1生産物モデルにおける利潤最大化問題の内点解と端点解

利潤最大化問題の内点解

前節では、生産関数が存在する場合の利潤最大化問題の解法について学びました。特に、クーン・タッカー条件を用いることにより、最適解が満たすべき条件を導き、具体例を通じて要素需要関数や供給関数を求める方法を確認しました。

しかし、利潤最大化問題の解は、常にすべての生産要素を正の量だけ投入するとは限りません。ある生産要素は正の量だけ投入される一方で、別の生産要素は全く投入されないこともあります。このような違いは、クーン・タッカー条件の相補性条件に反映されており、生産者の最適行動を理解する上で重要な意味をもちます。

本節では、利潤最大化問題の内点解と端点解について考察します。まず、それぞれの概念を定義した上で、クーン・タッカー条件との関係を明らかにします。さらに、各生産要素について、投入量が正となる場合には限界収入生産物と要素価格が一致し、投入量がゼロとなる場合には限界収入生産物が要素価格以下となることを示し、その経済学的意味を考察します。こうした考察を通じて、生産者がどのような条件のもとで特定の生産要素を投入するのか、あるいは投入しないのかを体系的に理解します。

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\begin{equation*}\left( \boldsymbol{x},y\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。生産者が技術的に選択可能な生産ベクトルからなる集合は生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に直面した生産者が解くべき利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\quad \text{s.t.}\quad
\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y
\end{equation*}として定式化されますが、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在する場合、この問題は以下の問題\begin{equation*}\max_{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}}pf\left( \boldsymbol{x}\right) -\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}
\end{equation*}と等価です。

利潤最大化を目指す生産者の意思決定が要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)および供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているものとします。つまり、価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題の解であるような投入ベクトルおよび産出量からなる集合はそれぞれ、\begin{eqnarray*}X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}^{\ast
}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}:pf\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) -\boldsymbol{w}\cdot
\boldsymbol{x}^{\ast }\geq pf\left( \boldsymbol{x}\right) -\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\right\} \\
Y^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) &=&\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} _{+}\ |\ \boldsymbol{x}\in X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \right\}
\end{eqnarray*}です。

要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)および供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)が非空値をとるものとします。生産関数\(f\)が\(C^{1}\)級の関数であるならば、価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題の解\(\boldsymbol{x}^{\ast }\in X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \)を任意に選んだとき、それに対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :w_{n}\geq p\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{n}} \\
&&\left( B\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\ast }
\left[ w_{n}-p\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{n}}\right] =0 \\
&&\left( C\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\ast
}\geq 0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解\(\boldsymbol{x}^{\ast }\)は、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の内点すなわち\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合と、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の境界点すなわち\(\mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合の2通りが起こり得ます。特に、\(\boldsymbol{x}^{\ast }\)が\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合には内点解（inner solution）と呼びます。この場合、\begin{equation*}\forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\ast }>0
\end{equation*}が成り立つため、これと\(\left( B\right) \)より、\begin{equation*}\forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :w_{n}-p\frac{\partial f\left(
\boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{n}}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{n}}=\frac{w_{n}}{p}>0
\end{equation*}が成り立ちます。2つの生産要素\(i,j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)を任意に選んだとき同様の議論が成立するため、\begin{equation*}\frac{\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}=\frac{w_{i}}{w_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) =\frac{w_{i}}{w_{j}}
\end{equation*}を得ます。

先の命題は、利潤最大化問題の内点解\(x^{\ast }\)において任意の2つの生産要素\(i,j\)の間の技術的限界代替率\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) \)と生産要素の価格比\(\frac{w_{i}}{w_{j}}\)が一致することを主張していますが、これにはどのような意味があるのでしょうか。

投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\)における技術的限界代替率\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)とは、\(\boldsymbol{x}\)のもとで最大産出量\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)を維持しようとする生産者にとって、1単位の生産要素\(i\)と\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)単位の生産要素\(j\)と代替可能であり、それらを交換しても産出量が\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)から変化しないことを意味します。一方、相対価格\(\frac{w_{i}}{w_{j}}\)とは、生産要素\(i\)の価格が生産要素\(j\)の価格の何倍であるかを表す指標であり、市場において\(1\)単位の生産要素\(i\)と\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)単位の生産要素\(j\)が交換可能であることを意味します。

投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\)において\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) <\frac{w_{i}}{w_{j}}\)が成り立つ場合、生産者は\(1\)単位の生産要素\(i\)をそのまま投入するのと、それを市場において生産要素\(j\)と交換するのとではどちらのほうが望ましいのでしょうか。生産者にとって\(1\)単位の生産要素\(i\)は\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)単位の生産要素\(j\)と代替可能です。一方、\(1\)単位の生産要素\(i\)を市場で販売すれば、それと引き換えに\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)単位の生産要素\(j\)を入手できます。したがって、\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) <\frac{w_{i}}{w_{j}}\)が成り立つ場合、生産者は\(1\)単位の生産要素\(i\)を市場で売って\(\frac{w_{i}}{w_{j}}\)単位の生産要素\(j\)を入手した方が得であり、そのような取引を通じて\(\frac{w_{i}}{w_{j}}-MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)単位の生産要素\(j\)の分だけ特するため、その余剰を投入すれば利潤を増やすことができます。技術的限界代替率逓減の法則が成り立つ場合、生産要素\(i\)の投入量\(x_{i}\)を減らして生産要素\(j\)の投入量\(x_{j}\)を増やすと\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)が増加するため、先の取引の結果、\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)と\(\frac{w_{i}}{w_{j}}\)の差が縮小します。

逆に、\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) >\frac{w_{i}}{w_{j}}\)が成り立つ場合、これは\(MRTS_{ji}\left( \boldsymbol{x}\right) <\frac{w_{j}}{w_{i}}\)を意味するため、先の議論において生産要素\(i\)と生産要素\(j\)を入れ替えた議論がそのまま成立します。つまりこの場合、生産者は\(1\)単位の生産要素\(j\)を市場で販売して\(\frac{w_{j}}{w_{i}}\)単位の生産要素\(i\)を入手した方が得であり、そのような取引を通じて\(\frac{w_{j}}{w_{i}}-MRTS_{ji}\left( \boldsymbol{x}\right) \)単位の生産要素\(i\)の分だけ特するため、その余剰を投入すれば利潤を増やすことができます。技術的限界代替率逓減の法則が成り立つ場合、生産要素\(j\)の投入量\(x_{j}\)を減らして生産要素\(i\)の投入量\(x_{i}\)を増やすと\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)が減少するため、先の取引の結果、\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)と\(\frac{w_{i}}{w_{j}}\)の差が縮小します。

同様の議論は任意の生産要素\(i,j\)の間に成立します。その結果、最終的には、任意の生産要素\(i,j\)について\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) =\frac{w_{i}}{w_{j}}\)が成立するような投入ベクトル\(\boldsymbol{x}^{\ast }\)が主体的均衡になります。利潤最大化問題の解\(\boldsymbol{x}^{\ast }\)において任意の2つの生産要素の技術的限界代替率\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) \)と相対価格\(\frac{w_{i}}{w_{j}}\)が一致することの背景にはこのようなメカニズムがあります。

利潤最大化問題の端点解

要素需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)および供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)が非空値をとるものとします。生産関数\(f\)が\(C^{1}\)級の関数であるならば、価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題の解\(\boldsymbol{x}^{\ast }\in X^{\ast }\left( \boldsymbol{w},p\right) \)を任意に選んだとき、それに対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :w_{n}\geq p\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{n}} \\
&&\left( B\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\ast }
\left[ w_{n}-p\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{n}}\right] =0 \\
&&\left( C\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\ast
}\geq 0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)のもとでの利潤最大化問題の解\(\boldsymbol{x}^{\ast }\)は、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の内点すなわち\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合と、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の境界点すなわち\(\mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合の2通りが起こり得ます。特に、\(\boldsymbol{x}^{\ast }\)が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合には端点解（corner solution）と呼びます。この場合、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\ast
}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \exists n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\ast }=0
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。したがって、端点解\(\boldsymbol{x}^{\ast }\)としては以下の2パターンが存在します。

1つ目は、すべての生産要素の投入量がゼロのケースです。この場合、2つの生産要素\(i,j\)を任意に選んだとき、\(\left( A\right) \)より、\begin{eqnarray*}w_{i} &\geq &p\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{i}} \\
w_{j} &\geq &p\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{i}} &\leq
&\frac{w_{i}}{p} \\
\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{j}} &\leq
&\frac{w_{j}}{p}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{equation*}
\frac{\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}\leq \frac{w_{i}}{w_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) \leq \frac{w_{i}}{w_{j}}
\end{equation*}が成り立ちます。

2つ目は、投入量が正の生産要素と投入量がゼロの生産要素が混在しているケースです。つまり、\(x_{i}^{\ast }=0\)を満たす生産要素\(i\)と\(x_{j}^{\ast }>0\)を満たす生産要素\(j\)の双方が存在する場合です。生産要素\(i\)については\(\left( A\right) \)より、\begin{equation*}w_{i}\geq p\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial
x_{i}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}\leq
\frac{w_{i}}{p}
\end{equation*}が成り立ち、生産要素\(j\)については\(\left( B\right) \)より、\begin{equation*}w_{j}=p\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}=\frac{w_{j}}{p}>0
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\frac{\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}\leq \frac{w_{i}}{w_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) \leq \frac{w_{i}}{w_{j}}
\end{equation*}が成り立ちます。

先に解説したように、投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\)において\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) <\frac{w_{i}}{w_{j}}\)が成り立つ場合、生産者は\(1\)単位の生産要素\(i\)を市場で売って\(\frac{w_{i}}{w_{j}}\)単位の生産要素\(j\)を入手した方が得であり、そのような取引を通じて\(\frac{w_{i}}{w_{j}}-MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) \)単位の生産要素\(j\)の分だけ特するため、その余剰を投入すれば利潤を増やすことができます。\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) <\frac{w_{i}}{w_{j}}\)が成り立つ限りにおいて同様の取引を続ける動機がありますが、端点解\(\boldsymbol{x}^{\ast }\)において\(x_{i}^{\ast }=0\)が成立している場合、生産者は生産要素\(i\)をそれ以上減らすことはできません。したがって、内点解の場合とは異なり、端点解\(\boldsymbol{x}^{\ast }\)においては\(MRTS_{ij}\left( \boldsymbol{x}^{\ast }\right) <\frac{w_{i}}{w_{j}}\)という事態が起こり得ます。利潤最大化問題の端点解\(\boldsymbol{x}^{\ast }\)において2つの生産要素の技術的限界代替率と相対価格が一致するとは限らないことの背景にはこのような理由があります。

演習問題