1生産物モデルにおける利潤最大化問題の内点解と端点解

利潤最大化問題の内点解

分析対象である生産者にとって、経済に存在する商品の中でも$N$種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる$1$種類の商品が生産物である状況、すなわち$N$生産要素$1$生産物モデルを想定します。

生産者の技術が生産集合$Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}$ないし生産関数$f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}$として表現されているとともに、利潤最大化を目指す生産者の意思決定が要素需要対応$X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}$と供給対応$Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}$として表現されているものとします。つまり、価格ベクトル$\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}$のもとでの利潤最大化問題\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) \geq y
\end{equation*}の解であるような投入ベクトルおよび産出量からなる集合はそれぞれ、\begin{eqnarray*}
X^{\ast }\left( w,p\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \forall x^{\prime }\in \mathbb{R} _{+}^{N}:pf\left( x\right) -w\cdot x\geq pf\left( x^{\prime }\right) -w\cdot
x^{\prime }\right\} \\
Y^{\ast }\left( w,p\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} _{+}\ |\ x\in X^{\ast }\left( w,p\right) \right\}
\end{eqnarray*}です。要素需要対応$X^{\ast }$と供給対応$Y^{\ast }$が非空値をとる場合、$\left(w,p\right) $のもとでの利潤最大化問題の解$\left( x^{\ast },y^{\ast}\right) \in X^{\ast }\left( w,p\right) \times Y^{\ast }\left( w,p\right) $をとることができますが、生産関数$f$が$C^{1}$級であるとともに$y^{\ast }>0$が成り立つ場合には、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ w\geq p\nabla f\left( x^{\ast }\right) \\
&&\left( B\right) \ \left[ p\nabla f\left( x^{\ast }\right) -w\right] \cdot
x^{\ast }=0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

価格ベクトル$\left( w,p\right) $のもとでの利潤最大化問題の解$\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) $は、$\mathbb{R} _{+}^{N+1}$の内点すなわち$\mathbb{R} _{++}^{N+1}$の点である場合と、$\mathbb{R} _{+}^{N+1}$の境界点すなわち$\mathbb{R} _{+}^{N+1}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N+1}$の点である場合の2通りが起こり得ます。特に、$\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) $が$\mathbb{R} _{++}^{N+1}$の点である場合には内点解（inner solution）と呼びます。この場合、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{i}^{\ast }>0
\end{equation*}が成り立つため、これと$\left( B\right) $より、\begin{equation*}p\nabla f\left( x^{\ast }\right) -w=0
\end{equation*}を得ます。つまり、$\left( A\right) $は等号で成立します。これを具体的に表現すると、\begin{equation*}p\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}-w_{i}=0\quad
\left( i=1,\cdots ,N\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{w_{i}}=\frac{1}{p}\quad \left( i=1,\cdots ,N\right)
\end{equation*}となります。2つの生産要素$i,j$を任意に選んだとき同様の議論が成立するため、\begin{equation*}\frac{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{w_{i}}=\frac{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}{w_{j}}=\frac{1}{p}
\end{equation*}が成り立ちます。特に、$\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}\not=0$である場合には、\begin{equation*}\frac{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}=\frac{w_{i}}{w_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MRTS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{w_{i}}{w_{j}}
\end{equation*}を得ます。

命題（技術的限界代替率と相対価格にもとづく内点解の解釈）

$N$生産要素$1$生産物モデルにおいて生産者の技術が生産集合$Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}$および生産関数$f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}$として表現されているとともに、要素需要対応$X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}$および供給対応$Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}$が非空値をとるものとする。生産関数$f$が$C^{1}$級であるならば、$\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}$のもとでの利潤最大化問題の内点解$\left(x^{\ast },y^{\ast }\right) \in X^{\ast }\left( w,p\right) \times Y^{\ast
}\left( w,p\right) $および任意の商品$i,j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} $について、\begin{equation*}\frac{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{w_{i}}=\frac{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}{w_{j}}
\end{equation*}という関係が成り立つ。特に、$\frac{\partial f\left( x^{\ast}\right) }{\partial x_{j}}\not=0$ならば、\begin{equation*}\frac{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}=\frac{w_{i}}{w_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MRTS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{w_{i}}{w_{j}}
\end{equation*}が成り立つ。

上の命題は、利潤最大化問題の内点解$x^{\ast }$において任意の2つの生産要素$i,j$の間の技術的限界代替率$MRTS_{ij}\left( x^{\ast}\right) $と生産要素の価格比$\frac{w_{i}}{w_{j}}$が一致することを主張していますが、これにはどのような意味があるのでしょうか。

投入ベクトル$x$における技術的限界代替率$MRTS_{ij}\left( x\right) $とは、与えられた投入ベクトルのもとで最大の産出量を実現しようとする生産者が投入ベクトル$x$に直面したとき、この生産者の技術のもとでは、1単位の生産要素$i$が$MRTS_{ij}\left( x\right) $単位の生産要素$j$と代替可能であり、それらを交換しても産出量が$f\left( x\right) $から変化しないことを意味します。一方、相対価格$\frac{w_{i}}{w_{j}}$とは、生産要素$i$の価格が生産要素$j$の価格の何倍であるかを表す指標であり、市場において$1$単位の生産要素$i$と$\frac{p_{i}}{p_{j}}$単位の生産要素$j$が交換可能であることを意味します。

投入ベクトル$x$において$MRTS_{ij}\left( x\right) <\frac{w_{i}}{w_{j}}$が成り立つ場合、生産者は$1$単位の生産要素$i$をそのまま投入するのと、それを市場において生産要素$j$と交換するのとではどちらのほうが望ましいのでしょうか。生産者にとって$1$単位の生産要素$i$は$MRTS_{ij}\left( x\right) $単位の生産要素$j$と代替可能です。一方、$1$単位の生産要素$i$を市場で販売すれば、それと引き換えに$\frac{p_{i}}{p_{j}}$単位の生産要素$j$を入手できます。したがって、$MRTS_{ij}\left( x\right) <\frac{w_{i}}{w_{j}}$が成り立つ場合、生産者は$1$単位の生産要素$i $を市場で売って$\frac{w_{i}}{w_{j}} $単位の生産要素$j$を入手した方が得であり、そのような取引を通じて$\frac{w_{i}}{w_{j}}-MRTS_{ij}\left(x\right) $単位の生産要素$j$の分だけ特するため、その余剰を投入すれば利潤を増やすことができます。技術的限界代替率逓減の法則が成り立つ場合、生産要素$i$の投入量$x_{i}$を減らして生産要素$j$の投入量$x_{j}$を増やすと$MRTS_{ij}\left( x\right) $が増加するため、先の取引の結果、$MRTS_{ij}\left( x\right) $と$\frac{w_{i}}{w_{j}}$の差が縮小します。

逆に、$MRTS_{ij}\left( x\right) >\frac{w_{i}}{w_{j}}$が成り立つ場合、これは$MRTS_{ji}\left( x\right) <\frac{w_{j}}{w_{i}}$を意味するため、上の議論において生産要素$i$と生産要素$j$を入れ替えた議論がそのまま成立します。つまりこの場合、生産者は$1$単位の生産要素$j $を市場で販売して$\frac{w_{j}}{w_{i}}$単位の生産要素$i$を入手した方が得であり、そのような取引を通じて$\frac{w_{j}}{w_{i}}-MRTS_{ji}\left(x\right) $単位の生産要素$i$の分だけ特するため、その余剰を投入すれば利潤を増やすことができます。技術的限界代替率逓減の法則が成り立つ場合、生産要素$j$の投入量$x_{j}$を減らして生産要素$i$の投入量$x_{i}$を増やすと$MRTS_{ij}\left( x\right) $が減少するため、先の取引の結果、$MRTS_{ij}\left( x\right) $と$\frac{w_{i}}{w_{j}}$の差が縮小します。

同様の議論は任意の生産要素$i,j$の間に成立します。その結果、最終的には、任意の生産要素$i,j$について$MRTS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{w_{i}}{w_{j}}$が成立するような投入ベクトル$x^{\ast }$が主体的均衡になります。利潤最大化問題の解$x^{\ast }$において任意の2つの生産要素の技術的限界代替率$MRTS_{ij}\left( x^{\ast }\right) $と相対価格$\frac{w_{i}}{w_{j}}$が一致することの背景にはこのようなメカニズムがあります。

技術的限界変形率と相対価格にもとづく利潤最大化問題の端点解の解釈

繰り返しになりますが、要素需要対応$X^{\ast }$と供給対応$Y^{\ast }$が非空値をとる場合、$\left( w,p\right) $のもとでの利潤最大化問題の解$\left( x^{\ast },y^{\ast }\right)\in X^{\ast }\left( w,p\right) \times Y^{\ast }\left( w,p\right) $をとることができますが、生産関数$f$が$C^{1}$級であるとともに$y^{\ast }>0$が成り立つ場合には、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ w\geq p\nabla f\left( x^{\ast }\right) \\
&&\left( B\right) \ \left[ p\nabla f\left( x^{\ast }\right) -w\right] \cdot
x^{\ast }=0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

価格ベクトル$\left( w,p\right) $のもとでの利潤最大化問題の解$\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) $は、$\mathbb{R} _{+}^{N+1}$の内点すなわち$\mathbb{R} _{++}^{N+1}$の点である場合と、$\mathbb{R} _{+}^{N+1}$の境界点すなわち$\mathbb{R} _{+}^{N+1}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N+1}$の点である場合の2通りが起こり得ます。特に、$\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) $が$\mathbb{R} _{+}^{N+1}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N+1}$の点である場合には端点解（corner solution）と呼びます。この場合、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{i}^{\ast
}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{i}^{\ast }=0
\end{eqnarray*}が成り立つため、$x_{i}^{\ast}=0$を満たす生産要素$i$と$x_{j}^{\ast }>0$を満たす生産要素$j$をとることができます。生産要素$i$については$\left( A\right) $より、\begin{equation*}w_{i}\geq p\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}
\end{equation*}が成り立ち、生産要素$j$については$\left( B\right) $より、\begin{equation*}w_{j}=p\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\frac{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}{w_{j}}\geq
\frac{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{w_{i}}
\end{equation*}を得ます。特に、$\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}\not=0$である場合には、\begin{equation*}\frac{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}\leq \frac{w_{i}}{w_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MRTS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \leq \frac{w_{i}}{w_{j}}
\end{equation*}が成り立ちます。

命題（技術的限界代替率と相対価格にもとづく端点解の解釈）

$N$生産要素$1$生産物モデルにおいて生産者の技術が生産集合$Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}$および生産関数$f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}$として表現されているとともに、要素需要対応$X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}$および供給対応$Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}$が非空値をとるものとする。生産関数$f$が$C^{1}$級であるならば、$\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}$のもとでの利潤最大化問題の端点解$\left(x^{\ast },y^{\ast }\right) \in X^{\ast }\left( w,p\right) \times Y^{\ast
}\left( w,p\right) $および$x_{i}^{\ast }=0$を満たす生産要素$i$と$x_{j}^{\ast }>0$を満たす生産要素\)j$をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\frac{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{w_{i}}\leq
\frac{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}{w_{j}}
\end{equation*}という関係が成り立つ。特に、$\frac{\partial f\left( x^{\ast}\right) }{\partial x_{j}}\not=0$ならば、\begin{equation*}\frac{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}\leq \frac{w_{i}}{w_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MRTS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \leq \frac{w_{i}}{w_{j}}
\end{equation*}が成り立つ。

先に解説したように、投入ベクトル$x$において$MRTS_{ij}\left( x\right) <\frac{w_{i}}{w_{j}}$が成り立つ場合、生産者は$1$単位の生産要素$i$を市場で売って$\frac{w_{i}}{w_{j}}$単位の生産要素$j$を入手した方が得であり、そのような取引を通じて$\frac{w_{i}}{w_{j}}-MRTS_{ij}\left( x\right) $単位の生産要素$j$の分だけ特するため、その余剰を投入すれば利潤を増やすことができます。$MRTS_{ij}\left( x\right) <\frac{w_{i}}{w_{j}}$が成り立つ限りにおいて同様の取引を続ける動機がありますが、端点解$x^{\ast }$では$x_{i}^{\ast }=0$が成立しているため、生産者は生産要素$i$をそれ以上減らすことはできません。したがって、内点解の場合とは異なり、端点解$x^{\ast }$においては$MRTS_{ij}\left( x^{\ast }\right) <\frac{w_{i}}{w_{j}}$という事態が起こり得ます。利潤最大化問題の端点解$x^{\ast }$において2つの生産要素の技術的限界代替率と相対価格が一致するとは限らないことの背景にはこのような理由があります。