距離空間における集合間の距離
距離関数は距離空間に属する2つの点の間の距離を定めますが、距離関数を活用することにより、距離空間の部分集合の間の距離や、点と部分集合の間の距離を定義できます。
部分距離空間
距離空間の非空な部分集合が与えられたとき、それにあわせて距離関数の定義域を制限すれば、その部分集合自身もまた距離空間になります。このような距離空間をもとの距離空間の部分距離空間と呼びます。
距離空間の定義と具体例
公理主義の立場から「距離」の概念を定義します。公理主義にもとづいて距離という概念を定義する場合、ユークリッド距離に限定されない様々な数学的対象が距離とみなされます。
連続型同時確率変数の期待値
連続型の同時確率変数の期待値を定義するとともに、同時確率変数と2変数関数の合成関数として定義される確率変数の期待値を求める方法を解説します。また、独立な確率変数の積の期待値は個々の確率変数の期待値の積と一致することを示します。
連続型同時確率変数の周辺化（周辺分布関数）
同時確率変数の同時確率分布から導かれる個々の確率変数の確率分布を周辺確率分布と呼びます。周辺確率分布は周辺分布関数によって表現することもできます。
同時参入ゲーム（市場参入のパラドクス）
2つの企業が新規市場へ参入するかどうかを決定する戦略的状況を参入ゲームと呼ばれる完備情報の静学ゲームとして記述するとともに、そこでのナッシュ均衡を求めます。加えて、均衡において市場参入のパラドクスと呼ばれる現象が起こること解説します。
離散型確率変数の条件付き分布関数
2つの離散型確率変数の一方が特定の値をとるという条件のもとでの他方の確率変数の確率分布を条件付き確率分布と呼びます。条件付き確率分布は条件付き分布関数によって表現することもできます。
連続型確率変数のモーメント母関数（積率母関数）
連続型の確率変数の確率分布はモーメント母関数を用いて表現することもできます。また、モーメント母関数から任意次のモーメントを導出できます。
離散型同時確率変数の周辺化（周辺分布関数）
同時確率変数の同時確率分布から導かれる個々の確率変数の確率分布を周辺確率分布と呼びます。周辺確率分布は周辺分布関数によって表現することもできます。
離散型確率変数のモーメント母関数（積率母関数）
離散型の確率変数の確率分布はモーメント母関数を用いて表現することもできます。また、モーメント母関数から任意次のモーメントを導出できます。
多変数関数の連続性と1変数関数の連続性の関係
多変数関数が連続である場合、多変数関数を1変数関数とみなすことで得られる任意の関数もまた連続になりますが、その逆は成り立つとは限りません。
2つの離散型確率変数の相関係数
2つの離散型確率変数の値の分布の関連性を表現する指標として共分散と呼ばれる指標を定義しましたが、共分散の水準は確率変数の値の単位に依存して変化してしまいます。このような欠点を克服する指標が相関係数です。
離散型同時確率変数の分散と標準偏差
離散型の同時確率変数の分散を定義するとともに、同時確率変数と2変数関数の合成関数として定義される確率変数の分散を求める方法を解説します。また、独立な確率変数の和の分散は個々の確率変数の分散の和と一致することを示します。
離散型同時確率変数の期待値
離散型の同時確率変数の期待値を定義するとともに、同時確率変数と2変数関数の合成関数として定義される確率変数の期待値を求める方法を解説します。また、独立な確率変数の積の期待値は個々の確率変数の期待値の積と一致することを示します。
負項級数の収束・発散判定
すべての項が非正の実数であるような数列の項の級数を負項級数と呼びます。負項級数の収束・発散判定は、それに対応する正項級数の収束・発散判定へ帰着させることができます。
不確実性を評価する選好関係の連続性
不確実性に直面する意思決定主体がクジどうしを比較する選好が連続的に変化することを保証するために、選好関係に対して連続性と呼ばれる性質を要求します。選好関係を表す連続な効用関数や期待効用関数が存在する場合、その選好は連続性を満たします。
零集合
外測度の値がゼロであるような集合を零集合と呼びます。零集合はルベーグ可測です。零集合の基本的な性質について解説します。関連して「ほとんどいたるところ」という用語の意味を解説します。
偶関数と奇関数の微分とマクローリン展開
偶関数および奇関数などの概念を定義するとともに、これらの関数の微分および高階微分、マクローリン展開に関して成り立つ性質について解説します。
不確実性を評価する選好関係の推移性
不確実性に直面する意思決定主体がクジどうしを比較する選好が循環しないことを保証するために、選好関係に対して推移性と呼ばれる性質を要求します。選好関係を表す効用関数が存在する場合、その選好は推移性を満たします。
級数どうしの和の収束可能性
収束級数どうしの和として定義される級数は収束します。収束級数と発散級数の和として定義される級数は発散します。発散級数どうしの和として定義される級数は収束する場合と発散する場合の両方のパターンがあります。
不確実性を評価する選好関係の完備性
2つのクジを任意に選んだとき、意思決定主体が一方を他方以上に好むか、もしくは両者を同じ程度望ましいものと考えている場合には、主体の選好関係は完備性を満たすと言います。
期待効用関数の定義とその性質
リスクが存在する状況において、意思決定主体がクジどうしを比較する選好を表現する効用関数が線型性と呼ばれる性質を満たす場合、そのような効用関数を期待効用関数と呼びます。通常の効用関数とは異なり、期待効用関数は一定の基数性を満たします。
不確実性を評価する効用関数
リスクが存在する状況において、意思決定主体がクジどうしを比較する選好を表現する効用関数が存在する場合には、クジの間の相対的な望ましさを、実数の大小関係として表現することができます。
正項級数に関する比較判定法
正項級数が収束ないし発散することを判定するために、収束ないし発散することが分かっている別の正項級数を持ってきて両者の項を比較する手法を比較判定法と呼びます。
不確実性を評価する選好関係
リスクが存在する状況における意思決定は、その人が持つ不確実性に対する好みの体系によって左右されます。そこで、そのような好みをクジどうしを比較する選好関係として定式化します。
複合クジと結果主義の仮定
リスクが存在する状況における選択肢をクジと呼ばれる概念として表現しましたが、何らかの確率分布にもとづいてクジをランダムに選ぶことも考えられるため、そのような意思決定を複合クジと呼ばれる概念として表現します。
正項級数に関するダランベールの判定法
数列のすべての項が正の実数であるとき、その項の無限級数が収束ないし発散するかを判定する際に、隣り合う項の比を一般項とする数列の極限を指標として利用することができます。
等比数列（幾何数列）とその部分和および極限
隣り合う項が共通の比を持つ数列を等比数列と呼びます。等比数列を定義するとともに、その部分和を明らかにした上で、等比数列が収束する・発散する・振動するための条件を明らかにします。
等差数列とその部分和および極限
隣り合う項が共通の差を持つ数列を等差数列と呼びます。等差数列を定義するとともに、その部分和を明らかにした上で、等差数列が収束する・発散するための条件を明らかにします。
多変数の座標関数の方向微分
多変数の座標関数は任意の方向に方向微分可能です。座標関数を方向微分する方法を解説するとともに、方向微分係数を最大化ないし最小化する方向を特定します。
SIPVモデルにおける収入同値定理
単一オークションのSIPVモデルにおいて異なるメカニズムを採用した場合においても、メカニズムの均衡においてオークションの主催者が直面する事前期待収入が等しくなるための条件を明らかにします。
多変数関数に関する平均値の定理
多変数関数の変数が定義域上の2つの点を端点とする閉じた線分上を動く状況を想定した場合、1変数関数に関するラグランジュの平均値の定理と同様の主張が成り立ちます。
多変数関数の点における最大増加率と最大減少率の特定
多変数関数の変数をある点からどちらの方向へ動かせば関数の値の変化率を最大化できるか、もしくは最小化できるかを判定する方法について解説します。
マイヤーソンの定理（IPVモデルにおける誘因両立性の特徴づけ）
単一オークションのIPVモデルにおけるメカニズムが与えられたとき、任意の入札者の均衡中間利得関数が積分形式で表されるとともに均衡中間期待配分関数が単調増加であることは、そのメカニズムが誘因両立的であるための必要十分条件です。
SIPVモデルにおける支払い同値定理
単一オークションのSIPVモデルにおいて異なるメカニズムを採用した場合においても、メカニズムの均衡において入札者が直面する期待支払いが等しくなるための条件を明らかにします。
正項級数の定義と収束・発散条件
数列のすべての項が非負の実数であるとき、その項の無限級数を正項級数と呼びます。正項級数が収束することと、部分和の列が有界であることは必要十分です。
無限級数（収束級数・発散級数）の定義と具体例
数列とは無限個の実数を順番に並べたものですが、その無限個の実数を順番通りに加えることで得られる和を無限級数や級数、無限和などと呼びます。
数列の絶対値の極限
数列が収束するとき、その一般項の絶対値を一般項とする数列も収束します。以上の事実を利用することにより、数列が有限な実数へ収束すること・しないことを判定できます。
数列の平方根の極限
非負の実数を項とする数列が収束するとき、その一般項の平方根を一般項とする数列も収束します。また、非負の実数を項とする数列が正の無限大へ発散するとき、その一般項の平方根を一般項とする数列も正の無限大へ発散します。
多変数の陰関数の定義と活用例
n+1変数関数から方程式を定義したとき、そこから陰関数と呼ばれるn変数関数を定義することができます。多変数の陰関数を定義するとともに、その活用例を紹介します。
陰関数定理（1変数の陰関数の微分）
2変数関数から方程式を定義したとき、その陰関数を具体的に特定できない場合でも、一定の条件のもとでは、陰関数の存在を保証したり、陰関数の微分を特定できます。
