1生産物モデルにおける費用最小化問題の解法

費用最小化問題の解であるための必要条件

これまでは\(N\)生産要素\(1 \)生産物モデルにおける費用最小化問題に解が存在するための条件や、解が存在する場合に制約付き要素需要対応が満たす性質について考察してきました。ここでは、費用最小化問題の解が存在することが保証される場合に解を具体的に求める方法や、凸解析を用いて費用最小化問題の解を特定する方法について解説します。

生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)ないし生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているとともに、費用最小化を目指す生産者の意思決定が制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。つまり、要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)のもとでの費用最小化問題\begin{equation*}\min_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) \geq q
\end{equation*}の解であるような投入ベクトルからなる集合は、\begin{equation*}
Z^{\ast }\left( w,q\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ f\left( x\right) \geq q\wedge \forall x^{\prime }\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left[ f\left( x^{\prime }\right) \geq q\Rightarrow w\cdot
x^{\prime }\geq w\cdot x\right] \right\}
\end{equation*}です。加えて、制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }\)が非空値をとる場合には、\(\left( w,q\right) \)のもとでの費用最小化問題の解\(x^{\ast }\in Z^{\ast }\left( w,q\right) \)をとることができます。費用最小化問題の定義より、これは以下のような不等式制約下での最適化問題
$$\begin{array}{cl}\min\limits_{x\in \mathbb{R} ^{N}} & w\cdot x \\
s.t. & f\left( x\right) \geq q \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$
の解です。\(x^{\ast }\)が満たすべき条件をクーン・タッカーの定理より明らかにします。

クーン・タッカーの定理を利用する上で見通しを良くするために、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}g_{0}\left( x\right) &=&q-f\left( x\right) \\
g_{i}\left( x\right) &=&-x_{i}\quad \left( i=1,\cdots ,N\right)
\end{eqnarray*}を定める多変数関数\(g_{i}:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=0,1,\cdots ,N\right) \)をそれぞれ定義すると、先の費用最小化問題を以下の制約付き最小化問題
$$\begin{array}{cl}\min\limits_{x\in \mathbb{R} ^{N}} & w\cdot x \\
s.t. & g_{0}\left( x\right) \leq 0 \\
& g_{1}\left( x\right) \leq 0 \\
& \vdots \\
& g_{N}\left( x\right) \leq 0\end{array}$$
として表現できます。この問題に対してクーン・タッカーの定理を利用するためには、上の問題の解\(x^{\ast }\)が制約想定（constraint qualification）を満たすことを確認しておく必要があります。制約想定として様々なバリエーションがありますが、ここでは最適解\(x^{\ast }\)においてバインドする関数\(g_{i}\)の点\(x^{\ast }\)における勾配ベクトルどうしが1次独立であること、すなわち、以下の集合\begin{equation*}B\left( x^{\ast }\right) =\left\{ \nabla g_{i}\left( x^{\ast }\right) \in \mathbb{R} ^{N}\ |\ i\in \left\{ 0,1,\cdots ,N\right\} \ \text{s.t.}\ g_{i}\left(
x^{\ast }\right) =0\right\}
\end{equation*}の要素であるベクトルが1次独立であるという条件を採用します。これを正規条件（regularity condition）と呼びます。結論から言うと、目標産出量が、\begin{equation*}
q>f\left( 0\right)
\end{equation*}を満たすとともに、生産関数\(f\)が\(C^{1}\)級であり、なおかつ、任意の商品\(i\)について、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}\not=0
\end{equation*}が成り立つのであれば正規条件は満たされます（演習問題）。目的関数\(w\cdot x\)は明らかに\(C^{1}\)級であるため、このときクーン・タッカーの定理を利用できます。つまり、ラグランジュ乗数法を用いて最適解\(x^{\ast }\)が満たす条件を特定できるということです。すると以下の命題を得ます（演習問題）。

この命題は、与えられた費用最小化問題に解が存在することが判明している状況において、解を具体的に特定するために利用されるものであることに注意してください。具体的には、要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) \)のもとでの費用最小化問題に解\(x^{\ast }\)が存在することが判明しており、なおかつ生産関数\(f\)が\(C^{1}\)級であるとともに、目標産出量\(q\)が、\begin{equation*}q>f\left( 0\right)
\end{equation*}を満たし、さらに、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial f\left( x^{\ast
}\right) }{\partial x_{i}}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、クーン・タッカー条件を満たす投入ベクトルのみが費用最小化問題の解の候補になり得るため、そのような投入ベクトルをすべて特定した上で、その中で最小の費用を実現するものを特定すればよいということになります。では、\(q\leq f\left( 0\right) \)を満たす目標産出量\(q\)のもとでの費用最小化問題についてはどのように考えればよいでしょうか。この場合、\(x^{\ast }=0\)が明らかに費用最小化問題の解になります。

費用最小化問題の解であるための必要十分条件

費用最小化問題に解が存在する場合、その解が満たす条件をクーン・タッカー条件として表現しました。ただ、この条件は投入ベクトルが費用最小化問題の解であるための必要条件であり、十分条件ではありません。つまり、クーン・タッカー条件を満たす投入ベクトルの中には費用最小化問題の解ではないものが含まれる可能性があるため、費用最小化問題の解を特定するためには、クーン・タッカー条件を満たす投入ベクトルどうしを比較し、その中から費用を最小化するものを特定する必要があります。ただ、一定の条件のもとでは、クーン・タッカー条件は投入ベクトルが費用最小化問題の解であるための必要十分条件になります。順番に解説します。

繰り返しになりますが、費用最小化問題に相当する制約付き最小化問題

$$\begin{array}{cl}\min\limits_{x\in \mathbb{R} ^{N}} & w\cdot x \\
s.t. & g_{0}\left( x\right) \leq 0 \\
& g_{1}\left( x\right) \leq 0 \\
& \vdots \\
& g_{N}\left( x\right) \leq 0\end{array}$$
に解\(x^{\ast }\)が存在する場合、\(x^{\ast }\)が正規条件を満たすのであれば、\(x^{\ast }\)はクーン・タッカー条件を満たします。以下では、正規条件とは異なる制約想定であるスレーター条件（Slater’s condition）を導入します。これは、すべての関数\(g_{i}\ \left( i=1,\cdots,N\right) \)が凸関数であるとともに、やはりすべての関数\(g_{i}\)に対して、\begin{equation*}g_{i}\left( x\right) <0
\end{equation*}を満たす点\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在するという条件です。

生産関数\(f\)が凹関数であれば関数\(g_{0}\left( x\right) =q-f\left(x\right) \)は凸関数です。関数\(g_{i}\left( x\right) =-x_{i}\ \left( i=1,\cdots ,N\right) \)は線型であるため凸関数です。もう一方の条件に関しては、\(g_{0}\left(x\right) <0\)は\(q<f\left( x\right) \)を意味し、\(g_{i}\left( x\right) <0\)は\(x_{i}>0\)を意味するため、結局、目標産出量\(q\)よりも高い産出を実現するような投入ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)の存在が要求されています。ただし、この投入ベクトル\(x\)のすべての成分は正の実数（非負ではない）であることに注意してください。以上の条件が満たされる場合にはスレーター条件が満たされます。さらに、目的関数\(w\cdot x\)は線形であるため\(C^{1}\)級であり、したがってクーン・タッカーの定理を利用できます。つまり、最適解\(x^{\ast }\)がクーン・タッカー条件を満たすことを保証できるということです。加えて、目的関数\(w\cdot x\)は線型であるため凸関数であり、したがってクーン・タッカー条件は最適解のための必要条件であるだけでなく、十分条件にもなります。

費用最小化問題の解き方

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)および生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているものとします。先の2つの命題を踏まえると、価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)のもとでの費用最小化問題\begin{equation*}\min_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) \geq q
\end{equation*}の解法を以下のようにまとめることができます。

1. 生産関数\(f\)が\(C^{1}\)級の凹関数であるとともに、\begin{equation*}\exists x\in \mathbb{R} _{++}^{N}:f\left( x\right) >q\end{equation*}が成り立つ場合には、クーン・タッカー条件を満たす投入ベクトルが存在するか検討する。そのような投入ベクトルが存在する場合、それは費用最小化問題の解である。逆に、そのような投入ベクトルが存在しない場合には、費用最小化問題の解が存在しないとまで言える。
2. 生産関数\(f\)が\(C^{1}\)級である一方で凹関数ではないものの、何らかの根拠により費用最小化問題に解が存在することが保証される場合には、クーン・タッカー条件を満たす投入ベクトルが費用最小化問題の解の候補となる。具体的には、目標産出量が\(q>f\left( 0\right) \)を満たすとともに、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{i}}\not=0\end{equation*}が成り立つ場合には、与えられた要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) \)のもとでクーン・タッカーの条件を満たす生産ベクトルを特定し、その中から最小の費用で実現できるものを特定すれば、それは費用最小化問題の解である。目標産出量が\(q=f\left( 0\right) \)を満たす場合、\(x^{\ast }=0\)が費用最小化問題の解である。

演習問題