陰関数
多変数の陰関数の定義と活用例
n+1変数関数から方程式を定義したとき、そこから陰関数と呼ばれるn変数関数を定義することができます。多変数の陰関数を定義するとともに、その活用例を紹介します。
陰関数
陰関数定理（1変数の陰関数の微分）
2変数関数から方程式を定義したとき、その陰関数を具体的に特定できない場合でも、一定の条件のもとでは、陰関数の存在を保証したり、陰関数の微分を特定できます。
1生産物モデル
1生産物モデルにおけるホテリングの補題
1生産物モデルにおいてもホテリングの補題は成立します。つまり、利潤関数を生産物の価格に関して偏微分すれば供給関数が得られ、利潤関数を生産要素の価格に関して偏微分すれば要素需要関数が得られます。
支出最小化
準線型効用関数のもとでの支出最小化
消費者の選好が準線型効用関数によって表現されるとき、支出最小化問題に解が存在するための条件を明らかにするとともに、その解が満たす性質について解説します。
効用最大化
レオンチェフ型効用関数
レオンチェフ型生産関数
レオンチェフ型生産関数
レオンチェフ型生産関数のもとでの利潤最大化
N生産要素1生産物モデルにおいて生産者の技術がレオンチェフ型生産関数として表される場合に利潤最大化問題に解が存在するための条件やその解について解説します。
コブ・ダグラス型生産関数
コブ・ダグラス型効用関数
コブ・ダグラス型生産関数
コブ・ダグラス型生産関数のもとでの利潤最大化
N生産要素1生産物モデルにおいて生産者の技術がコブ・ダグラス型生産関数として表される場合に利潤最大化問題に解が存在するための条件やその解について解説します。
スカラー三重積
ベクトルによって張られる平行六面体の体積
空間上の3つのベクトルの始点をあわせれば、それらのベクトルを3隣辺とする平行六面体が得られますが、その体積は3つのベクトルのスカラー三重積の絶対値と一致します。
正則行列
ベクトル射影
ベクトルによって張られる平行四辺形の面積
2つのベクトルの始点をあわせれば、それらのベクトルを隣辺とする平行四辺形が得られます。2つのベクトルに関する情報から平行四辺形の面積を特定する方法について解説します。
平均値の定理
連続型確率変数の条件付き確率密度関数
2つの連続型確率変数が与えられたとき、一方の確率変数が特定の値をとるという条件のもとでの他方の確率変数の確率分布を条件付き確率分布と呼びます。
条件付き確率
離散型確率変数の条件付き確率質量関数
2つの離散型確率変数が与えられたとき、一方の確率変数が特定の値をとるという条件のもとでの他方の確率変数の確率分布を条件付き確率分布と呼びます。
周辺確率密度関数
連続型同時確率変数の周辺化（周辺確率密度関数）
連続型の確率変数どうしの同時確率変数の同時確率分布が同時確率密度関数によって描写されている場合、そこから個々の確率変数の確率分布を描写する確率密度関数を導くことができます。
同時分布関数
連続型同時確率変数の同時分布関数（同時累積分布関数）
連続型の同時確率変数の同時分布関数とは、同時確率変数があるベクトル以下の値をとる確率を与えることを通じて同時確率分布を記述する関数です。
同時確率変数
連続型同時確率変数の同時確率密度関数
連続型の同時確率変数の確率分布を同時確率（質量）関数を通じて表現することはできません。連続型の同時確率変数の確率分布を描写する際には同時確率密度関数と呼ばれる概念を利用します。
平面
平面の定義とその表現
3次元空間において平面を表現するためには、一直線上に並んでない3つの異なる点を指定すれば十分です。なぜなら、そのような点が与えられれば、それらを通る平面は1つに定まるからです。平面の方程式を定義します。
行列減法
行列減法（行列の差）
同じ大きさを持つ2つの行列が与えられたとき、対応する成分どうしを引くことにより得られる新たな行列を行列どうしの差と呼びます。また、2つの行列に対してそれらの差を定める演算を行列減法と呼びます。
スカラー射影
ベクトル射影とスカラー射影
あるベクトルの別のベクトルへの射影という概念を定義するとともに、射影に相当するベクトルを具体的に求める方法や、射影をスカラーとして表現する方法について解説します。
命題論理
真理値表の簡略化
命題論理において解釈しようとする論理式が長い場合、部分論理式も膨大であるため、通常の方法にしたがうと真理値表が大きくなってしまいます。そのような場合には、真理値表の1つの列に論理式を構成する文字や論理演算子を1つずつ入れていく形で真理値表を描けばスペースを省略できます。
中央化
離散型確率変数の中央化・標準化・正規化
期待値が0になるように確率変数を変換する操作を中央化と呼び、期待値が0で分散が1になるように確率変数を変換する操作を標準化と呼び、確率変数がとり得る値の範囲が0以上1以下になるように確率変数を変換する操作を正規化と呼びます。
周辺確率質量関数
離散型同時確率変数の周辺化（周辺確率質量関数）
同時確率変数の同時確率分布から導かれる個々の確率変数の確率分布を周辺確率分布と呼びます。離散型の確率変数の周辺確率分布は周辺確率密度関数によって表現されます。
同時確率変数
連続型の同時確率変数
それぞれの標本点に対してベクトルを1つずつ割り当てる写像を同時確率変数や確率ベクトルなどと呼びます。連続型の確率変数から定義される同時確率変数を連続型の同時確率変数と呼びます。
従属な事象
2つの事象の独立性
事象Bが起こるかどうかが事象Aが起こる確率に影響を与えない場合、これらの事象は独立であると言います。これは、2つの事象の積事象の確率が個々の事象の確率の積と一致することとして定式化されます。
区間
実数空間における区間と連結集合の関係
実数空間にユークリッド距離を導入した場合、実数空間の部分集合が区間であることと、その集合が連結集合であることは必要十分です。したがって、区間でないことと非連結集合であることも必要十分です。
分離
実数空間における集合の切断
実数空間の部分集合Xが与えられたとき、開集合A,Bとの交わりをとることによりXを互いに素な2つの非空な集合に分割できる場合、これらの開集合A,BをXの切断と呼びます。
分離
実数空間において分離している2つの集合
実数空間の2つの部分集合が互いに素であるとともに、どちらも相手の集積点を要素として持たない場合、それらの集合は分離していると言います。分離の概念は触点や開集合を用いて表現することもできます。
稠密
リンデレーフ空間
リンデレーフ空間としてのユークリッド空間（リンデレーフの被覆定理）
ユークリッド空間上の集合の開被覆を任意に選んだとき、その可算部分被覆が存在することが保証されます。これをリンデレーフの被覆定理と呼びます。
リンデレーフ空間
リンデレーフ空間としての実数空間（リンデレーフの被覆定理）
実数空間上の集合の開被覆を任意に選んだとき、その可算部分被覆が存在することが保証されます。これをリンデレーフの被覆定理と呼びます。
基本開集合系
ユークリッド空間における基本開集合系（開基）と第2可算公理
ユークリッド空間において、開集合系の部分集合族が存在し、任意の開集合がその部分集合族に属する開集合の和集合として表現できる場合、その部分集合族を開基と呼びます。また、可算集合であるような開基が存在する場合、第2可算公理が成り立つと言います。
稠密
実数空間における稠密集合
実数空間Rの部分集合Xが与えられたとき、さらにその部分集合Aの閉包がXを部分集合として含む場合には、AをXの稠密部分集合と呼びます。特に、Rの部分集合AがRの稠密部分集合であることとは、Aの閉包がRと一致することを意味します。
基本近傍系
ユークリッド空間における基本近傍系（近傍基）と第1可算公理
ユークリッド空間の点の基本近傍系が存在する場合、その点との距離を測るためには基本近傍系に属する近傍があれば十分で、すべての近傍を議論の対象にする必要はありません。また、ユークリッド空間のそれぞれの点に対して可算な基本近傍系が存在します（第1可算公理）。
