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PRODUCER THEORY

変換関数(生産関数)

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変換関数

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)は生産者が技術的に選択可能なすべての生産ベクトルからなる集合であるため、生産者の技術は生産集合\(Y\)の形状として表現されます。一方、生産者の技術を関数を用いて表現することもできます。具体的には、生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が与えられたとき、ある関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意の\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ y\in Y\Leftrightarrow F\left( y\right) \leq 0 \\
&&\left( b\right) \ y\in Y^{f}\Leftrightarrow F\left( y\right) =0
\end{eqnarray*}という関係がともに成り立つ場合には、この関数\(F\)を変換関数(transformation function)と呼びます。ただし、\(Y^{f}\)は\(Y\)の境界です。

条件\(\left( a\right) \)は、生産ベクトル\(y\)が実行可能であることと、\(F\)が\(y\)に対して定める値が非正であることが必要十分であることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は、生産ベクトル\(y\)が生産集合\(Y\)の境界点であることと、\(F\)が\(y\)に対して定める値がゼロであることが必要十分であることを意味します。以上の定義より、\begin{eqnarray*}Y &=&\left\{ y\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ F\left( y\right) \leq 0\right\} \\
Y^{f} &=&\left\{ y\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ F\left( y\right) =0\right\}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。

例(変換関数)
2種類の商品が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として、変換フロンティア\(Y^{f}\)がその境界として描かれています。\(Y\)上の任意の点において\(F\left( y_{1},y_{2}\right) \leq 0\)が成り立ち、\(Y^{f}\)上の任意の点において\(F\left(y_{1},y_{2}\right) =0\)が成り立ち、それ以外の任意の点において\(F\left( y_{1},y_{2}\right) >0\)が成り立ちます。
図:変換関数
図:変換関数

変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)が\(F\left( y\right) \leq 0\)を満たす場合には\(F\)の定義より\(y\in Y\)が成り立つため、生産者にとって\(y\)は技術的に選択可能な生産ベクトルです。一方、\(F\left( y\right) >0\)を満たす場合にはやはり\(F\)の定義より\(y\not\in Y\)が成り立つため、生産者にとって\(y\)は技術的に選択不可能です。以上を踏まえると、変換関数\(F\)が\(y\)に対して定める値\(F\left(y\right) \)は、生産者が\(y\)を実行するために必要な技術進歩の程度と解釈できます。つまり、\(F\left( y\right) >0\)が成り立つ場合、生産者は\(y\)を実行するために正の技術進歩が必要であり、現在の技術水準では\(y\)を実行できないということです。\(F\left( y\right) \leq 0\)の場合には反対の関係が成り立ちます。

 

生産関数

経済に存在する商品が\(N\)種類の生産要素と\(M\)種類の生産物に区別可能である場合、それぞれの生産ベクトルは投入ベクトルと産出ベクトルの組\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)として表現されるため、生産集合は\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)を満たす集合として定義されます。このような状況において、変換関数に相当する概念は以下のように定式化されます。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)が与えられたとき、それぞれの投入ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して産出ベクトル\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} _{+}^{M}\)を定める関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{M}
\end{equation*}が存在するとともに、任意の生産ベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( x,y\right) \in Y\Leftrightarrow f\left( x\right)
\geq y \\
&&\left( b\right) \ \left( x,y\right) \in Y^{f}\Leftrightarrow f\left(
x\right) =y
\end{eqnarray*}という関係をともに満たす場合には、この関数\(f\)を生産関数(production function)と呼びます。ただし、\(Y^{f}\)は\(Y\)の境界、すなわち変換フロンティアです。

条件\(\left( a\right) \)は、生産ベクトル\(\left( x,y\right) \)が実行可能であることと、\(f\)が\(x\)に対して定める産出ベクトルが\(y\)以上であることが必要十分であることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は、生産ベクトル\(\left( x,y\right) \)が生産集合\(Y\)の境界点であることと、\(f\)が\(x\)に対して定める産出ベクトルが\(y\)と一致することが必要十分であることを意味します。以上の定義より、\begin{eqnarray*}Y &=&\left\{ y\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ f\left( x\right) \geq y\right\} \\
Y^{f} &=&\left\{ y\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ f\left( x\right) =y\right\}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。

例(生産関数)
経済に存在する商品が\(N\)種類の生産要素と\(1\)種類の生産物に区別可能である場合、生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)として表されるため、生産集合は\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)を満たす集合として定義されます。生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの投入ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して産出量\(f\left(x\right) \in \mathbb{R} _{+}\)を定める関数であり、任意の生産ベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( x,y\right) \in Y\Leftrightarrow f\left( x\right)
\geq y \\
&&\left( b\right) \ \left( x,y\right) \in Y^{f}\Leftrightarrow f\left(
x\right) =y
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されます。ただし、\(Y^{f}\)は\(Y\)の境界、すなわち変換フロンティアです。具体例として、生産要素と生産物が1種類ずつ存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{2}\)が下図のグレーの領域として、変換フロンティア\(Y^{f}\)がその境界として描かれています。ただし、\(x\)が生産要素の投入量、\(y\)が生産物の生産量です。\(Y\)上の任意の点において\(f\left( x\right) \geq y\)が成り立ち、\(Y^{f}\)上の任意の点において\(f\left( x\right) =y\)が成り立ち、それ以外の任意の点において\(f\left(x\right) <y\)が成り立ちます。
図:生産関数
図:生産関数
例(生産関数)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{3}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって表現されているものとします。つまり、\begin{equation*}Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\geq y\right\}
\end{equation*}です。
例(生産関数)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{3}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+2x_{2}
\end{equation*}を定める生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって表現されているものとします。つまり、\begin{equation*}Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}+2x_{2}\geq y\right\}
\end{equation*}です。
例(生産関数)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{3}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2}\right\}
\end{equation*}を定める生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって表現されているものとします。つまり、\begin{equation*}Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ \min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2}\right\} \geq y\right\}
\end{equation*}です。

生産関数が投入ベクトルに対して定める値は、その投入から達成可能な最大の産出量に相当します。

命題(生産関数の解釈)

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)に対して生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{M}\)が存在するとき、生産ベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =y
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\left( x,y\right) \)が実行可能であるとともに、投入\(x\)のもとで達成可能な最大の産出ベクトルが\(y\)であること、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( x,y\right) \in Y \\
&&\left( b\right) \ \forall y^{\prime }\in P\left( x\right) :y\geq y^{\prime
}
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味する。ただし、\(P\left( x\right) \)は\(x\)のもとでの可能産出量集合である。

証明

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次回は生産集合が非空であるという仮定について解説します。

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