一様連続写像
距離空間上の写像の一様連続性（一様連続写像）
距離空間上に定義された写像が一様連続であることの意味を定義するとともに、写像が一様連続であること、ないし一様連続ではないことを判定する方法について解説します。
コンパクト集合
距離空間上の写像に関する最大値・最小値の定理
距離空間の部分集合上に定義され実数を値としてとる写像が連続であるとともに定義域がコンパクト集合である場合、その写像の最大値と最小値が存在します。
コンパクト集合
距離空間上の連続写像による集合の像
距離空間上に定義された連続写像によるコンパクト集合の像もまたコンパクト集合です。コンパクト集合は有界な閉集合であるため、連続写像によるコンパクト集合の像は有界な閉集合です。
ノルム関数
距離空間上の写像の絶対値（ノルム）の連続性
距離空間上に定義された複数の写像が実数値、複素数値、ベクトル値などをとるとともに連続である場合、それらの写像の絶対値（ノルム）として定義される写像もまた連続になります。
写像
距離空間上の写像どうしの積（内積）の連続性（積の法則）
距離空間上に定義された複数の写像が実数値、複素数値、ベクトル値などをとるとともに連続である場合、それらの写像の積（内積）として定義される写像もまた連続になります。
可分空間
距離空間と可分空間
距離空間が可算集合であるような稠密部分集合を持つ場合、そのような距離空間を可分空間と呼びます。距離空間が可分であること、第2可算公理を満たすこと、リンデレーフ空間であることは必要十分です。
稠密
距離空間の稠密部分集合
距離空間の部分集合の閉包が距離空間と一致する場合、そのような部分集合を稠密部分集合と呼びます。距離空間上の点を任意に選んだとき、その点のいくらでも近い場所に稠密部分集合の要素が無数に存在します。
リンデレーフ空間
距離空間とリンデレーフの被覆定理
距離空間において任意の開被覆が可算部分被覆を持つ場合、そのような距離空間をリンデレーフ空間と呼びます。距離空間がリンデレーフ空間であることと、その距離空間が第2可算公理を満たすことは必要十分です。
可算公理
距離空間と第2可算公理
距離空間の開集合系の可算な部分集合が存在し、任意の開集合をその部分集合に属する開集合の和集合として表現できる場合、その距離空間は第2可算公理を満たすと言います。
分離
距離空間における連結集合・非連結集合（連結距離空間・非連結距離空間）
距離空間の部分集合の切断が存在する場合、その集合を非連結集合と呼びます。また、非連結集合ではない集合を連結集合と呼びます。非連結な距離空間を非連結距離空間と呼び、連結な距離空間を連結距離空間と呼びます。
分離
距離空間において分離している2つの集合
距離空間の2つの部分集合が互いに素であるとともに、どちらも相手の集積点を要素として持たない場合、それらの集合は分離していると言います。分離の概念は触点や開集合を用いて表現することもできます。
コンパクト距離空間
完備な全有界集合としての距離空間上のコンパクト集合（コンパクト距離空間）
距離空間Xの部分集合Aが完備かつ全有界であることは、Aがコンパクト集合であることと必要十分です。以上の結果はハイネ・ボレルの被覆定理の一般化です。
コンパクト距離空間
距離空間上の点列コンパクト集合（点列コンパクト距離空間）
距離空間Xの部分集合Aが与えられたとき、A上の任意の点列がAの点へ収束する部分列を持つ場合にはAを点列コンパクト集合と呼びます。距離空間の部分集合が点列コンパクトであることとコンパクトであることは必要十分です。
コンパクト距離空間
集積点を用いた距離空間上のコンパクト集合の表現（集積点定理）
距離空間Xの部分集合Aが与えられたとき、Aの任意の無限部分集合がA上に集積点を持つことは、AがX上のコンパクト集合であるための必要十分条件です。
コンパクト距離空間
距離空間上のコンパクト集合（コンパクト距離空間）の定義と具体例
距離空間の部分集合の任意の開被覆が有限部分被覆を持つ場合、そのような集合をコンパクト集合と呼びます。また、コンパクト集合であるような距離空間をコンパクト距離空間と呼びます。
有界な距離空間
距離空間における全有界集合（全有界な距離空間）
距離空間の部分集合に対して正の実数を任意に選んだとき、その実数を半径とする有限個の近傍によってその集合を必ず覆うことができる場合、そのような集合は全有界であると言います。全有界な集合は有界である一方で、有界な集合は全有界であるとは限りません。
有界な距離空間
距離空間における有界集合（有界な距離空間）
距離空間の部分集合の直径が有限な実数として定まる場合、その集合は有界であると言います。有界であることは距離や近傍を用いて表現することもできます。
点列の極限
部分距離空間上の点列の収束可能性
部分距離空間上の点列が収束する場合、その点列はもとの距離空間上においても収束します。その一方で、部分距離空間上の点列がもとの距離空間上において収束する場合、その点列は部分空間上において収束するとは限りません。
チェビシェフ距離
直積距離空間の定義と具体例
有限個の距離空間の直積上に定義される距離関数を直積距離と呼びます。また、距離空間の直積と直積距離の組を直積距離空間と呼びます。マンハッタン直積距離、ユークリッド直積距離、チェビシェフ直積距離などは直積距離です。
生産集合
私有経済におけるパレート効率的な配分
私有経済において消費者は効用最大化原理にもとづいて行動し、生産者は利潤最大化原理にもとづいて行動する一方で、それとは別に、社会的に望ましい配分を考えることもできます。パレート効率性という基準のもとで社会的に望ましい配分を定義します。
生産集合
期待値
連続型確率変数の期待値
連続型の確率変数の値と確率密度関数の値の積を全区間上で積分することにより得られる値を確率変数の期待値と呼びます。期待値は確率変数の実現値の見込みの値を表す指標です。
分布関数
連続型の確率分布
ワルラス均衡
純粋交換経済における厚生経済学の基本定理
純粋交換経済においてワルラス均衡のもとで実現する配分はパレート効率的です（厚生経済学の第1基本定理）。また、パレート効率的な配分が与えられたとき、適切な再配分と価格体系のもとでは、その配分をワルラス均衡として実現できます（厚生経済学の第2基本定理）。
ワルラス均衡
純粋交換経済におけるワルラス均衡
純粋交換経済においてそれぞれの消費者は効用最大化原理にもとづいて行動します。純粋交換経済に価格メカニズムを導入した場合に実現する結果をワルラス均衡（競争均衡）として定義します。
パレート効率性
純粋交換経済におけるパレート効率的な配分
純粋交換経済においてそれぞれの消費者は効用最大化原理にもとづいて行動する一方で、それとは別に、社会的に望ましい配分を考えることもできます。パレート効率性という基準のもとで社会的に望ましい配分を定義します。
純粋交換経済
凸錐
双対錐と極錐の定義と具体例
ユークリッド空間の非空な部分集合Cが与えられたとき、Cに属するすべてのベクトルとの内積が非負になるようなベクトルをすべて集めることにより得られる集合をCの双対錐と呼びます。
凸錐
多面錐（凸多面錐）の定義と具体例
錐であるような多面体を多面錐と呼びます。多面体は凸集合であるため、多面錐もまた凸集合です。多面錐は定数ベクトルがゼロであるような連立1次不等式の解集合です。
凸集合
多面体（凸多面体）の定義と具体例
連立1次不等式の解集合を多面体と呼びます。連立1次方程式の解集合や、1次方程式と1次不等式が混在する連立式の解集合もまた多面体です。多面体は凸集合です。
