量が増えるとともに（\(y>y^{\prime }\)）、任意の生産要素の投入量が減少します（\(x_{n}^{\prime }>x_{n}\)）。したがって、\(\left( x,y\right) \)は\(\left(x^{\prime },y^{\prime }\right) \)よりも効率的な生産ベクトルであると言えます。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に属する生産ベクトル\(\left( x,y\right) \in Y\)に対して、それを狭義支配する生産ベクトルが\(Y\)の中に存在しない場合には、すなわち、\begin{equation*}y^{\prime }>y\wedge \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,M\right\}
:x_{n}>x_{n}^{\prime }
\end{equation*}をともに満たす\(\left( x^{\prime},y^{\prime }\right) \in Y\)が存在しない場合には、\(\left( x,y\right) \)は広義効率的（weakly efficient）であると言います。

生産ベクトル\(\left( x,y\right) \in Y\)が広義効率的であるものとします。これに対して、\begin{equation*}y^{\prime }>y\vee \exists n\in \left\{ 1,\cdots ,M\right\}
:x_{n}>x_{n}^{\prime }
\end{equation*}を満たす生産ベクトル\(\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in Y\)を任意に選びます。つまり、\(\left( x,y\right) \)を基準に、産出量を増やすか、もしくは何らかの生産要素の投入量を減らすことで得られる生産ベクトルが\(\left( x^{\prime},y^{\prime }\right) \)です。ただ、\(\left( x,y\right) \)は広義効率的であるため、\(\left( x^{\prime },y^{\prime}\right) \)は\(\left( x,y\right) \)を狭義支配しません。したがって、\begin{equation*}y^{\prime }>y\wedge \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,M\right\}
:x_{n}>x_{n}^{\prime }
\end{equation*}は成り立たず、その否定に相当する、\begin{equation*}
y\geq y^{\prime }\vee \exists n\in \left\{ 1,\cdots ,M\right\}
:x_{n}^{\prime }\geq x_{n}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、ある生産ベクトルが広義効率的であることとは、そこを出発点に産出量を増やしたり何らかの生産要素の投入量を減らそうとすると、何らかの生産要素の投入量は減らず（増加することもある）、もしくは産出量は増加しません（減少することもある）。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に属する生産ベクトルの中でも広義効率的なものだけをすべて集めてできる集合を広義効率生産集合（weakly efficient production set）と呼び、これを、\begin{equation*}Y^{\ast \ast }
\end{equation*}で表記します。明らかに\(Y^{\ast \ast }\subset Y\)という関係が成り立ちます。

例（広義効率生産集合）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

広義効率生産集合は、\begin{equation*}
Y^{\ast \ast }=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y=x\right\}
\end{equation*}です（演習問題）。

例（広義効率生産集合）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

広義効率生産集合は、\begin{equation*}
Y^{\ast \ast }=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y=x^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}です（演習問題）。

狭義効率性と広義効率性の関係

狭義効率的な生産ベクトルは広義効率的でもあるため以下を得ます。

上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、広義効率的な生産ベクトルは狭義効率的であるとは限りません。以下の例より明らかです。

効率生産集合と生産フロンティアの関係

生産集合\(Y\)の境界\(Y^{f}\)を生産フロンティアと呼びます。狭義効率生産集合\(Y^{\ast }\)や広義効率生産集合\(Y^{\ast \ast }\)は明らかに生産集合\(Y\)の部分集合ですが、これらは生産フロンティア\(Y^{f}\)の部分集合でもあります。つまり、効率的な生産ベクトルは生産集合の境界点であるということです。

生産集合\(Y\)が\(\mathbb{R} _{+}^{N+1}\)上の閉集合でない場合、\(Y\)の境界点は\(Y\)に含まれるとは限りません。仮に\(Y\)のすべての境界点が\(Y\)の要素でない場合には\(Y\cap Y^{f}=\phi \)となりますが、すると上の命題より、\begin{equation*}Y^{\ast }=Y^{\ast \ast }=\phi
\end{equation*}となり、効率的な生産ベクトルが存在しないことになってしまいます。一方、生産集合\(Y\)が\(\mathbb{R} _{+}^{N+1}\)上の閉集合である場合、これは\(Y^{f}\subset Y\)が成り立つことと必要十分であるため、先の命題より以下を得ます。

効率的な生産ベクトルは生産集合の境界点であることが明らかになりましたが、逆は成立するとは限りません。生産集合の境界点は効率的であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。

例（効率生産集合と生産フロンティアの関係）

1生産要素1生産物モデルにおいて生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。境界\(Y^{f}\)が生産フロンティアです。

生産フロンティア上の生産ベクトル\(\left( 1,0\right)\in Y^{f}\)に注目したとき、これは生産ベクトル\(\left( 0,0\right) \in Y\)によって広義支配されるため、\(\left(1,0\right) \)は狭義効率的ではありません。

演習問題