制約付き要素需要における非超過投入

制約付き要素需要における非超過投入

分析対象である生産者にとって、経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる\(1\)種類の商品が生産物である状況、すなわち\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルを想定します。

生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)ないし生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているとともに、費用最小化を目指す生産者の意思決定が制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。ただし、\(P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)は目標産出量がとり得る値からなる集合であり、\begin{equation*}P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \exists x\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}です。制約要素需要対応の定義より、要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)のもとでの費用最小化問題\begin{equation*}\min_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) \geq q
\end{equation*}の解であるような投入ベクトルからなる集合は、\begin{equation*}
Z^{\ast }\left( w,q\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ f\left( x\right) \geq q\wedge \forall x^{\prime }\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left[ f\left( x^{\prime }\right) \geq q\Rightarrow w\cdot
x^{\prime }\geq w\cdot x\right] \right\}
\end{equation*}です。制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }\)が非空値をとる場合には\(\left( w,q\right) \)のもとでの費用最小化問題の解\(x^{\ast }\in Z^{\ast }\left(w,q\right) \)をとることができます。費用最小化問題の定義より、\(x^{\ast }\)は目標産出量以上の産出をもたらすため、\begin{equation*}f\left( x^{\ast }\right) \geq q
\end{equation*}が成り立ちます。このとき、論理的な可能性として\(f\left( x^{\ast }\right) >q\)と\(f\left( x^{\ast }\right) =q\)の2通りがありますが、生産関数\(f\)が連続である場合には\(f\left( x^{\ast }\right) >q\)は起こり得ず、したがって、\begin{equation*}f\left( x^{\ast }\right) =q
\end{equation*}が成り立つことが保証されます（演習問題）。つまり、費用最小化問題の解において消費者は目標産出量に等しい産出を実現するような投入を行います。

制約付き要素需要関数\(z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する場合には、要素価格と目標産出量\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)のもとでの費用最小化問題の解からなる集合は常に1点集合であり、\begin{equation*}\forall \left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) :Z^{\ast }\left( w,q\right) =\left\{ z^{\ast }\left( w,q\right)
\right\}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。先と同様の議論を繰り返すことにより、制約付き要素需要関数に関しても先と同様の主張が成り立つことが示されます。

制約付き要素需要における非超過投入を踏まえた費用最小化問題

1生産物モデルにおいて生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)ないし生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されている場合、要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)のもとでの費用最小化問題は、\begin{equation*}\min_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) \geq q
\end{equation*}と定式化されます。生産関数\(f\)が連続である場合には制約付き要素需要において生産者は目標産出量に等しい産出を実現するような投入を行うため、この場合、費用最小化問題を、\begin{equation*}\min_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) =q
\end{equation*}と表現しても一般性は失われません。つまり、この場合の費用最小化問題は、目標産出量に等しい産出を実現する投入ベクトルの中でも最小の費用で実現するものを特定する最適化問題になります。

演習問題