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ベイジアンゲーム

ベイジアンゲームの定義

不完備情報の静学ゲームを記述するためにはプレイヤー、行動、情報、結果、利得などをそれぞれ具体的に特定する必要があります。それらの要素を記述する方法はいくつか存在しますが、ここではベイジアンゲームと呼ばれるモデルについて解説します。

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支出最小化

補償需要における非超過効用

効用関数が連続関数である場合、支出最小化問題の解において消費者は目標効用水準に等しい効用を得ることが保証されます。これは効用最大化問題におけるワルラスの法則に相当する条件です。

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コブ・ダグラス型効用関数のもとでの支出最小化

ヒックスの補償需要関数(補償需要対応)

消費者が直面する支出最小化問題は価格ベクトルと目標となる効用水準に応じて変化します。そこで、価格ベクトルと目標効用水準のそれぞれの組に対して、そのときの支出最小化問題の解集合を定める対応をヒックスの補償需要対応(補償需要関数)と呼びます。

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支出最小化

支出最小化問題の制約条件

支出最小化問題にはそのままではベルジュの最大値定理を適用できないため、一般性を失わない形で、支出最小化問題をベルジュの最大値定理が適用可能な形へ変換します。

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コブ・ダグラス型効用関数のもとでの支出最小化

支出最小化問題

価格ベクトルと目標となる効用水準が与えられたとき、目標水準以上の効用をもたらす消費ベクトルの中から支出を最小化するようなものを特定する最適化問題を支出最小化問題と呼びます。

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ドブリューの定理

ドブリューの定理(効用関数の存在条件)

消費集合が凸集合であるようなユークリッド空間の部分集合であるとともに、選好関係が合理性(完備性および推移性)と連続性を満たす場合、その選好関係を表す効用関数が必ず存在します。これをドブリューの定理と呼びます。

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ドブリューの定理

可算集合上の効用関数の存在条件

消費集合が可算集合であり、なおかつ消費集合上に定義された選好関係が合理性の仮定(完備性および推移性)を満たす場合には、その選好関係を表す効用関数が存在するとともに、そのような関数を具体的に構成することができます。

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ドブリューの定理

有限集合上の効用関数の存在条件

消費集合が有限集合であり、なおかつ消費集合上に定義された選好関係が合理性の仮定(完備性および推移性)を満たす場合には、その選好関係を表す効用関数が存在するとともに、そのような関数を具体的に構成することができます。

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0次同次性

予算対応の0次同次性

すべての商品の価格と所得が同じ割合で変化する場合には、その変化の前後において、予算制約を満たす消費ベクトルからなる集合、すなわち予算集合は変化しません。予算対応が満たす以上の性質を0次同次性と呼びます。関連してニュメレール(価値尺度財)についても解説します。

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予算対応の連続性

予算対応の連続性

予算対応が上半連続かつ下半連続である場合、すなわち連続対応である場合には、消費者が直面する最適化問題を解く際にベルジュの最大値定理を利用できるため、様々な望ましい性質を導くことができます。

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コンパクト集合

予算集合のコンパクト性

消費者理論では予算集合がコンパクト集合であることを仮定することがあります。この仮定には、消費者が直面する最適化問題に解が存在することを保証する役割があります。

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需要関数

ワルラスの需要関数(需要対応)

価格ベクトルと所得のそれぞれの組に対して、そこでの効用最大化問題の解に相当する消費ベクトルを1つずつ定める関数をワルラスの需要関数と呼びます。ここでは需要関数が存在するための条件を紹介します。

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効用最大化

効用最大化問題

消費者は予算集合に属する消費ベクトルの中から、自身の選好(効用関数)に照らし合わせて最も望ましい消費ベクトルを選ぶものと仮定します。このような仮定のもとで、消費者が直面する最適化問題を選好最大化問題(効用最大化問題)と呼びます。

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囚人のジレンマ

非対称的な利得構造を持つ囚人のジレンマ

これまではプレイヤーたちが同一の利得関数を持つ囚人のジレンマについて考えてきましたが、状況を少し一般化して、プレイヤーたちが異なる利得関数を持つ場合の囚人のジレンマについて考えます。

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メカニズム

非分割財の交換問題における個人合理的メカニズム

非分割財の交換問題(シャプレー・スカーフの住宅市場)におけるメカニズムが与えられたとき、メカニズムの均衡において、メカニズムが定める配分が任意のプレイヤーにとって初期配分以上に望ましいことが保証されるならば、そのようなメカニズムは個人合理性を満たすと言います。

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ナッシュの定理

ナッシュの定理

有限な戦略型ゲームの混合拡張には必ず混合戦略ナッシュ均衡が存在します。これをナッシュの定理と呼びます。角谷の不動点定理を用いてナッシュの定理を証明します。

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ナッシュ均衡

広義の混合戦略ナッシュ均衡

戦略型ゲームの混合拡張においてプレイヤーたちの混合戦略の組に注目したときに、その組を構成する混合戦略がお互いに広義の最適反応になっているならば、その組を広義の混合戦略ナッシュ均衡と呼びます。

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囚人のジレンマ

囚人のジレンマの例:軍拡競争

冷戦期に行われた米ソ間の軍拡競争は囚人のジレンマとしての側面を持っていることを解説した上で、そこでのナッシュ均衡を求めます。また、両国の軍事負担が過大である場合、軍拡競争を鹿狩りゲーム(stag hunt)と解釈することもできます。

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支配される戦略の逐次消去

美人投票(平均の2/3の推測)

プレイヤーたちが0から100までの実数を1つずつ投票し、全体の平均の2/3に最も近い数字を投票したプレイヤーが勝者として賞金を得るゲームを美人投票や平均の2/3の推測などと呼びます。美人投票をゲームとして定式化した上で、そのナッシュ均衡を求めます。

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囚人のジレンマ

n人囚人のジレンマ

囚人のジレンマは2人ゲームですが、これを3人以上に拡張するとどのようなモデルになるでしょうか。n人囚人のジレンマと呼ばれるゲームについて解説します。

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囚人のジレンマ

囚人のジレンマ

囚人のジレンマとして広く知られるゲームの最も基本的なモデルを紹介し、それを戦略型ゲームとして定式化した上で、その均衡を分析します。

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支配される戦略の逐次消去

純粋戦略によって狭義支配される戦略の逐次消去

与えられたゲームにおいてそれぞれのプレイヤーが何らかの戦略によって狭義支配される純粋戦略を持つ場合、それをプレイヤーの純粋戦略集合から消去することを通じてプレイヤーたちが選択し得る戦略の組を絞り込む手法を狭義支配される戦略の逐次消去と呼びます。

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支配

狭義の支配純粋戦略均衡

戦略型ゲームにおける純粋戦略の組を構成する戦略がいずれも狭義の支配戦略である場合、そのような戦略の組を狭義の支配戦略均衡と呼びます。

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ゲーム

ゲーム理論におけるゲームの定義

戦略的相互依存関係が成立する状況をゲームと呼びます。ゲームを特徴づける要素をゲームのルールと呼びます。ゲームを記述するためには、そのゲームのルールを具体的に特定する必要があります。

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効用最大化

所得の限界効用

効用最大化問題の解が与えられたとき、そこから所得を限界的に増やして何らかの商品の支出に振り分けたときに得られる効用の増分を所得の限界効用と呼びます。所得の限界効用は間接効用関数を所得について偏微分することによっても得られます。

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効用最大化

効用最大化問題の端点解

効用最大化問題に解において消費者が所得をすべて使い切るとともに、少なくとも1つの商品の需要がゼロである場合、そのような解を端点解と呼びます。端点解において限界代替率と相対価格は一致するとは限りません。

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効用最大化

効用最大化問題の内点解

効用最大化問題の解において消費者は所得をすべて使い切るとともに、すべての商品の消費量が正の実数であるとき、そのような解を内点解と呼びます。内点解において、任意の2つの商品の限界代替率と相対価格は一致します。

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クーン・タッカーの定理

効用最大化問題の解法

クーン・タッカーの定理を用いて、効用最大化問題の解が満たす条件を明らかにします。さらに、ラグランジュの未定乗数法を使って効用最大化問題の解を求める方法を解説します。

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ロイの恒等式

ロイの恒等式

需要関数と間接効用関数の間にはロイの恒等式と呼ばれる関係が成立するため、間接効用関数が与えられれば、そこから需要関数を再現することができます。

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0次同次性

需要関数の0次同次性(オイラーの定理)

すべての商品の価格と所得が同じ割合で変化する場合、その前後において効用最大化問題の解は変化しません。需要対応(需要関数)が満たす以上の性質を0次同次性と呼びます。0次同次性からはオイラーの定理を導くことができます。

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全微分

限界代替率(限界代替率逓減の法則)

ある消費ベクトルを出発点として、商品 i の消費量を 1 単位変化させてもなお、効用水準を保つために変化させる必要のある商品 j の量を、その消費ベクトルにおける商品 i の商品 j で測った限界代替率と呼びます。限界代替率は限界効用の比として表現できます。

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効用関数

限界効用

ある消費ベクトルを出発点とし、そこからある商品の消費量だけを1単位変化させたときに発生する効用の変化量を限界効用と呼びます。限界効用を効用関数の偏微分係数として定義します。限界効用の絶対的な水準は重要ではありませんが限界効用の符号は重要です。

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準線型な選好

選好の準線型性

選好関係が準線型性を満たすことの意味を解説するとともに、準線型な効用関数によって表現される選好関係が準線型性を満たすことを示します。

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凸集合

選好の凸性

消費ベクトル x 以上に望ましい消費ベクトル y,z を任意に選んだとき、それらを任意の割合で混ぜることで得られる消費ベクトルもまた x 以上に望ましいことが保証されるのであれば、選好は凸性を満たすと言います。凸性を満たす選好は準凹な効用関数によって特徴づけられます。

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効用関数

選好の非飽和性・局所非飽和性

ある消費ベクトルが任意の消費ベクトル以上に望ましい場合、それを飽和点と呼びます。選好関係が非飽和性や局所非飽和性を満たすこととは、消費集合の中に飽和点が存在しないことを意味します。

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効用関数

選好関係の単調性

選好関係が単調性を満たすこととは、消費者はすべての商品をより多く消費することを好むことを意味します。選好を表す効用関数が存在するとき、選好関係が単調であることは効用関数が単調増加であることと必要十分です。

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上方位集合

選好関係の連続性

ある選好関係のもとで任意の消費ベクトルに関する狭義の上方位集合と狭義の下方位集合がともに消費集合上で開集合である場合、その選好関係は連続性を満たすと言います。連続性の仮定のもとでは消費者の選好が連続的に変化することが保証されます。また、連続な効用関数によって表現される選好は連続性を満たします。

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完備律

選好関係の合理性(選好順序)

完備性と推移性をともに満たす選好関係を合理的な選好関係や選好順序などと呼びます。合理性を満たす選好関係のもとではすべての消費ベクトルを最も望ましいものから最も望ましくないものまで順番に並べることができます。

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推移律

選好関係の推移性

3つの消費ベクトル x,y,z が任意に与えられたとき、消費者は x を y 以上に好みし、y を z 以上に好む場合、x を z 以上に好むことが保証される場合には、消費者の選好関係は推移性を満たすと言います。

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完備律

選好関係の完備性

2つの消費ベクトル x,y を任意に選んだとき、消費者は x を y 以上に選好するか、y を x 以上に選好するか、その少なくとも一方が成り立つ場合には、消費者の選好関係は完備性を満たすと言います。

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ドブリューの定理

効用関数

消費者の選好関係を表現する効用関数が存在する場合には、消費ベクトルの間の相対的な望ましさを、実数の大小関係として表現することができます。

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二項関係

選好関係

消費者による意思決定は、その人が持つ好みの体系によって左右されます。そこで、消費者理論では、消費者が持つ好みの体系を選好関係や狭義選好関係、無差別関係などの二項関係として定式化します。

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予算対応

予算集合の凸性

消費者理論では予算集合が凸集合であることを仮定することがあります。この場合、非分割財の消費などは分析対象から除外されることになります。

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予算対応

予算集合の非空性

消費者は予算集合に属する消費ベクトルを選ぶため、仮に予算集合が空集合であるならば、消費者がどのような選択を行うかという問題を検討する余地がなくなってしまいます。そこで多くの場合、予算集合は非空であるものと仮定します。

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予算集合

予算集合の変化

商品の価格や所得が変化したとき、消費者が直面する予算集合がどのように変化するかを解説します。関連して、税金や補助金が予算集合に与える影響を説明します。

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予算超平面

予算超平面(予算線)と限界交換率

予算集合に属する消費ベクトルの中でも、所得をすべて使い切るようなものからなる集合を予算超平面と呼びます。特に、2財モデルにおける予算超平面を予算線と呼びます。関連して、実質所得と名目所得、相対価格と絶対価格を定義します。

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プライステイカー

予算集合

市場経済において消費者が商品を手に入れるためには、商品と引き換えに、商品の価格に相当する対価を支払わなければなりません。消費者の支出額は所得の範囲内に収まっていなければならないという経済的制約を明示的に考慮して得られる消費集合を予算集合と呼びます。

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商品

消費集合

現実の消費者は様々な制約に直面しているため、商品空間に属するすべての商品ベクトルを選択できるわけではありません。そこで、消費者が選択可能な商品ベクトルからなる商品空間の部分集合を消費集合と呼びます。

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ナッシュ均衡

狭義のナッシュ均衡

戦略型ゲームにおいてプレイヤーたちの戦略の組に注目したときに、その組を構成する戦略がお互いに狭義の最適反応になっているならば、その組を狭義のナッシュ均衡と呼びます。

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ナッシュ均衡

広義の純粋戦略ナッシュ均衡

戦略型ゲームにおいてプレイヤーたちの純粋戦略の組に注目したときに、その組を構成する戦略がお互いに最適反応になっているならば、その組を純粋戦略ナッシュ均衡と呼びます。純粋戦略ナッシュ均衡は存在するとは限らず、存在する場合にも一意的であるとは限りません。

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戦略型ゲーム

戦略型ゲーム(標準型ゲーム)

完備情報の静学ゲームを記述するためにはプレイヤー、行動、結果、利得などをそれぞれ具体的に特定する必要があります。それらの要素を記述する方法はいくつか存在しますが、ここでは戦略型ゲームと呼ばれるモデルについて解説します。

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不完備情報ゲーム

完備情報ゲームと不完備情報ゲーム

ゲームのルールのすべての要素がすべてのプレイヤーの共有知識であるとき、そのゲームを完備情報ゲームと呼びます。一方、完備情報ゲームではないゲームを不完備情報ゲームと呼びます。

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