純供給関数

純供給対応

生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)ないし変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているものとします。価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に直面した生産者が解くべき利潤最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad \text{s.t.}\quad y\in Y
\end{equation*}または\begin{equation*}
\max_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad \text{s.t.}\quad F\left( y\right) \leq 0
\end{equation*}として定式化されます。

一般に、\(p\)のもとでの利潤最大化問題には解は存在するとは限りませんし、解が存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そのような事情を踏まえた上で、\(p\)のもとでの利潤最大化問題の解であるような生産ベクトルからなる集合を\(Y^{\ast }\left(p\right) \)で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}Y^{\ast }\left( p\right) &=&\left\{ y\in Y\ |\ \forall z\in Y:p\cdot y\geq
p\cdot z\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ F\left( y\right) \leq 0\wedge \forall z\in Y:p\cdot y\geq p\cdot
z\right\}
\end{eqnarray*}です。さらに、それぞれの\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して\(Y^{\ast }\left( p\right) \subset Y\)を像として定める対応\begin{equation*}Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y
\end{equation*}を定義し、これを純供給対応（net supply correspondence）や供給対応（supply correspondence）などと呼びます。

例（純供給対応）

2財モデルにおいて生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq -y_{1}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}\quad \text{s.t.}\quad \left( y_{1},y_{2}\right)
\in Y
\end{equation*}ですが、これを、\begin{equation*}
\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}\quad \text{s.t.}\quad \left( y_{1},y_{2}\right)
\in Y^{f}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}\quad \text{s.t.}\quad y_{1}\leq 0\wedge
y_{2}=-y_{1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}}\left( p_{1}-p_{2}\right) y_{1}\quad \text{s.t.}\quad y_{1}\leq 0\wedge
y_{2}=-y_{1}
\end{equation*}としても一般性は失われません。したがって、純供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\twoheadrightarrow Y\)がそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して定める値は、\begin{equation*}Y^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\left\{ \left( 0,0\right) \right\} & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right) \\
\left\{ \left( t,-t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\leq 0\right\} & \left( if\ p_{1}=p_{2}\right) \\
\phi & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。つまり、\(p_{1}\geq p_{2}\)を満たす\(\left(p_{1},p_{2}\right) \)に対して利潤最大化問題の解が存在しますが、\(p_{1}<p_{2}\)を満たす\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)に対して利潤最大化問題の解が存在しません。

純供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)が与えられたとき、価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{equation*}Y^{\ast }\left( p\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(Y^{\ast }\)が\(p\)において非空値をとることは、\(p\)のもとでの利潤最大化問題に解が存在することを意味します。さらに、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N}:Y^{\ast }\left( p\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(Y^{\ast }\)が非空値をとることは、価格ベクトルの水準に関わらず、利潤最大化問題には必ず解が存在することを意味します。では、どのような条件のもとで\(Y^{\ast }\)は非空値をとるのでしょうか。ベルジュの最大値定理を用いることにより以下の命題が導かれます。

変換関数\(F\)が連続である場合に生産集合\(Y\)は連続性を満たし、\begin{equation*}F\left( 0\right) \leq 0
\end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は操業停止可能性を満たし、\begin{equation*}\forall y,y^{\prime }\in \mathbb{R} ^{N}:\left[ \left( F\left( y\right) \leq 0\wedge y^{\prime }\leq y\right)
\Rightarrow F\left( y^{\prime }\right) \leq 0\right] \end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は無償廃棄可能性を満たし、\(F\)が準凸関数であるならば\(Y\)は凸性を満たし、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{R} ^{N}:\left[ v\not\in \mathbb{R} _{-}^{N}\Rightarrow \exists y\in \mathbb{R} ^{N}:F\left( y\right) \leq 0\wedge F\left( y+v\right) >0\right] \end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は中立性を満たします。したがって、\(F\)が以上の条件を満たす場合には上の命題が要求する条件がすべて満たされるため、純供給対応\(Y^{\ast }\)が非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になることが保証されます。

例（純供給対応）

2財モデルにおいて生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

この生産集合\(Y\)は連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たすため、先の命題より、純供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になります。

例（純供給対応）

2財モデルにおいて生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq -y_{1}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

この生産集合\(Y\)は中立性を満たさないため、先の命題を適用できず、したがって純供給対応\(Y^{\ast }\)が非空値をとることを保証できません。実際、先に示したように、\(p_{1}<p_{2}\)を満たす\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)に対して利潤最大化問題は解を持ちません。

純供給関数

純供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)が非空値をとるとともに、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N}:\left\vert Y^{\ast }\left( p\right) \right\vert =1
\end{equation*}を満たす場合には、価格ベクトルの水準に関わらず、利潤最大化問題には必ず解が1つずつ存在することを意味します。この場合、集合\(Y^{\ast }\left( p\right) \)とその唯一の要素を同一視することにより、供給対応\(Y^{\ast }\)を\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)から\(Y\)への写像とみなすことができます。そこで、改めてそのような写像を、\begin{equation*}y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow Y
\end{equation*}で表記し、これを純供給関数（net supply function）や供給関数（supply function）などと呼びます。定義より、純供給対応\(Y^{\ast }\)と純供給関数\(y^{\ast} \)の間には、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N}:Y^{\ast }\left( p\right) =\left\{ y^{\ast }\left( p\right) \right\}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

純供給関数\(y^{\ast }\)がそれぞれの\(p\)に対して定める像\(y^{\ast }\left( p\right) \)は生産ベクトルであるため、その成分を明示的に表現したい場合には、\begin{equation*}y^{\ast }(p)=\left(
\begin{array}{c}
y_{1}^{\ast }\left( p\right) \\
\vdots \\
y_{N}^{\ast }\left( p\right)\end{array}\right) \in Y
\end{equation*}と表記します。多くの場合、これを行ベクトル\begin{equation*}
y^{\ast }(p)=\left( y_{1}^{\ast }\left( p\right) ,\cdots ,y_{N}^{\ast
}\left( p\right) \right) \in Y
\end{equation*}として表記することもできるものとします。本来、列ベクトルと行ベクトルは数学的には互いに区別されるべき概念ですが、ここでは特に断りのない限り両者を同一視し、両者は交換可能であるものとします。

純供給対応\(Y^{\ast }\)が非空値をとるための条件は先に明らかにしましたが、では、どのような条件のもとで純供給関数\(y^{\ast }\)が存在するのでしょうか。生産集合\(Y\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たす場合、純供給対応\(Y^{\ast }\)が非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になることは先に指摘した通りです。さらに、凸性を狭義凸性に強めれば、それぞれの\(p\)において利潤最大化問題の解が一意的であることが示されるため（演習問題）、純供給対応\(Y^{\ast }\)がそれぞれの\(p\)に対して定める集合が1点集合であること、すなわち純供給関数\(y^{\ast }\)が存在することが保証されます。加えて、純供給対応\(Y^{\ast }\)が上半連続であることと純供給関数\(y^{\ast }\)が連続であることは必要十分であるため（演習問題）、純供給関数\(y^{\ast }\)が連続であることも保証されます。

変換関数\(F\)が連続である場合に生産集合\(Y\)は連続性を満たし、\begin{equation*}F\left( 0\right) \leq 0
\end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は操業停止可能性を満たし、\begin{equation*}\forall y,y^{\prime }\in \mathbb{R} ^{N}:\left[ \left( F\left( y\right) \leq 0\wedge y^{\prime }\leq y\right)
\Rightarrow F\left( y^{\prime }\right) \leq 0\right] \end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は無償廃棄可能性を満たし、\(F\)が狭義準凸関数であるならば\(Y\)は狭義凸性を満たし、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{R} ^{N}:\left[ v\not\in \mathbb{R} _{-}^{N}\Rightarrow \exists y\in \mathbb{R} ^{N}:F\left( y\right) \leq 0\wedge F\left( y+v\right) >0\right] \end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は中立性を満たします。\(F\)が以上の条件を満たす場合には上の命題が要求する条件がすべて満たされるため、連続な純供給関数\(y^{\ast }\)が存在することが保証されます。

演習問題