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PRODUCER THEORY

供給関数

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供給対応

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が与えられたとき、価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)のもとでの利潤最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad \text{s.t.}\quad y\in Y
\end{equation*}として定義されます。一般に、\(p\)のもとでの利潤最大化問題には解は存在するとは限りませんし、解が存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そのような事情を踏まえた上で、\(p\)のもとでの利潤最大化問題の解であるような生産ベクトルからなる集合を\(Y^{\ast}\left( p\right) \)で表記します。つまり、\begin{equation*}Y^{\ast }\left( p\right) =\left\{ y\in Y\ |\ \forall z\in Y:p\cdot y\geq
p\cdot z\right\}
\end{equation*}です。さらに、それぞれの\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して\(Y^{\ast }\left( p\right) \subset Y\)を像として定める対応\begin{equation*}Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y
\end{equation*}を供給対応(supply correspondence)や純供給対応(net supply correspondence)などと呼びます。

例(供給対応)
2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}\leq -y_{1}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします(下図)。

図:生産集合
図:生産集合

この\(Y\)は連続性を満たすため、価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題を、\begin{equation*}\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}\quad \text{s.t.}\quad \left( y_{1},y_{2}\right)
\in Y^{f}
\end{equation*}と表現できます。解の導出方法は改めて解説しますが、結論を述べると、供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\twoheadrightarrow Y\)はそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}Y^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\left\{ \left( 0,0\right) \right\} & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right) \\
\left\{ \left( t,-t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\leq 0\right\} & \left( if\ p_{1}=p_{2}\right) \\
\phi & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。つまり、\(p_{1}\geq p_{2}\)を満たす\(\left(p_{1},p_{2}\right) \)に対しては利潤最大化問題の解が存在しますが、\(p_{1}<p_{2}\)を満たす\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)に対しては利潤最大化問題の解が存在しません。

供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)が与えられたとき、価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{equation*}Y^{\ast }\left( p\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(Y^{\ast }\)が\(p\)において非空値をとることは、\(p\)のもとでの利潤最大化問題に解が存在することを意味します。さらに、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N}:Y^{\ast }\left( p\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(Y^{\ast }\)が非空値をとることは、価格ベクトルの水準に関わらず、利潤最大化問題には必ず解が存在することを意味します。では、どのような条件のもとで\(Y^{\ast }\)は非空値をとるのでしょうか。ベルジュの最大値定理を用いることにより以下の命題が導かれます。

命題(利潤最大化問題に解が存在するための条件)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が連続性操業停止可能性無償廃棄可能性凸性中立性を満たす場合、供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応となる。
証明

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例(供給対応)
2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします(下図)。

図:変換関数
図:変換関数

この\(Y\)は連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たすため、上の命題より、供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)は非空値をとります。つまり、価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}\quad \text{s.t.}\quad \left( y_{1},y_{2}\right)
\in Y^{f}
\end{equation*}と表現されますが、\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)の水準に依らず、上の問題に必ず解が存在することが保証されます。解の導出方法は改めて解説しますが、結論を述べると、供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\twoheadrightarrow Y\)はそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}Y^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) =\left\{ \left( -\frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}^{2}},\frac{p_{2}}{2p_{1}}\right) \right\}
\end{equation*}を定めます。

 

供給関数

供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)が非空値をとるとともに、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N}:\left\vert Y^{\ast }\left( p\right) \right\vert =1
\end{equation*}を満たす場合には、価格ベクトルの水準に関わらず、利潤最大化問題には必ず解が1つずつ存在することを意味します。この場合、集合\(Y^{\ast }\left( p\right) \)とその唯一の要素を同一視することにより、供給対応\(Y^{\ast }\)を\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)から\(Y\)への写像とみなすことができます。そこで、改めてそのような写像を、\begin{equation*}y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow Y
\end{equation*}と表記し、これを供給関数(supply function)と呼びます。定義より、供給対応\(Y^{\ast }\)と供給関数\(y^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N}:Y^{\ast }\left( p\right) =\left\{ y^{\ast }\left( p\right)
\right\}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

供給対応\(y^{\ast }\)がそれぞれの\(p\)に対して定める像\(y^{\ast }\left( p\right) \)は生産ベクトルであるため、その成分を明示的に表現する場合には、\begin{equation*}y^{\ast }(p)=\left(
\begin{array}{c}
y_{1}^{\ast }\left( p\right) \\
\vdots \\
y_{N}^{\ast }\left( p\right)
\end{array}\right) \in Y
\end{equation*}と表記します。ただ、多くの場合、スペースの制約を考慮した上で、これを行ベクトル\begin{equation*}
y^{\ast }(p)=\left( y_{1}^{\ast }\left( p\right) ,\cdots ,y_{N}^{\ast
}\left( p\right) \right) \in Y
\end{equation*}として表記することもできるものとします。本来、列ベクトルと行ベクトルは数学的には互いに区別されるべき概念ですが、ここでは特に断りのない限り両者を同一視し、両者は交換可能であるものとします。

供給対応\(Y^{\ast }\)が非空値をとるための条件は先に明らかにしましたが、では、どのような条件のもとで供給関数\(y^{\ast }\)が存在するのでしょうか。生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たす場合、供給対応\(Y^{\ast }\)が非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になることは先に指摘した通りです。さらに、凸性を狭義凸性に強めれば、それぞれの\(p\)において利潤最大化問題の解が一意的であることが示されるため(演習問題)、供給対応\(Y^{\ast }\)がそれぞれの\(p\)に対して定める集合が1点集合であること、すなわち供給関数\(y^{\ast }\)が存在することが保証されます。加えて、供給対応\(Y^{\ast }\)が上半連続であることと供給関数\(y^{\ast }\)が連続であることは必要十分であるため(演習問題)、供給関数\(y^{\ast }\)が連続であることも保証されます。

命題(供給関数が存在するための条件)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、狭義凸性、中立性を満たす場合、供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow Y\)が存在するとともに、\(y^{\ast }\)は連続関数になる。
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