変換関数

変換関数

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)は生産者が技術的に選択可能なすべての生産ベクトルからなる集合であるため、生産者の技術は生産集合\(Y\)の形状として表現されます。一方、生産者の技術を関数を用いて表現することもできます。具体的には、生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が与えられたとき、任意の\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ y\in Y\Leftrightarrow F\left( y\right) \leq 0 \\
&&\left( b\right) \ y\in Y^{f}\Leftrightarrow F\left( y\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす多変数関数\begin{equation*}
F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在するのであれば、これを変換関数（transformation function）と呼びます。ただし\(Y^{f}\)は\(Y\)の境界、すなわち変換フロンティアです。

条件\(\left( a\right) \)は、生産ベクトル\(y\)が技術的に選択可能であることと、変換関数\(F\)が\(y\)に対して定める値が非正であることが必要十分であることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は、生産ベクトル\(y\)が生産集合\(Y\)の境界点であることと、\(F\)が\(y\)に対して定める値がゼロであることが必要十分であることを意味します。以上を踏まえると、変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、逆に、生産集合\(Y\)およびその境界\(Y^{f}\)を、\begin{eqnarray*}Y &=&\left\{ y\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ F\left( y\right) \leq 0\right\} \\
Y^{f} &=&\left\{ y\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ F\left( y\right) =0\right\}
\end{eqnarray*}と表現できます。

変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、生産ベクトル\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)が\(F\left( y\right) \leq 0\)を満たす場合には\(F\)の定義より\(y\in Y\)が成り立つため、生産者にとって\(y\)は技術的に選択可能な生産ベクトルです。一方、\(F\left( y\right) >0\)を満たす場合にはやはり\(F\)の定義より\(y\not\in Y\)が成り立つため、生産者にとって\(y\)は技術的に選択不可能です。以上を踏まえると、変換関数\(F\)が\(y\)に対して定める値\(F\left(y\right) \)は生産者が\(y\)を実行するために必要な技術進歩の程度と解釈できます。つまり、\(F\left( y\right) >0\)が成り立つ場合、生産者は\(y\)を実行するために正の技術進歩が必要であり、現在の技術水準では\(y\)を実行できないということです。\(F\left( y\right) \leq 0\)の場合には反対の関係が成り立ちます。

例（変換関数）

2財モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}\leq -y_{1}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

この場合、変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =y_{1}+y_{2}
\end{equation*}を定めます。実際、任意の\(\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}F\left( y,y_{2}\right) \leq 0 &\Leftrightarrow &y_{1}+y_{2}\leq 0\quad
\because F\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &y_{2}\leq -y_{1} \\
&\Leftrightarrow &\left( y_{1},y_{2}\right) \in Y\quad \because Y\text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成立しています。また、変換フロンティアが\begin{equation*}
Y^{f}=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}=-y_{1}\right\}
\end{equation*}であることを踏まえると、任意の\(\left( y_{1},y_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}F\left( y,y_{2}\right) =0 &\Leftrightarrow &y_{1}+y_{2}=0\quad \because F\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &y_{2}=-y_{1} \\
&\Leftrightarrow &\left( y_{1},y_{2}\right) \in Y^{f}\quad \because Y^{f}\text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係も成立しています。したがって、\(F\)は変換関数としての要件を満たしています。

変換関数は存在するとは限りません。以下の例より明らかです。

例（変換関数）

2財モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}<-y_{1}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものと仮定します。\(\left( 0,0\right) \)は\(Y\)の要素ではないため、変換関数の定義より、\begin{equation*}F\left( 0,0\right) >0
\end{equation*}が成り立ちます。\(\left(0,0\right) \)は\(Y\)の境界点であるため、変換関数の定義より、\begin{equation*}F\left( 0,0\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。これらが同時に成り立つことは\(F\)が関数であることと矛盾であるため、背理法より、変換関数は存在しません。

上の例が示唆するように、生産集合\(Y\)が閉集合ではない場合、\(Y\)の要素ではない\(Y\)の境界点が存在し得るため、変換関数\(F\)が存在しない状況が発生します。逆に、生産集合\(Y\)が閉集合である場合には\(Y^{f}\subset Y\)という関係が成り立つため、以下の性質\begin{equation*}F\left( y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\leq 0 & \left( if\ y\in Y\right) \\
=0 & \left( if\ y\in Y^{f}\right) \\
>0 & \left( if\ y\not\in Y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たす関数\(F\)を適当に構成することができ、これは変換関数としての要件を満たします。

変換関数が存在する場合、それは一意的に定まるとは限りません。以下の例より明らかです。

例（変換関数）

2財モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq -y_{1}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( y_{1},y_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値が、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
y_{2}-y_{1} & \left( if\ y_{1}\leq 0\right) \\
y_{1} & \left( if\ y_{1}>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるとき、\(F\)は変換関数としての要件を満たします。同時に、関数\(G:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( y_{1},y_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値が、\begin{equation*}G\left( y_{1},y_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
y_{2}-y_{1} & \left( if\ y_{1}\leq 0\right) \\
1 & \left( if\ y_{1}>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるとき、\(G\)もまた変換関数としての要件を満たします。

変換関数と効率生産ベクトルの関係

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)と狭義効率生産集合\(Y^{\ast }\)および変換フロンティア\(Y^{f}\)の間には、\begin{equation*}Y^{\ast }\subset Y\cap Y^{f}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、任意の\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)について、\begin{eqnarray*}y\in Y^{\ast } &\Rightarrow &y\in Y^{f} \\
&\Leftrightarrow &F\left( y\right) =0\quad \because F\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、変換関数\(F\)が狭義効率的な生産ベクトルに対して定める値は\(0\)です。

上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、\(F\left( y\right) =0\)が成り立つ場合、\(y\)は狭義効率的であるとは限りません。生産集合の境界点は狭義効率的であるとは限らないからです。以下の例より明らかです。

例（変換関数と効率生産ベクトルの関係）

2種類の商品が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。境界\(Y^{f}\)が変換フロンティアです。

変換フロンティア上の生産ベクトル\(y,y^{\prime }\in Y^{f}\)を上図のように選びます。\(F\)の定義より\(F\left( y^{\prime }\right) =F\left( y\right) =0\)です。ただ、\(y\)は\(y^{\prime }\)を広義支配するため、\(y^{\prime }\)は狭義効率的ではなく、したがって\(y^{\prime }\not\in Y^{\ast} \)です。

演習問題